河南信阳市2011届高三第一次调研考试(数学理)

≠2010—2011学年度高中毕业班第一次调研考试数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在答题卡相应位置，座位号同时填涂在答题卡背面左上角，将条形码粘贴在答题卡指定的位置，并将试题卷装订线内项目填写清楚。

2．选择题答案必须使用2B 铅笔规范填涂。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．非选择题答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写。

4．严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷 选择题本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中R 表示球的半径次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题1．已知集合2{|1},{|1},M x x N x ax N M ====⊂集合若，那么a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0，1或-1 2．已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为 （ ）A ．12-B．C ．12 D3．命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在32,10x R x x ∈-+≤C ．存在32,10x R x x ∈-+>D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>4．函数()sin()4f x x π=-的一个单调增区间为（ ）A ．37,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 5．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是 （ ）A ．()I C AB I ⋃= B ．()()I IC A C B I ⋃=C ．()I A C B φ⋂=D ．()()I I I C A C B C B ⋂=6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,60,1,a b c A a b c =︒==则等于（ ）A ．1B ．2C 1D 7．如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．1132(1)(1)a a ->- B ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1aa +->8．已知二次函数()f x 的图象如右图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是 （ ）9．设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若23(2)1,(3)3a a f f a ++>=-，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)(0,3)-∞-⋃B ．(2,0)(3,)-⋃+∞C ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞D ． (,0)(3,)-∞⋃+∞10．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）A ．3πB ．2π C D ．211．已知函数①23()5f x x-=②cos ()5x f x e =；③()5x f x e =；④()5ln f x x =。

其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一的自变量2x ，5=成立的函数为（ ）A ．①③④B ．②④C ．①③D ．③12．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．化简11()(1cos )sin tan ααα+-的结果是 。

14．一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，则此汽车在这1min 内所驶的路程为 。

15．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数sin()(0,0)6I A t A πωω=+>≠的图象如图所示，则当150t =时，电流强度是 。

16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2]2,[]3,[2π===-，定义函数()[]f x x x =-，设函数(),()3g x f x π=-若在区间(0,2)x ∈上零点的个数记为,()()a f x g x 与图象交点的个数记为b ，则()bag x dx ⎰的值是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数22()2sin ()4f x x x π=--+（I ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若()2[0,]6f x m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知函数32()3.f x x ax x =--（Ⅰ）若()(1,)f x +∞在上是增函数，求实数a 的取值范围。

（Ⅱ）若1()3x f x =-是的一个极值点，求()[1,]f x a 在上的最大值。

19．（本小题满分12分）设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义域为R 上的奇函数；（Ⅰ）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集； （Ⅱ）若223(1),()4(),()[1,)2x x f g x a a f x g x -==+-+∞且求在上的最小值。

20．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形空地，正方形的边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 的距离分别为9m 、3m ，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ：NE=16：9，线段MN 必须过点P ，满足M 、N 分别在边AD 、AB 上，设()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2().S m（I ）求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域； （II ）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？21．（本小题满分12分）设M 是由满足下列条件的函数()f x 构成的集合：“①方程()0f x x -=有实数根；②函数()()0() 1.f x f x f x ''<<的导数满足” （I ）判断函数sin ()24x xf x =+是否是集合M 中的元素，并说明理由； （II ）集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：若()f x 的定义域为D ，则对于任意00[,],[,],()()()()m n D x m n f n f m n m f x '⊆∈-=-都存在使得等式成立。

试用这一性质证明：方程()0f x x -=只有一个实数根；（III ）对于M 中的函数1(),()0f x x f x x -=设是方程 的实数根，求证：对于()f x 定义域中任意的23,,x x 当21||1,x x -<且3132||1,|()()| 2.x x f x f x -<-<时22．（本小题满分10分）选做题：任选一道，两题均做只以（I ）的解答计分。

（I ）已知,,x y z 均为正数，求证：111.x y z yz zx xy x y z++≥++（II ）已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：c a c <<参考答案一、选择题DCCAB BABAC DA 二、填空题13．sin α 14．1350m 15．5 16．52- 三、解答题17．解：（I）2()1cos(2)1)1(sin 22)2f x x x x x π=----=-+2sin(2)13x π=-++ ………………2分T π∴=最小正周期 ………………3分222()2325().1212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤+≤+∈⇒-≤≤+∈()f x ∴的单调递减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ ………………6分 （II ）2[0,],2[,]6333x x ππππ∈∴+∈2sin(2)[2,3x π∴-+∈-即有2sin(2)1[1,13x π-++∈-- ………………10分()[1,1()2,211f x f x m m m ∴∈--<+∴+>-∴>-- 恒成立(1)m ∴--+∞的取值范围是 ………………12分18．（I ）2()323f x x ax '=--()[1,)f x +∞ 在上是增函数()[1,)()0f x f x ''∴+∞≥在上恒有 ………………3分即23230[1,)x ax --≥+∞在上恒成立则必有1(1)20,0.3af a a '≤=-≥∴≤且 ………………6分 （II ）依题意，1()0,3f '-=即123033a +-= 324,()43a f x x x x ∴=∴=-- ………………8分令2()3830,f x x x '=--= 得121,3,3x x =-=则当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：()f x ∴在[1，4]上的最大值是(1) 6.f =- ………………12分19．解：()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴= ………………1分（I ）1(1)0,0,01f a a a a>∴->>≠ 又且， 1,()x x a f x a a -∴>=- ………………2分 ()ln ln ()ln 0x x x x f x a a a a a a a --'=+=+>()f x ∴在R 上为增函数 ………………3分原不等式分为：2(2)(4)f x x f x +>-2224,340x x x x x ∴+>-+->即14,{|14}x x x x x ∴><-∴><-或不等式的解集为或 …………6分（II ）313(1),22f a a =∴-= 即212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()224(22)(22)4(22)2x x x x x x x tx g x ---∴=+--=---+ …………8分令22(1)x x t x -=-≥则()(1,)t h x =+∞在为增函数（由（I ）可知），即3()(1)2h x h ≥=…………10分 22()42(2)2f x t t t ∴=-+=--min 222,log (12x ∴=-=-当x=2时,g(x)此时当x=log 时g(x)有最小值…………12分20．解：（I ）如图，建立直角坐标系，设(0,),M t由已知有(9,3),(,0)P N x3033,999t xt x x --∴=∴=-- 又MN 过点D 时，x 最小值为10，3(1030)9xAM x x ∴=≤≤- …………2分2222229(9)9:16:9,16x MN AN AM x x MN NE NE MN∴=+=+-=∴=2222999[]1616(9)x S MN NE MN x x ∴===+-…………5分 定义域为[10，30]…………6分（II ）22343918(9)9(218)9[(9)81]'[2]16(9)8(9)x x x x x x S x x x -----=+=⨯--…………7分令'0,S =得x=0(舍去当109,'0,x S S ≤≤+<关于x 为减函数；当930x +<≤时，'0,S S >关于x 为增函数…………11分9x ∴=+当S 取得最小值…………11分答：当AN长为9+（m ）时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小…………12分21．（1）因为11'()cos ,24f x x =+ 所以13'()[,]0'() 1.44f x f x ∈<<满足条件又因为当0,(0)0x f ==时，所以方程()0f x x -=有实数根0， 所以函数sin ()24x x f x =+是集合M 中的元素。