2018届广州市高三年级调研考(理科数学)
2018届广州市高三上学期第一次调研测试数学(理)试题(解析版)
2018届广州市高三上学期第一次调研测试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2,3A =-， {}2|3 0B x x x =->，则A B ⋂=A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,3-D. {}1,0,3- 【答案】A 【解析】由B 中不等式变形得()30x x ->，解得0x <或3x >，即{| 0B x x =<或}3x >，{}1,0,1,2,3A =-， {}1A B ∴⋂=-，故选A.2．若复数z 满足()121i z i +=-，则z = ( )A.25 B. 35C.D. 【答案】C【解析】()121i z i +=-111121212i i i z z i i i ---⇒=⇒====+++ ,选C. 3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d = A. 2 B. 3 C. 2- D. 3-【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，所以可得()117121{ { 73563a d a S a d d +==-⇒=+==，故选B. 4．已知变量x ， y 满足20{230 0x y x y y -≤-+≥≥，，，则2z x y =+的最大值为A. 0B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】画出20{230 0x y x y y -≤-+≥≥，，表示的可行域，如图， 2z x y =+化为2y x z =-+，由20{230x y x y -=-+=，可得()1,2P ，平移直线2y x z =-+，当直线经点()1,2P 时，直线截距最大值为2124z =⋅+=，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A. 212-B. 92-C. 92D. 212【答案】A 【解析】912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为9992999111222nnnn n nn n n n C x Cx x C x x----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当923n -=时， 3391213,22n C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故选A.6．在如图的程序框图中， ()i f x '为()i f x 的导函数，若()0sin f x x =，则输出的结果是A. sin x -B. cos xC. sin xD. cos x -【答案】A【解析】执行程序框图，()0sin f x x =； ()()10'cos f x f x x ==；()()21'sin f x f x x ==-； ()()32'cos f x f x x ==-； ()()43'f x f x sinx ==； ()()54'cos f x f x x ==，可得()n f x 是周期4T =的函数，当2018i =时，结束循环，输()()20182sin f x f x x ==-，故选A.7．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A.23 B. 12 C. 16 D. 13【答案】D【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处， 123D N ∴=， M 为1CC 的中点， 'M ∴也为1D D 中点， 11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面， //'QN AM ， 1'3AQ NM ∴==，故选D. 8．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为 A. ln2 B. 1 C. 1ln2- D. 1ln2+ 【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002{ y kx y x lnx =-=，0002ln kx x x ∴-=， 002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+， 02x ∴=，ln21k ∴=+，故选D.9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.10．将函数2sin sin 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.6π B. 12π C. 4π D. 3π【答案】A 【解析】2323y s i n xs i n x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 33sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，平移ϕ， 222,3sin x πϕ⎛⎫++⎪⎝⎭平移作为奇函数， 223k πϕπ∴+=， 32πϕπϕ=-+，当1k =时， 6πϕ=，故选A. 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A.B.3C. 1D. 2【答案】C【解析】因为三角形OPF 为正三角形，所以PF FO c ==，设双曲线左焦点为'F 可得'60PFF ∠= '90F PF ∠=， '2F F c =， 'PF ∴，根据双曲线的定义可得'2PF PF c a -=-=， 1ce a∴==+ C. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件利用特殊直角三角形的性质．从而找出,a c 之间的关系，求出离心率e ．12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+； ()21x f x e x =--；()411,0,{ 2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪=-⎝⎭=则其中是“偏对称函数”的函数个数为A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】因为条件②()0xf x '>，所以x 与()'f x 同号， ()21'33f x x x =-+不符合②， ()1f x 不是“偏对称函数”；对于()21xf x e x =--； ()2'1xf x e =-，满足①②，构造函数()()()222x x x f x f x e e xϕ-=--=--，()'220x x x e e ϕ-=+-≥=， ()2x x x e e x ϕ-=--在R 上递增，当120x x <<，且12x x =时，都有()()()()()()12121212200x f x f x f x f x ϕϕ=--=-<=， ()()2122f x f x <，满足条件 ③， ()21xf x e x =--是“偏对称函数”；对于()3f x ， ()31'1f x x =- ，满足条件①②，画出函数()3y f x =的图象以及()3y f x =在原点处的切线， 2y x = 关于y 轴对称直线2y x =-，如图，由图可知()3y f x =满足条件③，所以知()3y f x =是“偏对称函数”；函数()4f x 为偶函数， ()()1212x x f x f x =⇒=，不符合③，函数()4f x 不是，“偏对称函数”，故选C. 【方法点睛】本题考查函数的图象与性质以及导数的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“偏对称函数”达到考查函数的图象与性质以及导数的应用的目的.二、填空题13．已知向量(),2a x x =-， ()3,4b =，若a b ，则向量a 的模为________． 【答案】10【解析】因为//a b，所以234x x -=， 6x =-，10a =，故答案为10.14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若20182a =，则2017201912a a +的最小值为______． 【答案】4【解析】因为等比数列{}n a 各项都为正数，所以220182017201912aa a ==，20172019124a a +≥=，故答案为4.15．过抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线C 于A ， B 两点．若6AF =， 3BF =，则p 的值为________．【答案】4【解析】设过抛物线C ： 22(0)y px p =>的准线l 与x 轴交于点G ，与直线AB 交于C ，过A 作l 的垂线，垂足为E ，作BD l ⊥ 于D ，根据相似三角形性质可得12BD BF B AE AF ==⇒是AC 中点，可得9BC =，124618FG CF FG FG AE AC =⇒=⇒=， 4P ∴=，故答案为4.16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】11π【解析】由三视图可知，三棱锥直观图A BCD - ，如图G 是BCD ∆的外心， GP ⊥平面BCD ，令AP BP =，则P 是外接球球心，设G Pa =， 22BP AP = ，222212BP BG GP a =+=+， ()()222222311122AP EG a a ⎛⎫⎛⎫=+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32a ∴=， ∴球半径2r BP ===， 2244112S r πππ⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为11π.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.三、解答题17．△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值． 【答案】（1）3A π=（2）最大值为6【解析】试题分析：（1）由()cos 2cos a B c b A =-根据正弦定理以及两角好的正弦公式可得1c o s A 2=，从而可得角A 的大小；（2）由2a =，利用余弦定理可得224bc b c +=+，配方后利用基本不等式可得4b c +≤，从而可得△ABC 周长的最大值．试题解析：（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=． 2ccosA acosB bcosA +=由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A += 2sinCcosA sinAcosB sinBcosA +=，即()sin 2sin cos A B C A += ()sin A B 2sinCcosA +=．因为()()sin sin sin A B C C π+=-=， ()()sin A B sin πC sinC +=-= 所以sin 2sin cos C C A =． sinC 2sinCcosA =因为sin 0C ≠ sinC 0≠，所以1cos 2A =． 因为0A π<<，所以π3 3A π=． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222a b c bccosA =+- 得224bc b c +=+， 即()234b c bc +=+．因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()()22344b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 2b c == 时等号成立）． 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长 a b c ++的最大值为6．18．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形， PA ⊥底面ABCD ， ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ； （2）若直线PC ？与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ， EF ，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得BD EF ，再证明BD ⊥平面PAC ，从而可得EF ⊥平面PAC ，进而可得平面PAC ⊥平面PCE ；（2）以A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PCE 与平面CDE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果 试题解析：（1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ， EF ．因为O ， F 分别为AC ， PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ． 因为PA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． （2）解法：因为直线PC ？与平面ABCD 所成角为45 ，所以45PCA ∠=，所以2AC PA ==．所以 AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．则()0,02P ，， )0C，， ()0,21E ，， ()0,20D ，，，()CE =，，==． 设平面PCE 的法向量为{}111,,n x y z =，则·0,{·0,n PC n CE ==即11111120, 0.y z y z +-=++= 11,y =令则11{2.x z ==所以)n =．设平面CDE 的法向量为()222,,m x y z =，则0,{ 0,m DE m CE ⋅=⋅=即22220,{0.z y z =++=令21,x =则22{ 0.yz ==所以()13,0m =． 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,n m n m n mθ⋅=-=-==⋅ 所以二面角P CED --的余弦值为 【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=，参考数据0.55≈，．【答案】（1）可用线性回归模型拟合y与x 的关系（2）商家在过去50周周总利润的平均值为4600元【解析】试题分析：（1）先算出相关系数0.950.75nx x y y r --===≈>可得结论；（2）安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元，分别列出离散型随机变量的分布列，算出安装2台光照控制仪总利润为5200元，安装3台光照控制仪总利润为4600元，从而可得结果.试题解析：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．因为()()()()5131000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===所以相关系数0.95nx x y y r --===≈．因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =3000-1000=2000元， 当30<X ≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y =2×3000=6000元， 故Y 的分布列为所以20000.260000.85200EY =⨯+⨯=元． ③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元， 当50≤X ≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元， 当30<X ≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元， Y所以10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=元．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221y x a b+= ()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ，且过点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若11•0F B F H =，且MO MA =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143y x +=（2）2y x =+【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的离心率为12得12c a =，把点⎛ ⎝⎭代人椭圆方程，结合222+a b c =，可求得,a b 的值，从而可得椭圆方程；（2）直线l 的方程为+2y kx =，由222,{ 1,34y kx x y =++=得()2234120k x kx ++=，根据韦达定理及斜率公式，结合题设11•0F B F H = ，且MO MA =，可得2221214903434k k k k k k --⎛⎫⋅--= ⎪++⎝⎭，求得k 的值即可得结果.试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =． 又222+a b c =，得22=3b c ，即2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=．把点⎛ ⎝⎭代人C 中，解得24a =． 所以椭圆C 的方程为22143y x +=． （2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,{ 1,34y kx x y =++=得()2234120k x kx ++=． 设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =， 21234B kx k -=+，所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上，所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 设(),0H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k=-，即111H k x k=---．所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．因为110F B F H ⋅= ，所以2221214903434k k k k k k --⎛⎫⋅--= ⎪++⎝⎭， 解得283k =．所以直线l 的方程为2y x =+． 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题. 利用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21．已知函数()ln bf x a x x =+ ()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=， 0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）2a e =-或a 0>（2）](01 ，【解析】试题分析：（1）讨论0a >、0a <两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数()f x 恰有一个零点时实数a 的取值范围；（2）对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，等价于()()max min 2f x f x e ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时， ()2ln f x a x x =+，所以()222a x a f x x x x='+=+．①当0a >时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，取10ax e -=，则21110a af e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（或：因为00x <<且01ex <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，所以()()0·10f x f <，此时函数()f x 有一个零点．②当0a <时，令()0f x '=，解得x =．当0x << ()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >时， ()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则02af a ==即2a e =-．综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或a 0>． （2）因为对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦， 所以()()max min 2f x f x e ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦． 因为0a b +=，则a b =-．所以()ln b f x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---=='+． 当01x <<时， ()0f x '<，当1x >时， ()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增， ()()min 11f x f ⎡⎤==⎣⎦，因为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,f x f f e e ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭． 设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -=+->='．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭． 从而()max f x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e bf b =-+．所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+ ()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤． 因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{2x cos y sin αα==，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2{x x y y=''=，后得到曲线2C ．在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值．【答案】（1）2C 为圆心在原点，半径为2的圆， 2ρ=（2）d 取到最小值为2最大值为2+【解析】试题分析：（1）利用三角恒等式消元法消去参数可得曲线1C 的普通方程，再利用放缩公式可得曲线2C 方程，从而可判定2C 是哪一种曲线，利用极坐标护互化公式可得2C 的方程化为极坐标方程；（2）利用2C 的参数方程设出点M 的坐标，利用点到直线距离公式、辅助角公式及三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）因为曲线1C 的参数方程为{2x cos y sin αα==（α为参数）， 因为2{ .x x y y ''==，，则曲线2C 的参数方程2{ 2.x cos y sin αα''==，．所以2C 的普通方程为224x y ''+=． 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆． 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=． （2）解法：直线l 的普通方程为100x y --=．曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d πα-==当cos +=14πα⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k Z παπ-∈时， d2． 当cos +=14πα⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k Z παπ+∈时， d 取到最大值为122+23．选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x x a =+．（1）当1a =时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围 【答案】（1）{}|1x 1x x ≤-≥，或（2）(][),15,-∞⋃+∞【解析】试题分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）将函数()()3g x f x x =-+化为分段函数，根据分类讨论思想结合分段函数的图象，求出分段函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 试题解析：（1）当1a =时， ()1f x x =+．①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x ≤-． ②当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +≤--，解得1x ≤-，此时原不等式无解． ③当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +≤，解得1x ≥． 综上可知，原不等式的解集为{ 1 x x ≤-或}1x ≥．（2）解法：①当3a ≤时， ()3,3,{23,3, 3,.a x g x x a x a a x a -≤-=----<<--≥-所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[]2,1A -⊆，所以32{31a a -≤--≥，，解得1a ≤．②当3a >时， ()3,,{23,3, 3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-=++-<<--≥-所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[]2,1A -⊆，所以32{31a a -≤--≥，，解得5a ≥．综上可知， a 的取值范围是(][),15,-∞⋃+∞．。
2018年高三最新 广州数学抽检考题 精品
2018年广州市高三教学质量抽测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第 I 卷 （选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 不等式011≥-+x x 的解集是 （A ） }1|{-≥x x （B ） }1,1|{≠-≥x x x （C ） }1|{}1|{-≤>x x x x （D ） }1|{}1|{-≤≥x x x x（2） 若α是第二象限的角，且2sin 3α=，则=αcos（A ）13 （B ） 13- （C ） 3 （D ） 3-（3） 圆的一条直径的端点是A （2，0），B （2，－2），则圆的方程是 （A ）042422=++-+y x y x （B ）042422=+--+y x y x （C ）224240x y x y +-+-=（D ）042422=--++y x y x（4） 三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与BCA 为面的二面角的大小为（A ） 300 （B ） 450 （C ）600（D ）900（5） 下列各式中，对任何实数x 都成立的一个是（A ）1112≤+x （B ） xx 2lg )1lg(2≥+ （C ） 12+x x 2> （D ） 21≥+x x （6） 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 （A ） 12 （B ） 24 （C ） 16（D ） 48（7） 下列命题中，正确的是（A ）平行于同一平面的两条直线平行 （B ）与同一平面成等角的两条直线平行（C ）与同一半平面成相等二面角的两个半平面平行（D ）若平行平面与同一平面相交，则交线平行（8） 二项式6)13(xx -的展开式的常数项是（A ）20 （B ）20- （C ）540（D ）540-（9） 电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（A ） 0.384 （B ）13（C ） 0.128 （D ） 0.118 （10） 已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x 、y 满足下列条件：4335251x y x y x -≤-⎧⎪+<⎨⎪≥⎩，则（A ） z 最大值＝12，z 无最小值 （B ） z 最小值＝3，z 无最大值（C ） z 最大值＝12，z 最小值＝3（D ） z 最小值＝265，z 无最大值 （11） 探索以下规律：则根据规律，从2018到2018，箭头的方向依次是 （A ） （B ）（C ）（D ）（12） 已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与 圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（A ）221(1)8y x x -=<- （B ）)1(1822>=-x y x（C ）1822=+y x （x > 0） （D ）221(1)10y x x -=>12567 91011 …… 0 3 4 82018年广州市高三教学质量抽测数学第 Ⅱ 卷 （非选择题 共90分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． ⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。
高三数学-【数学】广东省广州市2018届高三上学期第二次调研(理)精品
广东省广州市2018届高三上学期第二次调研（数学理）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，ii 25=Ai 21 Bi 21 Ci21 Di212.设变量x,y 满足约束条件3213y xy x y x，则目标函数y xz 2的最小值为A 6B 7C 8D 233．设””是“则“x xx R x31,的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.若函数()yf x 是函数1xya a a（>0，且）的反函数，且(2)1f ，则()f x A ．x2log B ．x21C ．x21log D ．22x 5.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21 B.22 C.2D.26.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7.设m ，n 是平面内的两条不同直线，1l ，2l 是平面内的两条相交直线，则//的一个充分而不必要条件是A.m // 且l //B. m // l 且n // l2C. m //且n //D. m //且n //l28.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
2018届广州市高三年级调研测试理科数学答案
2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，若是考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对照评分参考制订相应的评分细那么．2．对计算题，当考生的解答在某一步显现错误时，若是后继部份的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后继部份的给分，但不得超过该部份正确解许诺得分数的一半；若是后继部份的解答有较严峻的错误，就再也不给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分 因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分 因此sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，因此1cos 2A =．………………………………………………………………………5分 因为0A <<π，因此3A π=．…………………………………………………………………………6分 解法2：由已知依照余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分 即222b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分因此2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分因为0A <<π， 因此3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分因此223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分 因此6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分 解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，因此b B =，c C =．…………………………………………………………………8分因此)2sin sin a b c B C ++=++22sin sin 3B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<，因此当3B π=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 别离为AC ，PC 的中点， 因此OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，因此OFDE ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分因此四边形OFED 为平行四边形，因此OD EF ，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，因此PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，因此BD AC ⊥． 因为PA AC A =，因此BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分 因为BDEF ，因此EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，因此平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以 45=∠PCA ，因此2AC PA ==．………………………………………………………………7分 因此AC AB =，故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 别离为x y z ，，轴，成立空间直角坐标系xyz A -（如图）．则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，，()11,3，-=，()10,0，=．…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此()=m ．…………11分设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，因此cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m．因此二面角D CE P --的余弦值为46-．…………………………………………………………12分 解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，因此45PCA ∠=，因此2==AC PA ．………………………………………………………………7分 因为2AB BC ==，因此∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 因此⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，因此⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 别离为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD ．……………………………………………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，那么111,1.y z =⎧⎨=⎩，那么法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x ，那么220.y z⎧=⎪⎨=⎪⎩那么法向量()1,=m ． (11)分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m．因此二面角--P CE D 的余弦值为．…………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．……………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==．…………………………………………………4分因此相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，因此可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分z OyxPACBDE（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照操纵仪．①安装1台光照操纵仪可取得周总利润3000元．………………………………………………………7分②安装2台光照操纵仪的情形：当X >70时，只有1台光照操纵仪运行，现在周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照操纵仪都运行，现在周总利润Y=2×3000=6000元，故Y的散布列为因此20000.260000.85200EY=⨯+⨯=元．………………………………………………………9分③安装3台光照操纵仪的情形：当X >70时，只有1台光照操纵仪运行，现在周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照操纵仪运行，现在周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照操纵仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故Y的散布列为因此10000.250000.790000.14600EY=⨯+⨯+⨯=元．………………………………………11分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照操纵仪．…………………………12分20．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，因此12ca=，即2a c=．……………………………………1分又222+a b c=，得22=3b c，即2234b a=，因此椭圆C的方程为2222134y xa a+=．把点1,3⎛⎝⎭代人C中，解得24a=．………………………………………………………………2分因此椭圆C的方程为22143y x+=．……………………………………………………………………3分（2）解法1：设直线l的斜率为k，那么直线l的方程为+2y kx=，由222,1,34y kxx y⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx++=．…………………………………………………………4分设(),A AA x y，(),B BB x y，那么有0Ax=，21234Bkxk-=+， (5)分因此226834B k y k -+=+． 因此2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分因为MO MA =，因此M 在线段OA 的中垂线上，因此1M y =，因为2M My kx =+，因此1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分 设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，因此1MH k k =-，即111H k x k=---．…………………………8分因此1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分又()10,1F ，因此21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 因为110F B F H ⋅=，因此2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分 解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分 因此直线l的方程为23y x =±+．………………………………………………………………12分解法2：设直线l 的斜率为k ，那么直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，那么有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分因此226834B k y k -+=+． 因此21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，()1,1H F H x =-．…………………………………………………6分因为110F B F H ⋅=，因此21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．………………………7分 因为MO MA =，因此()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………………8分因此直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩ 解得()22920121M k y k +=+．……………………………………………10分 由()229201121M k y k+==+，解得283k =．………………………………………………………………11分 因此直线l的方程为2y x =+．………………………………………………………………12分21．解：（1）函数()f x 的概念域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，因此()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上单调递增，…………………………………2分取10e ax -=，那么211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (3)分（或：因为00x <<01e x <时，因此()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，因此()()010f x f <，现在函数()f x 有一个零点．………………………………4分 ②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，因此()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，因此()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x有一个零点，那么02a f a ==即2e a =-． (5)分综上所述，假设函数()f x 恰有一个零点，那么2e a =-或0a >．………………………………………6分（2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因此()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………………7分 因为0a b +=，则a b =-．因此()ln b f x b x x =-+，因此()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，因此函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分 因为1e ebf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，因此()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭．……………9分 设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=．因此()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，因此()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………10分因此e 1e 2b b -+-≤-即e e 10b b --+≤， 设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，那么()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，因此()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，因此e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………………11分因为0b >，因此b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，那么曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，． (2)分因此2C 的一般方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分 因此2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分 因此2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分 （2）解法1：直线l 的一般方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的一般方程为100x y --=．…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，因此圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分 因此圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，现在原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………………………6分因此函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，因此3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分因此函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，因此3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分 因此()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．因此函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，因此|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．因此a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。
2018届广州市高三年级调研测试(理科数学)答案
2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π 三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．(本题只写了一个正弦定理也1分)由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．（注跳步不扣分）…………………………………………2分因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分 所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．（注sin 0C ≠不写不扣分）………………………………………5分 因为0A <<π，所以3A π=．（注范围不写不扣分）…………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分 即222b c a bc +-=．（注写余弦定理给1分）（但写对两个定理只给 1分）……………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分因为0A <<π， 所以3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分 即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．（注没有取等条件不扣分） ………………………………………………………11分 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．……………………………………12分解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，所以b B =，c C =．…………………………………………………………………8分所以)2sin sin 3a b c B C ++=++22sin sin 3B B ⎡π⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分 18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．………………………………1分 所以四边形O F E D 为平行四边形，所以O D E F ，即BD EF ． ………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥（垂直占1分）． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥（这个垂直占1分）．因为PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC （没有写相交不扣分）．……………………4分因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分 因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分 所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥． 以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．（画出或说出建系都给1分）则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ，()10,0，=DE ．（注：不写向量不扣分）…………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．…………11分 设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m． 所以二面角D CE P --的余弦值为46-．（注结论错了扣1分）…………………………12分解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．………………………………………………………………7分 因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(1,1),(1,0)=-=-=- CP CE CD ．……………………………………………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x ，则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．………………………………………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m． 所以二面角--P CE D的余弦值为…………………………………………………………12分z OyxPACBDE19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．（只算对一个也给1分）…………………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．（算错扣1分，但没算成小数不扣分只写根号的就行）………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． （只要说出0.75r >就不扣分）…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分 ②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =3000-1000=2000元， 当30<X ≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y =2×3000=6000元，（注：对1个只给1分） 故Y 的分布列为所以20000.26000EY =⨯+⨯9分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元， 当50≤X ≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元， 当30<X ≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元， 故Y 的分布列为所以10000.25000EY =⨯+⨯11或12分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．（没有这句式话不扣分）…12分20．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =．……………………………………1分又222+a b c =，得22=3b c ，即2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=．把点⎛ ⎝⎭代人C 中，解得24a =．相当于 a,b 各1分………………………………2分 所以椭圆C 的方程为22143y x +=．（相当于 a,b 各1分…………………3分 （2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．（只设了方程也给1分）………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+，…………………………………………5分 所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭（横，纵坐标各1 分）………………………………………6分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上，所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分 设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MHk k =-，即111H k x k=---．…………………………8分所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ． 因为110F B F H ⋅= ，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分 解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为2y x =+．………………………………………………………………12分解法2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分 所以226834B k y k -+=+．所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，()1,1H FH x =-．…………………………………………………6分 因为110F B F H ⋅= ，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．………………………7分 因为MO MA = ，所以()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………………8分所以直线M H 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩解得()22920121M k y k +=+．……………………………………………10分 由()229201121M k y k +==+，解得283k =．………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为23y x =±+．………………………………………………………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．（定义域和求导写一个就给这1分）……………………1分 ① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，…………………………………2分取10e ax -=，则211e 1e 0a a f --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（没取点，画图说明有交点都不扣分）…………3分（或：因为00x <<01ex <时，所以()200001ln ln ln 0e f x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，所以()()010f x f < ，此时函数()f x 有一个零点．………………………………4分②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则02af a ==即2e a =-．………………………5分综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．………………………………………6分（2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．……………7分因为0a b +=，则a b =-．所以()ln b f x b x x =-+，所以()()11b b b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分 因为1e eb f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭．（没有证明 只要说出()1,e e f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭两个谁大就可以） ……………………………………………………9分设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >， 则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………10分所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1b b b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．（代入对一个给1分）………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．（只要说出是圆就不扣分）……………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分 （2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==8分 当cos +=14απ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．……7分 ②当3a>时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞ ．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|-=-∈---f xx x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|A a a =---．……………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞ ．………10分。
2018年高三最新 广东省广州市越秀区2018届高三摸底调研测试数学(理科)试题卷 精品
广东省广州市越秀区2018 届高三摸底调研测试数学（理科）试题卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写在答题卡上，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 是球的半径第Ⅰ卷 (选择题 满分40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若集合A={x |x 2 – x ＜0}, B ={x | -1＜x ＜3},则A∩B 等于( * )A.{x |0＜x ＜1}B.{x | -1＜x ＜3}C.{x |1＜x ＜3}D.φ 2. 2(sin cos )1y x x =+-是 ( * )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数3. 若复数(a 2 - 4a +3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( * )A.1B.3C.1或3D.-14. 在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则（ * ） A ．32-B ．0C ．32D ．3 5. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ * ）（A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+6. 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,则点P 的横坐标的取值范围为 ( * ) A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7. 已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥,{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为 ( * ) A ．13 B ．23 C ．19 D ．298.函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ,点A 坐标 为(1,2),点B 坐标为(3,0).定义函数()()(1)g x f x x =⋅-. 则函数g (x )最大值为( * )A.0B.2C.1D.4y xoA321B12则非零实数a = * ． 12. 按如图所示的程序框图运算． (1) 若输入8x =，则输出k = * ；(2) 若输出2k =，则输入x 的取值范围是 * ． (二)选做题(1315题，考生只能从中选做两题)13.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 * ． 14.(不等式选讲选做题)函数11--+=x x y 的最大值是 * _. 15.(几何证明选讲选做题)如图,已知圆O 的半径为2，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC 圆心O 到AC 3AB =，则切线AD 的长为__*_.三、解答题(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知)cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(. (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)当[0,]2x π∈时,求函数)(x f 的最大值及最小值.17.(本小题满分12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 18.(本小题满分14分)如图（1），在直角梯形ABCP 中，AP BC //， BC AB ⊥，AP CD ⊥，2===PD DC AD ，G F E 、、分别是线段BC PD PC 、、的中点，现将PDC ∆折起，使平面⊥PDC 平面ABCD ， 如图（2）所示. 在图（2）中， （1）求证：//AP 平面EFG ； （2）求二面角D EF G --的大小.19.(本小题满分14分)已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；经过点M(2,1)且平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点.(1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围.20.(本小题满分14分) 已知函数bx axx f +=2)(在1=x 处取得极值2. （1）求函数)(x f 的表达式；PABCDPABC D•E F •EFG G• （1）（2）（2）当m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增？ （3）若),(00y x P 为b x ax x f +=2)(图象上任意一点，直线l 与bx axx f +=2)(的图象切于点P ，求直线l 的斜率k 的取值范围。
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2018-2018学年广东省广州市六校联考高三（上）12月调研数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2}D．{x|0≤x＜1或x≥2}2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．83．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x4．在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．15．若a=2x，b=，c=lo，则“a＞b＞c”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．177．双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，则下列结论正确的是（）A．tanB=2tanA B．tanA=2tanB C．tanBtanA=2 D．tanA+tanB=2 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．118 C．114 D．12011．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．B．C．12πD．15π12．已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=518（a+b），则a2+b2的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．12二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．15．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为．16．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5大题，每题12分）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos （A+C），求f（B）的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．19．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为p i（i=1，2，…，5），且p i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X 的分布列和数学期望．20．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA||MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2018-2018学年广东省广州市六校联考高三（上）12月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2}D．{x|0≤x＜1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A．2 B．2C．4 D．8【考点】复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．【解答】解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增【解答】解：A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误C：y=3x不是奇函数，故C错误D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=﹣的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．4．在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1【考点】等差数列的性质．【分析】根据数列{a n}为等差数列可知2a7=a3+a11，代入2a3﹣a72+2a11=0中可求得a7，再根据{b n}是等比数列可知b6b8=b72=a72代入log2（b6b8）即可得到答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a7=a3+a11，∵2a3﹣a72+2a11=0，∴4a7﹣a72=0∵a7≠0∴a7=4∵数列{b n}是等比数列，∴b6b8=b72=a72=16∴log2（b6b8）=log216=4故选：B【点评】本题主要考查了等比中项和等差中项的性质．属基础题．5．若a=2x，b=，c=lo，则“a＞b＞c”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的图象和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：如右图可知，“x＞1”⇒“a＞b＞c”，但“a＞b＞c”⇏“x＞1”，即“a＞b＞c”是“x＞1”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查指对幂三种基本初等函数的图象和充要条件的概念等基础知识，利用数形结合是解决本题的关键．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．7．双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线化成标准形式求出渐近线为y=x，从而y=x与直线x ﹣2y+1=0平行算出t=4．由此得到双曲线的方程，进而算出它的离心率．【解答】解：∵双曲线tx2﹣y2﹣1=0，即tx2﹣y2=1，∴双曲线的渐近线为y=x，∵一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，∴渐近线的斜率为，即=，得t=双曲线的方程为，得a=2，b=1，c==∴此双曲线的离心率为e=故选：B【点评】本题给出含有字母的双曲线，在其渐近线与已知直线平行的情况下求双曲线的离心率．着重考查了直线的位置关系、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．8．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，则下列结论正确的是（）A．tanB=2tanA B．tanA=2tanB C．tanBtanA=2 D．tanA+tanB=2【考点】正弦定理．【分析】由题意和正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC=sin（A+B），由三角函数的和差角公式及弦化切的思想可得．【解答】解：∵△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosA﹣3acosB=c，∴由正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC，∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sin（A+B），∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinBcosA+sinAcosB，即2sinBcosA=4sinAcosB，两边同除以cosAcosB可得2tanB=4tanA，即tanB=2tanA，故选：A．【点评】本题考查正弦定理，涉及三角函数公式和弦化切的思想，属基础题．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．118 C．114 D．120【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选C．【点评】本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．11．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．B．C．12πD．15π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=2，AC=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆直径2r===，∴r=，∵PA⊥面ABC，PA=2，由于三角形OPA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：A．【点评】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12．已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=518（a+b），则a2+b2的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【考点】对数的运算性质．【分析】利用f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，∴518（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=++…+==2018，∴a+b=4，∴a2+b2≥==8，当且仅当a=b=2时取等号．故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用．【分析】欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=∫18x2dx+∫26（6﹣x）dx==，又Rt△AOB的面积为：所以p==．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【考点】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，。
2018年12月广东省广州市高三年级调研考试理科数学试题及文科数学试题参考答案评分标准汇编
1
所以 a 4 ．
………………………………………………………………9 分
在 MAC 中， AC 4, CM 2, C 2 ， 3
所以 AM 2 AC2 CM 2 2 AC CM cosC 16 4 2 2 4 1 28 ． ………11 分 2
因为 CD 平面 CDEF ,
所以平面 CDEF 平面 ADE .
作 AO DE 于点 O ，则 AO 平面 CDEF .
………………6 分
由 AD 2, DE 3 , 得 DO 1， EO 2 ．
以 O 为原点，平行于 DC 的直线为 x 轴， DE 所在直线为 y 轴， OA 所在直线为 z 轴，
解得 AM 2 7 ．…………………………………………………………………………12 分
18．解：（1）根据图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下
质量指标值 [15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45)
频数
4
16
40
12
18
10
4 17.5 16 22.5 40 27.5 12 32.5 18 37.5 10 42.5
2 3
．
……………………………………………………6 分
(2) 因为 A ，所以 B ．
6
6
……………………………………………………7 分
所以 ABC 为等腰三角形，且顶角 C 2 ． 3
因为 SABC
1 2
ab sin C
3 a2 4 4
3，
………………………………………………8 分
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数学（理科）试题 A 第1页共10页
2018届广州市高三年级调研测试
理科数学
本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：1 •本试卷分第1卷（选择题）和第 2卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名 和考生
号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生
号。
2 •作答第1卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效
3 •第2卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效。
4 •考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
秘密★启用前
试卷类型：A
2017• 12
要求的.
2
1•设集合 A 1,0,1,2,3 , B xx 3x 0
A. 1
B.
1,0
2 •若复数z 满足
1
2i z 1 i ，则 z
(
)
2
3
A. 一
B.—
5
5
3.在等差数列 a n 中， 已知 a 2 2 , 刖 7项和 S 7
A. 2
B. 3
2x y 0
4.已知变量x 、y 满足 x 2y 3 0
则z 2x
y 0
A. 0
B. 4
，则 AI B (
)
C. 1,3
D. 1,0,3
10
c.・
D. . 10
5
56，则公差d （
）
C. 2
D. 3
y 的最大值为（
）
C. 5
D. 6
1
9
5. x 的展开式中x3的系数为（
2x
平面BMN交AA i于点Q，则AQ的长为（
学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（
A. 36
种
B. 24
种
C. 22
种
D. 20
种2
1
A.
2
9
B.
2
21
D.—
2 6•在如图所示的程序框图中, f i x是f i x的导函数，若f°x sinx，则输出的结果是（
A. sin x
B. cosx
C. sinx
D. cosx
开始
输入f o X
输出f i X
结束
7•正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点,占
八
N为线段DD i上靠近D i的三等分点,
2
A.-
3
1
B.-
2
C.1
6
1
D.-
3
8.已知直线y kx 2与曲线y xl nx相切，则实数k的值为（
A. ln 2
B. 1
C. 1ln2
D. 1 In2
9.某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大
是
数学（理科）试题A第2页共10页
10.将函数
y 2sin x - sin x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函
数，则的最小值为（
A.—
6
B.—
12
C. 一
4
D.—
3 11.在直角坐标系xOy中，设F为双曲线
2
x
C
: T
a
0,b 0的右焦点, P为双曲线C右支上一点，且OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为
12.对于定义域为R的函数f
X1 0 X2，且X1 X2 时,
1 x x3
3
x2；f2 x
2
C.1 .3
D.2 、、3
x ，若满足①f 0 x R，且x 0时,都有xf x 0 ；③当
都有f
则其中是“偏对称函数”的函数个数为（
A. 0
B.
1
二、填空题：本题共4小题，每小题
13.已知向量a x, x 2 ，b 3,4
14.在各项都为正数的等比数列
15.过抛物线C : y 2px p
X
1
f x2，则称f“偏对称函
数”
•现给出四个函
数:
In 1 ,x
2x,
C. 2
5分，共20分.
，若a//b，则向量a的模为
a n 中，若a2018 2，则
2
0的焦点F的直线交抛物线
0,
,x 0
D. 3
2
的最小值为
a
2017
a
2019
C于A、B两点，若AF6，BF
16.如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的
表面积为_________ .
3，则
数学（理科）试题A第3页共10页
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第生都必须做答．第22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60 分.
17 ．（本小题满分12 分）
ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足a 2,
（1）求角A的大小；
（2）求ABC周长的最大值.
17〜21题为必考题，每个试题考acosB 2c b cosA.
数学（理科）试题A 第4页共10 页
如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA 底面ABCD , ED//PA，且PA 2ED 2.（1）证明：平面PAC 平面PCE ；
（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P CE D的余弦值•
数学（理科）试题A第5页共10页
附：相关系数公式r
n _ _
x y i y
i 1
n
X i
i 1
，参考数据..0.3
-2 . n— 2
x Vi1 y
i
y
0.55 , 0.9 0.95.
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜•过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周•根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图•
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确
到0.01）•（若r 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
周光照量X （单位：小时）30 X 5050 X 70X 70
光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控
制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
数学（理科）试题A第6页共10页
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（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （ B 不在y 轴上），垂直于I 的直线与I 交于点M ,
uur uuuu
与x 轴交于点H ，若F 1B F 1H 0，且MO MA ，求直线I 的方程•
如图，在直角坐标系 2
xOy 中，椭圆
C : -y 2
a
x
b 2
1a b 0的上焦点为F 1
，椭圆
C
的离心率为
2，且
（1）求椭圆C 的方程;
已知函数f x aln x x b a 0 .
（1）当b 2时，若函数f x恰有一个零点，求实数a的取值范围；
1
（2）当a b 0，b 0时，对任意x-i、x2一，e，有f捲f x2 e 2成立，求实数b的取值
e
范围•
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数学（理科）试题 A 第 9页 共10 页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
后得到曲线C 2，在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos
sin 10 0.
（1） 说明曲线C 2是哪一种曲线，并将曲线 C 2的方程化为极坐标方程； （2） 已知点M 是曲线C 2上任意一点，求点 M 至煩线I 的距离的最大值和最小值
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为
x cos y 2sin
为参数），将曲线 C 1 经过伸缩变换
2x
y
23.(本小题满分10分)选修4 —5:不等式选讲
已知函数f x x a .
(1)当a 1时，求不等式f x 2x 1 1的解集；
(2)若函数g x f x x 3的值域为A，2,1 A，求a的取值范围
数学(理科)试题 A 第10页共10页。