常见的三角恒等式
三角关系恒等式
三角关系恒等式一、基本三角函数关系恒等式1. 同角三角函数的基本关系- 平方关系- 根据直角三角形中正弦和余弦的定义（设直角三角形一个锐角为α，对边为a，邻边为b，斜边为c），sinα=(a)/(c)，cosα=(b)/(c)。
- 由勾股定理a^2+b^2=c^2，可得sin^2α+cos^2α =((a)/(c))^2+((b)/(c))^2=frac{a^2+b^2}{c^2} = 1。
- 另外，1+tan^2α=sec^2α，因为tanα=(sinα)/(cosα)，secα=(1)/(cos α)，将tanα代入1 +tan^2α可得1+frac{sin^2α}{cos^2α}=frac{cos^2α+sin^2α}{cos^2α}，根据sin^2α+cos^2α = 1，所以1+tan^2α=sec^2α。
- 同理，1+cot^2α=csc^2α，其中cotα=(cosα)/(sinα)，cscα=(1)/(sin α)。
- 商数关系- tanα=(sinα)/(cosα)（cosα≠0），这是根据正切函数的定义得到的，在直角三角形中，正切是对边与邻边的比值，而正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，所以相除得到正切。
- cotα=(cosα)/(sinα)（sinα≠0）2. 诱导公式（角α与±α、π±α、2kπ±α，k∈ Z的关系）- sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα- 从单位圆的角度来看，角α与-α关于x轴对称。
设单位圆上一点P(x,y)对应的角为α，那么角-α对应的点P'(x, - y)。
根据正弦函数y = sinα，sin(-α)=-y =-sin α；余弦函数x=cosα=cos(-α)。
- sin(π-α)=sinα，cos(π - α)=-cosα- 在单位圆中，角α与π-α的终边关于y = x对称。
设角α终边上一点P(x,y)，则角π-α终边上一点P'(-x,y)。
三角函数所有恒等式公式
(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tanA= sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全1.正弦和余弦的平方和差关系：sin²x + cos²x = 1sin²x = 1 - cos²xcos²x = 1 - sin²x2.正弦和余弦的和差关系：sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin xsin(x - x) = sin x cos x - cos x sin xcos(x + x) = cos x cos x - sin x sin xcos(x - x) = cos x cos x + sin x sin x3.正切和余切的和差关系：tan(x + x) = (tan x + tan x) / (1 - tan x tan x)tan(x - x) = (tan x - tan x) / (1 + tan x tan x)cot(x + x) = (cot x cot x - 1) / (cot x + cot x)cot(x - x) = (cot x cot x + 1) / (cot x - cot x)4.正弦和余弦的二倍角关系：sin(2x) = 2sin x cos xcos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x 5.正切和余切的二倍角关系：tan(2x) = (2tan x) / (1 - tan²x)cot(2x) = (cot²x - 1) / (2cot x)6.正弦和余弦的三倍角关系：sin(3x) = 3sin x - 4sin³xcos(3x) = 4cos³x - 3cos x7.正切和余切的三倍角关系：tan(3x) = (3tan x - tan³x) / (1 - 3tan²x)cot(3x) = (cot³x - 3cot x) / (3cot²x - 1)8.正弦和余弦的半角关系：sin(x/2) = ± √(1 - cos x) / 2cos(x/2) = ± √(1 + cosx) / 29.正切和余切的半角关系：tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x) cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x) 10.和差的三角函数关系：sin x + sin x = 2 sin((x + x)/2) cos((x - x)/2) sin x - sin x = 2 cos((x + x)/2) sin((x - x)/2) cos x + cos x = 2 cos((x + x)/2) cos((x - x)/2) cos x - cos x = -2 sin((x + x)/2) sin((x - x)/2)这些是一些常见的三角恒等变换公式，应用在不同的数学问题和物理公式的推导中。
三角形中的恒等式和不等式
tan nA tan nB tan nC tan nA tan nB tan nC ； n 为正整数
AB
BC
CA
tan tan tan tan tan tan 1
22
22
22
；
nA nB
nB nC
nC nA
tan tan
tan tan
tan tan
1
2
2
2
2
2
2 ； n 为正整数
n
nA nB nC
sin nA sin nB sin nC 4 sin cos cos cos
n
nA nB nC
1 4 cos cos cos cos
2
2
2
2 ；（ n 为偶数）
cos2 A
cos2 B
cos2 C
ABC 2 1 sin sin sin
2
2
2
2 2 2；
sin 2 A
sin 2 B
sin 2 C
ABC 1 2sin sin sin
2
2
2
2 2 2；
sin A sin B sin C 4sin A sin B sin C 2 2 2；
sin Asin B cosC 1 cos AcosB cosC
sin 3x cos 3x
tan( x
3sin x 4sin 3 x 4 cos3 x 3cos x
tan x tan y y z)
1 tan x tan y
tan z tan x tan y tan z tan y tan z tan z tan x
rs
ABC (10) cos cos cos
sin A sin B sin C
常用三角恒等式
常用三角恒等式一、两角和与差的三角函数公式1. 两角和的正弦公式- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B- 例如：已知sin A=(1)/(2)，cos B=(√(3))/(2)，A = 30^∘，B = 30^∘，则sin(A + B)=sin(30^∘+ 30^∘)=sin30^∘cos30^∘+cos30^∘sin30^∘=(1)/(2)×(√(3))/(2)+(√(3))/(2)×(1)/(2)=(√(3))/(2)。
2. 两角差的正弦公式- sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B- 例如：若sin A=(√(3))/(2)，cos B=(1)/(2)，A = 60^∘，B = 60^∘，则sin(A - B)=sin(60^∘-60^∘)=sin60^∘cos60^∘-cos60^∘sin60^∘=(√(3))/(2)×(1)/(2)-(1)/(2)×(√(3))/(2)=0。
3. 两角和的余弦公式- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B- 例如：当cos A=(1)/(2)，cos B=(1)/(2)，A = 60^∘，B = 60^∘，cos(A +B)=cos(60^∘+60^∘)=cos60^∘cos60^∘-sin60^∘sin60^∘=(1)/(2)×(1)/(2)-(√(3))/(2)×(√(3))/(2)=-(1)/(2)。
4. 两角差的余弦公式- cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B- 例如：设cos A=(√(3))/(2)，sin B=(1)/(2)，A = 30^∘，B = 30^∘，则cos(A - B)=cos(30^∘-30^∘)=cos30^∘cos30^∘+sin30^∘sin30^∘=(√(3))/(2)×(√(3))/(2)+(1)/(2)×(1)/(2)=1。
三角恒等变换公式大全
三角函数之阳早格格创做cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2正在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2正在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2正在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2正在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2正在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2正在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅帮角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦战正切公式（落幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积战化好sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：注意最前里是背号）战好化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1说明要领最先，正在三角形ABC中，角A,B,C所对于边分别为a,b,c 若A,B均为钝角，则正在三角形ABC中，过C做AB边垂线接AB于D 由CD=asinB=bsinA（干另二边的垂线，共理）可说明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代进正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即正在A,B 均为钝角的情况下，可说明正弦战的公式.利用正弦战余弦的定义及周期性，可说明该公式对于任性角创造.于是有cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB由此易得以上局部公式。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角学和解析几何等多个领域。
在解决各种数学问题和实际应用时，经常需要使用到三角函数的恒等变换。
三角函数的恒等变换指的是将一个三角函数表示为另外一个或多个三角函数的等价形式，这种变换可以简化问题的求解过程，扩展问题的应用范围。
本文将对常用的三角函数的恒等变换进行总结，以便读者了解和掌握。
1.正弦函数的恒等变换：-正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1：sin²(x) + cos²(x) = 1-正弦函数的余角与余弦函数的关系：sin(π/2 - x) = cos(x)-正弦函数的反函数与余弦函数的关系：sin^(-1)(x) = arcsin(x) = π/2 - cos^(-1)(x)2.余弦函数的恒等变换：-余弦函数的平方和正弦函数的平方等于1：cos²(x) + sin²(x) = 1-余弦函数的补角与正弦函数的关系：cos(π/2 - x) = sin(x)-余弦函数的反函数与正弦函数的关系：cos^(-1)(x) = arccos(x) = π/2 - sin^(-1)(x)3.正切函数的恒等变换：-正切函数可以表示为正弦函数与余弦函数的比值：tan(x) = sin(x) / cos(x)-正切函数的平方与余切函数的平方等于1：tan²(x) + cot²(x) = 1-正切函数的倒数与余切函数的关系：tan^(-1)(x) = arctan(x) = π/4 - cot^(-1)(x) 4.余切函数的恒等变换：-余切函数可以表示为余弦函数与正弦函数的比值：cot(x) = cos(x) / sin(x)-余切函数的平方与正切函数的平方等于1：cot²(x) + tan²(x) = 1-余切函数的倒数与正切函数的关系：cot^(-1)(x) = arccot(x) = π/4 - tan^(-1)(x) 5.正割函数和余割函数的恒等变换：-正割函数可以表示为1与余弦函数的商：sec(x) = 1 / cos(x)-余割函数可以表示为1与正弦函数的商：csc(x) = 1 / sin(x)-正割函数和余割函数与正弦函数和余弦函数的关系：sec(x) = 1 / cos(x) = 1 / (1 / tan(x)) = cos^(-1)(x) /sin^(-1)(x)csc(x) = 1 / sin(x) = 1 / (1 / cot(x)) = sin^(-1)(x) /cos^(-1)(x)以上是常见的三角函数的恒等变换，可以应用于三角函数的化简、解方程、证明等各种数学问题的求解中。
三角恒等变换的证明与应用
三角恒等变换的证明与应用三角恒等变换是指在三角函数中，通过变换不同的角度或函数之间的等式关系，得到新的等式。
这些恒等变换在解决三角函数相关问题时起到重要的作用。
本文将对几种常见的三角恒等变换进行证明，并介绍它们在实际应用中的具体用途。
一、正弦函数的恒等变换1. $\sin(\alpha + \beta)$ 变换根据和角公式，有 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta$。
这个恒等式在计算角度和的正弦值时十分有用。
2. $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ 变换根据平方和等于一的恒等式，有 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。
这个恒等式在解三角方程、证明三角恒等式时常常被使用。
二、余弦函数的恒等变换1. $\cos(\alpha + \beta)$ 变换根据和角公式，有 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta$。
这个恒等式在计算角度和的余弦值时起到关键作用。
2. $\cos2\theta$ 变换根据二倍角公式，有 $\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$。
这个恒等式在角度的倍增、证明其他三角恒等式时具有重要意义。
三、正切函数的恒等变换1. $\tan(\alpha + \beta)$ 变换根据和角公式，有 $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha +\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$。
这个恒等式在计算角度和的正切值时非常实用。
2. $\tan2\theta$ 变换根据二倍角公式，有 $\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 -\tan^2\theta}$。
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常见的三角恒等式
常见的三角恒等式及其证明
设A，B，C是三角形的三个内角
(1)
tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
证明：
tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-ta nC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC
(2)
cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1
证明：
tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotX*tanX=1
tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC* cotAcotBcotC
cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1
(3)
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
证明：
(cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1
x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0
x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2
x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)]
x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2]
x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2]
x=-cosAcosB+-sinAsinB
x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B)
x=cosC或x=-cos(A-B)
所以
cosC是方程的一个根
所以
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
(4)
cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
证明：
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
cos(180-B-
C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] -cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[cos(B/2-C/2)-cos(B/2+C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)-
2[cos(B/2+C/2)]^2
cosB+cosC=2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)
2[cos(B/2+C/2)]^2-1=cos(B+C)
(5)
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
证明：
A/2+B/2+C/2=π/2
(π/2-A)+(π/2-B)+(π/2-C)=π
cot(π/2-A)cot(π/2-B)+cot(π/2-C)cot(π/2-B)+cot(π/2-
A)cot(π/2-C)=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
(6)
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
证明：
设三角形ABC的外心为O
S△ABO+S△ACO+S△CBO=S△ABC
(1/2)RRsin2C+(1/2)RRsin2B+(1/2)RRsin2A=(1/2)bcsinA=(1/ 2)2RsinB*2RsinC *sinA
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
(7)
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
证明：
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
=[2cos(C/2)]*[2cos(A/2)cos(B/2)]
=[2sin(A/2+B/2)]*[cos(A/2+B/2)+cos(A/2-B/2)]
=2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2) =sin(A+B)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)
=sinC+2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=sinC+sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=sinC+sinA+sinB。