三角形中正切恒等式证明
三角函数中的三角恒等式详解
三角函数中的三角恒等式详解三角恒等式是三角函数中的重要概念，在数学中具有广泛的应用和意义。
它们描述了各种三角函数之间的关系和等式。
通过研究和掌握三角恒等式，可以解决各种与三角函数相关的问题，同时也可以更深入地理解三角函数的性质和特点。
1. 正、余、正切三角恒等式正弦、余弦和正切是最基本的三角函数之一，它们之间有许多重要的恒等式。
其中最基本的是正弦和余弦的平方和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
这一恒等式被称为“三角恒等式之母”，它表明了正弦和余弦函数在单位圆上的关系。
同时，我们还可以通过这个恒等式推导出其他的三角恒等式。
2. 倍角和半角恒等式在三角函数的学习中，学习和掌握倍角和半角恒等式是非常重要的。
倍角恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系，它们形式上的表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ，tan2θ =2tanθ/ (1 - tan^2θ)。
这些恒等式在解决实际问题时起到了关键的作用，可以简化计算，并提供了更多的数学工具。
半角恒等式则是倍角恒等式的逆过程，它描述了一个角的正弦、余弦、正切与另一个角的关系。
其中最为常用的是正弦半角恒等式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]，其中的正负号根据θ所处的象限来确定。
3. 和差恒等式和差恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系。
三角函数的和差恒等式分为正弦和余弦的和差恒等式，以及正切的和差恒等式。
最常用的是正弦和余弦的和差恒等式：sin(θ ±φ) = sinθcosφ ±cosθsinφ，cos(θ ±φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ。
这些和差恒等式在解决三角函数的运算问题时，提供了简化计算的方法，并方便进一步化简表达式。
4. 导数和积分恒等式在微积分中，也存在一些与三角恒等式相关的导数和积分恒等式。
正切恒等式的应用
正切恒等式【证明】tan(A B +tan tan B ++】若A B +【证明】利用正切恒等式，令tan tan B A +】令0k =时，当【例1】tan()tan()tan()tan()_________θθθθ-++-+= )θ⎤⎥⎦.A .C-C【例4】________=.A B1.C-1.Dtan tanB A=，2tan B=，则______A=，由正切恒等式k，则实数t的取值范围是（)A+∞.(1,)B+∞.(1,C.(1,1)D-ABC∆是锐角三角形，，ABC ∆是锐角三角形，所对的边分别是tan A B =，则ABC ∆的面积的取值范围是（ ）)A +∞ B1.(C D【解析】tan tan A+1sin 2ab C =法一：正弦定理：sin sin sin a b A B ==sin sin sin sin(60A B A =3sin 24=，0A ︒<<302A ∴︒<4，33ab ≤，故选A .1C .3D 【解析】6018︒+︒+【例11】(1【解析】[](1tan12)(1tan147)(1tan12)1tan(147)(1tan12)(1tan33)2+︒-︒=+︒+-︒=+︒+︒=。
【例12】已知,αβ为锐角，且满足(tan 1)(tan 1)2αβ--=，则______αβ+=【解析】(tan 1)(tan α-【例13】在ABC ∆中，60C =︒，tan tan 122+=，则tan tan 22⋅= ．【解析】tan tan 2A +tan 2tan30B ++3tan =-⋅【例14】在ABC ∆中，已知三内角满足2B A C =+，则tan tan tan ______++=。
【解析】2B A =+，tan tan 2A +1tan 2tan302tan30C C -++⋅︒tan 22C C +=，tan 3tan 2C A ++-【例15】在ABC ∆中，tan tan 1+=，则tan 的取值范围为 ． tan tan 2A +31tan 4∴≤-法二：正切恒等式tan tan 2A +tan tan 2A ⋅【例16】在锐角【解析】sin ，tan C 依次成等差数列，则【解析】由题可知，2tan tan tan B A C =+，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，3tan tan tan tan B A B C ∴=，tan tan 3A C ∴⋅=。
三角恒等式的推导
三角恒等式的推导正文：三角恒等式是解决三角函数关系的基本工具之一，它们在数学、物理、工程等领域的应用非常广泛。
本文将从最基本的三角恒等式出发，逐步推导出一系列常用的三角恒等式，并给出相应的证明。
1. 基本三角恒等式：最基本的三角恒等式是正弦、余弦和正切的定义：在单位圆上，设角θ对应的弧长为s，那么正弦、余弦和正切分别定义为：sinθ = y，cosθ = x，tanθ = y/x其中x、y分别为弧上点的横纵坐标。
基于这些定义，我们可以推导出一些基本的三角恒等式：1.1 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这些公式在计算中经常使用，可以通过将θ替换为2θ来证明。
1.2 和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ这些公式可以通过利用三角函数在单位圆上的几何性质来证明。
2. 三角平方和与差公式：通过平方和与差的公式，我们可以推导出另外一组常用的三角恒等式：2.1 平方和公式：sin^2θ + cos^2θ = 11 + tan^2θ = sec^2θ1 + cot^2θ = csc^2θ这些公式是三角函数最基本的性质，可以通过直接计算sinθ、cosθ和tanθ的平方来证明。
2.2 平方差公式：sin^2θ - cos^2θ = -cos2θtan^2θ - 1 = -sec^2θcot^2θ - 1 = -csc^2θ这些公式可以通过将平方和公式中的某个恒等式进行重排和化简得到。
3. 和积公式：sinαsinβ = (1/2)(cos(α - β) - cos(α + β))cosαcosβ = (1/2)(cos(α - β) + cos(α + β))这两个公式可以通过和差公式和倍角公式的组合来推导。
正切恒等式探究
正切恒等式探究正切恒等式：()++=,n n Z αβγπ∈⇔tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ. 证明：由()++=,n n Z αβγπ∈得，+=n αβπγ-，两边取正切，得()tan +tan =tan =tan 1tan tan αβγγαβ---，所以tan +tan =tan tan tan tan αβγαβγ-+， 所以tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ.反过来，由tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ，也可以得到()++=,n n Z αβγπ∈. 由tan +tan +tan =tan tan tan αβγαβγ得到，()tan +tan =tan 1tan tan αβγαβ--， 所以tan +tan =tan 1tan tan αβγαβ--，所以()()tan +=tan αβγ-， 所以+=n αβπγ-，所以，()++=,n n Z αβγπ∈.故()++=,n n Z αβγπ∈⇔tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=.注释：在恒等式中要保证tan ,tan ,tan αβγ都有意义.正切恒等式是一个优美，奇妙的等式，在三角恒等变换中正切是一个比较活跃又比较陌生的元素，切化弦是常规思路，但很多时候， 直接用恒等式处理会有意想不到的惊喜.例1.求0000tan 20tan 4020tan 40+的值.分析：在恒等式中令1n =，即++=αβγπ，则tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=，再令0120γ=，则0+=60αβ，则tan tan tan αβαβ+-=，tan tan tan αβαβ+00=20=40αβ当， 时，0000tan 20tan 4020tan 40+由此可得很多等式0000tan 24tan 3624tan 36++0000tan12tan 48tan 48++等等.注释：当++=αβγπ时，可看作三角形的特例，在斜三角形ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.例2.求()()()()00001+tan11+tan 21+tan 441+tan 45L L 的值.分析：在恒等式中令1n =，++=αβγπ即，则tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++= 再令0135γ= ，+=45αβ则，则tan tan 1tan tan αβαβ+-=- 则()()1+tan 1+tan =2αβ ()()001+tan11+tan 44=2则 ，()()001+tan 21+tan 43=2 ，()()001+tan31+tan 42=2 ()()()()()()()()()000000000231+tan11+tan 21+tan 441+tan 45=1+tan11+tan 441+tan 21+tan 431+tan 45=2L L L L例3.求ABC ∆中，已知角,,A B C成等差数列，则()tan tan tan 2222A C A C +=.A.BCD分析：在ABC ∆中，因为角,,A B C 成等差数列，所以=3B π，+=223A C π，+=022A CB -，所以tan tan tan 2222A C A C +=,所以tan tan tan 2222A C A C += 所以答案选C.例4.已知βα，为锐角，且()()1+tan 1+tan 2αβ=，则+αβ= 解析.因为()()1+tan 1+tan 2αβ=，所以tan +tan +tan tan 12αβαβ+=， 所以tan +tan +tan tan tan tan 44ππαβαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以+4n παβπ-=， 因为βα，为锐角，所以+=4παβ. 例5.已知βα，为锐角，且()()tan 1tan 12αβ--=，则+αβ= 解析.因为()()tan 1tan 12αβ--=，所以tan tan tan tan 12αβαβ--+=， 所以tan +tan +tan tan tan tan 44ππαβαβ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以++4n παβπ=， 因为βα，为锐角，所以3+=4παβ.例6.求ABC ∆中，已知角,,A B C tan tan tan A B A B -=,求角C.tan tan tan A B A B -=tan =tan +tan A B A B 所以tan tan tan =tan +tan +tan 33A B A B ππ，所以3A B n ππ++=，因为,,A B C 是三角形的内角，所以2=3A B π+，所以3C π=.。
正切恒等式的证明
正切恒等式的证明正切恒等式的证明？别急，听我慢慢给你讲解，保证你听了以后恍若大梦初醒，瞬间明白了。
我们要证明的其实就是一条看似简单却又不容易捉摸的数学定理——正切函数的恒等式。
要知道，正切是三角学里的一员猛将，它既能计算角度，又能出现在各种复杂的公式里。
不过，要揭开这层神秘的面纱，还是得从基础入手，轻松一步步走过。
别着急，咱们从最简单的开始，理清楚了思路，一切都变得不那么复杂了。
你知道正切是干啥的吗？其实很简单，正切函数就是一个角的正弦和余弦之比。
想象一下，一块大饼，你从饼的中心画一条线到饼的边缘，再画一条垂直线跟着它走，这不就成了直角三角形吗？正弦就是这个三角形对着角的那一边（也就是垂直边），而余弦呢，就是邻着角的那一边（也就是底边）。
所以，正切就等于对边（正弦）除以底边（余弦）。
说得再通俗点，正切就是你爬得有多高（对边），走得有多远（底边），这俩比起来，就是正切。
好了，咱们现在聊聊最常见的正切恒等式。
你听过“正切的平方加一等于sec²θ 吗？”别急，跟我一起算。
这个式子看着简单，实际上要理解清楚也不容易。
我们要用到的其实就是三角函数的一个经典关系式。
我们知道一个三角恒等式——sin²θ + cos²θ = 1。
对吧？这是大家高中数学里都学过的，那不就成了我们搞正切的工具了吗？接下来咱们就大胆地把正切、正弦、余弦都串起来。
假设我们有一个角θ，它的正切是tan(θ)，那么正切就是sin(θ) 除以cos(θ)。
想象一下，当你把正切的平方代进去，咱们要做的就是把tan²(θ) 这个式子代进公式。
也就是说，tan²(θ) + 1 这个式子到底等于啥呢？我们来分析一下，ta n²(θ) 不就是sin²(θ) 除以cos²(θ) 吗？嗯，这么看，似乎要变成一个复杂的式子。
别急，咱们再想想，它是不是可以跟sin²(θ) + cos²(θ) = 1 这条公式产生某种联系呢？对！咱们这么一想就豁然开朗了。
三角函数恒等式
三角函数恒等式三角函数是数学中重要的概念之一，常用于解决与角度和三角形相关的问题。
而三角函数恒等式则是三角函数中的一类特殊等式，它们在数学推导和证明中起到重要的作用。
本文将详细介绍三角函数恒等式的概念和一些常见的恒等式，并给出一些有关恒等式的证明和应用的例子。
首先，让我们来了解一下三角函数恒等式的定义。
在三角函数中，我们通常会遇到诸如sin、cos、tan等函数，它们都与角度有关。
那么，三角函数恒等式就是对于任意给定的角度，恒成立的等式。
也就是说，对于所有的角度x，等式左侧和等式右侧的值始终相等。
接下来，我们将介绍一些常见的三角函数恒等式。
首先是最基础的三角函数恒等式之一，即平方恒等式。
对于任意角度x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个等式表明，一个角的正弦函数的平方加上它的余弦函数的平方始终等于1。
这个恒等式在解决三角形相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算三角形的边长和角度等信息。
接下来是正切函数的倒数恒等式。
对于任意角度x，有tan(x) =1/cot(x)。
这个恒等式表明，一个角的正切函数等于它的余切函数的倒数。
这个恒等式在计算有关角度的问题时经常被使用。
此外，还有一些三角函数恒等式涉及到多个三角函数之间的关系。
例如，对于任意角度x，有cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)。
这个恒等式将角的余弦函数与角的正弦函数进行了关联，通过它我们可以将一个角的余弦函数表达为两个角的正弦函数的差。
值得一提的是，三角函数恒等式的证明通常需要使用代数运算和三角函数的基本定义，以及一些角度的和差公式和倍角公式等等。
在证明某个三角函数恒等式时，我们需要利用已知的恒等式或者定义，将等式的一边转化为与之等价的形式，最终证明等式的两边相等。
三角函数恒等式在解决数学问题、物理问题和工程问题中起到重要的作用。
在求解三角函数的值和计算三角函数相关量时，我们可以通过利用已知的恒等式将问题转化为更简单的形式。
正切恒等式的应用
正切恒等式的应用陈万龙(湖南省华容县第二中学，湖南岳阳414215)我们知道，在斜A/IBC中有恒等式t an4 + tan6 + tanC = tan/4tan Stan C. ........ (^)方亚斌在文[1 ]中对（※）式进行了非常详 细的剖析以及介绍了它在高考试题中的应用. 灵活应用丨※）式还能便捷处理一大批不等式 问题.例1在锐角AAfiC中，求证：cos(B -C)cos(C -y4)cos(/4- B) ^ 8cos/4cosficosB.证明：cos(B - C)cosAxx —x2 In n;, - \nx2X\X2由对数均值不等式得1ln(x}x2)X2X2郁繁密的树叶，看似难以捉摸，实则息息相关，故而在研究问题时应拨开层层枝叶，寻其根源，以本见全.“题根”的这种由基础到综合、由简单到复杂的教学方式既夯实了基础，符合“回归题根”的学习理念，也满足了不同学生的认知需求，为学生的个性化发展提供了滋养的土壤.*[1]2参考文献Xy+X2 X X X2… 2(%j x2)艮P 2 < -----------< -¥2-•函数-■^在(0，+ 〇〇 )单调递Y^1^2v^4 9[^)1^, /i(2e2) =ln2e2- ~= = 2 + l n2 - ^ <v2e2e2 < ^(工内），所以，工而> 2e2.评注:本题解答关键是利用对数均值不等 式、不等式的性质和均值不等式，并利用“减 元”策略将“和元”U +巧）化为“积元”¥2,即化为单变量的函数，便可巧妙构造单调函数 轻松获证.总之，数学教学研究，离不开解题研究，常 常需要站在系统的高度教、学知识，注重对数 学中哲理的发现、汲取，注重一题多解、多解归 一、多题归一.本文研究“题根”，从“对数均值 不等式”这一解题利器走向多题归一，一线串 通，归一用一，研究“题根”对教学、命题和解题 都有深远的意义，变幻多端的数学题目犹如葱[1]张国治，程似锦，于雯青，李浩玉.探 源溯流一-走进数学“寻根”之旅[J].数学教学，2017(2):13- 17.[2]中国数学会普及工作委员会及数学 奥林匹克委员会.2018高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦）[M].上海：华东师范大学出版社，2018.[3]中国数学会普及工作委员会及数学 奥林匹克委员会.2017高中数学联赛备考手册 (预赛试题集锦）[M].上海:华东师范大学出版社,2017.[4]中国数学会普及工作委员会及数学 奥林匹克委员会.2019高中数学联赛备考手册 (预赛试题集锦）[M].上海：华东师范大学出版社,2019.[5]新青年数学教师工作室.当代中国数 学教育名言解读[M].上海：上海教育出版社，2015.[6]张国治，耿梁燕•寻觅“题根”溯源一类 导数压轴题[J].数学通讯，2020(丨）:56 - 60.cos (B - C ) sinSsinC + cosBcosC -cos ( J 5 + C ) sinflsinC - cosBcosC _ tanBtanC + 1 _ tanAtanBtanC + tanA tanBtanC - 1 tan/ltanBtanC - tan^l(tanA + tanB ) (tan C + tarii 4)tan 6 + tan C同理可得cos ( C — A ) cos 6(x + y + x )2 ^ 3(%j +yz + zx ),可得y [ (x - y )2 +(y - z )2 +(z - x )2] 3： 0,故原不等式成立.注:本例首先想到的便是将左边的正弦转 化为正切，而万能公式恰好能实现这一目标. 通过换元后，便可将原不等式转化为常见的代 数不等式了.=32tan B + tan C ) (tan B + tan ^l )tanC + tanA例3在锐角AABC 中，求证:cos Acos (6 - C )+cos (A - B ) cosC2y(tanC + tan 4) (tanC + tanB )tanA + tanfi cosB cos C3cos ( C - A ) cos (A - B ) 2证明：由例1的证明过程可知原不等式可化为以上三式相乘，即有cos (B - C ) cos (C - A ) cos (A - B )---------------------^ 〇 ?cosAcosBcos C因此原不等式成立.注:本例的证明是将余弦化为正切，然后 将(:※）式右边的积式化为左边的和式,这便为 利用基本不等式创造了条件，即2tan 4 + tanB + tanCtanB + tanC tanC + tanA-------------------+--------------------h2tan4 + tan 6 + tanC 2ta n 6 + tanC + tanAtan 4 + tanB3----------------------------------------------------------------------------^—•2tanC + tanA + tanB2^ x = tan B + tan C , y = tan C + tanA , z -tan^l + tanB (%、y 、z > 0)，则不等式等价于i i i 这是一个熟知的结y + z z + x x + y2=(tan /1 + tanB ) + (tanA + tanC )^ 2y(tanA + tanB ) (tan/l + tanC )，依次类推，最后得出结论.例2 在锐角A 4S C 中，求证：+sinzA112 2 2~~^ H ----sin 2B sin 2C tanA tan 6 tanC 证明：令 * = tanA , y = tanjB，z = tanC ，则有:»: > 0, y > 0, z > 0,且+y +z 那么由万能公式可得原不等式等价于1 +x 2 1 + y 2 1 +z 2 2 2 2--------+-------— +-------- —+ ——+ —,2x 2y 2z x y z即论，在文[2]中可找到.例4在锐角三角形A 4S C 的外侧，以三 角形的三边为直径各作一个半圆.A /IS C 的三 条高线W )、C F 的延长线分别交半圆周于G 、//、/三点（图1) •求证：元.而.万> T T .3(11i \x + y + z + —+ —rz 1x + y + z3('xy + yz + zx\\[xyz /所以证明：在 与 RtAACF，RtAfiFC与R tA B m ，RtACft 4 与RtAC£B 中，即有BE CFtanA =M =^… CF ianB =—=BF A D^ ~B D'tanC =ADT cBE~~CE'所以tan2A*tan*fi *tan'CAD1■BE2•CF2~ AE ■AF - BF •BD •CD ■CE__________AD2■BE2• CF2________ ~ (BD ■CD)(AE•C E)(A F•BF) AD2• BE2•CF2~ DG2•EH2•FI2'因此，tanA •tanB •tanC =AD BE CF m'l H'T i-由（※彡式则有AD BE CFT G m'T i=tan4 +tanB + tanC注:本题通过直角三角形找到了边与角之 间的正切关系，将含正切的六个等式相乘得一 个等式，但分母却含有六个因式，不像分子，含 有平方关系.那么能否将分母化为分子那样的 平方关系之积呢？这由C D是RtA GBC斜边 fiC上的高，根据射影定理，即知CD2=BD •其余类似，这样就能得到新式，而tan x在 (〇,tt)时有tam > 1经过这样一系列的推理 过程，问题才完美解决.例5若AZ)£F是锐角ZU BC的垂足三角2) ,_g.fiC=a,C A=b,AB= C,AAEF^ ABDF、ACZ)£的内切圆半径分别为r,、r2、•、_ ^. C L b C r—厂3•求证：—+ — + — ^ 12v3.ri r2r3证明：因为f i E丄C F丄从，所以^BEC = /LCFB = 90°.又点五、尸在S C同侧，则S、C、£、F四点 共圆，所以乙从F = Z B,乙从£ = Z C.从而 AAEF ~ AABC.f f Af r,于是了（其中r为的内切圆半径).义五1厂在 Rt中，cos>!= ^，故一 =cos>4，艮Pr丨=rcosA.同理厂2 :厂⑶8^，r3 =rc〇sC.^ ^ 2/^从而一=-----=—tan4 彡4tan/l(其中 /?厂丨rcos/4r为的外接圆半径）•同理1 ^4tanB, — ^ 4tanC.r2r3由于tan A+ tan B+ tan C^3ytan/ltanfitan C = 3 y/ianA + tanB + tanC，因此得 tan/l + tanB + tanC > 3>/?.故有一+ — + — > 4( tan4 + tan B +r\r2r3tanC) ^ 12^/3.注:本题由题意即可得到三组相似三角形，由此恰好就可以得出边长《、6、c与内切圆 半径r,、r2、之间的比例关系，从而得到关系式i=^tanj等，于是可由欧拉不等式得出ri r4tan4,这恰恰是解决本题的关键点，最后ri由（※丨式不难得到本题的证明.例6设锐角A/IBC中，乙4、乙B、Z C的对边长分别为a、6、c.延长/1B到点(?，使= a，延长似到点P，使fM= 6,延长flC到点//,使 C//= 6,延长C B到点C，使S C= c，延长C/1到点财，使M/l= C,延长4C到点yv，使cyv= a.直 线 C<?、///V、A/P围成 A/T fiT'(图 3)•记A4BC与A f B'C'的面积分别为A与A:求证彡25.A解：如图3,显然△ABC g A///VC^ AGBQ^A A MP,且 A A fGH、A B’MN、ACT^为底边长为a +6 + c,底角分别为乙B、乙C的等腰三角形•易得S aa 'g h - ~(a +b + c )2tan /l ,S aba //v =-~(a + b + c )hanB ,1 2S AC,P (? = ~^~(a + 6 + c ) tanC .从而有又tan A + tanB + tanC = tan/ltanfitan C ,则^ ^ tanfi tan CtanBtanC = 1 +---- +----tanA tanA于是^^A 'B 'C ' = ^AA'GH + ^AB'M N + ^AC'PQ ~ ^A A B C=—（a + t + c ) 2( tan/i + tanB +4tanC ) — 2SA /4B C1 9=—(a + b + c ) tanAtanBtanC - 4^^ A BC-A ’ > —(a + 6 + c )2tan/ltanBtanC - 2A .4由上式及熟知的不等式（a +6+ c )2 > 12#A ,三角不等式tan /UanBtanC 彡3V ?，即得A ( ^• 12v^"A • 373 - 2A = 25A ,4故有^多25.A工 tanBtan C = 3 + ^tanB tan C ----+-----tan C tan J 5^ 9.进而有又 tan2A ^ ^ tan Stan C > 9.又tan /lv^l +tan 2y 4=ytan2A +tanM=---\J (tan2A +tan 4A ) (3 + 9)/12^ ---(^3tanA + 3tan 2.4)y n = T tanM +y tanA ,注:处理本题最为关键应是找到四个全等 三角形，进而得出底边长均为a + 6 + c ,且底角 分别为乙冬乙B 、乙C 的三个等腰三角形，这 样A '与A 也就不难表示了.例7已知锐角A 4S C 中，外接圆半径/?= 1,乙/I 、乙S 、Z C 的对边依次为a 、6、c .求证：5= 18 + 1273.1 一 sin 41 - sinB 1 - sinC证明：由正弦定理易知原不等式等价于sin/l多9 + 6在sin ( 1 + sinA )1 - sinA 1 - sin2Asin 2y 4 sirii 4+sin 4sin /11cosMcosyl cos^l则有It sinA-sinAtan 2y 4 + tan A \/l + tan2A ,又 tan 2 A + I tan A y /1 + tan 2 A .而X tan/l > 3A ，从而得▽sinA^ l - sin /1& X t a 〇2/4 + X (鲁一 + —tan /l |=—^ [ (2 + ) V a n A + tanA ]為去[9(2 + #) + 3万]=9 + 6在注:本题与上面6例均有所不同，不等式中 既含有边又含有角，从而要把边与角统一成角 的形式，然后将角的正弦形式化为正切形式， 这样便为后面使用不等式带来了便利.参考文献[1] 方亚斌.一题一课，高考数学命题探 秘[M ].杭州：浙江大学出版社,2017.[2]周沛耕，王博程•数学奥林匹克竞赛标准教材[M ].北京:北京教育出版社，文津出 版社，2004.。
正切恒等式的证明
正切恒等式的证明嘿，我最近在数学课上被一个叫“正切恒等式”的家伙给难住了。
你知道，就是那个tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 tanA*tanB)的公式。
这玩意儿听起来就像是一堆乱码，但老师非说这是数学界的一个神级公式，说它能解决很多问题。
好吧，我虽然不太懂，但好奇心驱使我决定来一探究竟。
那天下午，我坐在图书馆里，面前摊开了几本数学书，旁边是一杯热腾腾的咖啡。
我翻开了一本看起来最厚的那本，里面密密麻麻的都是公式和符号。
我瞪大了眼睛，试图从这些符号中找出点门道来。
突然，我看到了一个熟悉的身影，是我的室友小李。
他手里也拿着一本书，看起来和我一样困惑。
我赶紧招手让他过来：“小李，你也来研究这个啊？”小李点点头，苦笑着说：“是啊，我也被这个公式搞得头都大了。
你说，这公式到底是怎么来的？”我挠了挠头，说：“我也不知道，但我觉得它肯定有它的道理。
你看，tan(A + B)这部分，就像是两个人站在一起，我们要找出他们夹角正切的关系。
”小李听了我的解释，眼睛一亮：“对啊，就像两个人站在一个直角坐标系里，我们要找出他们之间的夹角。
那这个公式，是不是就是告诉我们，怎么从两个角的正切值，来计算他们夹角的正切值呢？”我点头赞同：“没错，这就是这个公式的精髓。
不过，要证明它，可不容易啊。
”小李瞪大了眼睛：“那我们试试看？”于是，我们俩开始埋头研究起来。
我们先是画出了A和B两个角的图形，然后又画出了它们的正切线。
接着，我们开始尝试用三角函数的性质来推导这个公式。
“你看，这个1 tanA*tanB，是不是可以理解为两个正切线的垂直距离？”我指着图说。
小李点头：“没错，这个距离，其实就是A和B两个角的夹角的正切值。
”我们俩一边讨论，一边在纸上画图，写着公式。
时间不知不觉地过去了，我们竟然真的推导出了tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 tanA*tanB)。
“哇，我们竟然做出来了！”小李兴奋地跳了起来。
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三角形中正切恒等式证明
引言
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
正切函数是三角函数中的一个重要分支，它可以帮助我们计算角度的斜率。
在本文中，我们将讨论三角形中正切恒等式的证明。
正切恒等式是一个基本的三角恒等式，可以帮助我们推导并解决各种三角函数方程。
正切函数的定义
在讨论正切恒等式之前，我们首先回顾一下正切函数的定义。
在一个直角三角形中，正切函数可以表示为对边与邻边之间的比值。
设角A为这个三角形的锐角，则正切函数的定义如下：
tan(A)=对边邻边
正切恒等式的表达形式
正切恒等式有很多不同的表达形式，其中最常见的两个为：
tan(A)=sin(A) cos(A)
或
sin(A) cos(A)=
1 cot(A)
这两个表达式是等价的，它们在不同的问题中可以互相转化使用。
正切恒等式的证明
第一种证明方法：使用三角函数定义
根据正切函数的定义，我们可以得到：
tan(A)=sin(A) cos(A)
接下来，我们将使用正弦函数和余弦函数的定义来证明这个恒等式。
根据正弦函数的定义，我们有：
sin(A)=对边斜边
根据余弦函数的定义，我们有：
cos(A)=邻边斜边
将这两个定义代入到正切函数的定义中，我们得到：
tan(A)=对边斜边邻边斜边
化简上述等式，我们得到：
tan(A)=对边邻边
根据正切函数的定义，这个等式成立。
所以我们证明了正切恒等式。
第二种证明方法：使用三角函数的性质
另一种证明正切恒等式的方法是利用三角函数的性质。
三角函数具有很多重要的性质，我们将使用其中两个性质来证明正切恒等式。
性质1：
sin2(A)+cos2(A)=1
性质2：
cot(A)=cos(A) sin(A)
接下来，我们将使用这两个性质来证明正切恒等式。
首先，我们从性质1出发。
将性质1改写为：
cos2(A)=1−sin2(A)然后，将上式代入到正切函数的定义中，我们得到：
sin(A) cos(A)=
sin(A)
√1−sin2(A)
接着，我们利用性质2将分母中的根号去除。
将性质2改写为：
cos(A)
sin(A)
=cot(A)
将上述等式代入到前一个等式中，我们得到：
sin(A)
√1−sin2(A)
=cot(A)
继续化简上述等式，我们得到：
sin(A)=cot(A)⋅√1−sin2(A)再次将性质2代入到等式中，我们得到：
sin(A)=cos(A)
sin(A)
⋅√1−sin2(A)
继续化简上述等式，我们得到：
sin(A)⋅sin(A)=cos(A)⋅√1−sin2(A)
继续化简上述等式，我们得到：
sin2(A)=cos2(A)⋅(1−sin2(A))
上述等式可以进一步化简为：
sin2(A)=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
最后，我们将上述等式展开，得到：
sin2(A)=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
sin2(A)+sin2(A)⋅cos2(A)=cos2(A)
sin2(A)⋅(1+cos2(A))=cos2(A)
sin2(A)=cos2(A)⋅(1−sin2(A))
根据性质1，我们可以得到上述等式左边的部分等于1。
所以我们最终得到：
1=cos2(A)⋅(1−sin2(A))
继续化简上述等式，我们得到：
1=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
最后一步，我们将上式用正切函数的定义表示：
1=cos2(A)−sin2(A)⋅cos2(A)
1=cos2(A)−sin2(A)⋅(1−sin2(A))
再次化简上述等式，我们得到：
1=cos2(A)−sin2(A)+sin4(A)
继续化简上述等式，我们得到：
1=cos2(A)+sin2(A)⋅(1−sin2(A))
最后一步，我们将上式用正切函数的定义表示：
1=cos2(A)+sin2(A)⋅(1−sin2(A))
1=cos2(A)+sin2(A)⋅cos2(A)
根据性质1，上述等式左边的部分等于1。
所以我们最终得到：
1=cos2(A)+sin2(A)⋅cos2(A)
综上所述，我们使用三角函数的性质证明了正切恒等式。
结论
通过两种不同的证明方法，我们证明了三角形中的正切恒等式。
正切恒等式为我们在解决各种三角函数方程时提供了重要的工具。
我们可以将正切恒等式与其他三角恒等式和三角函数性质相结合，进一步推导和解决各种三角函数方程。
正切恒等式在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。