三角恒等式证明9种基本技巧
三角关系恒等式
三角关系恒等式一、基本三角函数关系恒等式1. 同角三角函数的基本关系- 平方关系- 根据直角三角形中正弦和余弦的定义（设直角三角形一个锐角为α，对边为a，邻边为b，斜边为c），sinα=(a)/(c)，cosα=(b)/(c)。
- 由勾股定理a^2+b^2=c^2，可得sin^2α+cos^2α =((a)/(c))^2+((b)/(c))^2=frac{a^2+b^2}{c^2} = 1。
- 另外，1+tan^2α=sec^2α，因为tanα=(sinα)/(cosα)，secα=(1)/(cos α)，将tanα代入1 +tan^2α可得1+frac{sin^2α}{cos^2α}=frac{cos^2α+sin^2α}{cos^2α}，根据sin^2α+cos^2α = 1，所以1+tan^2α=sec^2α。
- 同理，1+cot^2α=csc^2α，其中cotα=(cosα)/(sinα)，cscα=(1)/(sin α)。
- 商数关系- tanα=(sinα)/(cosα)（cosα≠0），这是根据正切函数的定义得到的，在直角三角形中，正切是对边与邻边的比值，而正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，所以相除得到正切。
- cotα=(cosα)/(sinα)（sinα≠0）2. 诱导公式（角α与±α、π±α、2kπ±α，k∈ Z的关系）- sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα- 从单位圆的角度来看，角α与-α关于x轴对称。
设单位圆上一点P(x,y)对应的角为α，那么角-α对应的点P'(x, - y)。
根据正弦函数y = sinα，sin(-α)=-y =-sin α；余弦函数x=cosα=cos(-α)。
- sin(π-α)=sinα，cos(π - α)=-cosα- 在单位圆中，角α与π-α的终边关于y = x对称。
设角α终边上一点P(x,y)，则角π-α终边上一点P'(-x,y)。
三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数恒等式证明的基本方法三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。
这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。
那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2）22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0，=±2tan 2α。
【解析】【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。
【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】（1）左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1=右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）左边= cos 2α-2 cos α+1+sin 2α=2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3） sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，⇒2α是第一象限或第三象限的角，①当2α是第一象限的角时，左边|1sin|2|cos |2αα+-|1sin|2|cos |2αα-=1sin1sin22cos2ααα+-+=2tan 2α；②当2α是第一象限的角时，左边|1sin|2|cos |2αα+-|1sin|2|cos |2αα-=1sin1sin22cos2ααα--+-=-2tan 2α；⇒左边=±2tan 2α=右边，∴若若sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0±2tan 2α。
三角恒等式理解三角恒等式的证明与应用
三角恒等式理解三角恒等式的证明与应用三角恒等式是指在三角函数中，存在一些特定的等式关系。
这些等式在解决三角函数相关问题时经常被使用，因此理解三角恒等式的证明与应用对于学习和应用三角函数非常重要。
本文将对三角恒等式的证明与应用进行详细的探讨。
一、三角恒等式的定义和基本形式三角恒等式是指在三角函数中满足特定关系的等式。
常见的三角恒等式有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数之间的等式关系。
1. 正弦函数与余弦函数的恒等式正弦函数与余弦函数最常见的恒等式是正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
2. 正切函数与余切函数的恒等式正切函数与余切函数最常见的恒等式是正切函数与余切函数的倒数的平方等于1，即tan^2θ + 1 = sec^2θ。
3. 正弦函数与余切函数的恒等式正弦函数与余切函数的恒等式是正弦函数与余切函数的倒数之积等于1，即sinθ * cscθ = 1。
二、三角恒等式的证明方法三角恒等式的证明可以通过几何证明、代数证明和三角恒等式的性质来完成。
下面以sin^2θ + cos^2θ = 1为例进行证明。
1. 几何证明对于sin^2θ + cos^2θ = 1，可以通过单位圆的概念来进行几何证明。
假设在单位圆上取点P(x, y)，则此时P点到圆心的距离为1，可以得到x^2 + y^2 = 1。
而根据三角函数的定义，sinθ = y，cosθ = x，代入原等式即可得证。
2. 代数证明代数证明通常采用数学运算的方法来推导等式的成立。
对于sin^2θ + cos^2θ = 1，可以通过将右边的1展开成sin^2θ + cos^2θ的形式来证明。
具体步骤如下：s in^2θ + cos^2θ = (sin^2θ + cos^2θ)(1)= sin^2θ + sin^2θcos^2θ + cos^2θsin^2θ + cos^2θ= sin^2θ(1 + cos^2θ) + cos^2θ(1 + sin^2θ)= sin^2θ + cos^2θ= 1因此，通过代数运算可以证明sin^2θ + cos^2θ = 1。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。
下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。
1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。
2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。
它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。
它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
三角恒等式的推导与证明
三角恒等式的推导与证明一、引言三角恒等式是数学中的重要概念，它们是三角函数之间的等式关系。
在数学和物理学等领域，三角恒等式经常被用于简化和推导复杂的数学表达式。
本文将从基本的三角恒等式开始推导，并逐步展示它们的证明过程。
二、基本的三角恒等式1. 正弦恒等式：sin²θ + cos²θ = 1推导过程：由勾股定理可知：sin²θ + cos²θ = 12. 余弦恒等式：1 + tan²θ = sec²θ推导过程：根据定义：tanθ = sinθ/cosθsecθ = 1/cosθ由此推导可得：1 + tan²θ = 1 + (sin²θ/cos²θ) = (cos²θ + sin²θ)/cos²θ = 1/cos²θ = sec²θ3. 正切恒等式：1 + cot²θ = csc²θ推导过程：根据定义：cotθ = cosθ/sinθcscθ = 1/sinθ由此推导可得：1 + cot²θ = 1 + (cos²θ/sin²θ) = (sin²θ + cos²θ)/sin²θ = 1/sin²θ = csc²θ三、倍角三角恒等式1. 正弦恒等式：sin2θ = 2sinθcosθ推导过程：由和差化积公式可得：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ (公式1)2. 余弦恒等式：cos2θ = cos²θ - sin²θ推导过程：由和差化积公式可得：cos(θ + θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos²θ - sin²θ (公式2)3. 正切恒等式：tan2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)推导过程：由正切的定义可得：tan2θ = tan(θ + θ)= (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ) = (2tanθ)/(1-tan²θ) (公式3)四、和差三角恒等式1. 正弦和差恒等式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ推导过程：由和差化积公式可得：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ (公式4)2. 余弦和差恒等式：cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ推导过程：由和差化积公式可得：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ (公式5)3. 正切和差恒等式：tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)推导过程：由正切的定义可得：tan(α ± β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ) (公式6)五、证明示例我们以正弦和差恒等式为例进行证明。
三角恒等变换的技巧
三角恒等变换的技巧三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考．技巧一：式的变换-→两式相加减，平方相加减例1已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=-，即59sin()72αβ-= 【方法评析】式的变换包括：（1）tan(α±β)公式的变用；（2）齐次式；（3） “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）；（4）两式相加减，平方相加减；（5）一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）．技巧二：角的变换→已知角与未知角的转化例2已知7sin()2425παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得，故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故3tan()3πα-++=== 【方法评析】（1）本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到；（2）在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．技巧三：合一变换---辅助角公式例3设关于x的方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+，∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin 332x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (和1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--. 【方法评析】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4 若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--， 所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。
三角函数和三角恒等式的解法
三角函数和三角恒等式的解法三角函数是数学中一个重要的概念，与三角恒等式密切相关。
在解决三角函数和三角恒等式的问题时，存在多种解法，下面将介绍一些常用的方法。
一、三角函数的解法1. 角度法三角函数中的角度可以用度数或弧度表示。
角度法是最为常见的解题方法，其中包括：- 利用基本三角函数的表格：通过查表或从记忆中迅速找到角度对应的三角函数值。
- 利用特殊角的值：如30°、45°、60°、90°等，它们的三角函数值通常是已知的，可以直接使用。
2. 直角三角形法直角三角形法适用于已知一个角度以及两边的长度，解题步骤如下：- 给定一个角度及两边的长度。
- 确定该角度对应的直角三角形。
- 利用正弦、余弦、正切等求解。
3. 平面向量法平面向量法适用于已知向量的情况，解题步骤如下：- 将已知向量拆分为坐标形式。
- 利用坐标形式计算向量的模和方向角。
- 通过已知的三角函数关系求解。
二、三角恒等式的解法三角恒等式是包含三角函数的等式，常用的解法有以下几种：1. 代入法代入法是最简单的解题方法，在恒等式中，选择一个或多个特殊角度，将其代入恒等式中计算，验证等式是否成立。
2. 化简法化简法是通过运用三角函数的基本关系、平方公式、和差化积等恒等式，将复杂的三角函数表达式化简成简单明了的形式，从而方便计算和验证恒等式。
3. 倍角、半角、和差角公式法倍角、半角、和差角公式是三角函数中的重要关系，利用这些公式可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式。
在解题时，可以通过判断等式中的角度关系，选择合适的公式进行推导和变形。
4. 倒数、倒代入法倒数、倒代入法适用于恒等式中存在三角函数的倒数形式的情况。
通过将恒等式中的倒数形式转化为原函数的倒数形式，然后倒代入，最后得到恒等式的证明。
综上所述，解决三角函数和三角恒等式问题可以采用不同的方法和技巧。
根据具体的题目要求，可以选择适当的解题方法，并运用相关的数学公式和恒等式进行推导和变形，最终得到正确的答案。
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三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设AB A tan )tan(-+A C22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
5．化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。
例5 已知acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β，mtan 2α=ntan 2β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。
用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。
例6 已知(1+λcos α)(1-λcos β)=1-λ2(λ≠0，1)。
求证：tan22α=λλ-+11tan 22β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将λ分离出来，以结论中λλ-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。
观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。
例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos2A cos 2B cos 2C 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
8．化拆项这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。
例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=2sin 2sin 21cosx x nx n +思路分析：左边同乘以sin 2x,去括号，积化和差可得9.数学归纳法与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。
上述例题可用数学归纳法证明。
三角恒等式的证明【考点回顾】1．三角公式在恒等变形中的应用；2．常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法. 例1．求证：.0)60tan(tan )60tan(tan )60tan()60tan(3=-+++-++οοοοA A A A A A例2．求证：.)1cos(cos cos 3cos 2cos cos 1αααααα+-=+++++n n n Λ例3．求证：.cos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos αααααααα++-=+-+【基础训练】1． 求证：(sin α+tan α)(cos α+cot α)=(1+sin α)(1+cos α).2． 求证：(1－tan α)=(cos 2α-cot α)(sec 2α+1tan α).3． 求证：.1sin 1sin 2sin 3sin 22οοοο-=4． 求证：tan13x －tan8x －tan5x = tan13x tan8x tan5x .【拓展练习】1．条件甲：3sin αcos(α+β)=sin(2α+β)，条件乙：tan(α+β)=2tan α，则甲是乙的 （ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．2tan2cotcos 42ααα-等于（ ）A ．ααcos sin 21⋅ B ．sin2α C ．－sin2α D ．α2sin 1613．已知α、β均为锐角，且则),sin(21sin βαα+=α、β的大小关系是 （ ）A ．α>βB ．α<βC ．α≤βD ．α与β的大小不确定4．求证：).3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan x x xx xx -=⋅+5．求证：(cscA+cotA)(1－sinA)－(secA+tanA)(1-cosA)=(cscA －secA)[2－(1－cosA)(1－sinA)].6．求证：.cos sin 1tan sec 1tan sec 1xxx x x x +=-+++7．求证：.4sin 4cos 32cos 224cot 2cot cot αααααα++=++8．求证：.2sin 4sin 412cos sin cos 88a αααα-=--9．求证：.2cot 22cot 212tan 214tan 412tan 21tan 1111αααααα-=++++----n n n n Λ10．求证：（1）.22cos2cos2)1cos(3cos 2cos cos 21αααααα+=-++++n n C C C nn n n n n Λ（2）.22sin 2cos2)1sin(3sin 2sin sin 31αααααα+=+++++n n C C C nn n n n n Λ11．在矩形ABCD 中，P 为时间线BD 上一点，AP ⊥BD ，PE ⊥BC ，PF ⊥DC.求证：.1)()(3232=-BDPF BO PE三角恒等式证明答案 ：1.右式=x x 13)2123sin(2-=xx x x 1321sin 23cos 21cos 23sin -= tan 23x - tan 21x 。
2. ∵ sin 2C=C C 22tan 1tan + ，sin 2A=AA 22tan 1tan + ∴ A C 22sin sin =)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ 由已知可得A C 22sin sin =1-AB A tan )tan(-=)tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++，∴ )tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++=)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ ∴C C 22tan 1tan +=B A A B tan tan 1tan tan + 即tan 2C = tanA ·tanB 命题成立。
3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 右边=8(22cos 1α-)2=2(1-2cos2α+cos 22α)= 2(1-2cos2α+24cos 1α-)=cos4α-4cos2α+3=左边。
4. 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
左边=)sin )(cos sin (cos )cos (sin 2αααααα+--=ααααsin cos )cos (sin +--=ααtan 1tan 1+-=右边5. 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan 2α=ntan 2β得n=0，显然成立。
当m ≠0时，只须消去α、β即可。
由acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=m n tan 2β，再由mtan 2α=ntan 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=tan 2α即可得αα22tan tan b a b a ++=tan 2α，解得tan 2α=1，所以sin 2α=cos 2α=21。
求得cos 2β=m b a 2+，sin 2β=n b a 2+，又由cos 2β+sin 2β=1不得。
∴m b a 2++nb a 2+=1 ， 即 (a+b)(m+n)=2mn6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将λ分离出来，以结论中λλ-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。
由已知得1+λcos α-λcos β-λ2cos αcos β=1-λ2, λ2(cos αcos β-1)= λ(cos α-cos β)，∴ λ=1cos cos cos cos --βαβα 依合分比定理得λλ-+11=βαβαβαβαcos cos 1cos cos 1cos cos cos cos +---+-=)1)(cos cos 1()1)(cos cos 1(-+--βααβ=2sin 2cos 42sin 2cos 42222βααβ=tan22αcot 22β ∴ tan 22α=λλ-+11tan 22β7. 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) ∴左边=2sin2B A +cos 2BA -+ sin(A+B)=2sin2B A +(cos 2B A -+cos 2B A +)=2sin 2B A +2cos 2A cos 2B=4 cos2A cos 2B cos 2C8. 思路分析：左边同乘以sin2x,去括号，积化和差可得 左边=21[(sin 23x -sin 2x )+(sin 25x -sin 23x )+…+(sin 2)12(x n +-sin 2)12(x n -)] =21(sin 2)12(x n +- sin 2x )=cos 2)1(x n +sin 2nx。