高三第二次调研考试数学试卷

ICME －

7 图甲 O A 1

A 2 A 3

A 4

A 5

A 6

A 7

A 8

图乙

江苏省南通市届高三第二次调研考试数学试卷·答案·评分标准·讲评建议

A ．必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合102M x x ??

，{}210N x x =+>，则M

N = ▲ ．

2．已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．

3．在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，

得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ．

说明：本题关注一下：222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+?=+=

4．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．

5．下列四个命题：

①2n n n ?∈R ，≥； ②2n n n ?∈

③2n m m n ?∈?∈

说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？

6．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由

如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把

图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,

n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此

数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．

说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识． 7．以下伪代码：

Read x

If x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else

()f x ←2x End If

Print ()f x

根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ ．

说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．

8．在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则

122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ?+?+?+?+?+?＝ ▲ ．

说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||i i A A +的求法就不一样了，难度会加大．

9．若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ω?ω?=++>对任意实数t ，都有()()

ππ33

f t f t +=-+．记

()cos()1g x A x ω?=+-，则π()3

g = ▲ ．

说明：注意对称性．

10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f （a ＋1）．（填写

“<”，“＝”，“>”之一）

说明：注意函数y ＝f （| x |）是偶函数．比较f （－2）与f （a ＋1）的大小只要比较－2、 a ＋1与y 轴的距离的大小． 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =，

则直线AB 的斜率为 ▲ ．

说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．

12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并

使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm ．说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题． 13．若不等式组0,22,

0,x y x y y x y a

-??

+????

+?≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是

▲ ．

说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界． 14．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的

三角形共有 ▲ 个（用m 表示）．

说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c ＝m 再探究．本题也可以用线性规划知识求解．

填空题答案：

1．{}

1122x x -<< 2．2 3．0.03 4．13 5．④ 6 7．－8 8．3 9．－

10．< 11． 12 13．4(0,1][,)3

+∞ 14．

(1)

m m +

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c

B b

．（Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()

2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．

解：（Ⅰ）

tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C

B b B A B

=?+=

，……………………………………………3分即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C

B A B

， ∴

sin()2sin sin cos sin A B C

B A B

，∴

cos 2

A =

． ………………………………………………5分 ∵0π

A <<，∴

A =

．………………………………………………………………7分（Ⅱ）m +n 2

(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2

B B

C =-=， ∴

+n |

22222π1π

cos cos cos cos (

)1sin(2)326

B C B B B =+=+-=--．…………10分 ∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π

(0,)3

B ∈．从而

ππ7π

2666

B -

<-<

．……………………………………………………………12分 ∴当πsin(2)6B -＝1，即π

B =时，|m +n |

取得最小值

．……………………13分所以

，

|m +n |

A B C

D D

C 1 B 1

A 1 min

．………………………………………………………………14分评讲建议：

本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换

时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．

16．（本小题满分14分）直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．（Ⅰ）求证：AC ∠平面BB 1C 1C ；

（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．

证明：（Ⅰ）直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1∠平面ABCD ，∴BB 1∠AC ． (2)

分

又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，

∴2AC ∠CAB ＝45°，∴2BC =∴ BC ∠AC ． (5)

分

又1

BB BC B =，1,BB BC ?平面BB 1C 1C ，

∴ AC ∠平面BB 1C 1C ． ………………7分

（Ⅱ）存在点P ，P 为

A 1

B 1

的

中

点． ……………………………………………………………8分

证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝1

AB ．……………………………………9分

又∵DC‖AB ，DC ＝

AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥

DP ．……………………………………………11分

又CB 1?面ACB 1，DP ?面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． (13)

分

同理，DP‖面BCB 1． (14)

分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD 中BC ∠AC ，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证

明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

变题：

求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

17．（本小题满分15分）

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：

甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，

否则算乙赢．

（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；

（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个． (2)

分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，……………………4分

所以

()

255

P A==．………………………………………………………………………6分答：编号的和为6的概率为

．…………………………………………………………………7分

（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， (10)

分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．

所以甲胜的概率P（B）＝13

，从而乙胜的概率P（C）＝1－

＝

． (14)

分

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． (15)

分

评讲建议：

本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋P（E）>1可得两者一互斥．）

18．（本小题满分15分）

已知椭圆22

21(01)y x b b

+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过

F 、B 、

C 作∠P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）．（Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围；

（Ⅱ）直线AB 与∠P 能否相切？证明你的结论．解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为

c x -=

，

()22

b y x b -

=-．………………………………………………………………2分联立方程组，解

出

1,2

.2c

x b c y b -?=???-?=??

……………………………………………………………4分 21022c b c

m n b

--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）

（b －c ）>0， ∴

b >

c ． ……………………………………………………………………………………6分

从

而22b c >即有222a c >，∴

e <

．……………………………………………………7分又0

e >，∴0e <

． …………………………………………………………………8分（Ⅱ）直线AB 与∠P 不能相

切．…………………………………………………………………9分

由

AB k b

=，

22102

b c b b k c --

＝

2(1)

b c

b c +-． ………………………………………………10分

如果直线AB 与∠P 相切，则b ·

2(1)

b c b c +-＝－

1． ………………………………………12分

解出c ＝0或2

，与0＜c ＜1矛

盾，………………………………………………………14分

所以直线AB 与∠P 不能相

切． …………………………………………………………15分

评讲建议：

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与∠P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾． 19．（本小题满分16分）

已知函数2

1()2,()log 2

a f x x x g x x =

=－（a ＞0，且a ≠1）

，其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）

．（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1

()y y g x x x -'=

-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．解：（Ⅰ）因为2

1()2log 2

a h x x x x =

-+(0)x >，所