九年级数学备考 圆柱圆锥圆台的侧面积
初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲人教版
初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式： S n R lR 扇==π236012n 是圆心角度数，R 是扇形半径，l 是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高S rh 圆柱侧=2π r 底面半径 h 圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
如图所示，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则：S rh 侧=2π，S S S rh r r h r 表侧底=+=+=+22222πππ()。
8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S l r rl 侧·，==122ππ S S S rl r r l r 表侧底=+=+=+πππ2()。
［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】例1. 已知如图1，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作14圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积。
第二课时 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
第二课时圆柱、圆锥、圆台的侧面积一、教与学的过程设计（一）复习引入提问：1、圆柱、圆锥、圆台的共同特点是什么？2、它们的轴截面各是什么图形？3、画圆柱、圆锥、圆台直观图的关键是什么？生1：都是由平面图形绕一定的轴旋转而成。
生2：全等的矩形、等腰三角形和等腰梯形。
生3：底面和高。
师：今天我们接着学习圆柱、圆锥、圆台侧面积的计算，为此请同学们一起回忆直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积的计算公式。
生：（板书）S=Ch直棱柱侧=1/2Ch′S正棱锥侧=1/2（C+C′）h′S正棱台侧师：我们大家再进一步回忆，这些公式是如何推导的？生：把侧面沿侧棱展成平面图形，然后计算平面图形的面积而得到。
师：现在我们模仿以上方法，将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿母线展成平面图形来控求它们的侧面积。
（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积如图2-29。
我们把圆柱的侧面沿母线展成平面图形得一矩形，它的宽等于母线长L，长等于圆柱的底面周长C，故得。
S=cl=2πrl圆柱侧如图2-30。
我们把圆锥沿母线OA展成平面图形，得一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长L，扇形的弧长等于圆锥的底=1/2cl=πrl面周长C，故S圆柱侧如图2-31。
我们将圆台沿其母线AB展成平面图形得一扇形环，其外环弧长等于圆台下底面周长C，内环弧长等于圆台上底面等长C′。
请同学们思考怎样计算这个扇形环的面积？（生：用扇形OBBˊ的面积减去扇形OAA′的面积），两个扇形面积可算吗？问题在哪里？（生：暂时还有能算关键是OA不知道）好的，请同学们思考怎样求OA？生：（板书）∵ OCA∽△ODB，∴ OA/OB=rˊ/r即 OA/OA++l=r′r得 OA=r′l/r-r师：求出OA后能否求扇形环的面积，怎样求？生：（板书）S扇形环=S扇形OBB′-S扇形OAA′=1/2（x+l）C-1/2xc′=1/2（C-C′）·x+1/2cl′∵ r/rr=2πr′/2π（r-r′）=C′/C-C′，∴ x=C′l/C-C′代人上式。
初中数学知识归纳圆锥圆柱圆台的性质与计算
初中数学知识归纳圆锥圆柱圆台的性质与计算初中数学知识归纳：圆锥、圆柱、圆台的性质与计算圆锥、圆柱和圆台是初中数学中的重要几何概念，它们具有自己独特的性质和计算方法。
本文将对圆锥、圆柱和圆台的性质进行归纳总结，并介绍相关的计算方法。
一、圆锥的性质与计算圆锥是一个由圆和一个顶点（不在圆上）连接而成的几何体。
根据圆锥的不同特点，可以将其分类为直角圆锥、斜边圆锥和棱锥。
直角圆锥：1.底面为一个圆，顶点与底面圆心连线垂直。
2.侧面是一个扇形。
3.侧面积的计算公式为S = πrl，其中r表示底面圆的半径，l表示从底面圆心到顶点的距离。
4.体积的计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r表示底面圆的半径，h表示从底面圆心到顶点的距离。
斜边圆锥：1.底面为一个圆，顶点与底面圆心连线不垂直。
2.侧面是一个曲面三角形。
3.体积的计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r表示底面圆的半径，h表示从底面圆心到顶点的距离。
棱锥：1.底面为一个多边形，顶点与底面多边形的顶点连线不在同一平面内。
2.侧面是由侧棱和底面多边形的边构成的多边形。
3.体积的计算公式为V = (1/3)Bh，其中B代表底面多边形的面积，h表示从底面多边形中心到顶点的距离。
二、圆柱的性质与计算圆柱是一个由两个平行且相同大小的圆和一个连接两个圆的侧面构成的几何体。
根据圆柱的不同特点，可以将其分类为直圆柱和斜圆柱。
直圆柱：1.顶面和底面都是圆。
2.侧面是一个矩形。
3.侧面积的计算公式为S = 2πrh，其中r代表底面圆的半径，h表示圆柱的高度。
4.体积的计算公式为V = πr²h，其中r代表底面圆的半径，h表示圆柱的高度。
斜圆柱：1.顶面和底面都是圆。
2.侧面不是一个矩形，而是一个斜面矩形。
3.侧面积的计算公式和直圆柱相同。
4.体积的计算公式和直圆柱相同。
三、圆台的性质与计算圆台是一个由两个底面为圆、且平行的圆和一个连接两个圆的侧面构成的几何体。
圆柱圆锥圆台球的表面积和体积
圆柱圆锥圆台球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球是我们数学中经常遇到的几何图形，它们的表面积和体积也是我们需要掌握的基本概念。
下面我们来分别介绍它们的表面积和体积。
一、圆柱圆柱是由一个圆形和一个平行于圆底的矩形组成的几何体。
它的表面积包括圆底面积、侧面积和顶面积三部分。
其中，圆底面积为πr²，侧面积为2πrh，顶面积同圆底面积为πr²。
因此，圆柱的表面积为2πr²+2πrh。
圆柱的体积为底面积乘以高，即V=πr²h。
二、圆锥圆锥是由一个圆锥形底面和一个顶点连通而成的几何体。
它的表面积包括锥底面积、侧面积和母线长度三部分。
其中，锥底面积为πr²，母线长度为l=√(h²+r²)，侧面积为πrl。
因此，圆锥的表面积为πr²+πrl。
圆锥的体积为底面积乘以高再除以3，即V=πr²h/3。
三、圆台圆台是由一个圆形底面和一个上方与底面平行的圆环面连通而成的几何体。
它的表面积包括圆底面积、圆环侧面积和上底面积三部分。
其中，圆底面积为πr₁²，上底面积为πr₂²，圆环侧面积为π(r₁+r₂)l，其中l为斜高。
因此，圆台的表面积为πr₁²+πr₂²+π(r₁+r₂)l。
圆台的体积为底面积乘以高再除以3，即V=(πr₁²+πr₂²+πr₁r₂)h/3。
四、球球是由一个圆形转动一周形成的几何体，它的表面积和体积是所有几何体中最容易计算的。
球的表面积为4πr²，球的体积为4/3πr³。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积都是由其底面积和高或半径计算得出的。
通过学习和掌握这些几何体的公式，我们可以更好地理解和运用它们在实际生活中的应用。
中考数学总复习 第三十七讲 圆柱圆锥圆台的侧面积 人教新课标版
37讲圆柱圆锥圆台侧面积计算一．考纲要求会计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积．二．基础回顾1．用一X边长为3лcm和4лcm的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的母线长是________. 2．若圆柱的母线长为10cm，侧面积为60cm2，则圆柱的底面半径为( )．(A)3cm (B)6cm (C)9cm (D)12cm3．圆锥的母线与底面直径都等于8cm，则圆锥的侧面积是_______.4．已知圆锥底面半径为r，若它的侧面积是底面积的1，5倍，则母线长_______.，展开后扇形的圆心角=_______.5．巳知圆台的轴截面梯形的腰与下底的夹角为60°，高线长为4 3 ，中位线长为5，则圆台的侧面积是_______三．典型例题例1．若矩形ABCD的邻边不等，分别以直线AB、BC为轴旋转一周得两个圆柱，观察这两个圆柱的底面和侧面，则有( )．(A)S底S侧都相等．(B)S底不等，S侧相等．(C) S底相等，S侧不等．(n) S底S侧都不等．例2．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )(A)10 (B)15 (C)20 (D)25例3．用一块圆心角为150°，面积为240лcm2的扇形硬纸片围成一个圆锥模型(相交粘贴部分忽略不计)，求圆锥模型的底面半径．例4．巳知圆锥的轴截面周长为10cm ，设腰长为x ，圆锥的表面积为S ，(1) 求S 关于X 的函数表达式和自变量X 的取值X 围；(2)画出这个函数图象，确定S 的取值X 围．例5．如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠B=90°，AB=5 cm ，BC=16cm ，AD=4cm 。
(1)求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)求以直线BC 为轴旋转一周所得几何体的表面积．四．反馈练习1．用一X 边长为20cm 的正方形纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径是( )．(A)20л cm （B ）10л cm （C ）2 5 л cm （D ）л 20cm 2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开扇形的圆心角为_______.3．圆台的侧面展开图扇环圆心角为180，则圆台下底半径与上底半径之差与母线的比为( )．(A)12 (B)13 (c)14(D)不能确定 4．以AB 为斜边的直角三角形ABC 中，AC=5，BC=12，分别以AC 、CB 、BA 所在直线为轴旋转而得几何体的表面积分别记作S AC 、S BC 、S AB ，则下列不等式成立的是( )(A) S AB > S BC > S AC (B) S BC > S AC > S AB(C) S AC > S BC > S AB (D) S AB >S AC > S BC5．如图，矩形的边AB=5cm ，AD=8cm ，分别以直线AB 、AD 为轴旋转一周得两个不同的圆柱，问哪个圆柱的表面积大?6．一车间要用铁皮加工一批元件．元件由两部分组成，一个圆柱形的铁管，上面有一个圆锥形帽子，尺寸如图所示(单位：rnm)，问总共需要多少千方厘米的铁皮(精确到个位)．五．巩固提高1．圆柱的底面半径为2crn，高为3crn，则它的侧面积是crn22．巳知圆柱的母线长是5cm，侧面展开图的面积为20лcm2，则这个圆柱的底面半径为cm．3．底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥侧面展开图面积为cm24．巳知圆锥的底面直径为80crn，母线长为90crn，则它的侧面展开图的圆心角是．5．若一圆锥形烟囱帽的侧面积是2000лcm2，母线长为50cm，则这个烟囱帽的底面直径为( )．(A)80cm (B)lOOcrn(C)40crn (D)60crn6．圆柱铁桶的侧面展开图是边长为12лcm的正方形，则该铁桶的底面直径是( )．(A)12лcrn(B)6лcrn (C)12cm (D)6cm7．两个圆锥的母线长相等．侧面积之比为1：2，底面积之比为( )(A)2：1 (B)1：2 (C)1：3 (D)1：48．将一块半径为Rcm，圆心角为θ°的扇形铁皮做成一个圆锥形的烟囱帽，则这个圆锥的底面半径是cm．9．巳知圆锥的高线和底面直径相等，求底面积和侧面积之比．10．巳知圆台形铅桶口直径为28cm，桶底直径20cm，高线长36cm；若做这样无盖铅桶100个，共需铅皮多少m2(接头损耗不计，x取3．14，82 = 9．06，结果保留两个有效数字)11．若干毫升水倒人底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，求水面的高度．(圆锥形器皿容积V=13πr 2h)12.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为h 。
专题9：立体几何中的表面积与侧面积问题(解析版)
专题9：立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．在底面半径为2，高为22的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】21)π【分析】由圆柱、圆锥的底面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为12.【详解】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径1r =，若设圆柱的高为h 221222=，即2h =∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：2221)S rh r πππ=+=.【点睛】本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单题.2．已知圆锥的底面半径为1，求圆锥的表面积.【答案】3π.【分析】先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可得答案；【详解】解：设圆锥的母线长为l ，则2l ==，所以圆锥的表面积为1(12)3S ππ=⨯⨯+=.【点睛】本题考查圆锥的表面积求解，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和.（1）求圆台的母线长.（2）求圆台的表面积.【答案】（1）5（2）80π【分析】（1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线；（2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案.【详解】（1）设圆台的母线长为l ，则由题意得π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5，∴该圆台的母线长为5；（2）由（1）可得圆台的表面积为S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π. 【点睛】本题考查由圆台的性质求圆台的母线与表面积，属于基础题.4．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.【答案】160【分析】由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案.【详解】如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝22AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭22BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝224a b +＝200564+＝64，∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160. 【点睛】本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题.52222cm 3cm 6cm ，求：（1）长方体的体对角线的长；（2）长方体的表面积.【答案】（16cm .（2）2(222326)S cm =表【分析】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cm a b c ，根据已知条件列出方程，求出,,a b c ，即可求出对角线；（2）根据已知条件，即可求解.【详解】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cm a b c ，如图.可令2,3,6, abbcac⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2,1,3.abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩2222222221116BD DD BD DD AD AB a b c=+=++=++=，16cmBD∴=，∴该长方体的体对角线长为6cm.（2）2(222326)cmS=++表.【点睛】本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.6．如图，四面体P ABC-的各棱长均为α，求它的表面积.23α【解析】【分析】因为四面体P ABC-的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.【详解】解：因为PBC 是正三角形，其边长为α，所以234PBC S α∆=. 因此，四面体P ABC -的表面积223434P ABC S αα-=⨯=. 【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题. 7．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，求它的侧面积和全面积.【答案】123S =侧，163S =全【分析】由题意可知，该几何体是边长为4的正四面体，然后利用等边三角形的面积公式可计算出该几何体的侧面积和全面积.【详解】由于正三棱锥的侧面都是等边三角形，则该几何体为正四面体，所以，2334123S =⨯⨯=侧，2344163S =⨯⨯=全. 【点睛】本题考查正四面体侧面积和表面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8．正四棱台两底面边长分别为3和9.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.【答案】（1）723；（2）94. 【分析】（1）设1O 、O 分别为上、下底面的中心，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【详解】 （1）如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=，112(93)322CE CO EO CO C O =-=-=-= 又2sin 453232EF CE =⋅==， ∴斜高222211(32)333C F C E EF =+=+= ∴1(4349)337232S =⨯⨯+⨯⨯=侧 （2）由题意知，223990S S +=+=上底下底，∴1(39)4902h ⨯+⋅⨯=斜， ∴902151244h ⨯==⨯斜，又9332EF -==，2294h h EF =-=斜. 9．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，E 为AB 的中点，PD CE ⊥，1AE =，3PD =，13PC =（1）证明：AD ⊥平面PCD .（2）求三棱锥B CEP -的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）23132+. 【分析】（1）要证明AD ⊥平面PCD ，只需证明AD CD ⊥，PD AD ⊥即可；（2）只需计算EBC ，EBP △，PBC 的面积，相加即可.【详解】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥.又PD CE ⊥，CD CE C =，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.又CD PD D =，所以AD ⊥平面PCD .（2）由（1）知AD ⊥平面PCD ，因为BC ∥AD ，所以BC ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以BC PC ⊥，所以PBC 的面积为112131322BC PC ⨯=⨯=易证PBC PBA △≌△，所以PBE △13. 故三棱锥B CEP -的侧面积为113231312132+⨯⨯++=【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及三棱锥侧面积的计算问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.10．如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，面BDE ⊥平面ABCD ． （1）证明：AC ⊥平面BDE ；（2）若ABD △为等边三角形，AE EC ⊥，EB BD ⊥，三棱锥E ACD -的体积为6，求四棱锥E ABCD -的侧面积.【答案】（1）证明见详解；（2）2522【分析】（1）通过面面垂直，找出交线，通过证明AC 垂直于交线即可证明线面垂直； （2）通过三棱锥E ACD -的体积，求得四边形ABCD 的边长，利用几何关系解得所有棱长，再计算棱锥的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为面BDE ⊥平面ABCD ，面BDE ⋂面ABCD BD =，故AC ⊥平面BDE.（2）设AB x =，在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒， 可得3AG GC x ==，2x GB GD ==. 因为AE EC ⊥，所以在RtAEC 中，可得3EG x =. 由BE BD ⊥，知EBD 为直角三角形.可得2BE x =. 又由（1）知AC BE ⊥，易得BE ⊥面ABCD 所以三棱锥E ACD -的体积：3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 2x =. 从而可得6AE EC ED ===.又在EAD 中，6AE ED ==，2AD =，求得边AD 上的高5h =.EAD 的面积与ECD 的面积均为12S AD h =⋅⋅=5. EAB 的面积与EBC 的面积均为12S AB BE =⋅=2. 故四棱锥E ABCD -的侧面积为2522+.【点睛】本题考查由面面垂直，推证线面垂直，以及棱锥侧面积的求解，属垂直关系综合基础题.11．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD 6=，点E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，点P 是MN 上的一点．（1）证明：EP ∥平面SBD ；（2）求四棱锥S ﹣ABCD 的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）454．【分析】（1）根据已知条件可证平面EMN ∥平面SBD ，即可证结论；（2）四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，只需求出底边的高，求出侧面积，即可求出全面积.【详解】（1）证明：连接BD ，EM ，EN ，∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM ∥BD ，MN ∥SD ， ∵BD ⊂平面SBD ，EM ⊄平面SBD ，∴EM ∥平面SBD ，∵SD ⊂平面SBD ，MN ⊄平面SBD ，∴MN ∥平面SBD ，又EM ⊂平面EMN ，MN ⊂平面EMN ，MN ∩EM ＝M ，∴平面EMN ∥平面SBD ，而EP ⊂平面EMN ，则EP ∥平面SBD ；（2）解：在四棱锥S ﹣ABCD 中，由底面ABCD 是边长为2的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD 6=，可知四棱锥S ﹣ABCD 是正四棱锥， 又E 为BC 的中点，连接SE ，则SE 为四棱锥的斜高，可得22(6)15SE =-=，∴四棱锥S ﹣ABCD 的表面积S 1425224542=⨯⨯⨯+⨯=+．【点睛】本题考查面面平行的判定以及性质，考查正四棱锥的表面积，属于基础题. 12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 111,2,1,AC BC AB BC BC ====⊥平面ABC .（1）证明：平面11A ACC ⊥平面11BCC B（2）求三棱锥1B AB C -的表面积.【答案】（1）证明见解析 （2）33+ 【分析】（1）要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，根据条件转化为证明AC ⊥平面11BCC B ，再转化为证明AC BC ⊥和1AC B C ⊥；（2）根据（1）的垂直关系，计算各个棱长，分别求四个面的面积.【详解】（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥因为1,2AC BC AB ===.所以222AC BC AB +=.即AC BC ⊥ 又1BC B C C =.所以AC ⊥平面11BCC B因为AC ⊂平面11A ACC .所以平面11A ACC ⊥平面11BCC B（2）解：因为1B C ⊥平面ABC ，所以11,B C AC B C BC ⊥⊥11111111,112222B CC B AC S S =⨯⨯==⨯⨯=则11AB BB ==AB =1ABB △是等边三角形，故1242ABB S =⨯= 又111122ABC S =⨯⨯=所以三棱锥1B AB C -的表面积为33222+= 【点睛】本题考查面面垂直的证明和计算几何体表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.13．A 、B 、C 是球O 表面上三点，AB =6㎝，∠ACB =30°，点O 到△ABC 所在截面的距离为5㎝，求球O 的表面积．【答案】2244cm π【分析】根据正弦定理求出ABC 截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。
圆柱圆锥圆台的侧面积
A
B
五、练习：课本P82－831 、2、3
六、作业：习题十 P841 0、11、12 七、小结
圆柱、圆锥、圆台的 侧面积公式之间的关系 如下图
S圆台侧
1 2
(c
c)l
c c
c 0
S cl 圆柱侧
1 S圆锥侧 2 cl
2001.2.25
x
2R 2 2R
H 2
H
也就是当圆柱的高 是已知圆锥的高的一
半时，它的侧面积最大 。
例5 圆锥的底面半径为r，侧面母线长为l
侧面展开图扇形的圆心角这 。求证：
＝ r 360
l
证明：如图是圆锥侧展 开图。因为扇形的弧长 等于
圆锥底面的周长，即
s
l 2r
180
l
r 360
c x c xl
x cl c c
s圆台侧
1 2
[cl
(c
c)
cl c c
]
1 2
(c
c)l
(r
r)l
x c
r
c
l
r
定理 如果圆台的上、 下底面半径是r、r，周长分别是c、c， 侧面母线长是l，那么它的侧面积是
s圆台侧
1 2
(c
c)l
(r
r)l
四、例题
例4 已知一个圆锥的底面半径为R，高 为H。在其中有一个高为x的内接圆柱。 （1）求圆柱的侧面积;
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解:（1）画圆锥及内接圆柱的 轴截面，设所求的圆柱 的
底面半径为r，它的侧面积为
S圆柱侧 2rx
Hr
r Hx RH
r R R x H
S圆柱侧
圆柱圆锥圆台的侧面积
l (2rh 4)2 h2 (23.141 4)2 52 25.6cm
C
D
B A
在长宽高分别是5米，4米，3米的长方体房间 里，一只蚂蚁要从长方体的顶点A沿表面爬行 到顶点C，怎样爬行路线最短？最短路程是多 少?
解：s s侧面积 2s底面积
O`
dh 2 (d )2
h
2
d
1
O
3.141 2.3 23.14
8.8(m2 )
4
答：锅炉的表面积约为8.8m2.
例2 圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它 的侧面展开图的扇环的圆心角是180°那么圆台
的侧面积是多少?（结果中保留 ）
六、小结：
1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键： 2、对应的侧面积公式：
S圆锥=πrl
r1=0
S圆台=π(r1+r2)l
r1=r2
S圆柱=2πrl
S
三
棱
锥＝
1 2
ch'
c’=0
S
正
棱
台＝
1（c＋c' 2
)h'
c’=c
S直 棱 柱＝ch' ch
七、作业:
1.一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱 长为4，求其侧面积.
扇形
l
r
s圆锥侧
s扇形
1 cl 2
rl
c
把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图
形?侧面积怎么计算？
h h l 得h r1l
r1 r2
r 2r1
s圆台侧 s扇环 r2 (l h) r1h r2l r2h r1h
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第37讲 圆柱圆锥圆台侧面积计算
一．考纲要求
会计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积．
二．基础回顾
1．用一张边长为3лcm 和4лcm 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的母线长是________.
2．若圆柱的母线长为10cm ，侧面积为60cm 2，则圆柱的底面半径为( )． (A)3cm (B)6cm (C)9cm (D)12cm
3．圆锥的母线与底面直径都等于8cm ，则圆锥的侧面积是_______.
4．已知圆锥底面半径为r ，若它的侧面积是底面积的1，5倍，则母线长_______.，展开后扇形的圆心角=_______.
5．巳知圆台的轴截面梯形的腰与下底的夹角为60°，高线长为4 3 ，中位线长为5，则圆台的侧面积是_______
三．典型例题
例1．若矩形ABCD 的邻边不等，分别以直线AB 、BC 为轴旋转一周得两个圆柱，观察这两个圆柱的底面和侧面，则有 ( )．
(A)S 底S 侧都相等． (B)S 底不等，S 侧相等．(C) S 底相等，S 侧不等．(n) S 底S 侧都不等．
例2．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )
(A)10 (B)15 (C)20 (D)25
例3．用一块圆心角为150°，面积为240лcm 2的扇形硬纸片围成一个圆锥模型(相交粘贴部分忽略不计)，求圆锥模型的底面半径．
例4．巳知圆锥的轴截面周长为10cm ，设腰长为x ，圆锥的表面积为S ，
(1) 求S 关于X 的函数表达式和自变量X 的取值范围；
(2)画出这个函数图象，确定S 的取值范围．
例5．如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠B=90°，AB=5 cm ，BC=16cm ，AD=4cm 。
(1)求以AB 所在直线为轴旋转一周所
得几何体的表面积；
(2)求以直线BC 为轴旋转一周所得几何体的表面积．
四．反馈练习
1．用一张边长为20cm 的正方形纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径是( )．
(A)20 л cm （B ）10 л cm （C ）2 5 л cm （D ）л 20
cm 2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开扇形的圆心角为_______.
3．圆台的侧面展开图扇环圆心角为180，则圆台下底半径与上底半径之差与母线的比为( )．
(A)12 (B) 13 (c)14
(D)不能确定 4．以AB 为斜边的直角三角形ABC 中，AC=5，BC=12，分别以AC 、CB 、BA 所在直线为轴旋转而得几何体的表面积分别记作
S AC 、S BC 、S AB ，则下列不等式成立的是( )
(A) S AB > S BC > S AC (B) S BC > S AC > S AB (C) S AC > S BC > S AB (D) S AB >S AC > S BC
5．如图，矩形的边AB=5cm ，AD=8cm ，分别以直线AB 、AD 为轴旋转一周得两个不同的圆柱，问哪个圆柱的表面积大?
6．一车间要用铁皮加工一批元件．元件由两部分组成，一个圆柱形的铁管，上面有一个圆锥形帽子，尺寸如图所示(单位：rnm)，问总共需要多少千方厘米的铁皮(精确到个位)．
五．巩固提高
1．圆柱的底面半径为2crn ，高为3crn ，则它的侧面积是 crn 2．
2．巳知圆柱的母线长是5cm ，侧面展开图的面积为20лcm 2，则这个圆柱的底面半径为 cm ．
3．底面半径为3cm ，母线长为5cm 的圆锥侧面展开图面积为 cm 2．
4．巳知圆锥的底面直径为80crn ，母线长为90crn ，则它的侧面展开图的圆心角是_________．
5．若一圆锥形烟囱帽的侧面积是2000лcm 2，母线长为50cm ，则这个烟囱帽的底面直径为( )
(A)80cm (B)lOOcrn(C)40crn (D)60crn
6．圆柱铁桶的侧面展开图是边长为12лcm 的正方形，则该铁桶的底面直径是( )．12лcrn(B)6лcrn (C)12cm (D)6cm
7．两个圆锥的母线长相等．侧面积之比为1：2，底面积之比为 ( ) (A)2：1 (B)1：2 (C)1：3 (D)1：4
8．将一块半径为Rcm ，圆心角为θ°的扇形铁皮做成一个圆锥形的烟囱帽，则这个圆锥的底面半径是 cm ．
9．巳知圆锥的高线和底面直径相等，求底面积和侧面积之比．
10．巳知圆台形铅桶口直径为28cm ，桶底直径20cm ，高线长36cm ；若做这样无盖铅桶100个，共需铅皮多少m 2(接头损耗不计，
x 取3．14，82 = 9．06，结果保留两个有效数字)
11．若干毫升水倒人底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿
中，求水面的高度．(圆锥形器皿容积V=13
πr 2h)
12.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为h 。
在其中有一个高为x 的内接圆柱。
（1）求圆柱的侧面积;
（2）x 为何值时，圆柱的侧面积最大？。