23 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积+教学案
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学目标1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式，解决有关的实际问题 教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式 教学难点：球的体积公式的推导 教学过程：一、 导入新课，板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法，那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。
【圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积】 二、 出示目标，明确任务1. 了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台的体积的求法3. 了解球的表面积和体积的求法 三、 学生自学，独立思考（打开课本阅读116页-119页内容，限时5分钟） 1.找出你阅读内容中的知识点 2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题 四、自学指导，紧扣教材自学指导一(阅读课本116页 至117页 归纳，限时5 分钟) 1.完成下列表格圆柱底面积： 侧面积：表面积： 圆锥底面积： 侧面积：表面积：圆台底面积： 侧面积：表面积：自学指导二（阅读课本117页 至119页 例4，限时5分钟） 1．球的表面积公式S ＝_______(R 为球的半径). 2．球的体积公式V ＝__________. 3. 阅读例3，完成以下几个问题（1）浮标可看成由________和_________组合而成； （2）1个浮标的表面积为：___________. 1000个浮标的表面积为：_________.则1000个浮标涂防水漆需要多少涂料：_______. 4. 阅读例4，完成以下几个问题已知，圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R ， （1） 球的体积为：________; （2） 圆柱的体积为：________;（3） 球与圆柱的体积之比为：________；五、 自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT ）2.书面检测：课本119页练习1题 精讲点拨 自学指导1 1. 略2. 观察所给出的体积公式，得出棱柱、棱锥、棱台，它们之间的关系。
8.3.2 第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课标要求素养要求1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.教材知识探究如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.问题(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？提示(1)先求出金属零件的体积，再求其质量.(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形表面积和体积圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)圆锥S 圆锥＝πr (r ＋l )(r 是底面半径，l 是母线长)V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高) 圆台S 圆台＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )(r ′，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长)V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高)2.柱体、锥体、台体的体积公式 V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体高)；V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为锥体高)；V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高).教材拓展补遗[微判断]1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(×)3.求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.(√)提示 2.设圆柱的底面圆的半径为r ，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr ，2r ，二者不相等，故侧面展开图不是正方形. [微训练]1.若圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的体积为( ) A.π3B.π2C.πD.2π解析 V ＝13Sh ＝13×π×3×1＝π. 答案 C2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr2πr＝1＋2π2π. 答案 A [微思考]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解 如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r ，R ，则有r R ＝R －r R ，即r R ＝12， ∴R ＝2r ，圆锥的母线长l ＝2R ， ∴S 圆柱表S 圆锥表＝2πr 2＋2πr 2πR ·2R ＋πR 2＝4πr 2（2＋1）πR 2 ＝4r 2（2＋1）4r 2＝12＋1＝2－1. 规律方法 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【训练1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.解析设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.答案7题型二求圆柱、圆锥、圆台的体积求底面半径和高是关键【例2】(1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.解析设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝A1Dtan 60°＝3，∴R－r＝ 3.BD＝A1D·tan 60°＝33，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π. ∴圆台的体积为21π. 答案 21π(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD ＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252×5＝485π.故所形成的几何体的体积是485π.规律方法 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.【训练2】 若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )A.1B.1∶2C.3∶2D.3∶4解析 设圆柱、圆锥的高都为h ，底面半径分别为r ，R ，则有12·2Rh ＝2rh ，所以R ＝2r ，V 圆锥＝13πR 2h ＝43πr 2h ，V 圆柱＝πr 2h ，故V 圆柱∶V 圆锥＝3∶4. 答案 D题型三 求组合体的表面积和体积分割为规则的几何体求其表面积、体积之和，保证不重不漏【例3】 如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 依次是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.解 由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为 3.所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面. S 圆锥底面＝4π，S 圆锥侧＝8π， S 圆柱侧＝23π，故所求几何体的表面积为： 4π＋8π＋23π＝12π＋23π.所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积， 即V 旋转体＝13×π×22×23－π×12×3＝533π， 故所求旋转体的体积为533π.规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.【训练3】如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.53π B.43π C.23π D.2π解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.答案 A一、素养落地1.通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养.2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系二、素养训练1.若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为()A.πB.2πC.3πD.4π解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π. 答案 C2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A.3B.4C.5D.6解析 由题意知V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，故h ＝3. 答案 A3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2. ∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.答案 324.圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的体积. 解 设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则⎩⎪⎨⎪⎧（2r ）2＋h 2＝（102）2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.∴V 圆柱＝Sh ＝πr 2h ＝π×52×10 ＝250π(cm 3).∴圆柱体积为250π cm 3.基础达标一、选择题1.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A.2B.2 2C.4D.8解析 圆台的轴截面如图，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π， ∴l ＝4. 答案 C2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4πB.3πC.2πD.π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案 C3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.答案 D4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于()A.6B.6πC.35πD.65π解析∵圆台的母线长为（2－1）2＋22＝5，∴S圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π.答案 C5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.324πR3 B.38πR3C.524πR3 D.58πR3解析设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝12R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝R2－r2＝32R，故体积V＝13πr2h＝324πR3.答案 A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析设新的底面半径为r，则有13×πr2×4＋πr2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 答案 7 7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π· a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.答案 2∶18.圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________. 解析 由已知得两底面半径分别为r ＝1，R ＝2，又S 侧＝6π，所以π(1＋2)·l ＝6π，所以l ＝2，则h ＝l 2－（R －r ）2＝3，所以体积V ＝13π×3×(12＋1×2＋22)＝733π.答案 733π三、解答题9.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.解 如图所示，所得几何体的表面积为S ＝S 底＋S 柱侧＋S 锥侧＝π(3)2＋2π×3×6＋π×3×3＝(3＋62＋33)π(cm 2).10.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x ，所以S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H ).(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H 2时，S 圆柱侧最大.故当x ＝H 2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.能力提升11.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1， ∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.答案 A12.圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB 于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝43(cm)，AH＝A1A·cos 60°＝4(cm).设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1).∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2).创新猜想13.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的()A.母线长是20B.表面积是1 100πC.高是10 2D.体积是7 00033π解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝AB2－（20－10）2＝103，体积V＝12＋10×20＋202)＝3π×103×(107 00033π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.答案ABD14.(多填题)把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______，表面积等于________.解析设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm).圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).答案20 cm224π cm2。
圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积课件
的表面积和体积
复习
棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的面
积的和，即侧面积+底面积
那你认为圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样的呢？
S
O'
O'
r O
l
l
r O
r'
l
rO
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面
积和,即 S S 底 S 侧
1、 圆柱、圆锥、圆台表面积
与多面体一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它
们的各个面的面积和．不同之处在于，围成圆柱、圆锥、圆
台的面中有曲面，利用的展开图，可以得到它们的表面积公
式．
(1)圆柱的表面积
S 表面积 S上底面积 S下底面积 S 侧面积
O′
l
r O
S上底 S下底 =πr
S圆柱侧 =2πrl
S圆柱 =πr +πr +2πrl 2πr (r l )
3
思考：结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公
式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
思考：结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公
式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
V柱体 =Sh (S为底面积，h为柱体高)
1
V锥体 = Sh (S为底面积，h为锥体高)
3
1
V台体 = ( S S S S )h
l
r r'
(3)圆台的表面积
S 表面积 S上底面积 S下底面积 S 侧面积
2
2
S上底 =πr ，S下底 =πr .
2πr
高中数学知识点：圆柱、圆锥、圆台的表面积
高中数学知识点：圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1．圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．
（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．
2．圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12
S Cl rl π==圆锥侧．
（2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．
3．圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一
个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．
（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．
要点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．。
23高中数学“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”知识点详解
高中数学“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”知识点详解一、引言在高中数学中，立体几何是一个非常重要的部分，它涉及到三维空间中图形的性质、度量以及变换等内容。
圆柱、圆锥、圆台和球是立体几何中最为常见的几何体，它们的表面积和体积计算是高中数学的重点和难点。
本文将详细介绍这些几何体的表面积和体积的计算方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、圆柱的表面积和体积1.圆柱的表面积圆柱的表面积等于其侧面积与两个底面面积之和。
具体计算公式如下：表面积= 侧面积+ 2 ×底面面积= 2πrh + 2πr²= 2πr(h + r)其中，r为底面半径，h为高。
1.圆柱的体积圆柱的体积等于其底面面积与高的乘积。
具体计算公式如下：体积= 底面面积×高= πr²h三、圆锥的表面积和体积1.圆锥的表面积圆锥的表面积等于其侧面积与底面面积之和。
具体计算公式如下：表面积= 侧面积+ 底面面积= πrl + πr²= πr(l + r)其中，r为底面半径，l为母线长。
母线长l可以通过勾股定理求得：l = √(h² + r²)，其中h为高。
1.圆锥的体积圆锥的体积等于其底面面积与高的乘积的三分之一。
具体计算公式如下：体积= (1/3) ×底面面积×高= (1/3) × πr²h四、圆台的表面积和体积1.圆台的表面积圆台的表面积等于其侧面积与上、下底面面积之和。
具体计算公式如下：表面积= 侧面积+ 上底面面积+ 下底面面积= π(R + r)l + πR² + πr²= π(R + r)(l + R + r)其中，R为上底面半径，r为下底面半径，l为母线长。
母线长l可以通过勾股定理求得：l = √[(R - r)² + h²]，其中h为高。
1.圆台的体积圆台的体积可以使用以下公式计算：体积= (1/3) × (上底面面积+ 下底面面积+ √(上底面面积×下底面面积)) ×高= (1/3) × π(R² + r² + Rr) × h= (1/3) × π(R + r)(R² - Rr + r²)h / (R - r) （当R≠r时）= (1/3) × πh(R^2 + Rr + r^2) （当R=r时）五、球的表面积和体积1.球的表面积球的表面积等于其大圆的面积的4倍。
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(课件)【大单元教学】2022-2023学年高一数学同
1
2
所以( )2 +3 = 2 ，解得 = 2，
4
3
因此球的体积 = ⋅ 3 =
故选：．
32
，
3
解题技巧
与球有关问题的注意事项
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径
为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
水．现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深
度恰为四分之一直径，则球的体积为(
A．
B．
C．
D．
)
【解答】根据题意可得该正三棱柱的底面正三角形的内切
圆的半径为 3，
设该球体的半径为，因为球体没入水中部分的深度恰为
四分之一直径，
1
2
所以球心到水平面的距离ℎ = ，
22 + 22 + (4 2)2 = 2 10，即为球的直径，
∴球的半径为 10，∴球的表面积为4 × ( 10)2 = 40，故选．
变式训练
2
3
3
1．某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 ，面积为 的扇形，
则该圆锥的外接球的表面积为(
A．
27 2
64
B．
27
16
C．
9
8
)
D．
3
2
【解答】设圆锥的母线长为，底面半径为，
2．球的表面积公式S＝ .
典例分析
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例１．面积为的正方形，绕其一边旋转一周，则所得旋转体的表面积为(
A．
课件6：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
2.圆锥的表面积公式
S 圆锥=
πrl+πr2
(r 是底面半径，l 是母线长).
3.圆台的表面积公式
2 2
π(r'
+r +r'l+rl) (r'，r 分别是上、下底面半径，
S 圆台=
l 是母线长).
【思考】
求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[学习目标]
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式.
2.能运用公式进行计算和解决有关实际问题，提升空间
想象能力.
——预习导学 思维启动——
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
[知识梳理]
1.圆柱的表面积公式
2
2πrl+2πr
S 圆柱=
(r 是底面半径，l 是母线长).
圆柱的母线长为 6，底面半径为 2，则该组合体的表
面积等于 (4 10+28)π .
解析：挖去的圆锥的母线长为 62 + 22 =2 10，
则圆锥的侧面积等于 4 10π.
圆柱的侧面积为 2π×2×6=24π，
圆柱的一个底面面积为 π×22=4π，
所以组合体的表面积为 4 10π+24π+4π=(4 10+28)π.
为 2π .
5.若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积
是 12π .
三、球的表面积和体积
[知识梳理]
1.球的体积
设球的半径为 R，则球的体积 V=
4
3
πR3
.
圆柱和圆锥的表面积公式和体积公式
圆柱和圆锥的表面积公式和体积公式圆柱和圆锥的表面积公式和体积公式圆柱和圆锥是几何形体中比较常见的一种，它们都具有旋转对称性，因此具有一些比较特殊的性质。
本文将介绍圆柱和圆锥的表面积公式和体积公式，其中包括基本的公式推导和应用实例。
一、圆柱的表面积公式和体积公式圆柱是由一对平行于底面的圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的。
下面分别介绍圆柱的表面积公式和体积公式。
1. 表面积公式圆柱的表面积可以看做是由两个底面和一个侧面组成。
底面的面积为圆面积，侧面的面积为矩形面积，因此圆柱的表面积公式可以表示为：S = 2πr² + 2πrh其中，S为圆柱的表面积，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高。
在实际应用中，我们常常需要计算圆柱的侧面积，即矩形的面积。
可以将圆柱展开成一个矩形，用矩形的面积公式进行计算。
2. 体积公式圆柱的体积可以看做是由底面面积和高度组成的。
圆柱的高度就是圆柱的侧面的长度，因此圆柱的体积公式可以表示为：V = πr²h其中，V为圆柱的体积。
二、圆锥的表面积公式和体积公式圆锥是由一个圆锥面和一个连接圆锥面的点并且垂直于底面的直线组成的。
下面分别介绍圆锥的表面积公式和体积公式。
1. 表面积公式圆锥的表面积可以看做是由底面和锥面组成。
锥面的面积可以通过毕达哥拉斯定理计算得到，因此圆锥的表面积公式可以表示为：S = πr² + πrl其中，S为圆锥的表面积，r为圆锥的底面半径，l为圆锥的斜高。
在实际应用中，我们常常需要计算圆锥的侧面积，即锥面的面积。
可以将圆锥展开成一个扇形和一个三角形，用扇形的面积公式和三角形的面积公式进行计算。
2. 体积公式圆锥的体积可以看做是由底面面积、高度和一个三角锥面积组成的。
圆锥的高度就是连接底面和顶点的直线的长度，因此圆锥的体积公式可以表示为：V = 1/3 × πr²h其中，V为圆锥的体积。
三、应用实例下面通过一些具体的实例来应用圆柱和圆锥的表面积公式和体积公式。
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课时分层作业(二十三)圆柱、圆锥、
圆台的表面积和体积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为() A．πQ B．2πQ C．3πQ D．4πQ
B[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π·Q·Q＝2πQ.故选B.]
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()
A．2 B．2 2
C．4 D．8
C[圆台的轴截面如图，
＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
由题意知，l＝1
2(r＋R)，S圆台侧
∴l＝4.]
3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()
A．4π B．3π C．2π D．π
C[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.]
4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()
A．210 B．2 5 C．3 D．2
A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22＋62＝210.故选A.]
5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()
A．1∶3 B．1∶ (3－1) C．1∶9 D.3∶2
B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶3，故截面把圆锥母线分为1∶(3－1)两部分，故选B.]
二、填空题
6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为．
2[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
3[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π
2＋10×6＋62)×9
3(10
＝3(寸)．]
π×142
8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是 ．
7000π3
3 cm 3 [180°＝20－10l ×360°，∴l ＝20， h ＝103，V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ＝70003π3
(cm 3)．] 三、解答题
9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，
则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .
又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝
157， 圆锥的高h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫61572－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1572＝53， V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.
10．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？
[解] 因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为π⎝ ⎛⎭
⎪⎫2022x ＝100πx . 所以有60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6.
故杯里的水将下降0.6 cm.
[等级过关练]
1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是( ) A.C 3
4πS
B.4πS C 3
C.CS 2π
D.SC 4π
D [设圆柱底面半径为r ，高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧
Ch ＝S C ＝2πr
， ∴r ＝C 2π，h ＝S C .
∴V ＝πr 2·h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C ＝SC 4π
.] 2．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b .那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．
πr2(a＋b)
2[采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体
积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝πr2(a＋b)
2.]。