最优化期末复习总结
最优化方法归纳总结
最优化方法归纳总结最优化方法归纳总结篇一：最优化方法综述最优化方法综述1.引论1.1应用介绍最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。
1.2优化的问题的基本概念工程设计问题一般都可以用数学模型来描述，即转化为数学模型。
优化设计的数学模型通常包括设计变量、目标函数和约束条件。
三个基本要素。
设计变量的个数决定了设计空间的维数。
确定设计变量的原则是：在满足设计基本要求的前提下，将那些对设计目标影响交大的而参数选为设计变量，而将那些对设计目标影响不大的参数作为设计变量，并根据具体情况，赋以定值，以减少设计变量的个数。
用来评价和追求最优化设计方案的函数就称为目标函数，目标函数的一般表达式为f?x??f?x1,x2,?xn?。
优化设计的目的，就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值。
所谓最佳值就是极大值或极小值。
在设计空间中，虽然有无数个设计点，即可能的设计方案，但是一般工程实际问题对设计变量的取值总是有一些限制的，这些限制条件显然是设计变量的函数，一般称之为优化设计问题的约束条件或约束函数。
最优化原理复习知识点
最优化原理复习知识点最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。
1.可微的定义设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，且D X ∈0。
若存在n 维向量L ，对于任意n 维向量P ，都有0)()(lim 000=--+→PP L X f P X f T P 则称)(X f 在0X 处可微。
设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，若存在D X ∈*及实数0>δ，使得)(),(**X X D X N X ≠?∈?δ都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的局部极小点；若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的严格局部极小点。
若D X ∈?，都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的全局极小点，若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的全局严格极小点。
凸集：设n R D ?，若对所有的D X X ∈21、，及]1,0[∈α，都有D X X ∈-+21)1(αα，则称D 为凸集。
凸函数：设1:R R D f n →?，D 是凸集，如果对于所有的D X X ∈21、，及]1,0[∈α，都有)()1()(])1([2121X f X f X X f αααα-+≤-+，则称)(X f 为D 上的凸函数。
局部极小点的判别：设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，具有连续的二阶偏导数。
若*X 是)(X f 的驻点，且)(*2X f ?是正定矩阵，则*X 是)(X f 的严格局部极小点。
物理意义基本思想就是在设计空间内选定一个初始点k X ，从该点出发，按照某一方向k S （该方向的确定原则是使函数值下降）前进一定的步长k α，得到一个使目标函数值有所下降的新设计点1+k X ，然后以该点为新的初始点，重复上面过程，直至得到满足精度要求的最优点*X 。
最优化学习总结
无约束优化——线性搜索
• 通过某种搜索方式确定步长因子������������, 使得
• ������ 个变量的目标函数������(������) 在一个规定的方向上移动所形成的单变量优化问题, 也就是所
谓的“线搜索”或“一维搜索”技术
• 精确线搜索方法： • 黄金分割法、二次插值法 • 非精确线搜索方法： • Goldstein准则、Wolfe准则、Armijo准则
• 有效集
• 有效约束指标集的简称
• 对于不等式约束问题
min ������(������), ������ ∈ ������������
������. ������. ������������(������) ≥ 0, ������ ∈ {1,2, ⋯ , ������
• 的一个可行点x使得某个������������ ������ = 0,则该不等式约束������������(������) ≥ 0称为关于x的
• 最优控制
— 可行域是无穷维空间中的一个连续子集
最优化方法理论
• 非线性规划的一般数学模型 • 无约束优化 • 约束优化 • 等式约束指标集 • 不等式约束指标集
最优化方法基础数学工具
• 向量范数和矩阵范数
• 函数的可微性与级数展开
一阶导数或梯度 二阶导数或Hesse 矩阵
凸优化
• 凸集 • 对任意x，y及λ∈（0,1）均有
算例深入学习总结
• 通过代码编写和文献温习，搞懂了很多原来不懂的地方，对于最优化理
论有了深入的理解
• 算例每个都经过测试，完全有效，能够得到符合要求的最优解
谢谢！
无约束优化方法
最优化复习重点
1/ 2 0 ∴ ∇ f (x ) = 0 1/ 8
2 1 −1
∴ x 2 = x 1 − ∇ 2 f ( x 1 )−1 ∇f ( x 1 ) = [0,0]T
条件。 例 3 试写出下述问题的 K − T 条件。 min
2 2 f ( x ) = 3 x1 − 3 x1 x 2 + 2 x 2 2 2 x1 − 2 x1 + 2 x 2 + x 2 ≤ 3 2 s . t . x1 + 2 x 2 = 4 x 2 + 2 x2 ≥ 0
解：
1 T （1）基变量为 x 2 , x4 , x5 ，基本可行解为 x = ( 。 （2）因为变量 x1 的检验数 σ 1 = 2 > 0 ，所以不是最优单纯 ） 型表。 型表。
x1 − 2 2 2 2 x 2 x 3 x4 x5 0 2 1 0
障碍函数
ϕ ( x , µ ) = ( x1 − 2 x2 ) + 2 x2 + u
2
1
2 2 x2 + 6 − 3 x1
或
2 ϕ ( x , µ ) = ( x1 − 2 x2 )2 + 2 x2 − u ln( 2 x2 + 6 − 3 x1 )
将下面的线性规划问题化为标准型。 例5 将下面的线性规划问题化为标准型。
min z = 2 x1 + x 2 − 3 x 3 x1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 4 2 x1 − x 3 ≥ 2 s .t . 2 x2 + x3 ≤ 5 x 1 , x 2 ≥ 0 , x 3 无无无 解： 令 x 3 = x 4 − x 5 . max z = −2 x1 − x2 + 3 x4 − 3 x5 x1 + x 2 − 2 x4 + 2 x5 + x6 = 4 2x − x + x − x = 2 1 4 5 7 s .t . 2 x 2 + x4 − x5 + x8 = 5 x1 , x 2 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0
最优化学习方法总结（2篇）
最优化学习方法总结1.手脑并用原则(1)要明确化学学习是认识过程，艰苦的脑力劳动，别人是代替不了的。
(2)对教师来说，一方面要使学生能主动地学习，就要不断地使他们明确学习目的，提高学习兴趣，增强学习动机。
引导学生认识到从事化学研究既有宏观的物质及其变化的现象、事实，又有微观粒子的组成、结构和运动变化，还要学习各种基本技能。
认识到学习时动手、动眼、动口又动脑的重要。
自觉地全神贯注读、做、想练结合。
并注意指导学生改进动脑又动手的方法，提高学生观察、思维、想象等能力。
另一方面，要从心理学、生理学和信息论等方面，提高对主动学习的认识。
如信息论认为，学习是信息通过各种感观进入大脑，进行编码、转换、储存、组合、反馈等一系列过程。
就信息输入来说，有强有弱，当学习者高度主动自觉时，大脑皮层处于兴奋状态，就能主动调节感受器官，接受各种输入信息。
如果学习不主动，信息没有很好输入，后面的信息处理就要发生很多问题。
因此，要通过例子，使学生认识被动地学，只看老师做，听老师讲，而不开动脑筋想是学不好的。
实验不动手做，也掌握不了基本技能的。
学习中遇到问题，通过思考解决不了时，就主动请老师、同学帮助解决，做到勤学好问。
2.系统化和结构化原则系统化和结构化原则，就是要求学生将所学的知识在头脑中形成一定的体系，成为他们的知识总体中的有机组成部分，而不是孤立的、不相联系的。
因为只有系统化、结构化的知识，才易于转化成为能力，便于应用和学会学习的科学方法。
它是感性认识上升为理性认识的飞跃之后，在理解的基础上，主观能动努力下逐步形成的。
这是知识的进一步理解和加深，也是实验中运用知识前的必要过程。
因此，在教和学中，要把概念的形成与知识系统化有机联系起来，加强各部分化学基础知识内部之间，以及化学与物理、数学、生物之间的逻辑联系。
注意从宏观到微观，以物质结构等理论的指导，揭露物质及其变化的内在本质。
并在平时就要十分重视和做好从已知到未知，新旧联系的系统化工作。
最优化历年考点总结
计算题部分：最速下降法、Newton 法、DFP 变尺度法、Rosen 投影梯度法（2003） 最速下降法、Newton 法、两步法（2004）最速下降法、Newton 法（2005）最速下降法、Newton 法（2007）给出函数要求选用合适方法求解（2003、2004、2005、2007） 名词解释部分：最速下降方向、变尺度法、无约束最优化的梯度算法、内部罚函数法（内点罚函数法）、收敛准则、松弛变量、外点罚函数法、1、最速下降方向：在某一点x,负梯度方向p= –g(x)是使目标函数 f(x)下降最快的方向,称为最速下降方向.2、收敛准则：由于精确的最优解是永远也不可能达到的。
但从工程角度考虑，一个精确度过高的最优解在计量和实施过程中是无法实现和没有必要的。
因此最优化计算只要求得到满足一定精度的近似最优解，而非精确最优解。
判断迭代点是否达到给定精度要求的判别式称之为最优化算法的收敛准则或终止准则。
点距准则：一般来说，迭代点向极小点的逼近速度是逐渐变慢的，越接近极小点相邻迭代点的距离越小。
当相邻迭代点间的距离充分小，并且小于给定的收敛精度0ε>，即有1k k X X ε+-< 时，便可认为点1k X +是满足给定收敛精度的最优解。
于是可令*1k X X +=，输出*X 和*()f X 后终止迭代。
一般取收敛精度6410~10ε--=.值差准则:在迭代点向极小点逼近的过程中，不仅相邻迭代点间的距离逐渐缩短，而且它们的函数值也越来越近。
因此。
可将相邻迭代点的函数值之差作为判断近似最优解的另一个准则，也就是值差准则。
即对于充分小的正数ε，如果1()()k k f X f X ε+-<或者1()()()k k k f X f X f X ε+-<成立， 令*1k X X +=，输出*X 和*()f X 后终止迭代。
梯度准则：由极值理论可知，多元函数在某点取得极值的必要条件是函数在改点的梯度等于零。
最优化习题答案及复习资料
6
,12
T
)
17 17
g
=(
6
,12
T
)
2 17 17
β g d = −
(d ) d 1
T
A
2
(1) T
(1)
A
(1)
=
1 298
− 90
d g β d (2) = −
+
2
1
(1)
=
−
289 210 289
α 线性搜索得步长：
= 1.7
2
x x α d (3) = (2) +
2 (2) = 11
x(1) = (1,1,1)T
.验证
d x x d (1) =(1,0,-1)是 f(x)在点 (1) 处的一个下降方向,并计算 min f( (1) +t (1) )
t>0
证明:
∇f (x) =
(2
x1,3x
2 2
+
2
x3−1,4
x
3+
2
x
2−1)T
∇f (x1) = (2,4,5)T
2
d
∇f
(
x
=
x2
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x2) ′( x1)
或者
x
=
x1
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x1) ′( x1)
证明：1）设ϕ(x) = a x2 + bx + c （ a ≠ 0 ）
则 ϕ ′(x) = 2ax + b
ϕ ′(x1) = 2a x1 + b = f ′(x1)
最优化方法期末总结
最优化方法期末总结随着现代科学技术的发展，优化问题的研究日益深入。
在实际生活中，我们会遇到很多需要从众多方案中找到最好方案的问题，比如最小化成本、最大化收益、最小化能耗等等。
优化方法就是为了解决这些问题而开发的一系列数学理论和算法。
本次期末总结主要围绕最优化方法的基本概念、核心算法以及应用领域展开。
下面我将从定义、基本概念、常见算法以及实际应用等几个方面进行总结。
一、最优化方法的定义和基本概念1. 最优化问题的定义：最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找某个目标函数最优解的问题。
其中目标函数可以是最大值或最小值，约束条件可以是线性或非线性。
2. 目标函数和约束条件：目标函数是优化问题中需要优化的目标，可以是线性或非线性函数。
约束条件是指在解决优化问题过程中需要满足的条件，可以是等式或不等式。
3. 最优解和可行解：最优解指的是目标函数取得最优值时对应的解，可行解指的是在约束条件下满足一定条件的解。
4. 局部极值和全局极值：局部极值是指在某个局部范围内找到的最优解，全局极值是指在整个解空间内找到的最优解。
局部极值不一定是全局极值。
二、常见的最优化算法1. 暴力搜索法：暴力搜索法是最简单也是最直接的方法，它通过穷举所有解来找到最优解。
由于穷举所有解的时间复杂度很高，因此只适用于解空间较小的问题。
2. 数学优化方法：数学优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等，它们通过建立数学模型来求解最优解。
这些方法通常利用数学理论和计算机算法进行求解，效果较好。
3. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代算法，它通过不断改变解的值来逼近最优解。
具体来说，它利用目标函数的梯度信息来确定下一步的移动方向，然后沿着梯度的反方向更新解的值。
4. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它将解表示为一组染色体，并通过交叉、变异等操作来产生新的解，然后根据适应度函数的评估来选择优秀的解。
5. 粒子群优化算法：粒子群优化算法是一种模拟鸟群或鱼群等集体行为的优化算法。
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第一次课后作业：老三论：控制论、信息论和系统论,新三论：突变理论、耗散结构理论和协同论美国数学家维纳的“控制论”，美国数学家申农的“信息论”，美籍奥地利理论生物学家和哲学家贝塔朗菲的“系统论”；比利时化学家普里高津的“耗散结构理论”，德国物理学家哈肯的“协同论”，法国数学家托姆的“突变理论”。
第二次课后作业：首先标准化：Max z=--3x1-2x2-x3+x4s.t x1-2x2+3x3-x4≤152x1+x2-x3+2x4≤10x 1 ,x2’,x2”,x3,x4≥0添加2个松弛变量 x5 x6x1-2x2+3x2-x4+x5=152x1+x2-x3+2x4+x6=100 X5 20 2 -1.5 2.5 0 1 0.5 51 X4 5 1 0.5 -0.5 1 0 0.5 --z -5 -4 -2.5 -0.5 0 0 -0.5在最优单纯性表中，x5,x6的检验数均为负数，于是得到最优解X*=(0,0,0,5,20)T，所以可以最小值为：-5此题和上题类似：变成标准化Max -x1-x2-x3s.t. x1 -x4 -2x6=5x2+2x4-3x5+x6=3x3+2x4-5x5+6x6=5xj≥0,j=1….6;Cb Xb b -1 -1 -1 0 0 0 iX1 X2 X3 X4 X5 X60 X4 5 1 0 0 -1 0 -20 X5 3 0 1 0 2 -3 10 X6 5 0 0 1 2 -5 6-z 0 1 1 1 0 0 00 X4 5 1 0 0 -1 0 -2 - 0 X5 3 0 1 0 2 -3 1 - 0 X6 5 0 0 (1) 2 -5 6 5 -z 0 -1 -1 -1* 0 0 0于是得到最优解X*=(0,0,0,5,3,3)T由此得出min的值为0,。
添加松弛变量x5，x6，x7化为标准化为：max 10x1+5x2+2x3-6x4s.t. 5x1+3x2+x3≤9-5x1+6x2+15x2≤152x1+x2+x3-x4=13X1 …x4≥05x1+3x2+x1+x5=9-5x1+6x2+15x3+x6=152x1+x2+x3-x4+x7=13Cb Xb b 10 5 2 -6 0 0 0 iθX1 X2 X3 X4 X5 X6 X70 X5 9 5 3 1 0 1 0 00 X6 15 -5 6 15 0 0 1 00 X7 13 2 1 1 -1 0 0 1-z 0 -10 -5 -2 6 0 0 00 X1 1.8 1 0.6 0.2 0 0.2 0 00 X6 24 0 9 16 0 1 1 00 X7 9.4 0 -0.2 0.6 -1 -0.4 0 1-z -18 0 -1 0 -6 -2 0 0于是得到最优解X*=(1.8,0,0,0,0,24,9.4)T于是最小值为：-18对第二个约束条件左右同时乘上-1，再添加松弛变量x5，x6，x7。
令X4=x41-2，其中x41≥0 X1-2x2+x3-x41-2+x5=15 即X1-2x2+x3-x41+x5=172x1+x2-x3+2(x41-2)+x6+x7= 10 即2x1+x2-x3+2x41+x6+x7= 14于是变为标准形为：max -3x1-2x2-x2+x41X1-2x2+x3-x41+x5=172x1+x2-x3+2x41+x6+x7= 14x41≥0X1 …x3≥0令Z1=3x1+2x2+x3-x41则Z=3x1+2x2+x3-x41+2=Z1+2Cb Xb b -3 -2 -1 1 0 0 0 iθX1 X2 X3 X41 X5 X6 X70 X5 17 1 -2 1 -1 1 0 00 X6 14 2 1 -1 2 0 1 1-z1 0 3 2 1 -1 0 0 00 X5 24 2 -1.5 0.5 0 1 0.5 0.50 X4 7 1 0.5 -0.5 1 0 0.5 0.5 3.5 -z1 -7 -4 -2.5 -0.5 -0 0 -0.5 -0.50 X5 24 2 -1.5 0.5 0 1 0.5 0.50 X4 7 1 0.5 -0.5 1 0 0.5 0.5 3.5 -z1 -7 -4 -2.5 -0.5 0 0 -0.5 -0.5于是得到最优解X*=(0,0,0,7,24,0,0)T于是最小值为-5添加松弛变量x4，x52x1+x2+2x3+x4=2;4x1+2x2+x3+x5=2Cb Xb b 1 1 1 0 0 iθX1 X2 X3 X4 X50 X4 2 2 1 2 1 00 X5 2 4 2 1 0 1-z 0 1 1 1 0 00 X4 2 2 1 (2) 1 0 1 0 X5 2 4 2 1 0 1 2 -z 0 1 1 1* 0 01 X3 1 1 1/2 1 1/2 0 20 X5 1 2 3/2 0 -1/2 1 1 -z -1 0 1/2 0 -1/2 01 X3 1 1 1/2 1 1/2 0 2 1 X2 1 2 (3/2) 0 -1/2 1 2/3 -z -1 0 1/2* 0 -1/2 01 X3 2/3 1/3 0 1 2/3 02 1 X2 2/3 4/3 1 0 -1/3 2/3 4/9 -z -4/3 -2/3 0 0 -1/3 -1/3在最优单纯性表中，x5,x6的检验数均为负数，于是得到最优解为X*=(0,2/3,2/3,0,0)T,最优化目标值为Z*=4/3。
添加松弛变量x3，x4，x5，x6Max 3x1+2x2X1-3x2+x3=62X1+4x2+x4+x5= 8-x1+3x2+x6=6Cb Xb b 3 2 0 0 0 0 iX1 X2 X3 X4 X5 X60 X4 6 1 -3 1 0 0 00 X5 8 2 4 0 1 1 00 X6 6 -1 3 0 0 0 1-z 0 3 2 0 0 0 00 X4 6 1 -3 1 0 0 0 -0 X5 8 2 (4) 0 1 1 0 20 X6 6 -1 3 0 0 0 1 2-z 0 3 2* 0 0 0 00 X4 12 5/2 0 1 3/4 3/4 02 X2 2 1/2 1 0 1/4 1/4 00 X6 0 -5/2 0 0 -3/4 3/4 1-z -4 2 0 0 -1/2 -1/2 00 X4 12 5/2 0 1 3/4 3/4 0 24/5 2 X2 2 (1/2) 1 0 1/4 1/4 0 40 X6 0 -5/2 0 0 -3/4 3/4 1 - -z -4 2* 0 0 -1/2 -1/2 0 0 X4 2 0 -5 1 -1/2 -1/2 0 3 X1 4 1 2 0 1/2 1/2 0 0 X6 10 -5/2 5 0 1/2 1/2 1 -z -12 0 -4 0 -3/2 -3/2 0在最优单纯性表中，x5,x6的检验数均为负数，于是得到最优解为 X*=(4,0,0,2,0,10)T ,最优化目标值为Z*=-12。
第三次课后作业：解： 设1234,,,d d d d 表示甲乙丙丁的采用(取值为1)和不采用(取值为0)。
1234,,,x x x x 甲乙丙丁的人数，表示得到下列规划问题12341234123412341111221331441234()20171519100020002500150060080010005501900:001:001:001:001,,,f x x x x x d d d d x x x x x x x x if x d d if x d d if x d d if x d d x x x x =+++++++<=<=<=<=+++=============则否则则否则则否则则否则其中均为整数那么i d 的取值要么是1要么是0，也就是共有16种情况 我用0——15个整数来控制这16种情况K=0时d 为：0 0 0 0也即将K 化为二进制形式 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0……1 1 1 1 显然当K=0时123401900x x x x +++=<这种情况下直接进行下一种情况的处理如：K=7时，进行分枝界定法来求最优解。
此时问题转化为：123412341234123412341234()201715191000200025001500600800100055019000111,,,f x x x x x d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++<=<=<=<=+++==>=>=>=其中均为整数在各种情况求得的最小值中取最小的一个解作为本题的最后结果。
4辆骑车，5项运输任务，要求一辆骑车完成2项任务，其余个完成一次各车运2）设表中为运输所得利润，利润最高方案。
解：1） 引入虚拟汽车使得任务跟汽车人数一致，骑车5为所有骑车的最少运费，得系数矩阵110125143105128132197218162207872861079578114155198128243871551079578⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭减去各行最小值52038023065863075920829170041841412997729170⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第2，3列的最小元素为 20，29509023045573075918801700215514129957170⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭m=4 l=4 a=1450902303143166191880170074101159570170⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即第一辆汽车完成任务2 第二辆汽车完成任务1 第三辆汽车完成任务3 5 第四辆汽车完成任务4总费用为 125+132+107+78+128=5702)引入虚拟汽车使得任务跟汽车人数一致，骑车5为所有骑车的最大利润，得系数矩阵110125143105128132197218162207872861079578114155198128243132286218162243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2) 设上表内的数据位运输得到的利润，那么求利润最高的运算方法。
解：添加虚拟车辆5，代表某一辆车完成的第二项任务，其利润为为每辆车完成可得出最优解：汽车1完成任务A,汽车2完成任务C 、D ，汽车3完成任务B ，汽车4完成任务E ，此时的最大利润为：110+218+162+286+243=1019元第四次课后作业：22121212121,2min ()231218..232f x x x x x s t x x x x x x =+---+≤+≤≥1) 用图解法找出最优解(不用做)2) 写出(P)的K-T 条件式，并通过求K-T 点来找出最优解 3) 求下列各点的下降可行方向：(1)(2)15(0,0),(,),33T Txx==最优解2) 先把问题变为2212121211221,2min ()231218..()230()20f x x x x x s tg x x x g x x x x x =+--=-+-≤=+-≤≥12412()618x f x x -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 11()2g x -⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦21()1g x ⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦于是得到K-T 条件式11221212112122412(1)10618210,0(23)0(2)0x u u x u u u u u x x u x x -+⋅-+⋅=⎧⎪-+⋅+⋅=⎪⎪≥⎨⎪-+-=⎪+-=⎪⎩（1）由121223020x x x x -+-=+-= 解出 121353x x == 1289889u u =-=不满足条件令 10u = 解得123575x x == 120485u u == *37(,)55x =是K-T 点，则最优解为：65425-3)(1)(0,0)T x= 使得(1)1()0g x = (1)2()0g x = 于是代入（1）得1200x x ==120u u ==最优解为：0(2)15(,)33Tx= 由第二步知，代入后 得1u 小于0，故不是K-T 点 10．用既约梯度解221231122123121,2,3min ()26212..223f x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++---++=-+≤≥解：先把问题标准化，引入松弛变量x4变为2212311221231241,2,3,4min ()26212..223f x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++---++=-++=≥则11101201A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭23b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1212()(26,42,12,0)T f x x x x x ∇=+-+--取(1)(0,0,2,3)T x= ,1k = 1{3,4}J =1001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1112N ⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)()(6,2,12,0)T f x ∇=--- (1)()(12,0)T B f x ∇=- (1)()(6,2)T N f x ∇=--于是(6,2)T N r =-- (6,2)T N d =，110116(8,2)01122T Bd -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11min ,44λ⎧⎫=+∞=⎨⎬⎩⎭求解 (1)2min ()7731..04f x d s t λλλλ⎧⎫+=+-⎪⎪⎨⎬≤≤⎪⎪⎩⎭得 114λλ== (2)(1)11317(0,0,2,3)(6,2,8,2)(,,0,)4222T T T x x d λ=+=+-=，2k =2{1,4}J =1011B ⎛⎫=⎪-⎝⎭1120N ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)53()(,,12,0)22T f x ∇=-- (1)5()(,0)2T B f x ∇=-(2)3()(,12)2T N f x ∇=- 于是 3511101372220112120TNr ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭⎝⎭3949(,)42T N d =--，3911112154(,88)20204942T B d ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭37622min ,215882154λ⎧⎫⎪⎪=--=⎨⎬-⎪⎪-⎩⎭求解(2)2635163219313min ()16826..0215f x d s t λλλλ⎧⎫+=+-⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎭得 1λ=112432233121112223314412min (5335)..874.51,,,01,2,3,4j j f Pd P d P d d d d s t x x d d x d d x d d d d d x x d d j -+-+-+-+-+-+--++-=+++++++-=+-=+-=+-=≥=1) 用单纯行法求这个问题的满意解。