§1.4 Rn中的点集

x k → x. 则对任意 ε > 0, 存在
N > 0, 使得当 k ≥ N 时, x k ∈ U ( x, ε ). 若 {x k , k ≥ N } 中只有有限项彼此不相等, 则存
在 一 个 自 然 数 k 0 和 {x k } 的 一 个 子 列 {x k n }, 使 得 x k n = x k0 ( n ≥ 1). 但 x k0 ≠ x, 这 与
§ 1.4
R n 中的点集
教学目的 欧氏空间 R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由 R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭 集的定义.由开集生成一个 ο -代数引入 Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它 有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应 用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.
, k . 令 ε = min{d ( x 0 , xi ), i = 1,
c c
k}, 则 ε > 0. 由 ε 的取法
c
知道 U ( x0 , ε ) ∩ A = ∅ , 即 U ( x 0 , ε ) ⊂ A . 因此 x0 是 A 的内点. 所以 A 是开集. 充 分 性 . 设 A 为 开 集 . 则 对 任 意 x0 ∈ A , 存 在 x0 的 一 个 邻 域 U ( x0 , ε ), 使 得
n
n
k →∞
为 lim x k = x, 或 x k → x, ( k → ∞).
k →∞
邻域, 内点与开集 定义 1 设 x0 ∈ R , A ⊂ R .
n
n
(1).设 ε > 0. 称 R 的子集 U ( x0 , ε ) = {x : d ( x, x0 ) < ε } 为点 x0 的 ε -邻域
x k → x 矛盾! 因此 {x k , k ≥ N } 中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表明 U ( x, ε ) 中包含有 A 中的无限多个点. 因此 x ∈ A′. (ii). 设 x ∈ A. 则 x ∈ A 或者 x ∈ A′. 若 x ∈ A, 令 x k = x , k ≥ 1, 即知结论成立. 若
25
U ( x, ε ) ⊂ ∩ Ai . 因此 x 是 ∩ Ai 的内点. 这就证明了 ∩ Ai 是开集.■
i =1 i =1 i =1
n
n
n
注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设 An = (− 是 R 中的开集. 但
1
1 1 , ), n ≥ 1. 则每个 An 都 n n
∩A
n =1
x ∈ ∪t∈T At . 则 存 在 t 0 ∈ T , 使 得 x ∈ At0 . 因 为 At0 是 开 集 , 故 存 在 x 的 一 个
邻域 U ( x0 , ε ), 使 得 U ( x0 , ε ) ⊂ At0 . 于 是 更 加 有 U ( x0 , ε ) ⊂ ∪ t∈T At . 这 表 明 x 是
n n n
n
R n = {x = ( x1 ,
对任意 x = ( x1 ,
, x n ) : x1 ,
, x n ∈ R1 }.
, xn ) ∈ R n , 令 x = x12 +
(
2 2 xn .
)
1
称 x 为 x 的范数. 注意若 x∈ R ,
1
则 x 就 是 x 的 绝 对 值 . 设 x = ( x1 ,
n
定义 8
A = R n , 则称 A 是 R n 的稠密子集. 若 ( A ) = ∅, 则称 A 为疏集或无处稠密集.
例如, 由于 Q = R , 因此有理数集是 R 的稠密子集. 由于 Z = ∅, 因此整数集 Z 是
1 1
疏集.
27
定理 9 设 A 是 R 的子集. 则以下几项等价:
n
(i). A 是 R n 的稠密子集.
n
心, 以 r 为半径的开球.
定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质:
(i). 空集 ∅ 和全空间 R n 是开集.
(ii). 任意个开集的并集是开集. (iii). 有限个开集的交集是开集.
证明
(i) 是 显 然 的 . 往 证 (ii). 设 { At , t ∈ T } 是 X 中 的 任 意 一 族 开 集 . 任 取
(i). 空集 ∅ 和全空间 R n 是闭集.
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(ii). 任意个闭集的交集是闭集. (iii). 有限个闭集的并集是闭集.
下面的两个定理用序列的语言, 给出了 A′ 和 A 中的点的特征以及集 A 为闭集的等价 条件. 定理 6 设 A ⊂ R . 则有
n
(i). x ∈ A′ 当且仅当存在 A 中的点列 {x k }, 使得 x k ≠ x , x k → x.
(ii). x ∈ A 当且仅当存在 A 中的点列 {x k }, 使得 x k → x.
证明 (i). 设 x ∈ A′. 则由聚点的定义, 对任意 k ≥ 1, U ( x0 , 1 k ) 中包含有 A 中的无限 多个点. 于是集 (U ( x, 1 k ) − {x}) ∩ A 不空. 在其中任取一点记为 x k , 点列, 并且 x k ≠ x , x k → x. 反过来 , 设存在 A 中的点列 {x k }, 使得 x k ≠ x , 则 {x k } 是 A 中的
n
证明 必要性. 设 A 是闭集. 若 {x k } 是 A 中的点列, x k → x, 则由定理 6 知道 x ∈ A. 由于 A 是闭集, 故 A = A. 因此 x ∈ A . 充分性. 设 x ∈ A′. 由定理 6, 存在 A 中的点列 {x k }, 使得 x k → x. 由假定条件, 此 时必有 x ∈ A . 这表明 A′ ⊂ A. 因此 A 是闭集.■ 设 A 和 B 是 R 的 子 集 . 若 A ⊃ B, 则 称 A 在 B 中 稠 密 . 特 别 地 , 若
(k )
列 . 由数学分析中熟知的 Weierstrass 致密性定理 , 存在 {x1 } 的一个子列 {x1
( k1i )
} 使得
x1
( k 1i )
→ x1 . 同理 , 存在 {k1 i } 的一个子列 {k 2 i } 使得 x 2 2 i → x 2 . 这样一直下去 , 最后 ,
(k n i )
∪
t∈T
At 的内点. 这就证明了 ∪t∈T At 中的每个点都是其内点. 因此 ∪t∈T At 是开集. 现在 , An 是开集. 任取 x ∈ ∩ Ai . 则对每个 i = 1,
i =1 n
证明 (iii). 设 A1 , 是开集, 故存在
, n, 有x ∈ Ai . 因为 Ai
ε i > 0, 使 得 U ( xi , ε i ) ⊂ Ai . 令 ε = min{ε 1 , ε n }. 则 ε > 0 并 且
n
(2). 若 x0 ∈ A 并且存在 x0 的一个邻域 U ( x0 , ε ) ⊂ A, 则称 x0 为 A 的一个内点(图
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4—1). (3). 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为 R 中的开集. 规定空集 ∅ 为开集.
n
(4). 由 A 的内点全体所成的集称为 A 的内部, 记y1 ,
y n ) 是 R n 中的任意两点. 定义这两点之间的距离为 d ( x, y ) = x − y . 即 d ( x, y ) = ( ∑ ( x i − y i ) ) .
2 i =1 n 1 2
设 {x k } 是 R 中的一个点列 , x ∈ R . 若 lim d ( x k , x) = 0, 则称 {x k } 收敛于 x, 记
c c
U ( x0 , ε ) ⊂ A c . 即 U ( x0 , ε ) 中没有 A 中的点, 因此 x0 不是 A 的聚点. 这表明 A 的聚点全部
在 A 中, 即 A′ ⊂ A. 因此 A 为闭集.■ 由定理.2 和定理 4 并利用 De Morgan 公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理 5 闭集具有如下性质:
n c
证明 必要性. 设 A 为闭集. 则对任意 x0 ∈ A , x0 不是 A 的聚点. 因此存在 x0 的一个
c
邻域 U ( x0 , ε 1 ) , 使得 U ( x0 , ε 1 ) 中至多只包含 A 中有限个点. 设这些点为 x1 ,
x k . 因为
x0 ∉ A, 故 xi ≠ x 0 , i = 1,
∞
n
= {0} 不是开集.
聚点与闭集 定义 3 设 A 是 R 的子集. (1). 设 x0 ∈ R . 若对任意 ε > 0 , U ( x 0 , ε ) 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 x0 为 A
n n
的一个聚点(图 4—1 中的 x1 ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A ∪ A′ 称为 A 的闭包, 记为 A. 例 如 , 每 个 有 界 或 无 穷 闭 区 间 [a, b], (−∞, a ], [a, + ∞) 都 是 直 线 R 上 的 闭 集 . 若
(k )
存 在 {k n −1,i } 的 子 列 {k n i } 使 得 x n
→ x n . 记 k i = k n i . 则 对 每 个 j = 1,
1
, n, 有
x (jki ) → x j (k i → ∞). 令 x = ( x1 ,