山东省临沂市2017届高三数学三模试题文(含解析)

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山东省日照市2017届高三数学校际联合模拟考试(三模)试题文

二O 一七年高三校际联合模拟考试文科数学2017．05本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：=V Sh 柱，其中S 为柱体的底面面积，h 为柱体的高．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，122,i z i z z =-⋅=则 (A)5(B) 5-(C) 4i -+ (D) 4i --(2)已知集合(){},1A x y y x ==+，集合(){},2B x y y x ==，则集合A B ⋂等于(A) ()12， (B) {}12， (C) (){}12， (D) ∅ (3)若()1sin 32ππααπ-=≤≤，且，则cos α的值为(A)3 (B) 3- (C)9(D) 9-(4)已知实数,x y 满足不等式组330,30,20,x y x y x y x +-≤⎧⎪--≤-⎨⎪≥⎩则的取值范围是(A) []1,3- (B) []3,1--(C) []1,6-(D) []6,1-(5) 命题:sin 21p x =，命题:tan 1q x p q =，则是的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(6)已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) c a b << (C) b c a << (D) c b a <<(7)某一算法程序框图如右图所示，则输出的S 的值为(B)(D)0(8)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A) 6012π- (B) 606π- (C) 7212π-(D) 726π-(9)已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合，与圆224x y +=相交于点A ，终边与圆224x y +=相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是(10)在等腰梯形()//2,1,20,1ABCD AB CD AB AD CD x x ===∈中，，且，其中，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值为第II 卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(11)从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为_____________．(12) 已知函数()2,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤<⎝⎭⎝⎭⎪⎩则_______________.(13) 已知向量()()182,14,2,0,0,//a m b n m n a b m n==->>+若，则的最小值为____________．(14)已知函数()[)[)2017cos ,0,,2log ,,x x f x x πππππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩若存在三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为______________．(15)祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．由椭圆()222210y x a b a b+=>>所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得到如图所示的几何体，称为椭球体．请类比应用祖暅原理求球体体积公式的做法，求出椭球体体积，其体积为______________.三、解答题：本大题共6小题，共75分． (16)(本小题满分12分)已知函数()11sin 22,,324f x x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦. (I)求函数()f x 的值域；(II)已知锐角ABC ∆的两边长分别是函数()f x 的最大值和最小值，且ABC ∆的外接圆半径为4，求ABC ∆的面积．(17)(本小题满分12分)种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数，如下表：（I ）从3月12日至3月16日中任选2天，记发芽的种子数分别为c ，d ，求事件“c,d 均不小于25”的概率；（II ）请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y a bx =+；（III ）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（II ）中的回归方程是否可靠？(18)(本小题满分12分)如图，菱ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120,ABC BF ∠=⊥平面ABCD ，DE//BF,BF=2DE ，AF ⊥FC ，M 为CF 的中点，AC BD G ⋂=． (I)求证：GM ／／平面CDE ； (II)求证：平面ACE ⊥平面ACF ．(19)(本小题满分12分)等差数列{}n a 前n 项和为5645,60n S S S ==，且. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足()1113n n n n b b a n N b b ++⎧⎫-=∈=⎨⎬⎩⎭且，求的前n 项和n T .(20)(本小题满分13分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,.A B F F 以为直径的圆O 过椭圆E 的上顶点D ，直线DB 与圆O 相交得到．设点()(),P a t t ≠，连接PA 交椭圆于点C ． (I)求椭圆E 的方程；(II)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求t 的最小值．(21)(本小题满分14分)己知函数()()20x ax f x a e=≠，()1h x x x =-．(I)求函数()f x 的单调区间；(II)设()()()()()2111,22a g x f x h x f x h x cx ==+---⎡⎤⎣⎦且，已知函数()g x 在()0,+∞上是增函数．(1)研究函数()()()()0x f x h x ϕ=-+∞在，上零点的个数； (ii)求实数c 的取值范围．二〇一七年高三校际联合模拟考试文科数学参考答案 2017.05一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.A CBC CD A D B B（1）答案A ．解：∵复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，12i,=-z ∴22i,=+z 则12=g z z （2﹣i ）（2+i ）=22+12=5．故选A ．（2）答案C ．解：据题意，得1,2,y x y x =+⎧⎨=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以集合A B I ＝(){}1,2．（3）答案B ．解：1sin(π),3α-=ππ2α≤≤，则cos 3==-α．（4）答案C ．解：设z=2-x y ，则=2-y x z ，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线=2y x ，由图象可知当直线=2-y x z 经过点(01)，B 时，直线=2-y x z 的截距最大，此时z 最小，min 011z =-=-，当直线=2-y x z 经过点(30)C ，时，直线=2-y x z 的截距最小，此时z 最大，max 236z =⨯=，即26x y --1≤≤．（5）答案C ．解：由sin 21,=x 得π2+2π,2=∈Z x k k ，即π+π,4=∈Z x k k ，由tan 1,=x 得π+π,4=∈Z x k k ，∴p 是q 的充要条件．故选：C ．（6）答案D ．解：∵0.20.2 1.21()=22,2-=<=b a ∴1>>a b ．又∵552log 2=log 41=<c ，∴<<c b a ．（7）答案A ．解：由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量.,233πsin 3π2017sin 03363π2017sin 3π2016sinsin π3π2sin 3πsin 336620160663πsin 3π2017sin sin π3π2sin 3πsinA S n y S 故选，故，个函数值的累加和为内，且同一周期的周期为的值，由于==+⨯=++⋅⋅⋅+++==÷=+⋅⋅⋅+++=（8）答案D ．解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3；所以该组合体的体积为：π67232π2134)84(212-=⨯⨯-⨯⨯+⨯=V ，故选D ．（9）答案B ．解：由题得)sin 2,cos 2()02(θθB A ，，，所以()()0sin 2cos 222121≥⋅-==θθθAC BC S ，所以排除C,D ．又当4π3=θ时，212)(>+=θS ，综上可知，B 选项是正确的. （10）答案B ．解：在等腰梯形ABCD 中，DAB AB AD AB AD BD ∠⋅⋅-+=cos 2222x x 41)1(21241+=-⨯⨯⨯-+=，)1,0(∈x ，由双曲线、椭圆定义可得1412,1,2141111-+==-+=x e c x a ， 1412,,2141222++==++=x xe x c x a , 则21-411-41214121-41221x x x x x e e +++=++++=+，令),15,0(141-∈-+=x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+t t e e 42121在),15,0(-上单调递减，所以5154152121=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯>+e e ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）10；（12）21；（13）29；（14）(2π,2018π)；（15）24π3b a ．（11）答案10．解：样本间隔为80÷5=16，∵42=16×2+10，∴该样本中产品的最小编号为10．（12）答案21．解：由已知π()tan 14f x =-=-，∴1π1(())(1)242f f f -=-==．（13）答案29．解： ∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=.0m >,0n >,∴18m n +=118(2)()4n m m n ++=116(10)4n mm n ++≥1(104+=92.当且仅当843n m ==时取等号.（14）答案(2π,2018π)．解：当[0,π]x ∈时，π()cos()sin 2f x x x =-=，∴()f x 在[0,π]上关于π2x =对称，且max ()1f x =；又当[π,)x ∈+∞时，()f x =2017log πx 是增函数，函数()y f x =的图象如图所示．令2017log 1πx=，得2017πx =， ()f a =()f b =()f c ，实数a 、b 、c 互不相同，不妨设c b a <<，∴a +b =π，(π,2017π)c ∈，∴a +b +c =πc +(2π,2018π)∈．（15）答案24π3b a ．解：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体2(V V V =-圆柱圆锥）=2212ππ)3b a b a ⨯⨯-⨯（=24π3b a ⨯．三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π==-π，………………………2分又]127π,3π[3π2∈-x ， …………………………………………………………… 3分所以当2π3π2=-x ，即12π5=x 时，max 5()()212f x f π== 2)12π5(=f ，当3π3π2=-x ，即3π=x 时，min ()()33f x f π== 3π(f ，所以()f x 值域为2] ； …………………………………………………… 5分（II ）设AB =2AC = 则2sin sin 2B C ==， ………………….. .. 7分所以sin 3B =，sin 3C =，又ABC ∆是锐角三角形，所以1cos ,cosC 33B ==，所以sin sin()3A B C =+=， …………………………………………………… 9分所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅=……………………………………………12分（17）解：（Ⅰ）从5天中任选2天，共有10个基本事件：（12日，13日），（12日，14日），（12日，15日），（12日，16日），（13日，14日），（13日，15日），（13日，16日），（14日，15日），（14日，16日），（15日，16日）．选出的二天种子发芽数均不小于25共有3个基本事件：（13日，14日），（13日，15日），（14日，15日）． ∴事件“,c d 均不小于25”的概率为310=P ．…………………………………………5分（Ⅱ）11131225302612,2733++++====x y ．313=i i i x y x y =∑-5．32213i i x x =∑-=2．∴55ˆˆ,2712322==-⨯=-ba ． ∴y 关于x 的线性回归方程为5ˆ=32-+y x ．…………………………………………10分（Ⅲ）当=10x 时，5ˆ=310=22,2322122y -+⨯-=<．当=8x 时，5ˆ=38=17,1716122y -+⨯-=<． ∴回归方程5ˆ=32-+yx 是可靠的． ……………………………………………12分（18）证明：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连接MN GN ,.因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点，所以CD GN //，又因为N M ,分别为BC FC ,的中点，所以FB MN //，又因为BF DE //，所以MN DE //，又N GN MN = ，所以平面//GMN 平面CDE ，又⊂GM 平面GMN ，所以//GM 平面CDE ； …………………6分（Ⅱ）证明：连接GF GE ,，因为四边形ABCD 为菱形，所以BC AB =，又⊥BF 平面ABCD ，所以CF AF =，所以AC FG ⊥.设菱形的边长为2，120=∠ABC ，则3,1====GC GA GD GB ，又因为FC AF ⊥，所以3==GA FG ，则2=BF ，22=DE ，且⊥BF 平面ABCD ，BF DE //，得⊥DE 平面ABCD ，在直角三角形GED 中，26211=+=GE ，又在直角梯形BDEF 中，得223421=+=EF ，从而222GE GF EF +=，所以GE FG ⊥，又G GE AC = ，所以⊥FG 平面ACE ，又⊂FG 平面ACF ，所以平面⊥ACE 平面ACF . ……………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵5645,60.S S ==∴1154545,265660,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得15,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 5(1)22 3.n a n n =+-⨯=+ …………4分（Ⅱ）∵123n n n b b a n +-==+，13b =， 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-++-+[][][]2(1)32(2)32133n n =-++-+++⨯++2(1)232.2n n n n n -=⨯+=+ ……………8分 11111()(2)22n b n n n n ∴==-++． 1111111111(1)()()()()232435112n T n n n n ⎡⎤∴=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦1111(1)2212n n =+--++31142(1)2(2)n n =--++. ……………12分（20）解：（Ⅰ）因为以12F F 为直径的圆O 过点D ,所以,c b =则圆O 的方程为,222b y x =+ 又222+a b c =,所以a =，直线DB 的方程为y x b =+，直线DB 与圆O 相交得到的，则22)||(2-b ,1,332211222=∴=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b b b所以a = 所以椭圆E 的方程为2212x y +=. ………………………………5分（Ⅱ）设直线PA的方程为y x =+，由2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得2222(4)280t x x t +++-=，解得：1x =，2x =，则点C 的坐标是244tt+，），故直线BC的斜率为BC k =OP的斜率为OP k =，所以BC k 1OP k ⋅=-，所以OP BC ⊥. ………………………………10分2222222248(2)||()4(4)t t t BC t t +=+=++，2||22+=t OP ，所以12OBPCS OP BC =⨯⨯=，21424ABCt S t ∆=⨯=+≤ 整理得224t +≥，又0>t，t ∴≥，所以min t =. ……………………………13分（21）解：（Ⅰ）∵)0(e)(2≠=a ax x f x ，∴xx x xx ax x ax x x a x f e)2(e )2()e e 2()(2-=-=-='---， ①当0>a 时，在),2()0,(∞+-∞∈ x 时，0)(<'x f ，在)2,0(∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在),2(),0,(∞+-∞上是减函数，在)2,0(上是增函数；②当0<a 时，在),2()0,(∞+-∞∈ x 时，0)(>'x f ，在)2,0(∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在),2(),0,(∞+-∞上是增函数，在)2,0(上是减函数；……………………………5分（Ⅱ）（1）当1=a 时，函数)()()(x h x f x -=ϕ)1(e 2xx x x --=，求导，得211e )2()(x x x x x ---='ϕ，当2≥x 时，0)(<'x ϕ恒成立，当20<<x 时，1]2)2([)2(2=-+≤-x x x x ， ∴211e )2()(x x x x x ---='ϕ011111e 122<--<--≤xx x ， ∴0)(<'x ϕ在),0(∞+上恒成立，故)(x ϕ在),0(∞+上单调递减．又0e 1)1(>=ϕ，023e 4)2(2<-=ϕ，曲线)()()(x h xf x -=ϕ在[1，2]上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的0x ∈（1，2），使0)(0=x ϕ，所以，函数)()()(x h x f x -=ϕ在),0(+∞上零点的个数为1．……………………………9分（2）由（1）知，当),0(0x x ∈时，)(x ϕ＞0，当),(0∞+∈x x 时，)(x ϕ＜0．∴当0>x 时，2|)()(|21)]()([21)(cx x h x f x h x f x g ---+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<--,,e ,0,102202x x cx x x x cx x x x求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤<-+='.,2e )2(,0,211)(002x x cx x x x x cx x x g x由函数)(x g 在),0(+∞上是增函数，且曲线)(x g y =在),0(+∞上连续不断知：0)(≥'x g 在],0(0x ，),(0∞+x 上恒成立． ……………………………11分①当),(0∞+∈x x 时，cx x x x2e)2(--≥0在),(0∞+x 上恒成立，即x xc e22-≤在),(0∞+x 上恒成立，记x x x u e 2)(-=，0x x >，则xx x u e3)(-='，0x x >，当 x 变化时，)(x u '，)(x u 变化情况列表如下：∴)(x u m i n =)(x u 极小值=)3(u 3e-=，故“x x c e 22-≤在),(0∞+x 上恒成立”，只需m in )(2x u c ≤3e 1-=，即32e1-≤c ． ②当],0(0x x ∈时，=')(x g cx x2112-+，当0≤c 时，0)(>'x g 在],0(0x x ∈上恒成立，综合①②知，当32e 1-≤c 时，函数)(x g 在),0(+∞上是增函数．故实数c 的取值范围是]2e 1,(3--∞． ……………………………14分。

山东省日照市2017届高三数学校际联合模拟考试(三模)试题文(含解析)

山东省日照市届高三数学校际联合模拟考试（三模）试题文（含解析）本试卷分第卷和第Ⅱ卷两部分，共页。

满分分。

考试时间分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回．注意事项：．答题前，考生务必用毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

．第卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

．第卷必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：，其中为柱体的底面面积，为柱体的高．第卷(共分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．. 若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，. . . .【答案】【解析】复数在复平面内的对应点关于实轴对称,∴则则（﹣）（）．故选．. 已知集合，集合，则集合等于. . . .【答案】【解析】由题意解得所以集合＝,故选.. 若，则的值为. . . .【答案】【解析】则,故选.. 已知实数满足不等式组的取值范围是. . . .【答案】【解析】设，则，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小，，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，，即,故选.点睛:本题考查简单的线性规划. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：()在平面直角坐标系内作出可行域．()考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．()确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．()求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.. 命题，命题的. 充分不必要条件 . 必要不充分条件. 充要条件 . 既不充分也不必要条件【答案】【解析】由得，即，由得，∴是的充要条件．故选：．点睛:如果,则称是的充分条件是的必要条件;如果,那么称是的充分必要条件,简称是的充要条件,记作;如果,那么称是的充分不必要条件; 如果,那么称是的必要不充分条件;如果,那么称是的既不充分也不必要条件.. 已知，则的大小关系为. .. .【答案】【解析】∵∴．又∵，∴,故选.. 某一算法程序框图如右图所示，则输出的的值为. . . .【答案】【解析】由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. .. .【答案】【解析】根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为；所以该组合体的体积为：，故选．点睛:本题考查立体几何三视图的直观图,以及还原几何体后求出相应的体积和表面积.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．. 已知角θ始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，则函数的图象大致是. . . .【答案】【解析】由题意，所以，所以排除．又当时，，综上可知，选项是正确的.. 在等腰梯形，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为. . . .【答案】【解析】试题分析：由平几知识可得，所以，因为在上单调递减，所以，由不等式恒成立，得，即的最大值是，选.考点：椭圆与双曲线离心率【思路点睛】（）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求＋＞，双曲线的定义中要求－＜，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.（）解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，，的方程或不等式，再根据，，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，，的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的定义及几何性质、点的坐标的范围等.第卷(共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．. 从编号为，，，…，的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为的一个样本，若编号为的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为．【答案】【解析】样本间隔为÷，∵×，∴该样本中产品的最小编号为,故填. . 已知函数.【答案】【解析】由已知，,故填. . 已知向量的最小值为．【答案】【解析】，，即.,,.当且仅当,故填.点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: ()创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．()既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：，(>，>)．. 已知函数若存在三个不同的实数，使得，则的取值范围为．【答案】【解析】当时，，在上关于对称，且；又当时，是增函数，函数的图象如图所示．令，得，，实数、、互不相同，不妨设，，，．故填.. 祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得到如图所示的几何体，称为椭球体．请类比应用祖暅原理求球体体积公式的做法，求出椭球体体积，其体积为.【答案】【解析】椭圆的长半轴为，短半轴为，现构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积.三、解答题：本大题共小题，共分．. 已知函数.()求函数的值域；()已知锐角的两边长分别是函数的最大值和最小值，且的外接圆半径为，求的面积．【答案】（）；（）.【解析】试题分析:()根据两角和与差的正弦化简,再由角的范围以及正弦函数图象求出函数值域;()由正弦定理求出角和,进而求出角,代入面积公式即可.试题解析:（），又,所以当，即时，，当，即时，，所以值域为 ;（）设 ,则，所以，，又是锐角三角形，所以，所以,所以.. 种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了月日至月日的昼夜温差与每天颗某种种子浸泡后的发芽数，如下表：（）从月日至月日中任选天，记发芽的种子数分别为，，求事件“均不小于”的概率；（）请根据月日至月日的三组数据，求出关于的线性回归方程；（）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过颗，则认为回归方程是可靠的，试用月日与日的两组数据检验，（）中的回归方程是否可靠？【答案】() ;() ;()详见解析.【解析】试题分析:()由列举法得出从天中任选天的基本事件, 选出的二天种子发芽数均不小于的基本事件,根据古典概型得出概率;()先求出平均数和代入公式,求出线性回归方程;()将和代入方程,与（）中的回归方程进行比较,得出结论.试题解析:（Ⅰ）从天中任选天，共有个基本事件：（日，日），（日，日），（日，日），（日，日），（日，日），（日，日），（日，日），（日，日），（日，日），（日，日）．选出的二天种子发芽数均不小于共有个基本事件：（日，日），（日，日），（日，日）．∴事件“均不小于”的概率为.（Ⅱ）．．．∴.∴关于的线性回归方程为.（Ⅲ）当时，．当时，．∴回归方程是可靠的．点睛:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型:()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．()每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件包括的结果有个，那么事件的概率()＝．. 如图，菱与四边形相交于，平面，，⊥，为的中点，．()求证：／／平面；()求证：平面⊥平面．【答案】()详见解析;()详见解析.【解析】试题分析:() 取的中点，连接.由，又因为，且，所以平面平面，又平面，所以平面;() 连接，由.设菱形的边长为，则，，则，，且平面，，得平面，又，所以，平面，又平面，所以平面平面.试题解析:证明：（Ⅰ）取的中点，连接.因为为菱形对角线的交点，所以为中点，所以，又因为分别为的中点，所以，又因为，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面；（Ⅱ）证明：连接，因为四边形为菱形，所以，又平面，所以，所以.设菱形的边长为，，则，又因为，所以，则，，且平面，，得平面，在直角三角形中，，又在直角梯形中，得，从而，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.点睛:直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,即线线平行推出线面平行.两平面垂直的判定有两种方法:()两个平面所成的二面角是直角；()一个平面经过另一平面的垂线．掌握基本的判定和性质定理外还应理解线线、线面、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力.. 等差数列前项和为.（）求数列的通项公式；（）若数列满足的前项和.【答案】() () .【解析】试题分析:()由等差数列的基本量运算,求出数列的通项公式;()先求出数列的通项公式,根据裂项相消法求出前项和.试题解析:（Ⅰ）设等差数列的公差为，∵∴解得∴（Ⅱ）∵，，．.. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为直径的圆过椭圆的上顶点，直线与圆相交得到的弦长为．设点，连接交椭圆于点．()求椭圆的方程；()若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【答案】() ;() .【解析】试题分析:() 由题意,则圆的方程为,又，直线的方程为，直线与圆相交得到的弦长为，则进而可得椭圆的方程.() 设直线的方程为，联立直线和椭圆方程,可得点的坐标是，故直线的斜率为，，所以.将线段的长度用来表示,则，，所以，整理得，又，，所以.试题解析:（Ⅰ）因为以为直径的圆过点,所以,则圆的方程为, 又,所以，直线的方程为，直线与圆相交得到的弦长为，则所以，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，由整理得，解得：，，则点的坐标是，故直线的斜率为，由于直线的斜率为，所以，所以.，，所以，，所以，整理得，又，，所以.. 己知函数，．()求函数的单调区间；()设，已知函数在上是增函数．()研究函数上零点的个数；()求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）()个;() .【解析】试题分析() 对函数求导,①当时，在上是减函数，在上是增函数；②当时，在上是增函数，在上是减函数；() （）当时，函数，,在上单调递减．又，，由函数的零点存在性定理及其单调性知，在上零点的个数为．（）由（）知，当时，＞，当时，＜．∴当时，求导，得在，上恒成立．①当时，极小值，故“在上恒成立”，只需．②当时，当时，在上恒成立，综合①②知，的取值范围是．试题解析:（Ⅰ）∵，∴，①当时，在时，，在时，，故在上是减函数，在上是增函数；②当时，在时，，在时，，故在上是增函数，在上是减函数；（Ⅱ）（）当时，函数，求导，得，当时，恒成立，当时，，∴，∴在上恒成立，故在上单调递减．又，，曲线在上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的∈（，），使，所以，函数在上零点的个数为．（）由（）知，当时，＞，当时，＜．∴当时，求导，得由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知：在，上恒成立．①当时，上恒成立，即在上恒成立，记，，则，，当变化时，，变化情况列表如下：极小值∴极小值，故“在上恒成立”，只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数在上是增函数．故实数的取值范围是．。

山东省临沂市2017届高考数学一模试卷(文科)Word版含解析

山东省临沂市2017届高考一模试卷（文科数学）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知全集U={y|y=x 3，x=﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1}，B={1，8}，则A∩（∁U B ）=（）A ．{﹣1，1}B ．{﹣1}C ．{1}D ．∅2．函数的定义域为（）A ．（﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．[1，2）∪（2，+∞）D ．3．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x 50，500（单位：公斤），其中x 1，x 2，x 3，…，x 50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则x 1，x 2，x 3，…，x 50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x 、y 比较，下列说法正确的是（）A ．平均数增大，中位数一定变大B ．平均数增大，中位数可能不变C ．平均数可能不变，中位数可能不变D ．平均数可能不变，中位数可能变小4．下列函数为偶函数的是（）A ．f （x ）=x 2﹣xB ．f （x ）=xcosxC ．f （x ）=xsinxD ．5．已知a ∈R ，“关于x 的不等式x 2﹣2ax+a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数f （x ）=的图象与函数的图象的交点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，非零向量=， =，且NP ⊥OM ，P 为垂足，若向量=，则λ的值为（）A ．B ．﹣C ．D ．8．已知x ，y ∈R ，且满足，则的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与四棱锥P﹣ABCD的体积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：810．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．已知圆C的圆心坐标为（3，2），抛物线x2=﹣4y的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为_______．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．已知点F 1，F 2为双曲线的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|=|F 1F 2|，∠F 1F 2P=120°，则双曲线的离心率为_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价．分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户．已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10．（Ⅰ）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；（Ⅱ）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率．17．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量，向量，且．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若sinAsinC=sin 2B ，求a ﹣c 的值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2，E 、F 、H 分别为PA 、CD 、PF 的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l ，求证：CD ∥l ；（Ⅱ）求证：AH ⊥面EDC ．19．已知等差数列{a n }的公差d=2，其前n 项和为S n ，数列{a n }的首项b 1=2，其前n 项和为T n ，满足．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n ﹣14|}的前n 项和W n ．20．已知椭圆的长轴长为，点A ，B ，C 在椭圆E 上，其中点A 是椭圆E 的右顶点，直线BC 过原点O ，点B 在第一象限，且|BC|=2|AB|，．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l与圆x2+y2=1相切，且与椭圆E交于两个不同的点M，N，求△MON的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax，．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，h（x）=x（lnx﹣1）﹣f′（x），证明h（x）存在唯一极值点．山东省临沂市2017届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）B）=（）1．已知全集U={y|y=x3，x=﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1}，B={1，8}，则A∩（∁UA．{﹣1，1} B．{﹣1} C．{1} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．B）．【分析】化简全集U，求出B在U中的补集，再计算A∩（∁U【解答】解：全集U={y|y=x3，x=﹣1，0，1，2}={﹣1，0，1，8}，集合A={﹣1，1}，B={1，8}，B={x|x∈Z，且x≠1，x≠8}，∴∁UB）={﹣1}．∴A∩（∁U故选：B．2．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．[1，2）∪（2，+∞）D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：由函数，得，解得，即﹣1≤x ≤1且x ≠﹣；所以函数y 的定义域为[﹣1，﹣）∪（﹣，1]．故选：D ．3．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x 50，500（单位：公斤），其中x 1，x 2，x 3，…，x 50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则x 1，x 2，x 3，…，x 50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x 、y 比较，下列说法正确的是（）A ．平均数增大，中位数一定变大B ．平均数增大，中位数可能不变C ．平均数可能不变，中位数可能不变D ．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x 1，x 2，x 3，…，x 50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B ．4．下列函数为偶函数的是（）A ．f （x ）=x 2﹣xB ．f （x ）=xcosxC ．f （x ）=xsinxD ．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：f （x ）=x 2﹣x 的对称轴是x=，为非奇非偶函数，f （﹣x ）=﹣xcosx=﹣f （x ），则f （x ）=xcosx 为奇函数，f （﹣x ）=﹣xsin （﹣x ）=xsinx=f （x ），则f （x ）=xsinx 为偶函数，f（﹣x）+f（x）=lg（﹣x）+lg（+x）=lg1=0，即f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数，故选：C．5．已知a∈R，“关于x的不等式x2﹣2ax+a≥0的解集为R”是“0≤a≤1”（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】不等式x2﹣2ax+a≥0的解集为R，则△≤0，解出即可．【解答】解：关于x的不等式x2﹣2ax+a≥0的解集为R，∴△≤0，即4a2﹣4a≤0，解得0≤a≤1．∴实数a的取值范围是[0，1]．故“关于x的不等式x2﹣2ax+a≥0的解集为R”是“0≤a≤1”的充要条件，故选：C．6．函数f（x）=的图象与函数的图象的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】在同一个坐标系内分别画出函数的图象，数形结合求交点个数．【解答】解：两个函数图象如图：由图可知两个函数图形交点个数为1：故选A．7．如图，非零向量=， =，且NP⊥OM，P为垂足，若向量=，则λ的值为（）A．B．﹣ C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可知，向量与的数量积等于0，把向量与都用向量与表示，整理后即可得到λ的值．【解答】解：由图可知，，即，所以，因为λ≠0，所以．故选C．8．已知x，y∈R，且满足，则的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用t的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到点（0，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，2），则的最大值为t==3，故选：A．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与四棱锥P ﹣ABCD 的体积比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：6D ．1：8【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ，而V P ﹣ABC =V P ﹣ABCD ，故V N ﹣PAC =V P ﹣ABCD ．【解答】解：设四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S ▱ABCD ，∴V P ﹣ABC =V ．∵NB=2PN ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC =V ．∴三棱锥N ﹣PAC 与四棱锥P ﹣ABCD 的体积比为1：6．故选C ．10．如图所示的程序框图，输出S 的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．已知圆C的圆心坐标为（3，2），抛物线x2=﹣4y的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为（x ﹣3）2+（y﹣2）2=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出准线方程，计算圆心到直线的距离，利用垂径定理计算圆的半径，得出圆的方程．【解答】解：抛物线x2=﹣4y的准线方程为：y=1．∴圆心C（3，2）到直线y=1的距离d=1．∴圆的半径r==，∴圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=2．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）= cosπx ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为： cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3 ．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．已知点F 1，F 2为双曲线的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|=|F 1F 2|，∠F 1F 2P=120°，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF 1|=2c ，再由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即为2c ﹣2c=2a ，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，∠PF 2F 1=120°，即有|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|•|F 1F 2|cos ∠PF 2F 1=4c 2+4c 2﹣2•4c 2•（﹣）=12c 2，即有|PF 1|=2c ，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即为2c ﹣2c=2a ，即有c=a ，可得e==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价．分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户．已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10．（Ⅰ）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；（Ⅱ）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，利用列举法能求出两名用户评价分之和大于18的概率．（Ⅱ）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，利用列举法能求出这两名用户至少有一人为满意用户的概率．【解答】解：（Ⅰ）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，包含的所有基本事件为：（7.6，9.1），（7.6，9.2），（7.6，9.3），（7.6，9.4），（8.3，9.1），（8.3，9.2），（8.3，9.3），（8.3，9.4），（8.7，9.1），（8.7，9.2），（8.7，9.3），（8.7，9.4），（8.9，9.1），（8.9，9.2），（8.9，9.3），（8.9，9.4），共16种，设“两名用户评价分之和大于18”为事件M ，其包含的基本事件为：（8.7，9.4），（8.9，9.2），（8.9，9.3），（8.9，9.4），共4种，则P （M ）==．（Ⅱ）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，包含的所有基本事件为：（9.1，9.2），（9.1，9.3），（9.1，9.4），（9.1，9.9），（9.1，10），（9.2，9.3），（9.2，9.4），（9.2，9.9），（9.2，10），（9.3，9.4），（9.3，9.9），（9.3，10），（9.4，9.9），（9.4，10），（9.9，10），共15种，设“两名用户至少一人为满意用户”为事件N，其包含的所有基本事件为：（9.1，9.9），（9.1，10），（9.2，9.9），（9.2，10），（9.3，9.9），（9.3，10），（9.4，9.9），（9.4，10），（9.9，10），共9种，∴这两名用户至少有一人为满意用户的概率p=．17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由，可得2sin（A+C）﹣cos2B=0，解得tan2B=，可得B．（II）sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（I）∵，∴2sin（A+C）﹣cos2B=0，∴﹣2sinBcosB=cos2B，即sin2B=﹣cos2B，解得tan2B=，∵，∴2B∈（0，π），∴，解得B=．（II）∵sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴ac=a2+c2﹣2accos，化为（a﹣c）2=0，解得a﹣c=0．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2，E、F、H 分别为PA、CD、PF的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求证：AH⊥面EDC．【考点】直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论．【分析】（Ⅰ）由已知可证DC⊥BC，又AB⊥BC，可得AB∥CD，根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）连接AF，EH，连接EF交AH与G，利用CD⊥AF，CD⊥PA，可证CD⊥平面PAF，从而证明CD⊥AH．在△PAF中，通过证明AG2+GF2=AF2，可证得AH⊥EF，即可证明AH⊥平面EDC．【解答】（本题满分为12分）证明：（Ⅰ）在四边形ABCD中，∵AC⊥AD，AD=AC=2，∴∠ACD=45°，∵∠BCA=45°，∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=90°，DC⊥BC，又∵AB⊥BC，∴AB∥CD，…2分∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，…4分∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．…6分（Ⅱ）连接AF，EH，连接EF交AH与G，∵F为CD的中点，AD=AC，∴CD⊥AF，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，∵PA∩AF=A，∴CD⊥平面PAF，∵AH⊂平面PAF，∴CD⊥AH．…8分如图，在△PAF中，∵AC⊥AD，AD=AC=2，∴CD=2，∵F为CD的中点，∴AF=CD=，∵PA⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴PA⊥AF．∵E为PA的中点，∴AE=1，∴EF==，∵E，H为PA，PF的中点，∴EH∥AF，EH=AF=，∴EH⊥PA，∴AH==，∵EH∥AF，∴△EHG∽△FAG，∴，∴AG=AH=，GF=EF=，∴AG2+GF2=AF2，∴AG⊥GF，即AH⊥EF，…11分∵EF∩CD=F，∴AH⊥平面EDC．…12分19．已知等差数列{a n }的公差d=2，其前n 项和为S n ，数列{a n }的首项b 1=2，其前n 项和为T n ，满足．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n ﹣14|}的前n 项和W n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I ）由，可得=T 1+2=22，解得a 1．利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式可得a n ，S n ．可得2n+1=T n +2，利用递推关系可得b n ．（II ）令c n =a n b n ﹣14=（2n ﹣1）•2n ﹣14．可得：c 1=﹣12，c 2=﹣2，n ≥3，c n ＞0．n ≥3，W n =c 1+c 2+…+c n ﹣2c 1﹣2c 2．W n =1×2+3×22+…+（2n ﹣1）2n ﹣14n+28，令Q n =1×2+3×22+…+（2n ﹣1）2n ，利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（I ）∵，∴=T 1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a 1=1．∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．∴S n ==n 2． ∴2n+1=T n +2，∴当n ≥2时，2n+1﹣2n =T n +2﹣（T n ﹣1+2）=b n ，∴b n =2n ，当n=1时也成立．∴b n =2n ．（II ）令c n =a n b n ﹣14=（2n ﹣1）•2n ﹣14．∴c 1=﹣12，c 2=﹣2，n ≥3，c n ＞0．∴n ≥3，W n =﹣c 1﹣c 2+c 3+…+c n =c 1+c 2+…+c n ﹣2c 1﹣2c 2．W n =1×2+3×22+…+（2n ﹣1）2n ﹣14n+28，令Q n =1×2+3×22+…+（2n ﹣1）2n ，2Q n =1×22+3×23+…+（2n ﹣3）•2n +（2n ﹣1）•2n+1，∴﹣Q n =2（2+22+…+2n ）﹣2﹣（2n ﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n ﹣1）•2n+1=（3﹣2n ）•2n+1﹣6，∴Q n =（2n ﹣3）•2n+1+6．∴W n =．20．已知椭圆的长轴长为，点A ，B ，C 在椭圆E 上，其中点A 是椭圆E 的右顶点，直线BC 过原点O ，点B 在第一象限，且|BC|=2|AB|，．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）与x 轴不垂直的直线l 与圆x 2+y 2=1相切，且与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，求△MON 的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）由题意可得2a=4，解得a ．由点A 是椭圆E 的右顶点，直线BC 过原点O ，点B 在第一象限，且|BC|=2|AB|，可得|BO|=|AB|，又，|OA|=a=2，利用余弦定理解得|BO|．可得B ，代入椭圆方程即可得出．（II ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设直线L 的方程为：y=kx+m ．与椭圆方程联立化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣8=0，△＞0，化为8k 2+4＞m 2．利用根与系数的关系可得则|MN|=．由直线l 与圆x 2+y 2=1相切，可得=1，化为m 2=1+k 2，利用S △MON =|MN|，通过换元再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】解：（I ）∵2a=4，∴a=2．∵点A 是椭圆E 的右顶点，直线BC 过原点O ，点B 在第一象限，且|BC|=2|AB|，∴|BO|=|AB|，∵，|OA|=a=2，∴|OA|2=|BO|2+|AB|2﹣2|BO||AB|cos ∠ABO ，∴8=2|BO|2，解得|BO|=．∴B ，代入椭圆方程可得：=1=1，解得b 2=4．∴椭圆E 的方程为=1．（II ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设直线l 的方程为：y=kx+m ．联立，化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣8=0，∵直线l 与椭圆相交于不同的两点，∴△＞0，化为8k 2+4＞m 2．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，则|MN|===，∵直线l 与圆x 2+y 2=1相切，∴=1，化为m 2=1+k 2，∴|MN|=，则S △MON =|MN|×1=，令1+2k 2=t ≥1，则k 2=代入上式可得：，∵t ≥1，∴，∴＜S △MON ≤．即△MON 的面积的取值范围是．21．已知函数f （x ）=sinx ﹣ax ，．（Ⅰ）对于x ∈（0，1），f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，h （x ）=x （lnx ﹣1）﹣f′（x ），证明h （x ）存在唯一极值点．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由a ＜，令g （x ）=，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围；（Ⅱ）求出h （x ）的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＞0，得：sinx ﹣ax ＞0，∵0＜x ＜1，∴a ＜，令g （x ）=，g′（x ）=，令m （x ）=xcosx ﹣sinx ，m′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ＜0， ∴m （x ）在（0，1）递减，∴m （x ）＜m （0）=0，∴g′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）递减，∴g （x ）＞g （1）=sin1，∴a ≤sin1；（Ⅱ）证明：∵h （x ）=xsinx ﹣x ﹣cosx ，∴h′（x ）=lnx+sinx ，x ∈[1，e]时，lnx ≥0，sinx ＞0，∴h′（x ）＞0，x ∈（e ，+∞）时，lnx ＞1，sinx ≥﹣1，∴h′（x ）＞0，x ∈（0，1）时，令y=lnx+sinx ，则y′=+cosx ＞0，∴y=lnx+sinx 在（0，1）递增，由ln2＞sin ，ln ＜知：h′（）=ln +sin ＜0，h′（）=ln +sin ＞0，故存在x 0∈（，）使得h′（x 0）=0，且当x ∈（0，x 0）时，h′（x ）＜0，当x ∈（x 0，1）时，h′（x ）＞0，综上，当x ∈（0，x 0）时，h′（x ）＜0，h （x ）在（0，x 0）递减， x ∈（x 0，+∞）时，h′（x ）＞0，h （x ）在（x 0，+∞）递增， ∴h （x ）存在唯一极值点x=x 0．。

山东省临沂市2017年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析

山东省临沂市2017年高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x+1|≥1}，B={x|x≥﹣1}，则（∁A）∩B=（）RA．[﹣1，0] B．[﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1]2．设（1+i）（ x﹣yi）=2，其中 x，y 是实数，i 为虚数单位，则 x+y=（）A．1 B．C．D．23．已知λ∈R，向量=（3，λ），=（λ﹣1，2），则“λ=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（）A．B．C．D．5．已知实数 x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不大于63的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．若 x ，y 满足，则 z=y ﹣2x 的最大值为（）A ．8B ．4C ．1D ．27．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． +8πB ． +8πC ． +16πD ． +16π8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1+=，则A=（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°9．已知 x ＞1，y ＞1，且 lg x ，，lg y 成等比数列，则 xy 有（）A ．最小值10B ．最小值C ．最大值10D ．最大值10．已知双曲线 C 1：﹣=1（ a ＞0，b ＞0），圆 C 2：x 2+y 2﹣2ax+a 2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知变量 x，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 y关于 x 的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= ；12．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P（ξ＞1）=0.2，则 P （﹣1＜ξ＜1）= ．13．已知函数f（x）=则f（log27）= ．14．已知m=9cos xdx，则（﹣x）m展开式中常数项为．15．已知函数 f（x）=1+x﹣+，g （x）=1﹣x+﹣，设函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b ∈Z ）内，则 b﹣a 的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数 f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数 f （ x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数 y=f （ x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x）的图象，求 y=g（ x）在[，2π]上的值域．17．（12分）已知数列{an }的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，n∈N∗．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令 c=log 3a 2n ，b n =，记数列{b n }的前 n 项和为T n ，若对任意 n ∈N ∗，λ＜T n 恒成立，求实数 λ 的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为PD 的中点．（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE ∥平面 BDF ；（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）某科技博览会展出的智能机器人有 A ，B ，C ，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A ，B ，C ，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．20．（13分）已知函数f （x ）=x 2+ax ，g （x ）=e x ，a ∈R 且a ≠0，e=2.718…，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数h （x ）=f （x ）•g（x ）在[﹣1，1]上极值点的个数；（Ⅱ）令函数p （x ）=f'（x ）•g（x ），若∀a ∈[1，3]，函数p （x ）在区间[b+a ﹣e a ，+∞]上均为增函数，求证：b ≥e 3﹣7．21．（14分）已知椭圆Γ： +y 2=1（a ＞1）的左焦点为F 1，右顶点为A 1，上顶点为B 1，过F 1，A 1，B 1三点的圆P 的圆心坐标为（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ，m 为常数，k ≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ．（i ）当直线l 过E （1，0），且+2=时，求直线l 的方程；（ii ）当坐标原点O 到直线l 的距离为时，求△MON 面积的最大值．山东省临沂市2017年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）∩B=（）1．已知集合A={x||x+1|≥1}，B={x|x≥﹣1}，则（∁RA．[﹣1，0] B．[﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵A={x||x+1|≥1}={x|x≤﹣2或x≥0}，∴∁A={x|﹣2＜x＜0}，又B={x|x≥﹣1}，RA）∩B=[﹣1，0）．∴（∁R故选：B．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．设（1+i）（ x﹣yi）=2，其中 x，y 是实数，i 为虚数单位，则 x+y=（）A．1 B．C．D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（1+i）（ x﹣yi）=2，∴x+y+（x﹣y）i=2，∴x+y=2，x﹣y=0．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知λ∈R，向量=（3，λ），=（λ﹣1，2），则“λ=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的平行关系求出λ的值，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“∥”，得：λ（λ﹣1）=6，解得：λ=3或﹣2，故“λ=3”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了向量的平行关系以及充分必要条件的定义，是一道基础题．4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（）A．B．C．D．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据新定义直接判断即可【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335 用算筹可表示为，故选：B【点评】本题考查了新定义的学习，属于基础题．5．已知实数 x ∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不大于63的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】EF ：程序框图．【分析】由框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件，计算输出x 的值，根据框图的运算结果求出当输入x ∈[1，10]时，输出x 的集合，并确定数集的长度，再求出输出x 不大于63的数集的长度，利用长度之比求概率．【解答】解：设实数x ∈[1，10]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7，∴当输入x ∈[1，10]时，输出x ∈[15，87]，数集的长度为72；输出x 不大于63，则x ∈[15，63]，数集的长度为48．∴输出的x 不大于63的概率为=．故选：D ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，考查了几何概型的概率计算，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，求得输出x 所在数集的长度是关键，属于基础题．6．若 x，y 满足，则 z=y﹣2x 的最大值为（）A．8 B．4 C．1 D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=y﹣2x 为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z=0﹣2×（﹣2）=4．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8πC． +16πD． +16π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为： =8π，三棱锥的底面面积为： =4，高为2，故体积为：，故组合体的体积V=+8π，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=，则A=（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可求cosA，结合A的范围，由特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：∵1+=，∴1+=，可得： =，∴=，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．已知 x ＞1，y ＞1，且 lg x ，，lg y 成等比数列，则 xy 有（）A ．最小值10B ．最小值C ．最大值10D ．最大值【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy 的最小值．【解答】解：∵lg x ，，lg y 成等比数列，∴=（lg x ）（lg y ），即（lg x ）（lg y ）=，又 x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，∴lg x+lg y，当且仅当lg x=lg y 时，即x=y 取等号，∴lg x+lg y=lg （x y ）≥，则xy ≥，即xy 有最小值是，故选B ．【点评】本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用，属于基础题．10．已知双曲线 C 1：﹣=1（ a ＞0，b ＞0），圆 C 2：x 2+y 2﹣2ax+a 2=0，若双曲线C 1 的一条渐近线与圆 C 2 有两个不同的交点，则双曲线 C 1 的离心率的范围是（）A ．（1，）B ．（，+∞） C ．（1，2）D ．（2，+∞）【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆心及半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到渐近线的距离小于半径，求得a 和c 关系，利用离心率公式即可求得双曲线C 1的离心率的范围．【解答】解：双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0，圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，（x﹣a）2+y2=，圆心（a，0），半径a，由双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则＜a，即c＞2b，则c2＞4b2=4（c2﹣a2），即c2＜a2，双曲线 C1的离心率e=＜，由e＞1，∴双曲线 C1的离心率的范围（1，），故选A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知变量 x，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 y关于 x 的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= 3.1 ；【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意， =2.5，代入线性回归方程为=1.3x﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故答案为3.1．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．12．设随机变量ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P （ξ＞1）=0.2，则 P （﹣1＜ξ＜1）= 0.3 ．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P （ξ＞1）=0.2，可得μ=﹣1，P （﹣1＜ξ＜1）=0.5﹣0.2=0.3．【解答】解：∵ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣3）=P （ξ＞1）=0.2， ∴μ=﹣1，P （﹣1＜ξ＜1）=0.5﹣0.2=0.3，故答案为：0.3．【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．13．已知函数f （x ）=则f （log 27）=．【考点】5B ：分段函数的应用．【分析】由已知中函数f （x ）=，将x=log 27代入，结合指数的运算性质和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （log 27）=f （log 2）=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数和对数的运算性质，难度基础．14．已知m=9cos xdx ，则（﹣x ）m 展开式中常数项为 ﹣84 ．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用微积分基本定理可得m=9=9，再利用通项公式即可得出．【解答】解：m=9cos xdx=9=9，==（﹣1）r，则（﹣x）m展开式中通项公式：Tr+1令=0，解得r=3．∴常数项=﹣=﹣84．故答案为：﹣84．【点评】本题考查了微积分基本定理、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知函数 f（x）=1+x﹣+，g （x）=1﹣x+﹣，设函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b ∈Z ）内，则 b﹣a 的最小值为 6 ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出其零点的范围，求出f（x﹣4）的零点所在的范围；通过讨论x的范围，求出g（x）在R 的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x+3）所在的零点的范围，F （ x）的零点均在区间[a，b]，进而求出a，b的值，求出答案即可．【解答】解：∵函数 f（x）=1+x﹣+，f′（x）=1﹣x+x2＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点，∴函数f（x﹣4）在[3，4]上有一个零点，函数g （x）=1﹣x+﹣，g′（x）=﹣1+x﹣x2＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1﹣1+＞0，g（2）=1﹣2+2＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，∴函数g（x+3）在[﹣2，﹣1]上有一个零点，函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点在区间[﹣2，4]内，则 b﹣a 的最小值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（2017•青岛一模）已知函数 f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数 f （ x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数 y=f （ x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x）的图象，求 y=g（ x）在[，2π]上的值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （ x ）=2sin（2x+），令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数 f （ x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g （ x）=2sin（+），由x∈[，2π]，利用正弦函数的性质可求值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx=sin2x+cos2x+cos2x﹣sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数 f （ x）图象的对称轴方程：x=+，k∈Z，（Ⅱ）将函数 y=f （ x ）的图象向右平移个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x ﹣）+]=2sin （2x+），再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数解析式为：y=g （ x ）=2sin （+），∵x ∈[，2π]，∴+∈[，]，可得：sin （+）∈[﹣，1]，∴g （ x ）=2sin （+）∈[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．17．（12分）（2017•青岛一模）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1=1，且 a n+1=2S n +1，n ∈N ∗．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令 c=log 3a 2n ，b n =，记数列{b n }的前 n 项和为T n ，若对任意 n ∈N ∗，λ＜T n 恒成立，求实数 λ 的取值范围．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（I ）a n+1=2S n +1，n ∈N ∗，n ≥2时，a n =2S n ﹣1+1，可得a n+1﹣a n =2a n ，即a n+1=3a n ．n=1时，a 2=2a 1+1=3，满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）c=log 3a 2n ==2n﹣1．b n ===，利用“裂项求和”及其数列的单调性即可得出．【解答】解：（I ）∵a n+1=2S n +1，n ∈N ∗，n ≥2时，a n =2S n ﹣1+1，可得a n+1﹣a n =2a n ，即a n+1=3a n ．n=1时，a 2=2a 1+1=3=3a 1，满足上式． ∴数列{a n }是等比数列，∴a n =3n ﹣1．（II ） c=log 3a 2n ==2n ﹣1．b n ===，数列{b n }的前n项和T n =+++…++=∵对任意 n ∈N ∗，λ＜T n 恒成立，∴λ＜=．∴实数 λ 的取值是．【点评】本题考查了数列递推关系、对数运算性质、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•青岛一模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为PD 的中点．（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE ∥平面 BDF ；（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由三角形中位线定理可得FO ∥GC ，GE ∥FD ．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC ∥面FOD ，进一步得到CE ∥面BDF ；（Ⅱ）由底面ABCD 是边长为 3 的菱形，可得AC ⊥BD ，设交点为O ，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO∥GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE∥FD．又GE∩GC=G，GE、GC⊂面GEC，FO∩FD=F，FO，FD⊂面FOD．∴面GEC∥面FOD．∵CE⊂面GEC，∴CE∥面BDF；（Ⅱ）解：∵底面ABCD是边长为 3 的菱形，∴AC⊥BD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，﹣，0），D（0，，0），P（﹣，0，3），C（，0，0），F（，0，2）．则，，，．设平面BDF的一个法向量为，则，取z=3，得．设平面PCD的一个法向量为，则，取y=，得．∴cos＜＞==．∴平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017•青岛一模）某科技博览会展出的智能机器人有 A，B，C，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A，B，C，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）四中机器人的总的排序为，A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交换．（II）ξ的可能取值为1，2，3，4．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=4）=，P（ξ=3）=，即可得出．【解答】解：（I） A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻只能是C、AB、D，或C、BA、D，C，D也可以交换．因此概率P==．（II）ξ的可能取值为1，2，3，4．P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，P（ξ=3）==.∴∴E（ξ）=1×+2×+4×+3×=．【点评】本题考查了排列与组合的计算公式、相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•青岛一模）已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=e x，a∈R 且a≠0，e=2.718…，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）•g（x）在[﹣1，1]上极值点的个数；（Ⅱ）令函数p（x）=f'（x）•g（x），若∀a∈[1，3]，函数p（x）在区间[b+a ﹣e a，+∞]上均为增函数，求证：b≥e3﹣7．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数h（x）的导函数，h′（x）=，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，求出t（x）的两个零点＜﹣1，＞﹣1．然后分a≤和a＞﹣讨论函数的单调性，从而求得函数h（x）=f（x）•g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点的个数；（Ⅱ）由函数p（x）在区间[b+a﹣e a，+∞]上为增函数，可得p′（x）=e x（x+a+1）≥0在区间[b+a﹣e a，+∞]上恒成立，转化为x+a+1≥0在区间[b+a﹣e a，+∞]上恒成立，得到b≥e a﹣2a﹣1对∀a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=e a﹣2a﹣1，求导可得φ（a）=e a﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．从而证得b≥e3﹣7．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x2+ax，g（x）=e x，∴h（x）=f（x）•g（x）=（x2+ax）e x，h′（x）=，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得＜﹣1，＞﹣1．若a≤，则x2≥1，t（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，即h′（x）在[﹣1，1]上恒成立，h（x）单调递减，在[﹣1，1]上无极值点；若a＞﹣，则﹣1＜x2＜1，当x∈[﹣1，x2）时，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x2，1]时，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x2是函数h（x）=f（x）•g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点．（Ⅱ）证明：p（x）=f'（x）•g（x）=（x+a）e x，p′（x）=e x（x+a+1），∵函数p（x）在区间[b+a﹣e a，+∞]上为增函数，∴e x（x+a+1）≥0在区间[b+a ﹣e a，+∞]上恒成立，即x+a+1≥0在区间[b+a﹣e a，+∞]上恒成立，则b+a﹣e a+a+1≥0对∀a∈[1，3]恒成立，∴b≥e a﹣2a﹣1对∀a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=e a﹣2a﹣1，则φ′（a）=e a﹣2＞0，∴φ（a）=e a﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．∴b≥e3﹣7．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．21．（14分）（2017•青岛一模）已知椭圆Γ：+y 2=1（a ＞1）的左焦点为F 1，右顶点为A 1，上顶点为B 1，过F 1，A 1，B 1三点的圆P 的圆心坐标为（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ，m 为常数，k ≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ．（i ）当直线l 过E （1，0），且+2=时，求直线l 的方程；（ii ）当坐标原点O 到直线l 的距离为时，求△MON 面积的最大值．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题可知：圆心P 在A 1F 1的中垂线上，则a ﹣c=﹣，由椭圆的性质可知：a 2﹣c 2=1，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得x 1及x 2，由x 1x 2=，代入即可求得k 的值，求得直线l 的方程；（ii ）将直线l 的方程代入椭圆方程，由点到直线的距离公式求得m 2=（k 2+1），利用韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式及基本不等式的性质，求得△MON 面积的最大值．【解答】解：（1）椭圆Γ：+y 2=1（a ＞1）的左焦点为F 1（﹣c ，0）右顶点为A 1（a ，0）上顶点为B 1（0，1），由题意可知，圆心P 在A 1F 1的中垂线上，即=，则a ﹣c=﹣，由a 2﹣c 2=1，及（a+c ）（a ﹣c ）=1，∴a+c=+，∴a=，c=，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）（i ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），．代入椭圆方程，整理得：（1+3k 2）x 2﹣6k 2x+3k 2﹣3=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=，①x 1x 2=，②由=（x 1﹣1，y 1），=（x 2﹣1，y 2），+2=时，则（x 1﹣1，y 1）+2（x 2﹣1，y 2）=，则x 1+2x 2=3，③，由①③，解得：x 1=，x 2=由②可知： =×，当3k 2﹣3=0时，即k=±1，显然成立，当3k 2﹣3≠0，1+3k 2≠0，则=1，显然不成立，综上可知：k=±1，∴直线l 的方程y=x ﹣1或y=﹣x+1；（ii ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由题意，设直线AB 的方程为y=kx+m ，由坐标原点O 到直线l 的距离为可得，化为m 2=（k 2+1）．把y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 得到（3k 2+1）x 2+6kmx+3m 2﹣3=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．∴丨MN 丨2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2]=（1+k 2）[（﹣）2﹣4（）]==，=3+，（k ≠0），=3+≤3+=4，当且仅当9k2=时，即k=±时，等号成立，此时丨MN丨=2，由△MON面积S=×丨MN丨×，=×2×，=，∴△MON面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，向量的坐标运算及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。

潍坊市2017届高三数学三模试卷(理科) 含解析

2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设全集U=｛x∈R｜x＞0},函数f（x)=的定义域为A，则∁U A为（）A．(0，e］B．（0,e) C．（e，+∞) D．（a＞0）上随机抽取一个实数x,若x满足＜0的概率为，则实数a的值为．14．如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为,则实数k的值为．15．已知f（x）,g(x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x）+g（x)=2x，若存在x0∈使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立,则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知向量=(sinx,﹣1)，=（cosx,），函数f（x）=（+）•．(1）求函数f(x）的单调递增区间；（2)将函数f(x）的图象向左平移个单位得到函数g(x）的图象，在△ABC中，角A，B,C所对边分别a,b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1)求证：PA⊥CM；(2)求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．18．已知等差数列｛a n}的首项a1=2,前n项和为S n，等比数列{b n｝的首项b1=1,且a2=b3，S3=6b2，n∈N＊．（1）求数列{a n}和{b n｝的通项公式；（2）数列{c n｝满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．19．某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2)若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y｜，求ξ的分布列及数学期望．附：x2=．0.1500.1000.0500。

山东省日照市2017届高三数学三模试卷文科含解析精品

2017年山东省日照市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2﹣i，则z1•z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i2．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，集合B={（x，y）|y=2x}，则集合A∩B等于（）A．（1，2）B．{1，2} C．{（1，2）} D．∅3．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．4．已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y的取值范围是（）A． B． C． D．5．命题p：sin2x=1，命题q：tanx=1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a7．某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（）A ．B ．C ．D ．08．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．60﹣12πB ．60﹣6πC ．72﹣12πD ．72﹣6π9．已知角x 始边与x 轴的非负半轴重合，与圆x 2+y 2=4相交于点A ，终边与圆x 2+y 2=4相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ，△ABC 的面积为S （x ），函数y=S （x ）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x 其中x ∈（0，1），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈（0，1）不等式t ＜e 1+e 2恒成立，则t 的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为．12．已知函数f（x）=则f（f（））= ．13．已知向量=（2m，1）=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则的最小值为．14．已知函数f（x）=若存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为．15．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆=1（a＞b＞0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．已知函数f（x）=sin2x﹣．（I）求函数f（x）的值域；（II）已知锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．17．种子发芽率与昼夜温差有关．某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数，如表：（I）从3月12日至3月16日中任选2天，记发芽的种子数分别为c，d，求事件“c，d均不小于25”的概率；（II）请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出y关于x的线性回归方程；（III）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（II）中的回归方程是否可靠？18．如图，菱ABCD与四边形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，AC∩BD=G．（I）求证：GM∥平面CDE；（II）求证：平面ACE⊥平面ACF．19．等差数列{a n}前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*）且b1=3，求{}的前n项和T n．20．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B．以F1F2为直径的圆O过椭圆E的上顶点D，直线DB与圆O相交得到的弦长为．设点P（a，t）（t≠0），连接PA交椭圆于点C，坐标原点为O．（I）求椭圆E的方程；（II）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值．21．己知函数f（x）=，h（x）=x﹣．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设a=1，且g（x）=，已知函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）研究函数φ（x）=f（x）﹣h（x）在（0，+∞）上零点的个数；（ii）求实数c的取值范围．2017年山东省日照市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2﹣i，则z1•z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2﹣i，可得z2=2+i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2﹣i，∴z2=2+i．则z1•z2=（2﹣i）（2+i）=22+12=5．故选：B．2．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，集合B={（x，y）|y=2x}，则集合A∩B等于（）A．（1，2）B．{1，2} C．{（1，2）} D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义得方程组，求解即可．【解答】解：据题意，得，解得；所以集合A∩B={（1，2）}．故选：C．3．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据三角函数在各个象限中的符号，利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵sin（π﹣α）=sinα=，且≤α≤π，则cosα=﹣=﹣，故选：B．4．已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即．故选：C5．命题p：sin2x=1，命题q：tanx=1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用三角函数求值分别解出x的范围，即可判断出结论．【解答】解：由sin2x=1，得，即，由tanx=1，得，∴p是q的充要条件．故选：C．6．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=（）﹣0.2=20.2＜21.2=a，∴a＞b＞1．∵c=2log52=log54＜1，∴a＞b＞c．故选：C．7．某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（）A．B．C．D．0【考点】EF：程序框图．【分析】由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，根据y=sin的周期性，即可求出S的值．【解答】解：由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin+sin+sinπ+…+sin的值，由于y=sin的周期为6，且同一周期内的6个函数值的累加和为0；又2016÷6=336，所以S=sin+sin+sinπ+…+sin=sin=sin=．故选：A．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．60﹣12π B．60﹣6πC．72﹣12π D．72﹣6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，结合图中数据求出组合体的体积．【解答】解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3；所以该组合体的体积为：V=×（4+8）×4×3﹣π×22×3=72﹣6π．故选：D ．9．已知角x 始边与x 轴的非负半轴重合，与圆x 2+y 2=4相交于点A ，终边与圆x 2+y 2=4相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ，△ABC 的面积为S （x ），函数y=S （x ）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图象，由三角形的面积公式表示出S （x ），利用排除法和特值法选出正确答案．【解答】解：如图A （2，0），在RT △BOC 中， |BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|，∴△ABC 的面积为S （x ）=|BC||AC|≥0，所以排除C 、D ；选项A 、B 的区别是△ABC 的面积为S （x ）何时取到最大值？下面结合选项A 、B 中的图象利用特值验证：当x=时，△ABC 的面积为S （x ）==2，当x=时，|BC|=2|sin|=，|OC|=2|cos|=，则|AC|=2+，∴△ABC 的面积为S （x ）==，综上可知，答案B 的图象正确，故选：B ．10．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x 其中x ∈（0，1），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈（0，1）不等式t ＜e 1+e 2恒成立，则t 的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据余弦定理表示出BD ，进而根据双曲线的定义可得到a 1的值，再由AB=2c 1，e=可表示出e 1，同样的在椭圆中用c 2和a 2表示出e 2，然后利用换元法即可求出e 1+e 2的取值范围，即得结论•【解答】解：在等腰梯形ABCD 中，BD 2=AD 2+AB 2﹣2AD•AB•cos∠DAB =1+4﹣2×1×2×（1﹣x ）=1+4x ，由双曲线的定义可得a 1=，c 1=1，e 1=，由椭圆的定义可得a 2=，c 2=x ，e 2=，则e 1+e 2=+=+，令t=∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+）在（0，﹣1）上单调递减，所以e1+e2＞×（﹣1+）=，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为10 ．【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为80÷5=16，∵42=16×2+10，∴该样本中产品的最小编号为10，故答案为：10．12．已知函数f（x）=则f（f（））= ．【考点】3T：函数的值．【分析】先求出f（）=﹣tan=﹣1，从而f（f（））=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=﹣tan=﹣1，f（f（））=f（﹣1）=．故答案为：．13．已知向量=（2m，1）=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则的最小值为3+2．【考点】7F：基本不等式；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先根据向量的平行求出m+=1，再根据基本不等式即可求出【解答】解：向量=（2m，1）=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，∥，∴4m=4﹣n，即m+=1，则=（）（m+）=1+2++≥3+2=3+2，当且仅当m=1﹣时取等号，则的最小值为3+2，故答案为：3+214．已知函数f（x）=若存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（2π，2018π）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的函数图象，判断a，b，c的关系和范围，从而得出答案．【解答】解：f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，则0，，令log2017=1得x=2017π，∴π＜c＜2017π，∵f（x）在上的图象关于直线x=对称，∴a+b=π，∴a+b+c∈（2π，2018π）．故答案为（2π，2018π）．15．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆=1（a＞b＞0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于．【考点】F3：类比推理．【分析】椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．【解答】解：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．已知函数f（x）=sin2x﹣．（I）求函数f（x）的值域；（II）已知锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）利用辅助角公式化简f（x），求出内层函数的范围，结合三角函数的性质即可答案；（II）锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，可得根据值求出相应的角度，结合和与差公式即可求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x﹣．化简可得：f（x）=2sin（2x﹣）∵x∈可得：，所以当，即时，f（x）取得最大值为，当，即时，f（x）取得最小值为，函数f（x）的值域为．（II）锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，设AB=c=，AC=b=2．由正弦定理，．∴∴sinB=，sinC=．△ABC是锐角三角形．∴cosB=，cosC=．可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．那么：△ABC的面积S=bcsinA=．17．种子发芽率与昼夜温差有关．某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数，如表：（I）从3月12日至3月16日中任选2天，记发芽的种子数分别为c，d，求事件“c，d均不小于25”的概率；（II）请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出y关于x的线性回归方程；（III）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（II）中的回归方程是否可靠？【考点】BK：线性回归方程；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）采用列举的方式，即可求解．（II）利用公式求出，，即可得出结论．（III）把3月12日中的x=10和16日中的x=8带入计算，误差均不超过2颗，认为回归方程是可靠的，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）从5天中任选2天，共有10个基本事件：（12日，13日），（12日，14日），（12日，15日），（12日，16日），（13日，14日），（13日，15日），（13日，16日），（14日，15日），（14日，16日），（15日，16日）．选出的二天种子发芽数均不小于25共有3个基本事件：（13日，14日），（13日，15日），（14日，15日）．∴事件“c，d均不小于25”的概率为；（Ⅱ）由表中数据可得．则=25×11+30×13+26×12﹣3×27×12=5．﹣32=112+122+132﹣3×122=﹣28．∴=，=﹣=27+=29；故回归直线方程为=x．（III ）3月12日中的x=10时，可得：y ≈28，误差不超过2颗． 16日中的x=8时，可得：y ≈28，误差不超过2颗． ∴（II ）中的回归方程不可靠．18．如图，菱ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，∠ABC=120°，BF ⊥平面ABCD ，DE ∥BF ，BF=2DE ，AF ⊥FC ，M 为CF 的中点，AC ∩BD=G ．（I ）求证：GM ∥平面CDE ；（II ）求证：平面ACE ⊥平面ACF ．【考点】LY ：平面与平面垂直的判定；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（I ）取BC 的中点N ，连接GN ，MN ，GM ，则可证MN ∥DE ，GN ∥CD ，于是平面GMN ∥平面CDE ，从而GM ∥平面CDE ；（II ）连接GE ，GF ，则有AF=CF ，从而FG ⊥AC ，利用菱形的性质和勾股定理可得FG ⊥GE ，于是FG ⊥平面ACE ，于是平面ACE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连接GN ，MN ，GM ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴G 为AC 中点， ∴GN ∥CD ，又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点， ∴MN ∥FB ，又DE ∥BF ，∴DE∥MN，又MN∩GN=N，∴平面GMN∥平面CDE，又GM⊂平面GMN，∴GM∥平面CDE．（Ⅱ）连接GE，GF，因为四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又BF⊥平面ABCD，∴AF=CF，又G是AC的中点，∴FG⊥AC．设菱形的边长为2，∵∠ABC=120°，∴，又AF⊥FC，∴，∴，，∵BF⊥平面ABCD，DE∥BF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DG，∴，在直角梯形BDEF中，得，∴EF2=GF2+GE2，∴FG⊥GE，又AC∩GE=G，∴FG⊥平面ACE，又FG⊂平面ACF，∴平面ACE⊥平面ACF．19．等差数列{a n}前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*）且b1=3，求{}的前n项和T n．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式即可得出；（2）利用“累加求和”、裂项求和、等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=45，S6=60，∴，解得．∴a n=5+（n﹣1）×2=2n+3．（2）∵b n+1﹣b n=a n=2n+3，b1=3，∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=++…+（2×1+3）+3==n2+2n．∴=．∴T n=…+==．20．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B．以F1F2为直径的圆O过椭圆E的上顶点D，直线DB与圆O相交得到的弦长为．设点P（a，t）（t≠0），连接PA交椭圆于点C，坐标原点为O．（I）求椭圆E的方程；（II）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知：b=c，则，则直线DB的方程为，由题意可知，即可求得b及a的值，求得椭圆方程；（2）设直线PA的方程为，代入椭圆方程，求得C点坐标，直线BC的斜率为，由于直线OP的斜率为，可得OP⊥BC，分别求得三角形ABC的面积及四边形OBPC的面积由，即可求得丨t丨取值范围，即可求得|t|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为以F1，F2为直径的圆O过点D，所以b=c，则圆O的方程为x2+y2=b2，又a2=b2+c2，所以，直线DB的方程为，直线DB与圆O相交得到的弦长为，则，所以b=1，，所以椭圆E的方程为．…（Ⅱ）由已知得：，b=1，椭圆方程为，设直线PA的方程为，由整理得，解得：，，则点C的坐标是，故直线BC的斜率为，由于直线OP的斜率为，所以k BC•k OP=﹣1，所以OP⊥BC．…所以，，所以，整理得2+t2≥4，，所以．…21．己知函数f（x）=，h（x）=x﹣．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设a=1，且g（x）=，已知函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）研究函数φ（x）=f（x）﹣h（x）在（0，+∞）上零点的个数；（ii）求实数c的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式对其求导，对a进行分2类讨论，①当a＞0时，②当a＜0时，分别分析导函数的符号，综合即可得答案；（Ⅱ）（1）根据题意，将a=1代入φ（x）的解析式，求导对x进行分类讨论，分析可得ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，结合零点判定定理即可得答案；（ii）由（1）的结论，当x∈（0，x0）时，ϕ（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，ϕ（x）＜0．分析x＞0时函数的解析式，并求导，分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∵，∴，①当a＞0时，在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＜0，在x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；②当a＜0时，在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0，在x∈（0，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是增函数，在（0，2）上是减函数；（Ⅱ）（1）当a=1时，函数ϕ（x）=f（x）﹣h（x）=，求导，得，当x≥2时，ϕ'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，，∴，∴ϕ'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减．又，，曲线ϕ（x）=f（x）﹣h（x）在上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的x0∈（1，2），使ϕ（x0）=0，所以，函数ϕ（x）=f（x）﹣h（x）在（0，+∞）上零点的个数为1．（ii）由（1）知，当x∈（0，x0）时，ϕ（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，ϕ（x）＜0．∴当x＞0时， =求导，得由函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且曲线y=g（x）在（0，+∞）上连续不断知：g'（x）≥0在（0，x0]，（x0，+∞）上恒成立．①当x∈（x0，+∞）时，﹣2cx≥0在（x0，+∞）上恒成立，即在（x0，+∞）上恒成立，记，x＞x0，则，x＞x0，当 x变化时，u'（x），u（x）变化情况列表如下：∴u（x）min=u（x）极小值=u（3）=，故“在（x0，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）min=，即．②当x∈（0，x0]时，g'（x）=1+﹣2cx，当c≤0时，g'（x）＞0在x∈（0，x0]上恒成立，综合①②知，当时，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．故实数c的取值范围是．2017年7月3日。

山东省潍坊市2017届高三数学三模试卷(理科)

2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则∁U A为（）A．（0，e] B．（0，e）C．（e，+∞）D．（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为．14．如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为．15．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．18．已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．19．某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．附：x2=．20．已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．21．已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则∁U A为（）A．（0，e] B．（0，e）C．（e，+∞）D．．故选：A．2．设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z===﹣i﹣1．故选：B．3．若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.4972【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，又P（X＞6）=P（X≤2）=0.6826，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，又因为P（X＞6）=P（X≤2）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选：B4．已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成立，可得a＜1．即可得出．【解答】解：∵|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成立，∴a＜1．∴“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的充分不必要条件．故选：A．5．执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可．【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，由S=≥210，解得n≥20，∴输出n的值为20．故选：B．6．一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，故选：D．7．若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）A． B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．∴函数y=sin（x+φ）．当x=π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin（+φ）=±1，可得：φ=．∴φ=kπ，k∈Z．当k=1时，可得φ=．故选：D．8．如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），z=的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知可知PA的斜率最大，由，得A（1，3），则z==2，即z的最大值为2，故选：C．9．函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣【考点】3O：函数的图象．【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=﹣2，解得a=﹣，∴a的范围为a＞1或a≤﹣，故选：D．10．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且=，若∠F1PF2=，则双曲线C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±2y=0【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得a1=3a2，丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，利用余弦定理即可求得c2=3a22，b2=a2，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案．【解答】解：设椭圆C1的方程：（a1＞b1＞0），双曲线C2的方程：（a2＞0，b2＞0），焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），由e1=，e1=，由=，则=，则a1=3a2，由题意的定义：丨PF1丨+丨PF2丨=2a1，丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2，则丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF1丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos∠F1PF2，则（2c）2=（4a2）2+（2a2）2﹣2×4a2×2a2×，c2=3a22，b22=c2﹣a22=2a22，则b2=a2，双曲线的渐近线方程y=±x=±x，即x±y=0，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 ．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r==2，即r=，圆心坐标为（2，1），则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V==．故答案为：．13．在（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为 4 ．【考点】CF：几何概型．【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．又x≥0，∴0≤x＜2．∴满足0≤x＜2的概率为，得a=4．故答案为：4．14．如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为 2 ．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先联立两个解析式解方程，得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让其等于，列出关于k的方程，求出解即可得到k的值．【解答】解：直线方程与抛物线方程联立解得x=0，x=2k，得到积分区间为，由题意得：∫02k（2kx﹣x2）dx=（kx2﹣x3）|02k=4k3﹣k3=，即k3=8，解得k=2，故答案为：215．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是[] ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：解：∵f （x ）为定义在R 上的奇函数，g （x ）为定义在R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）=﹣f （x ），g （﹣x ）=g （x ），又∵由f （x ）+g （x ）=2﹣x ，结合f （﹣x ）+g （﹣x ）=﹣f （x ）+g （x ）=2x ，∴f （x ）=﹣（2x ﹣2﹣x ），g （x ）=（2x +2﹣x ）．等式af （x ）+g （2x ）=0，化简为﹣（2x ﹣2﹣x ）+（22x +2﹣2x ）=0．∵x ∈，∴≤2x﹣2﹣x≤，令t=2x ﹣2﹣x ，则t ＞0，因此将上面等式整理，得：a=t+，函数h （t ）=t+在[]递增，≤t+≤，则实数a 的取值范围是[]，故答案为：[]．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知向量=（sinx ，﹣1），=（cosx ，），函数f （x ）=（+）•．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位得到函数g （x ）的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别a ，b ，c ，若a=3，g （）=，sinB=cosA ，求b 的值．【考点】9R ：平面向量数量积的运算；GL ：三角函数中的恒等变换应用；HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g （x ）的解析式，由条件可得sinA ，cosA ，sinB 的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量=（sinx ，﹣1），=（cosx ，），函数f （x ）=（+）•=（sinx+cosx ，）•（sinx ，﹣1）=sin 2x+sinxcosx ﹣=sin2x ﹣（1﹣2sin 2x ）=sin2x ﹣cos2x=sin （2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）由题意可得g（x）=sin（2（x+）﹣）=sin2x，g（）=sinA=，即sinA=，cosA=±=±，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=，由正弦定理=，可得b===3．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取PA的中点N，连接MN，NC，由三角形中位线定理可得MN∥AD，由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AD，结合AC⊥AD，可得AD⊥平面PAC，进一步得到MN⊥PA，再由等腰三角形的性质可知CN⊥PA，由线面垂直的判定得到PA⊥平面MNC，则有PA⊥CM；（2）设PC=AC=1，解三角形可得CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．求得A，C，D，P的坐标，进一步求出平面PAC与平面ACM的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点N，连接MN，NC，∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，则MN⊥PA，∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，又∵CM⊂平面MNC，∴PA⊥CM；（2）解：设PC=AC=1，则BC=，∵BA⊥BC，∴cos，∴∠ACD=∠ACB=60°，又∵AC⊥CD，∴CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．则A（，0，0），C（0，﹣，0），D（，﹣，0），P（0，﹣，1），∴M（，﹣1，）．，．∵DA⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量．设是平面ACM的一个法向量，则，即，令x=1，得．∴|cos＜＞|=||=||=．由图可知，二面角M﹣AC﹣P为锐角，∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值为．18．已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．可得2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d，q．即可得出．．（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n•2n．可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+=2n ﹣1+．对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．∴2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d=q=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n，b n=2n﹣1．（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n•2n．∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+= +=2n﹣1+．∴n为偶数时，T n=2n﹣1+．=2n﹣1+n．n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．=2n﹣2﹣n．∴T n=．19．某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．附：x2=．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意，求出X2=≈12.587＞6.635，从而有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，X 可能的取值为0，1，2，3，Y 可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．【解答】解：（1）根据题意，得：=≈12.587，∵12.587＞6.635，∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，X 可能的取值为0，1，2，3，Y 可能的取值为0，1，2， ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=P （X=0）P （Y=0）+P （X=1）P （Y=1）+P （X=2）P （Y=2）=•++=，P （ξ=1）=P （X=0）P （Y=1）+P （X=1）P （Y=0）+P （X=1）P （Y=2）+P （X=2）P （Y=1）+P （X=3）P （Y=2）=++•++=，P （ξ=2）=P （X=0）P （Y=2）+P （X=2）P （Y=0）+P （X=3）P （Y=1）=++=，P （ξ=3）=P （X=3）P （Y=0）==，∴ξ的分布列为：Eξ=+3×=．20．已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意可知：由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xe x﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，构造辅助函数，根据函数的单调性，即可求得a的范围；（2）由题意，利用分析法，由结论可得（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈，H′（x）=e x（x+1），由x∈，H′（x）＞0，H（x）在单调递增，∴H（0）=﹣a﹣1＜0，H（1）=e﹣a﹣1＞0，解得：﹣1＜a＜e﹣1，∴当﹣1＜a＜e﹣1时，函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点；（2）证明：f（x）lnx=（e x﹣1﹣）lnx，只需证：•lnx≥0 在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由x∈（0，1）∪（1，+∞）时，•lnx＞0恒成立，∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈=（1+k2），=（1+k2），=4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），同理丨AD丨=4，=4（1+）（x12+x1+），由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），=4（1+）（x12+x1+），整理得：x1==k﹣，则丨AB丨2=4（1+k2）=4（1+k2）（k+）2，丨AB丨=2（k+），丨AD丨2=4（1+）4（1+）（k+）2，丨AD丨=2（k+），∴△ABD面积S=×丨AB丨×丨AD丨=×2（k+）×2（k+），==2（k+）3≥2（2）3=16，当且仅当k=时，即k2=1，即k=1，取等号，∴△ABD面积的最小值16．2017年6月19日。

2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷(理科)及参考答案

2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则∁U A 为（）A．（0，e]B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞）2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.49724．（5分）已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A．19 B．20 C．21 D．226．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 7．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）A． B．C．D．8．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．39．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣10．（5分）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且=，若∠F 1PF2=，则双曲线C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±2y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为．12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为．14．（5分）如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为．15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a 的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．17．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．附：x2=．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．21．（14分）已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则∁U A 为（）A．（0，e]B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞）【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，∴A={x|x＞e}，∴∁U A={x|0＜x≤e}=（0，e]．故选：A．2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z===﹣i﹣1．故选：B．3．（5分）若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.4972【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，μ=4，σ=1，∴P（2＜X≤6）=0.9544，又因为P（X＞6）=P（X≤2）=（1﹣0.9544）=0.0228，故选：B4．（5分）已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成立，∴a＜1．∴“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，由S=≥210，解得n≥20，∴输出n的值为20．故选：B．6．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，故选：D．7．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）A． B．C．D．【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．∴函数y=sin（x+φ）．当x=π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin（+φ）=±1，可得：φ=．∴φ=kπ，k∈Z．当k=1时，可得φ=．故选：D．8．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），z=的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知可知PA的斜率最大，由，得A（1，3），则z==2，即z的最大值为2，故选：C．9．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=﹣2，解得a=﹣，∴a的范围为a＞1或a≤﹣，故选：D．10．（5分）已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且=，若∠F1PF2=，则双曲线C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±2y=0【解答】解：设椭圆C1的方程：（a1＞b1＞0），双曲线C2的方程：（a2＞0，b2＞0），焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），由e1=，e1=，由=，则=，则a1=3a2，由题意的定义：丨PF 1丨+丨PF2丨=2a1，丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2，则丨PF1丨=a1+a2=4a2，丨PF2丨=a1﹣a2=2a2，由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF1丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos∠F1PF2，则（2c）2=（4a2）2+（2a2）2﹣2×4a2×2a2×，c2=3a22，b22=c2﹣a22=2a22，则b2=a2，双曲线的渐近线方程y=±x=±x，即x±y=0，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r==2，即r=，圆心坐标为（2，1），则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V==．故答案为：．13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为4．【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．又x≥0，∴0≤x＜2．∴满足0≤x＜2的概率为，得a=4．故答案为：4．14．（5分）如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为2．【解答】解：直线方程与抛物线方程联立解得x=0，x=2k，得到积分区间为[0，2k]，由题意得：∫02k（2kx﹣x2）dx=（kx2﹣x3）|02k=4k3﹣k3=，即k3=8，解得k=2，故答案为：215．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a 的取值范围是[，] ．【解答】解：解：∵g（x）为定义在R上的奇函数，f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，∴f（x）=（2x+2﹣x），g（x）=（2x﹣2﹣x）．等式af（x）+g（2x）=0，化简为（2x+2﹣x）+（22x﹣2﹣2x）=0．∴a=2﹣x﹣2x∵x∈[1，2]，∴≤2x﹣2﹣x≤，则实数a的取值范围是[﹣，﹣]，故答案为：[﹣，﹣]．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．【解答】解：（1）向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•=（sinx+cosx，）•（sinx，﹣1）=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由题意可得g（x）=sin（2（x+）﹣）=sin2x，g（）=sinA=，即sinA=，cosA=±=±，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=，由正弦定理=，可得b===3．17．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点N，连接MN，NC，∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，则MN⊥PA，∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，又∵CM⊂平面MNC，∴PA⊥CM；（2）解：设PC=AC=1，则BC=，∵BA⊥BC，∴cos，∴∠ACD=∠ACB=60°，又∵AC⊥CD，∴CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z轴距离如图所示坐标系．则A（，0，0），C（0，﹣，0），D（，﹣，0），P（0，﹣，1），∴M（，﹣1，）．，．∵DA⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量．设是平面ACM的一个法向量，则，即，令x=1，得．∴|cos＜＞|=||=||=．由图可知，二面角M﹣AC﹣P为锐角，∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值为．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．∵a 1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．∴2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d=q=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n，b n=2n﹣1．（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n•2n．∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]．∴n为偶数时，T n=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．=2n﹣1+n．n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．=2n﹣2﹣n．∴T n=．19．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．附：x2=．【解答】解：（1）根据题意，得：=≈12.587，∵12.587＞6.635，∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（X=0）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=2）=•++=，P（ξ=1）=P（X=0）P（Y=1）+P（X=1）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=2）+P（X=2）P （Y=1）+P（X=3）P（Y=2）=++•++=，P（ξ=2）=P（X=0）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=0）+P（X=3）P（Y=1）=++=，P（ξ=3）=P（X=3）P（Y=0）==，∴ξ的分布列为：Eξ=+3×=．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．【解答】解：（1）g（x）=（x﹣1）f（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈（0，1），g′（x）=xe x﹣a﹣1，由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xe x﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，令H（x）=xe x﹣a﹣1，x∈[0，1]，H′（x）=e x（x+1），由x∈[0，1]，H′（x）＞0，H（x）在[0，1]单调递增，∴H（0）=﹣a﹣1＜0，H（1）=e﹣a﹣1＞0，解得：﹣1＜a＜e﹣1，∴当﹣1＜a＜e﹣1时，函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点；（2）证明：f（x）lnx=（e x﹣1﹣）lnx，只需证：•lnx[（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax]≥0 在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由x∈（0，1）∪（1，+∞）时，•lnx＞0恒成立，∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），由g（0）=0 恒成立，∴只需证：g（x）≥0 在[0，+∞），恒成立g′（x）=xe x﹣1﹣a，g″（x）=（x+1）e x＞0恒成立，∴g′（x）单调递增，g′（x）≥g′（0）=﹣1﹣a≥0，∴g（x）单调递增，g（x）≥g（0）=0，∴g（x）≥0 在[0，+∞）恒成立，∴f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．21．（14分）已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．【解答】解：（1）设抛物线的C方程x2=2py（p＞0），则焦点F（0，），准线方程：y=﹣，过点Q向准线l作垂线，垂足为Q1，由抛物线的定义可得：丨QF丨=丨QQ1丨，∴2﹣（﹣）=3，p=2，∴抛物线方程：x2=4y；（2）设直线AB的方程：y=kx+m，则，整理得：x2﹣4kx﹣4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，由AB为直径的圆经过原点，则⊥，•=0，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0∴（1+k2）×（﹣4m）+km×4k+m2=0，整理得m2﹣4m=0，解得：m=4或m=0，由m＞0，则m=4，∴m的值4；（3）方法一：设直线AB的斜率为k，k＞0，其方程y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+y1﹣kx1，∴，整理得：x2﹣4kx+4kx1﹣4y1=0，∴x1+x2=4k，x2=﹣x1+4k，丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]，=（1+k2）[（4k）2﹣4x1（﹣x1+4k）]=4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2）=4（1+k2）（x1﹣2k）2，同理丨AD丨=4[1+（﹣）2][x12﹣4（﹣）x1+4（﹣）2]，=4（1+）（x12+x1+）=4（1+）（x1+）2，由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x1﹣2k）2=4（1+）（x1+）2，整理得：x1=，则丨AB丨2=4（1+k2）（﹣2×k）2=（1+k2）×，则|AB|=×=4××≥4×2×=4，当且仅当k=1时等号成立，∴△ABD面积S=×丨AB丨2≥×32=16，∴△ABD面积的最小值16．方法二：由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设为k，由x3＜x1＜x2，则k ＞0，∴，由A，B，C三点在抛物线上，则y1=，y2=，y3=，∴x3+x1=﹣，x2+x1=4k，由丨AB丨=丨AD丨，则|x2﹣x1|=|x1﹣x3|，x3＜x1＜x2，解得：x1=，则|AB|=|x2﹣x1|=×=4××≥4×2×=4，当且仅当k=1时等号成立，∴△ABD面积S=×丨AB丨2≥×32=16，∴△ABD面积的最小值16．。

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2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1﹣i）z=2+3i（i为虚数单位），则复数z对应点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合A={y|y=cosx，x∈R}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A． B． C． D．3．下列说法中正确的是（）A．当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理C．命题的否定是￢P：∀x∈R，e x＞xD．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4．过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A、B两点，则AB=（）A．B． C．6 D．5．已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．我国古代名著《考工记》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如图给出的是计算截取了6天所剩棰长的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤16？B．i≤32？C．i≤64？D．i≤128？7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数10．已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．己知函数，则= ．12．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）∥，则m= ．13．已知角α的终边过点A（3，4），则cos（π+2α）= ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，若函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求B；（II）若a+c=5，△ABC的面积为，求b．17．某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有136人．（I）求表中a的值及不满意的人数；（II）特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在C． D．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={y|y=cosx}={y|﹣1≤y≤1}=，B={y|y=2x，x∈A}=[，2]则A∩B=[，1]故选：A．3．下列说法中正确的是（）A．当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是合情推理B．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理C．命题的否定是￢P：∀x∈R，e x＞x D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是演绎推理；B，在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是类比推理；C，“＜“的否定是“≥“；D，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小；【解答】解：对于A，当a＞1时，函数y=a x是增函数，因为2＞1，所以函数y=2x是增函数，这种推理是演绎推理，故错；对于B，在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是类比推理，故错；对于C，命题的否定是￢P：∀x∈R，e x ≥x，故错；对于D，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，正确；故选：D4．过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A、B两点，则AB=（）A．B．C．6 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线方程，双曲线的两条渐近线方程，联立求出A，B坐标，即可．【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点且与x轴垂直的直线方程为x=1，双曲线的两条渐近线方程为y=±由得A（1，），同理得B（1，﹣）∴，故选：B5．已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】LW：直线与平面垂直的判定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面垂直的性质可知a⊥b，两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据“若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件”即可得到结论．【解答】解：∵a⊥α，α⊥β∴a∥β或a⊂β又∵b⊥β，a⊄β∴a⊥b反之a⊥b则α⊥β也成立，故选C．6．我国古代名著《考工记》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如图给出的是计算截取了6天所剩棰长的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤16？B．i≤32？C．i≤64？D．i≤128？【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=1﹣，i=4，第2次循环：S=1﹣﹣，i=8，第3次循环：S=1﹣﹣﹣，i=16，…依此类推，第6次循环：S=1﹣﹣﹣﹣…﹣，i=128，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i≤64？，故选：C．7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．8．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：∴x≥0，y≤2，∴z=3|x|+|y﹣2|=3x﹣y+2，由z=3x﹣y+2得y=3x﹣z+2，平移直线y=3x﹣z+2，由图象可知当直线y=3x﹣z+3经过点A时，直线y=3x﹣z+3的截距最大，此时z最小，由，解得A（0，1），此时z min=3×0﹣1+2=1，当直线y=3x﹣z+2经过点B（2，0）时，直线y=3x﹣z+2的截距最小，此时z最大，此时z max=3×2﹣0+2=8，故1≤z≤8，故选：A．9．已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）最小正周期T=．∴A对．令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），∴C不对．令2x+≤上单调递增，可得：，∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．故选：C．10．已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；%H：三角形的面积公式．【分析】先根据三角形的面积和内切圆半径也为l，得到a+b+c=2，则根据导数的和函数的最值的关系即可求出最值．【解答】解：∵△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，△ABC的三边长分别为a，b，c，∴（a+b+c）×1=1，即a+b+c=2，即a+b=2﹣c，∴0＜c＜2∴=+=+﹣1，设f（x）=+﹣1，0＜x＜2，∴f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=﹣2+2，当x∈（0，﹣2+2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣2+2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（﹣2+2）=2+2，故的最小值为2+2，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．己知函数，则=．【考点】3T：函数的值．【分析】先求出f（）==﹣2，从而=f（﹣2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=﹣=．故答案为：．12．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）∥，则m= ﹣．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量加法的坐标计算公式可得（+）的坐标，结合向量平行的坐标计算公式可得（﹣2）×4=3×（m﹣2），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（1，m），=（3，﹣2），则（+）=（4，m﹣2），若（+）∥，则有（﹣2）×4=3×（m﹣2），解可得m=﹣；故答案为：﹣13．已知角α的终边过点A（3，4），则cos（π+2α）= ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据任意三角函数的定义求出cosα的值，化简cos（π+2α），根据二倍角公式即可得解．【解答】解：角α的终边过点A（3，4），即x=3，y=4．∴r==5．那么cosα=．则cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣=．故答案为：．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．然后由正方体体积减去三棱锥体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．∴该几何体的体积为V=．故答案为：．15．已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，若函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数判断x≥0时，f（x）=x3﹣4x的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点转化为即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．求出过（2，0）与曲线f（x）=﹣x3+4x （x＜0）相切的直线的斜率，则答案可求．【解答】解：f（x）=x3﹣4x（x≥0），f′（x）=3x2﹣4=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴当x=时，f（x）有极小值为．函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．如图：∵函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，∴当x＜0时，f（x）=﹣x3+4x．设过（2，0）的直线与曲线f（x）=﹣x3+4x相切于点（），则，∴切线方程为．代入（2，0），得，即（x+1）（x﹣2）2=0，得x=﹣1．∴切线的斜率为a=﹣3×（﹣1）2+4=1．则实数a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求B；（II）若a+c=5，△ABC的面积为，求b．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得，（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得==，∴b2﹣c2=a2﹣ac，∴a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理，得cosB==，∵B∈（0，π），∴B=，（Ⅱ）∵△ABC的面积为，∴S△ABC=acsinB=ac=，∴ac=6，由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）=25﹣2×6×=7，∴b=．17．某地教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的学生中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有136人．（I）求表中a的值及不满意的人数；（II）特从等级为不满意师生中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中选取2人担任整改监督员，求2人中恰有1人评分在[40，50）的概率；（III）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断是否能获奖，并说明理由．（注：满意指数=）【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）由频率和为1列方程求出a的值，根据比例关系求出不满意的人数；（II）按分层抽样原理抽取6人，利用列举法求出所有的基本事件数，计算对应的概率值；（III）计算师生的满意指数，即可得出结论．【解答】解：（I）由频率和为1，得（0.002+0.004+0.014+0.020+a+0.025）×10=1，解得a=0.035，设不满意的人数为x，则（0.002+0.004）：（0.014+0.020）=x：136，解得x=24；（II）按评分分层抽取6人，应在评分在[40，50）的师生中抽取2人，分别记作A、B，在评分在[50，60）的师生中抽取4人，分别记为c、d、e、f，从这6人中选2人的所有基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，其中恰有1人评分在[40，50）包含的基本事件为Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共8种，记“2人中恰有1人的评分在[40，50）”为事件A，则P（A）=；（III）师生的满意指数为×（45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25）=0.807；师生的满意指数不低于0.8，可获评“教学管理先进单位”．18．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出SO⊥平面OBC，从而SO⊥BC，再求出OD⊥BC，从而BC⊥平面SOD，由此能证明平面SBC⊥平面SOD．（Ⅱ）求出∠COD=60°，OD=1，OC=2，SO=，SA=，由此能求出该圆锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知SO⊥平面OBC，又BC⊂平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∴OD⊥BC，又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，∵CD=，∴OD=1，OC=2，在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=，在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=，∴该圆锥的侧面积为．19．己知数列{a n}中，a1=2，对任意正整数n，都有a n+1﹣a n=2n．（I）求数列{a n}的通项公式：（II）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）a1=2，对任意正整数n，都有a n+1﹣a n=2n．可得n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．（II）设b n===1+，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（I）a1=2，对任意正整数n，都有a n+1﹣a n=2n．∴n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n．n=1时上式也成立．∴a n=2n．（II）设b n===1+，∴数列{b n}的前n项和T n=n+++…+=n+=n+．20．已知函数f（x）=lnx﹣+1．（I）证明：曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；（II）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x恒成立，求整数a的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；（II）构造函数g（x）=lnx﹣+1﹣（a﹣1）x，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx﹣+1．∴f'（x）=﹣ax，∴f'（1）=1﹣a，f（1）=﹣a+1，∴在x=1处的切线为y﹣（﹣a+1）=（1﹣a）（x﹣1），∴y=﹣a（x﹣）+x，恒过（，）；（II）令g（x）=lnx﹣+1﹣（a﹣1）x≤0恒成立，∵g'（x）=，（1）当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）递增，g（1）=﹣a+2＞0，不成立；（2）当a＞0时，当x在（0，）时，g'（x）＞0，g（x）递增；当x在（，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减，∴函数最大值g（）=﹣lna，令h（a）=﹣lna，可知为减函数，∵h（1）＞0，h（2）＜0，∴整数a的最小值为2．21．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点为F1，F2，点M为椭圆C上的任意一点，的最小值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）根据向量的坐标求得•=x02﹣c2+y02，由y02=b2﹣x02，代入，由x0=0，则•取最小值，最小值为b2﹣c2，根据椭圆的离心率公式，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（II）设圆心坐标，求得圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得k，列方程组，求得P点坐标，即可代入椭圆方程成立，则点P在椭圆C上．【解答】解：（I）设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），则=（﹣c﹣x0，y0），=（c﹣x0，y0），•=（﹣c﹣x0，y0）（c﹣x0，y0）=x02﹣c2+y02，由∵，y02=b2﹣x02，•=（1﹣）x02+b2﹣c2，由﹣a≤x0≤a，则x0=0，则•取最小值，最小值为b2﹣c2，∴b2﹣c2=2，由=，则=，∴a2=4，b2=3，则椭圆的标准方程：；（II）证明：由（I）可知F2（1，0），设以BD为直径的圆E，其圆心E（2，），D（2，t），B（2，0），则圆E（x﹣2）2+（y﹣）2=，直线AD的方程为y=（x+2），设过点F2与圆E相切的直线方程设为x=ky+1，则=丨丨，则k=，解方程组，解得：，将（，）代入椭圆方程成立，即+=1，∴点P在椭圆C上．。