专题一集合与常用逻辑用语第一讲集合答案部分
集合与常用逻辑用语 第1课时 集合的含义(高中数学)
D.]
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学 2019 年入学的全体
学生
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．用“book”中的字母构成的
C [由集合中元素的互异性可
集合中元素个数为( )
知，该集合中共有“b”“o”“k”
A．1
B．2
三个元素．]
C．3
D．4
8
3．用“∈”或“∉”填空： 12________N；－3________Z； 2________Q；0________N*； 5 ________R.
19
集合中元素的特性及应用 [探究问题] 1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？ 提示：a≠b. 2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？ 提示：a＝1或b＝1.
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【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． [思路点拨] A中含有元素：1和a2 ―a∈―→A a＝1或a2＝a 求―a―的→值 检验集合中元素的互异性
2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围) 时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的 意识．
25
当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)接近于 0 的数可以组成集 合．( ) (2)分别由元素 0,1,2 和 2,0,1 组成 的两个集合是相等的．( ) (3)一个集合中可以找到两个相 同的元素．( )
30
4
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？ 提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确 的标准． (2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
专题：集合与常用逻辑用语[答案版]
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全国中小学个性化教育辅导专家 ------佳绩改变未来第1讲 集合的含义与基本关系强化训练1.设全集U M N =⋃={1,2,3,4,5}(M ,⋂U ðN )={2,4},则N 等于( )A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}答案:B 解析:画出韦恩图,可知N ={1,3,5}.2.已知A ={x |512x -<-},若B ={x |x +4<-x },则集合A B ð等于( ) A.{x |23x -≤<} B.{x |23x -<≤}C.{x |-2<x <3}D.{x |23x -≤≤} 答案:A 解析:集合A ={x |x <3},B={x |x <-2},故选A.3.设集合A ={x ||x -a |<1,x ∈R },B ={x |15x x <<,∈R },若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是 .答案:0a ≤或6a ≥解析:由|x -a |<1得-1<x -a <1,即a -1<x <a +1.如图所示.由图可知11a +≤或15a -≥,所以0a ≤或6a ≥.题组一 集合的基本概念1.设全集U =R ,A ={x |10x<},则U A ð等于( ) A.{x |10x >} B.{x |x >0} C.{x |0x ≥} D.{x |10x≥} 答案:C 解析:∵A ={x |x <0},∴U A =ð{x |0x ≥}.2.设集合A ={1,2,3},集合B ={2,3,4},则A B ⋂等于( )A.{1}B.{1,4}C.{2,3}D.{1,2,3,4}答案:C 解析:∵A ={1,2,3},B ={2,3,4},∴A B ⋂={1,2,3}⋂{2,3,4}={2,3}.故选C.3.已知集合M ={x |24x <},N ={x |2230x x --<},则集合M N ⋂等于( )A.{x |x <-2}B.{x |x >3}C.{x |-1<x <2}D.{x |2<x <3}答案:C 解析:∵M ={x |-2<x <2},N ={x |-1<x <3}, ∴M ⋂N ={x |-1<x <2}.故选C.题组二 集合间的基本关系4．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B 为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，b B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，15.若集合M ={y |21y x =},P ={y |y =那么M P ⋂等于( ) A.(0),+∞ B. [0),+∞ C.(1),+∞ D.[1),+∞答案:A 解析:M ={y |21y x =}={y |y >0},P ={y |0y ≥},故(0)M P ⋂=,+∞,选A. 题组三 集合的运算6．(2011广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案:C题组四 集合的综合应用7.给定集合A 、B ,定义A *B ={x |x m n m A =-,∈,n ∈B },若A ={4,5,6},B ={1,2,3},则集合A *B 中的所有元素之和为( )A.15B.14C.27D.-14答案:A 解析:由题意可得A *B ={1,2,3,4,5},又1+2+3+4+5=15.故选A.第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件、逻辑联结词强化训练1.若a ∈R ,则”a =1”是”|a |=1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A2.命题”若m >0,则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 .答案:若方程20x x m +-=有实数根,则m >0题组一 命题的概念及其真假判断1.函数f (x )的定义域为A,若12x x A ,∈且1()f x =2()f x 时总有12x x =,则称f (x )为单函数.例如,函数f (x )21(x x =+∈R )是单函数,下列命题: ①函数2()(f x x x =∈R )是单函数;②指数函数()2(x f x x =∈R )是单函数;③若f (x )为单函数12x x A ,,∈且12x x ≠,则1()f x ≠2()f x ;④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)答案:②③④解析:对于①,若12()()f x f x =,则12x x =±,不满足;②是单函数;命题③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④满足条件.题组二 充分条件、必要条件的判断5.以下有关命题的说法错误的是( )A.命题”若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为”若x ≠1,则2320xx -+≠” B.”x =1”是”2320x x -+=”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p q 、均为假命题D.对于命题p :x ∃∈R ,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R ,则210x x ++≥答案:C 解析:若p ∧q 为假命题,则只需p ,q 至少有一个为假命题即可.故选C.6.”x >1”是”|x |>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:因”x >1”⇒”|x |>1”,反之”|x |>1”⇒”x >1或x <-1”,不一定有”x >1”.1．(2011年湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．(2010年陕西)“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(a x ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2010年广东)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件5．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2011年山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝31．(2011年北京)若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．(2010年湖南)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >03．下列四个命题中的真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则∠A ＝∠BB ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列4．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数B ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数5．(揭阳二模)已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是() A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧非q 是真命题C ．命题p ∧q 是真命题D ．命题非p ∧非q 是假命题6．(汕头)命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是( )A ．∃x >0，使得x 2－x ≤0B ．∃x >0，使得x 2－x >0C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0 1．A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.A1.D2.C3.C4.A5.C6.B。
01第一章 集合与常用逻辑用语(解析版)
第一章 集合与常用逻辑用语答案高频考点高频考点一：集合的含义与表示1．【答案】D【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成，所以{}1,2,3M =.故选：D2．【答案】C【详解】{}24[2,2]A x x =≤=-，{}*1B x x N x A =∈-∈且， {1,2,3}B ∴=,故选：C3．【答案】C【详解】解：因为*6,3Z x N x ∈∈-，可得1,2,4,5,6,9x =； 所以66,3,2,1,3,63x∈-----. 故选：C高频考点二：集合间的基本关系1．【答案】B【详解】集合{|33}{0,1}A x N x=∈-=．对于:1A A -∈不对．对于:0B A ∈对；对于:3C A ∈不对；对于:2D A ∈不对．故选：B ．2．【答案】A【详解】解：由题意得：{}{}13,0,1,2A x x x N =-<<∈=， 其真子集有：∅，{}0，{}1，{}2，{}0,1，{}0,2，{}1,2，共7个．故选：A ．3．【答案】D【详解】解：因为{}3,4M =且M N ，所以3N ∈，且4N ∈，又()(){}30,N xx x a a =-+=∈R ∣，所以3x =和4x =为方程()()30x x a -+=的两个实数根，所以4a =-；故选：D高频考点三：集合的基本运算1．【答案】C【详解】由子集定义，可知B A ⊆.故选：C2．A.3．C4．【答案】A【详解】A B ⋃={}1,0,1,3-.故选：A.5．【答案】A【详解】由{}{}1,2,1,3A B ==得，A B ={}1.故选：A.6．【答案】B【详解】因为{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，阴影部分表示的集合为(){}3U C A B =，故选：B7．【答案】(1){}|25=-≤≤A B x x ；(){}|20R A B x x =-≤<(2)1|4,12m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或 （1）选条件①：（1）当1m =时，{}|05A x x =≤≤，{}2B x x =|-2≤≤{}|25A B x x ∴=-≤≤{}|0,5R A x x x =<>或(){}|20R A B x x ∴⋂=-≤<选条件②：此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同，其余答案与①一致；（2）若A B A =，则A B ⊆当A =∅时，123m m ->+，解得4m <-当A ≠∅时，21123232m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩，即1412m m m ⎧⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-⎩，解得112m -≤≤-综上，实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或 高频考点高频考点一：充分条件与必要条件1．【答案】D【详解】A 选项，命题“存在R x ∈，20x +≤”的否命题是：“不存在R x ∈，20x +>”，所以A 选项错误.B 选项，()()260561x x x x --=+=-，1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，B 选项错误.C 选项，命题“存在R x ∈，使得210x x +-<”的否定是：“任意R x ∈，均有210x x +-≥”，所以C 选项错误.D 选项，命题“若sin sin x y ≠，则x y ≠”的逆否命题为：“若x y =，则sin sin x y =”，这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D 选项正确.故选：D2．【答案】A【详解】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件；“2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A3．【答案】B【详解】解：因为R x ∈，故由4x >可得4x >或4x <-，由4x >，可得4x >，故“4x >”是“4x >”必要不充分条件.故选：B.4．【答案】B【详解】因为q 是p 的必要而不充分条件所以(){|24}{|(2)0}x x x x x a －＋＋<<⊂<，所以4a ->，即(4)a ∈∞－，－，答案选B ．5．【答案】(1){|03}A B x x ⋃=≤≤(2)1[,)2+∞ （1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤，所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ∪B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意；当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 若选择②，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ．当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤； 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞． 高频考点二：全称量词与存在量词1．【答案】B【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：“()1,x ∀∈+∞，210x ->”的否定是：()1,x ∃∈+∞，210x -≤．故选：B2．【答案】D【详解】命题p 为全称命题，该命题的否定为:p x ⌝∃∈R ，ln 10x x -+≥，故选：D.3．【答案】C【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以p 的否定是：0,20x x e x ∀>+-≤.故选：C4．【答案】(]-,0∞【详解】因为若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，所以min 1min 2()()f x g x ≥，因为2()23=-+f x x x 的对称轴为1x =，[]2,4x ∈所以min ()(2)f x f =，因为2()log g x x m =+，[]8,16x ∈，所以min ()(8)g x g =所以(2)(8)f g ≥，即33m ≥+所以0m ≤5．【答案】()2,-+∞【详解】因为()2f x x x a =++，所以()()()4f f x a af x +>可化为：()()()()()24f x a f x a a af x ++++>，整理得：()()()2222f x a f x a af x +++>，将()2f x x x a =++代入上式整理得：()()2223x x x x a +++>-， 令2t x x =+，[]1,1x ∈-，则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()2223x x x x a +++>-可化为： 23t t a +>-，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以存在实数[]1,1x ∈-，使得()()()4f f x a af x +>成立可转化成：存在1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得23t t a +>-成立， 由函数2y t t =+，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：22226t t +≤+=， 所以63a >-，解得：2a >-.1.3集合与常用逻辑用语实战一、单选题1．【答案】C【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合；2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.故选：C.2．【答案】C【详解】解：由N 表示自然数集，知0∈N ，故A 正确；由Q 表示有理数集，知12∈Q ，故B 正确； 由R 表示实数集，知2∈R ，故C 错；由Z 表示整数集，知1-∈Z ，故D 正确.故选：C3．【答案】B【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．4．【答案】C【详解】全称命题的否定为特称命题,∴“[]1,2x ∀∈，2320x x -+≤”的否定为“[]01,2x ∃∈，200320x x -+>”.故选：C.5．【答案】A【详解】解：因为集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，所以{}0,1A B =，故选：A.6．【答案】A【详解】由于不等式2230x x --<的解集为{}13x x -<<，则12x <<可推出13x ，反之不成立，所以“12x <<”是“2230x x --<”的充分而不必要条件．故选：A.7．【答案】C【详解】解：因为M N ，所以25x x =，解得0x =或5，故选：C8．【答案】C【详解】根据全量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“()()0,ln 3sin x x x ∈+∞+>∀，”的否定为“()()0,ln 3sin x x x ∃∈+∞+≤，”. 故选: C.9．【答案】C合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B ，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C ，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D ，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C二、多选题10．【答案】BD11．【答案】AB【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB12．【答案】AC【详解】A.原命题的否定为：x ∀∈R ，2104x x -+≥，是全称量词命题；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程2220x x ++=，22840∆=-=-<，所以2220x x ++>，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x ，都有310x +≠，如1x =-时，310x +=，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13．【答案】BC【详解】由13x ≤≤得219x ≤≤，因为命题为真，所以9a ≥，记为{|9}A a a =≥，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a 的范围应为集合A 的真子集.故选：BC三、填空题14．【答案】0x >，0y >（答案不唯一）.【详解】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>（答案不唯一）15．【答案】{}1,2,3,6【详解】解：因为6N 1a ∈-且N a ∈，所以11a -=或12a -=或13a -=或16a -=， 解得2a =或3a =或4a =或7a =，所以对应的61a -分别为6、3、2、1， 即{}6N N 1,2,3,61a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣； 故答案为：{}1,2,3,616．【答案】()3,-+∞【详解】若A B =∅是真命题，则3a ≤-，∴当A B =∅是假命题时，3a >-．故答案为：()3,-+∞.17．【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-， 所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练01 集合与常用逻辑用语(含解析)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算 角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈， 所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （ ）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（ ） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1， 其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（ ）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”， 则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（ ）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲， 乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件； 选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件； 选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+， 记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． 考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题， 则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立， 即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈， 又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。
第01讲 集合与常用逻辑用语(解析版)- (人教A版2019必修第一册)
第01讲 集合与常用逻辑用语【学习目标】1．正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法。
2．理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法。
【基础知识】一、集合的概念 1.集合的概念1) 元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a 、b 、c 表示.2) 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A 、B 、C 表示. 3) 集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系4) 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。
考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。
2. 元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记做A ∈a ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记做A a ∉. 熟记数学中一些常用的数集及其记法 符号 名称含义N非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合 N*或+N正整数集所有正整数组成的集合Z 整数集 全体整数组成的集合 Q 有理数集 全体有理数组成的集合 R 实数集 全体实数组成的集合注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。
3. 集合的分类与表示 集合的分类：（1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 表示方法：（1）自然语言描述法.（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。
2020年高考文科数学专题一 集合与常用逻辑用语 含习题答案
2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。
高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)
第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________． 答案 13解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。
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专题一 集合与常用逻辑用语第一讲集合 答案部分1. A 【解析】A={x||x|<2}=(—2,2) , B={—2,0,1,2} ,••• ^^{0,1}，故选 A .2 22. B 【解析】因为 A={xx —X —2;>0}，所以eR A={x|x —X —2 < 0}={x| —1W x < 2}，故选 B •由题意知， A={x|x —1 > 0}，则 APIB ={1,2}.故选 C .因为 B ={x X> 1}，所以 e R B ={x | X <1}，因为 A ={x O c X < 2},因为 U ={1,2,3,4,5} , A ={1,3}，所以 ejA= {2 , 4, 5}.故选 C . 6. A 【解析】通解由 X 2+y 2< 3知，-73 < X <73, - J 3 < y <73.又 x € Z , y 忘 Z ，所以 x€{-1,O,1} , y€{-1,O,1}, 所以A 中元素的个数为C i c ； =9，故选A .优解 根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图,易知在圆X 2+y2=3中有9个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A .7. A 【解析】••• B ={x| X CO} , • A PI B = {x | X c 0}，选 A .& C 【解析】••• 1壬 B ,••• 12—4" + m =0 ,即卩 m = 3,••• B ={1,3}.选 C .2 23. C 【解析】4. B 【解析】 所以AI (命 B)={x|0<x<1}，故选 B .5. C 【解析】9. B【解析】集合A、B为点集，易知圆X +y =1与直线y = x有两个交点,所以A" B 中元素的个数为2.选B .2D 【解析】由4—X > 0得—2 < x < 2,由1 — x>0得xv1,故A "B 二{x| -2 < x< 2}n{x|x <1} ={x|—2 < xv1}，选 D.15. C 【解析】集合A 表示函数y =2x的值域，故A = （0，母）.由x 2-1 C O,得—1c x £1 ,故 B =(—1,1)，所以 AUB =(-1,垃)•故选 C .16. D 【解析】由题意 B ={1,4,7,10},所以 AplB ={1,4}.3317. D 【解析】由题意得，A={x|1 <x c B}, B={X |XA 2},则 AnB=(-,3).••• B ={0, 1},••• AUB={0, 1, 2 , 3},故选 C .选D.25. C 【解析】则AP I B = A ；故“ API B = A ”是“ A 匚B ”的充要条件.26. D 【解析】由(x + 4)(x + 1) = 0 得 x = -4 或 x = -1 , 得 M ={-1,-4}.10. 11. 【解析】 (AUB)nC 二{1,2,4,6} n[—1,5] ={1,2,4},选 B. 12. 【解析】 由题意可知 P UQ={X |-1VXC 2}，选A . 13. 【解析】 A^B =卜卜2 c x c —1},故选 A.14.【解析】 因为 A ={X ||X |£2} ={x|-2 e x *2}，所以 A" B ={-1,0,1}.18. C 【解析】由已知可得 B ={x |（ x +1 )(x —2 )<0 , X 亡z }= {x |-1 C X C 2 , x € Z },19. 【解析】 S =( Y,2] U[3, P ),所以 SplT =(O,2]U[3,邑),故选 D . 20. 【解析】 由于 B ={x|-2<x<1}，所以 A^B 二{-1,0}. 21. 【解析】 e R P 二{x|0vxv2},故(e R P)n Q 二{x|1v x < 2}.22. 【解析】 A = { x |-1 < x < 2} , B ={x|1<x<3} ,••• A U B 二{X 卜 1 vx v3}. 23. 【解析】由已知得 A = {i,—1,—i,1},故 A R B ={1,-1,故选 C . 24.【解析】 由于2壬A,2亡B,3€ A,3亡B,1壬A,1艺B ,故A 、B 、C 均错，D 是正确的, A n B = A ,得 A B ,反之，若 A B ,由(x-4)(x-1) = 0 得 x=4 或 x = 1，得 N ={1,4}.显然 M RN =0 .X X 2 =x } = {0,1} , N = {x Ig x< 0} = {x O c x <1},所以M IjN =【0,1],故选A .28. A 【解析】e u B ={2,5,8},所以 M'lej^{2,5},故选 A.29. C 【解析】因为集合 A=｛（x,y ）x 2+y 2<1, x,y € Z ｝，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B =｛（x,y ）||x|兰2, |yE2, x,y € Z ｝中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合 A ©B ={(X 1 +X 2,y 1 +y 2)|(捲，％)迂 A, (X 2,y 2)€B}的元素可看作正方形 A 1B 1C 1D 1中的整点（除去四个顶点），即7咒7-4 = 45个.所以 C u A={x 亡 N | 2 < X V J 5}，选 B .27. A 【解析】M =30. 【解析】 31. 【解析】 32. 【解析】 33. 【解析】 34. 【解析】 35.【解析】 36. 【解析】 37.【解析】A = {x | X < 一1 或x > 3，故 A CB =[-2,-1].N ={x|1 < x < 2} ,••• M c N = {1, 2}.•/ B ={-1,2} ,••• ACB = {2}|x -1|c 2= -1V X C 3 ,••• A = (—1,3), B=[1,4]..・. A CB =[1,3). ••• A =(0,2), B=[1,4]，所以 AnB = [1,2). M u N ={—1,0,12 {0,1,2} ={—1,0,1,2}，选 C . P C Q ={x 3 兰X ^4}由题意知 U={x 壬 N|x > 2} , A={x 忘 N|x >75},【解析】••• A={x|x2-2x =0} = {0,2} .••• A" B= = {0,2}.【解析】••• X 2<1 ,••• -1c x <1 ,••• M^N ={x|0 < x c l }，故选 B . 【解析】A = {x|Y,x<3}, C R B={X |X W -1或 x>5}.••• A PKC R B) ={x|£W x W -1}B ={1,4,9,16},.・. AC B ={1,4}选C.38. 39.【解析】AplB ={x|2 vxc3}40. 41.42. 【解析】由已知得，A U B={X |X <0或 x >1},故 C U (AU B )={x|0cxv1}. 43. 【解析】 44. 【解析】 A={x|-1 <x <2} , B = Z ，故 A C B ={-1,0,1,2} 邑 A ={2,4,7}.45. 【解析】“存在集合C 使得A 匸C,B 匸e j C ”二“ A n B =0 ”，选C . 46.【解析】A=(-2,0) U (2 , +K ) , • A U B=R ,故选 B . 【解析】48.【解析】••• M =(—1,3) ,••• Mn N ={0,1,2} 49. C 【解析】 因为 M ={x —3cxc1} , N ={—3,—2,—1,0,1},所以 M N ={-2,-1,0},50. A 【解析】 由题意 A U B ={1,2,3}，且B ={1,2}，所以A 中必有3,没有4,Cj B = {3,4}，故 A PI e U B = {3}.51.【解析】x=0, y =0,1,2, x — y= 0,-1,-2 ; x =1,y =0,1,2, x —y =1,0,—1 ;= 2,y =0,1,2,x-y =2,1,0 . • B 中的元素为—2,-1,0,1,2 共 5 个.52. 【解析】A ： X 》-1, C R A={X |X 兰-1}, (C R A)n B 珂一1，-2}，所以答案选A53. 【解析】由集合 A , 1<x<4 ；所以A CB =(1,2] 54. 【解析】集合B 中含-1, 0,故AnB={—1,0}55. 【解析】••• S ={—2,。
} , T ={0,2} ,••• SnT = {o }.56.【解析】特殊值法，不妨令X =2,y =3,z=4,w = 1,则(y,乙w ) = (3,4,1F S ,84. {-1,3} 【解析】A 1,3}(x,y,w) = (2,3,1 卢 S ,故选 B .如果利用直接法：因为(x,y,z 户S , (z,w,x jc S ，所以x ^y c z …①，y ^z ^x …②，z e x e y …③三个式子中恰有一个成立；z v w c x …④，w ＜；x ＜；z …⑤，x ＜；z ＜；w …⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w e x c y c z , 于是(y,z,w F S , (x, y,w F S ;第二种：①⑥成立，此时 x <y <z <w ,于是(y, z, w f S ,(X, y, W f S ；第三种：②④成立，此时 y C Z C W V X ，于是(y, z,w 卢S , (x, y,w 卢S ；第四种：③④成立，此时 z e w e x e y ，于是(y,z,w 卢S , (x, y,w 卢S .综合上述四种故 A 错误.••• MUN={1 , 2, 3, 4, -2} MM ,故 B 错误.MA N ={2} ，故 C 错 误，D 正确.故选DB 【解析】A= ( -1,2),故B ^A ,故选B.D 【解析】A={x|—3<2x —1<3} =[—1,2] , B = (1,址)=A" B = (1,2]故选D .情况，可得(y,z,w 严 S , (X, y’w f S .57. 【解析】 f (x)的定义域为 M=[ -1,1],故 S R M =(，,—1)^(1，畑)选 D . 58. 【解析】 当a = 0时，1=0不合，当aHO 时，i = 0，贝U a=4 . 59. 【解析】 A=[0,址)，B=2,4 ]，二 ADC R B = 0,2 )U(4,兄). 60.【解析】 Cu M = { 2, 4 6}61. 【解析】TQ ={3,4,5}，二 6Q= {1,2,6}，二 P CQ Q={1,2}. 62.【解析】 由 M ={1 , 2, 3, 4}, N ={ -2, 2}，可知 一2€ N ,但是 一2 M ,则 M , 63. 64. 65. C 【解析】 根据题意，容易看出x + y 只能取-1,1,3等3个数值•故共有3个元素.66. D 【解析】 P ={x|x<1} ••• C R P ={X |X >1}，又••• Q={x|x>"1} ,••• Q G C R P ,67. 【解析】 P =M Pl N ={1,3}，故 P 的子集有 4 个. 68. 【解析】因为集合 P =[-1,1]，所以 C u P =(Y,T)U(1,母). 69.【解析】 因为 M U N ={1,2,3,4},所以(C n M 厂(C n N ) = 5 (M U N) ={5,6}.70. 【解析】 因为 C u M u N ，所以 N =N U(C u M )=C u (C u N)U(C u M)=痧[(u N)nM]={1,3,5}.x 2 + y 2 — 1【解析】由 <消去y ，得X2- X = 0，解得X = 0或X = 1,这时y = 1jX + y =1或 y =0，即 A Q B ={(0,1),(1,0)}，有 2 个元素.【解析】集合 M "N ={—1,0,1} n{0,1,2}={0,1}.所以a 的取值范围是［-1,1］.则 M PIN =[0,1].75. 【解析】根据题意可知,N 是M 的真子集，所以 M U N = M .76. 【解析】 M R N ={1,2,3}介{2,3,4} = {2,3}故选 C.77. 【解析】 >B ={x|x >1}, A C R B ={X |1<X <2} 78. 【解析】Q ={x — 2v x<^，可知 B 正确,79. 【解析】丨X 》01 I ,不等式log 1 x ---- ，得{ 1 -，得2 2 ]log 1 …log 1 H)2I 2 2 2 x ,f80. 81. 82. 所以“(F U 陞,』•I 2丿【解析】因为AnB={3}，所以3 € A ，又因为EBnA={9}，所以9€ A ，所以选D .本题也可以用 Venn 图的方法帮助理解. {1 , 8}【解析】由集合的交运算可得A "B ={1 , 8}.1【解析】由题意1亡B ，显然a =1，此时a 2 +3 =4，满足题意，故a = 1 .83. 5【解析】A U B ={1,2,3}U{2,4,5} ={1,2,3,4,5} , 5 个元素.71.72. 73.【解析】因为PUM= P ，所以M 匸P ,2即a 壬P ，得a <1，解得一1<a<1 ,74. C 【解析】对于集合 M , 函数y 斗cos2x| , 其值域为［0,1］，所以M =［0,1］，根据复数模的计算方法得不等式J x 2+1 <72，即2x<1，所以 N =(-1,1),84. {-1,3} 【解析】A 1,3}85• {7,9}【解析】U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 },巳 A ={4,6,7,9,10},(e u A)cB = {7,9} • 86. 6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③ ④都不正确，则符合条件的有序数组为 (2,3,1,4)，(3,2,1,4);若只有③正确，①②④ 都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确，①②③都不正确，则 符合条件的有序数组为(2,1,4,3)， (3,1,4,2)，(4,1,3,2) •综上符合条件的有序数组 的个数是6 • 87• {6,8}【解析】G A)nB ={6,8} n{2,6,8} ={6,8} • 88 •【解析】(1) 5 根据k 的定义，可知 ^21^+23^=5 ； (2) {a 1,a 2,a 5,a 7,a 8} 此时k=211,是个奇数，所以可以判断所求集中必含元素 a i ，又28,29均大于211,故所求子集不含a 9,a i0，然后根据2j(j =1,2,…7)的值易推 导出所求子集为{a i ,a 2,a 5,a 7, a s }. 89° 1【解析】考查集合的运算推理. 3亡B , a+2=3 , ^1 • 90^ [解析】(1)因为 a =(1,1,0), P =(0,1,1),所以 M(a ,a )=尹1 +1-|1-1|) + (1 +1-|1 -1|) +(0 + 0)-| 0-0|)] = 2 ,1M(a ,P ) =-[(1 +0-|1 -0|) +(1 +1-|1-1|) +(0+1-| 0-1|)] =1 .⑵设《 =(X i ,X 2,X 3, X 4)亡 B ，则 M (a ,a ) =X i +X 2 +X 3 +X 4 . 由题意知X i , X 2, X 3, X 4 € {0 , 1}，且M(aQ)为奇数, 所以X i , X 2, X 3, X 4中1的个数为1或3 •所以 B 匸{(1 , 0, 0, 0), (0, 1 , 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1 , 1),(1 , 0, 1, 1), (1 , 1, 0, 1), (1, 1 , 1, 0)} •将上述集合中的元素分成如下四组:(1, 0, 0, 0), (1, 1 , 1 , 0)； (0, 1 , 0 , 0) , (1 , 1 , 0 , 1)； (0 , 0 , 1 , 0) , (1 , 0 ,1 , 1) ； (0 , 0 , 0 , 1) , (0 , 1, 1, 1) •经验证，对于每组中两个元素 a , P，均有M (a , P ) =1 •所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4 • 又集合{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.⑶设S k ={( X1,X2，…,X n)|(X,,X2，…,X n)亡A, X R = = X2 =…=X R」=0}(k =1,2,…,n),S n4P ={( X1, X2，…,X n) | X1 = X2 =…=X n = 0},则…USn + • 对于Sk ( k =1,2,…,n—1)中的不同元素a , P，经验证，M(a,P) > 1.所以S k ( k =1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n +1 • 取e k = (X r, X?,…,X n ) € S k 且X kF =…=X n = 0( k = h2,…,n—1) • 令B =(◎©,…,enjUSnUSn十，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.。