浙教版2018-2019学年八年级下册期末数学试卷 含答案

2018-2019学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下面调查中，适合采用普查的是（）A．调查你所在的班级同学的身高情况B．调查全国中学生心理健康现状C．调查我市食品合格情况D．调查中央电视台《少儿节目》收视率3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x＝1C．x＞1D．x＜14．（3分）下列成语所描述的事件为必然事件的是（）A．水中捞月B．守株待兔C．拔苗助长D．翁中捉鳖5．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．（3分）反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则此函数的解析式是（）A．y＝2x B．C．D．7．（3分）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形8．（3分）某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（）A．80B．144C．200D．909．（3分）如果a2﹣6ab+9b2＝0（a、b均不为0），那的值是（）A．﹣B．C．﹣D．10．（3分）若，则（）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤311．（3分）如图，直线y＝x与双曲线y＝交于M、N两点，点P在x轴上，连接MP，NP，若MP⊥NP，且△MNP的面积为10，则k的值是（）A．6B．8C．10D．1212．（3分）在菱形ABCD中，∠C＝∠EDF＝60°，AB＝1，现将∠EDF绕点D任意旋转，分别交边AB、BC于点E、F（不与菱形的顶点重合），连接EF，则△BEF的周长最小值是（）A．1+B．1+C．2D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）13．（3分）为了解我县11000名九年级毕业生的体育成绩，从中抽取了100名考生的体育成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是．14．（3分）一只不透明的袋子中有1个红球、1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性摸出红球可能性（填“等于”或“小于”或“大于”）．15．（3分）在▱ABCD中，若∠B＝50°，则∠C＝°．16．（3分）方程＝的解是 ．17．（3分）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款0.4万元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额 y （万元）与付款月数x 之间的函数表达式是 ．18．（3分）已知+|2﹣b |＝0，则+＝ ．19．（3分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2），都在反比例函数y ＝的图象上，则y 1，y 2的大小关系是 ．20．（3分）在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DE ⊥AB ，垂足为E 点，已知四边形ABCD 的面积是16，且AE ＝1，则AD ＝ ．三、解答题（本大题共8小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（12分）计算（1）+﹣（2）×（﹣）22．（12分）计算（1）﹣（2）1﹣÷23．（10分）学校准备购买一批课外读物．学校就“我最喜爱的课外读物”从“文学”“艺术”“科普”和“其他”四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图如下：请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）条形统计图中，m＝，n＝；（2）求扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．24．（10分）如图所示，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的周长．25．（10分）为了美化城市，某县园林局计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数是原计划的倍，结果提前2天完成了任务，求原计划每天栽树多少棵？26．（12分）仿照下列过程：﹣＝＝＝﹣1；﹣＝＝＝；（1）运用上述的方法可知：＝，＝；（2）拓展延伸：计算：++…+．27．（12分）已知四边形ABCD为矩形，AB＝8cm，BC＝10cm，点P在边AD上以每秒2cm的速度由点A向点D运动，同时点Q在边CD上以每秒acm的速度由点C向点D 运动（如图1），设运动时间为t秒（t＞0），当P、Q中有一点运动到点D时，两点同时停止运动．（1）若a＝1，则t为何值时，△DPQ为等腰直角三角形？（2）在运动过程中，若存在某一时刻t，使BQ能垂直平分CP，求此时a，t的值．（3）若G为BC中点，M、N、E、F分别为线段PD、DQ、PG、GQ中点（如图2）．①记四边形MNFE的面积为S（cm2），请直接写出S（cm2）与时间t（s）的函数关系式；②在运动过程中，若存在某一时刻t，使得四边形MNFE恰好为正方形，试求出此时a、t的值．28．（12分）如图，正方形OABC边长为4，点A、C分别在x轴和y轴上，点B在第一象限，M为BC中点，反比例函数y＝过点M，交BA于点N，D为线段AC上一动点，（点D与A、C两点不垂合），过D作x轴垂线交反比例函数y＝函数于点E，连接BE、DE．（1）直接写出k值及N点坐标：k＝，N（，）．（2）AD＝4时，求四边形ABED是菱形．（3）小明说：“当D在线段AC上运动时（D点与A，C两点不重合）△DEB始终为等腰三角形”，你认为他说的正确吗？如果正确，请说说理由，如果不正确，请举一个反例．2018-2019学年八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）下面调查中，适合采用普查的是（）A．调查你所在的班级同学的身高情况B．调查全国中学生心理健康现状C．调查我市食品合格情况D．调查中央电视台《少儿节目》收视率【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、调查你所在的班级同学的身高情况适合普查，故A符合题意；B、调查全国中学生心理健康现状调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；C、调查我市食品合格情况无法普查，故C不符合题意；D、调查中央电视台《少儿节目》收视率调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x＝1C．x＞1D．x＜1【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故选：A．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4．（3分）下列成语所描述的事件为必然事件的是（）A．水中捞月B．守株待兔C．拔苗助长D．翁中捉鳖【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、水中捞月是不可能事件；B、守株待兔是随机事件；C、拔苗助长是不可能事件；D、瓮中捉鳖是必然事件；故选：D．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义选择答案即可．【解答】解：∵＝，＝，＝2，∴属于最简二次根式的是．故选：C．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．6．（3分）反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则此函数的解析式是（）A．y＝2x B．C．D．【分析】把（1，﹣2）代入函数y＝中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式．【解答】解：由题意知，k＝1×（﹣2）＝﹣2．则反比例函数的解析式为：y＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．7．（3分）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．【解答】解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，∵AC＝BD，∴EH＝FG＝FG＝EF，∴四边形EFGH是菱形．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，难度中等，需要掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，另外要知道四边相等的四边形是菱形．8．（3分）某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（）A．80B．144C．200D．90【分析】根据乙类书籍有90本，占总数的45%即可求得总书籍数，丙类所占的比例是1﹣15%﹣45%，所占的比例乘以总数即可求得丙类书的本数．【解答】解：总数是：90÷45%＝200（本），丙类书的本数是：200×（1﹣15%﹣45%）＝200×40%＝80（本）故选：A．【点评】本题考查了扇形统计图，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系，正确求得总书籍数是关键．9．（3分）如果a2﹣6ab+9b2＝0（a、b均不为0），那的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由a2﹣6ab+9b2＝0，即（a﹣3b）2＝0得a＝3b，代入计算可得．【解答】解：∵a2﹣6ab+9b2＝0，即（a﹣3b）2＝0，∴a﹣3b＝0，即a＝3b，则原式＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握完全平方公式及其非负性和分式的约分．10．（3分）若，则（ ） A ．b ＞3 B ．b ＜3 C ．b ≥3 D ．b ≤3【分析】根据二次根式的性质得出b ﹣3≥0，求出即可．【解答】解：∵＝b ﹣3，∴b ﹣3≥0，解得：b ≥3，故选：C ．【点评】本题考查了对二次根式的性质的应用，注意：当a ≥0时，＝a ，当a ＜0时，＝﹣a ．11．（3分）如图，直线y ＝x 与双曲线y ＝交于M 、N 两点，点P 在x 轴上，连接MP ，NP ，若MP ⊥NP ，且△MNP 的面积为10，则k 的值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】设M （x ， x ），P （a ，0），根据反比例函数的对称性可得N （﹣x ，﹣x ），且x ＞0，a ＞0．由OM ＝ON 可得S △OMP ＝S △ONP ＝S △MNP ＝5．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OM ＝OP ，即x 2+（x ）2＝a 2，化简得出a ＝x ．由S △OMP ＝5，得出•a •x ＝5，将a ＝x 代入整理得出x 2＝．再把M 点坐标代入y ＝，即可求出k 的值．【解答】解：如图，设M （x ， x ），P （a ，0），则N （﹣x ，﹣x ），且x ＞0，a ＞0．∵△MNP 中，MP ⊥NP ，OM ＝ON ，∴S △OMP ＝S △ONP ＝S △MNP ＝×10＝5． ∵OM ＝OP ，∴x 2+（x ）2＝a 2， ∴a ＝x ． ∵S △OMP ＝5，∴•a •x ＝5，∴•x •x ＝5，∴x 2＝．∵双曲线y ＝过M 点，∴k ＝x •x ＝x 2＝×＝6． 故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数的性质，直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识．设M （x ， x ），P （a ，0），根据条件列出关于x 、a 的两个方程是解题的关键．12．（3分）在菱形ABCD 中，∠C ＝∠EDF ＝60°，AB ＝1，现将∠EDF 绕点D 任意旋转，分别交边AB 、BC 于点E 、F （不与菱形的顶点重合），连接EF ，则△BEF 的周长最小值是（ ）A ．1+B ．1+C ．2D ．【分析】连接BD ，如图，利用菱形的性质可判断△ABD 和△CBD 都是等腰直角三角形，则BD ＝AD ，∠ADB ＝∠DBC ＝∠A ＝60°，再证明∠ADE ＝∠BDF ，则可判断△ADE ≌△BDF ，所以AE ＝BF ，DE ＝DF ，接着判断△DEF 为等边三角形得到EF ＝DE ，利用等线段代换得到△BEF 的周长＝AB +DE ＝1+DE ，利用垂线段最短得到DE ⊥AB 时，DE的长最小，最小值为AB＝，从而得到△BEF的周长最小值．【解答】解：连接BD，如图，∵在菱形ABCD中，∠C＝60°，∴△ABD和△CBD都是等腰直角三角形，∴BD＝AD，∠ADB＝∠DBC＝∠A＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴AE＝BF，DE＝DF，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE，∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝BE+AE+DE＝AB+DE＝1+DE，当DE的值最小时，△BEF的周长，而DE⊥AB时，DE的长最小，最小值为AB＝，∴△BEF的周长最小值是1+．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）13．（3分）为了解我县11000名九年级毕业生的体育成绩，从中抽取了100名考生的体育成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是100．【分析】依据样本容量的定义进行判断，一个样本包括的个体数量叫做样本容量．【解答】解：为了解我县11000名九年级毕业生的体育成绩，从中抽取了100名考生的体育成绩进行统计，在这个问题中样本容量是100，故答案为：100．【点评】本题主要考查了样本容量的定义，一个样本包括的个体数量叫做样本容量，样本容量只是个数字，没有单位．14．（3分）一只不透明的袋子中有1个红球、1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性大于摸出红球可能性（填“等于”或“小于”或“大于”）．【分析】分别求出摸出两种颜色球的概率，再比较摸出两个颜色球的可能性大小即可．【解答】解：∵袋子中有1个红球、1个黑球和2个白球共4个小球，其中摸出1个球，摸出白球有2种可能、摸出红球有1种可能，∴摸出白球的概率为＝、摸出红球的概率为，∴摸出白球可能性大于摸出红球可能性，故答案为：大于．【点评】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目，难度适中．15．（3分）在▱ABCD中，若∠B＝50°，则∠C＝130°．【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠C的度数．【解答】解：∵在▱ABCD中∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．故答案为130°．【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．16．（3分）方程＝的解是x＝﹣．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，代入检验即可【解答】解：方程两边都乘以x（x+1），得：30（x+1）＝20x，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，x（x+1）＝﹣≠0，所以分式方程的解为x＝﹣，故答案为：x＝﹣．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17．（3分）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款0.4万元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（万元）与付款月数x之间的函数表达式是y＝．【分析】根据题意可得电脑的售价＝0.4+后期付款金额，根据等量关系列出等式，再整理即可．【解答】解：由题意得：yx+0.4＝1.2，xy＝0.8，y＝＝，故答案为：y＝．【点评】此题主要考查了函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．18．（3分）已知+|2﹣b|＝0，则+＝．【分析】先由非负数性质得出a、b的值，再代入算式，利用二次根式混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵+|2﹣b|＝0，∴a﹣3＝0且2﹣b＝0，即a＝3、b＝2，则原式＝+＝+＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质与二次根式混合运算顺序和运算法则．19．（3分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2），都在反比例函数y ＝的图象上，则y 1，y 2的大小关系是 y 1＜y 2 ．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限．进而可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k 为常数）中，﹣k 2﹣1＜0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵点A （1，y 1），B （2，y 2）， ∴点A 、B 都在第四象限， 又1＜2， ∴y 1＜y 2． 故答案为：y 1＜y 2．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．20．（3分）在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DE ⊥AB ，垂足为E点，已知四边形ABCD 的面积是16，且AE ＝1，则AD ＝．【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明∴△ADE ≌△CDF ，可得S 正方形BEDF ＝S 四边形ABCD＝16，则DE ＝4，利用勾股定理得AD 的长．【解答】解：过D 作DF ⊥BC 于F ， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°， ∵∠B ＝∠F ＝90°， ∴四边形BEDF 是矩形， ∴∠EDF ＝90°，∴∠FDC +∠EDC ＝∠EDC +∠ADE ＝90°， ∴∠ADE ＝∠CDF ， 在△ADE 和△CDF 中，∵，∴△ADE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，S △ADE ＝S △CDF ， ∴矩形BEDF 是正方形， ∴S 正方形BEDF ＝S 四边形ABCD ＝16， ∴DE ＝4，由勾股定理得：AD ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、矩形和正方形的判定、勾股定理等知识，正确作辅助线，构建并证明△ADE ≌△CDF 是关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（12分）计算（1）+﹣（2）×（﹣）【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先化简二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后计算乘法即可得．【解答】解：（1）原式＝2+3﹣＝4；（2）原式＝×（3﹣）＝×2＝2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．22．（12分）计算（1）﹣（2）1﹣÷【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝1；（2）原式＝1•＝1﹣＝【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．23．（10分）学校准备购买一批课外读物．学校就“我最喜爱的课外读物”从“文学”“艺术”“科普”和“其他”四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图如下：请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）条形统计图中，m＝40，n＝60；（2）求扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以科普所占的百分比求出n的值，再用总人数减去文学、科普、和其他的人数，即可求出m的值；（2）用360°乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人，科普类人数为：n＝200×30%＝60人，则m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人，故答案为：40，60；（2）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°．【点评】此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题的关键．24．（10分）如图所示，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的周长．【分析】（1）根据DE∥AC，CE∥BD．得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求得OC＝OD，即可判定四边形OCED是菱形．（2）利用勾股定理求得AC的长，从而得出该菱形的边长，即可得出答案．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝＝＝5，∴CO＝OD＝，∴四边形OCED的周长＝4×＝10．【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．25．（10分）为了美化城市，某县园林局计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数是原计划的倍，结果提前2天完成了任务，求原计划每天栽树多少棵？【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为x，根据题意可得，实际比计划少用2天，据此列方程求解．【解答】解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），由题意得，﹣＝2，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树100棵．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．26．（12分）仿照下列过程：﹣＝＝＝﹣1；﹣＝＝＝；（1）运用上述的方法可知：＝﹣2，＝+；（2）拓展延伸：计算：++…+．【分析】（1）将两式的分子、分母分别乘以﹣2、﹣计算可得；（2）由＝﹣将原式展开后，两两相互抵消即可得．【解答】解：（1）＝＝＝﹣2，＝＝＝+，故答案为：﹣2、+．（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化和根据计算得出规律＝﹣．27．（12分）已知四边形ABCD 为矩形，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，点P 在边AD 上以每秒2cm 的速度由点A 向点D 运动，同时点Q 在边CD 上以每秒acm 的速度由点C 向点D 运动（如图1），设运动时间为t 秒（t ＞0），当P 、Q 中有一点运动到点D 时，两点同时停止运动．（1）若a ＝1，则t 为何值时，△DPQ 为等腰直角三角形？（2）在运动过程中，若存在某一时刻t ，使BQ 能垂直平分CP ，求此时a ，t 的值． （3）若G 为BC 中点，M 、N 、E 、F 分别为线段PD 、DQ 、PG 、GQ 中点（如图2）． ①记四边形MNFE 的面积为S （cm 2），请直接写出S （cm 2）与时间t （s ）的函数关系式；②在运动过程中，若存在某一时刻t ，使得四边形MNFE 恰好为正方形，试求出此时a 、t 的值．【分析】（1）先表示出DP ，DQ ，用等腰直角三角形建立方程即可得出结论； （2）先判断出BP ＝BC ＝10，PQ ＝CQ ，建立方程求解即可得出结论；（3）①利用三角形中位线判断出S △DMN ＝S △DPQ ，S △GEF ＝S △GPQ ，进而得出S △DMN +S △GEF ＝S 四边形DPGQ ，S △PMN +S △QNF ＝S 四边形DPGQ 即可得出结论；②先判断出PQ ⊥DG ，PQ ＝DG ，进而判断出△PDQ ≌△DCG 即可得出结论． 【解答】解：（1）当a ＝1时，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝10，CD ＝AB ＝8， 由运动知，AP ＝2t ，CQ ＝t ， ∴DP ＝10﹣2t ，DQ ＝8﹣t ， ∵△DPQ 为等腰直角三角形， ∴DP ＝DQ ， ∴10﹣2t ＝8﹣t ，∴t ＝2秒；（2）如图，连接BP ，PQ ，BQ ，∵BQ 能垂直平分CP ，∴BP ＝BC ＝10，PQ ＝CQ ，在Rt △ABP 中，BP ＝，∴＝10， ∴t ＝﹣3（舍）或t ＝3秒，∴CQ ＝3a ，AP ＝6，∴DP ＝4，DQ ＝8﹣3a ，∴PQ ＝3a ，在Rt △PDQ 中，16+（8﹣3a ）2＝9a 2，∴a ＝；（3）如图2，连接PQ ，DG ，∵点M ，N 是DP ，DQ 的中点，∴MN ∥PQ ，MN ＝PQ ，∴，∴S △DMN ＝S △DPQ同理：S △GEF ＝S △GPQ ，∴S △DMN +S △GEF ＝（S △DPQ +S △GPQ ）＝S 四边形DPGQ ，同理：S △PMN +S △QNF ＝S 四边形DPGQ ，∴S ＝S 四边形EFNM ＝S 四边形DPGQ ﹣S 四边形DPGQ ＝S 四边形DPGQ ，∵S 四边形DPGQ ＝S 矩形ABCD ﹣S △CQG ﹣S 梯形ABGP ＝﹣（4+a ）t +60；∴S＝S＝﹣（2+a）t+30；四边形DPGQ②∵点M，N是DP，DQ的中点，∴MN∥PQ，MN＝PQ，同理：EF∥PQ，EF＝PQ，∴EF＝MN，∴四边形EFNM是平行四边形，∵四边形EFNM是正方形，∴PQ＝DG，PQ⊥DG，∴∠DHQ＝90°，∴∠CDG+∠DQP＝90°，∵∠CDG+∠CGD＝90°，∴∠DQP＝∠CGD，∵∠DCG＝∠PDQ＝90°，∴△PDQ≌△DCG，∴DP＝CD＝8，DQ＝CG＝5，∴10﹣2t＝8，8﹣at＝5，∴t＝1，a＝3．即：t＝1，a＝3时，四边形EFNM是正方形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．28．（12分）如图，正方形OABC边长为4，点A、C分别在x轴和y轴上，点B在第一象限，M为BC中点，反比例函数y＝过点M，交BA于点N，D为线段AC上一动点，（点D与A、C两点不垂合），过D作x轴垂线交反比例函数y＝函数于点E，连接BE、DE．（1）直接写出k值及N点坐标：k＝4，N（4，1）．（2）AD＝4时，求四边形ABED是菱形．（3）小明说：“当D在线段AC上运动时（D点与A，C两点不重合）△DEB始终为等腰三角形”，你认为他说的正确吗？如果正确，请说说理由，如果不正确，请举一个反例．【分析】（1）先求出A，B，C的坐标，进而求出M的坐标，求出k，即可得出结论；（2）先求出点D坐标，进而求出点E坐标，即可得出结论；（3）先求出直线AC解析式，设出点D坐标，表示出E坐标，即可判断出BE＝DE，即可得出结论．【解答】解：（1）∵正方形的边长为4，∴BC＝OA＝AB＝4，∴A（4，0），C（0，4），B（4，4），∵M是BC的中点，∴M（2，4），∵反比例函数y＝过点M，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当x＝4时，y＝1，∴N（4，2），故答案为：8，4，2；（2）如图，延长ED交OA于F，∴DF⊥OA，在Rt△ADF中，DF＝AF＝2，∴OF＝4﹣2，∴E（4﹣2，4+2），∴DE＝4+2﹣2＝4，∴DE＝AD，∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∵AB＝AD，∴▱ABED是菱形；（3）小明的说法正确，理由：∵A（4，0），C（0，4），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m+4），∴E（m，），∵B（4，4），∴BE2＝（m﹣4）2+（﹣4）2＝m2﹣8m+﹣+32，DE2＝（+m﹣4）2＝m2﹣8m+﹣+32，∴BE＝DE，∴当D在线段AC上运动时（D点与A，C两点不重合）△DEB始终为等腰三角形”，小明说的正确．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，两点间的距离公式，求出点M坐标是解本题的关键．。