2018高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——中档大题规范练6含答案

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2018江苏数学高考真题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法,最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2)111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=,5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． (1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围；（2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1(3,)2,焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267, 求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点";（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值;（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1,8｝2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：(1）因为，，所以．因为，所以，因此,．（2)因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为,所以，因此，．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+决实际问题的能力．满分14分．解：（1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ,所以∠COE =θ, 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是［14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ)平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ）,sin θ的取值范围是［14，1）． (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k （k 〉0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ)+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈［θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ,θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6)时，()>0f θ′，所以f (θ）为增函数；当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f （θ）为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ)取到最大值．答:当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ,由(*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．解:（1）函数f （x )=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x )= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f (x )与g （x ）不存在“S "点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =,则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-,即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x )与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0,设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的,所以存在0x ∈（0，1）,使得0()0h x =，令0302e (1)x x b x =-，则b 〉0．函数2e ()()x bf x x ag x x =-+=，,则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x )且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(＊*）此时，0x 满足方程组(*＊），即0x 是函数f （x ）与g (x )在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0,存在b 〉0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点"． 20．解：（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3,4均成立，即对n =1，2，3，4均成立,即11，1d 3,32d 5，73d 9,得．因此，d 的取值范围为．(2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足．因为,则，从而,,对均成立．因此,取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，，当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d 的取值范围为．数学Ⅱ(附加题）112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b qb n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n mqq -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n nq q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m 11(2)[,]m mb q b q m m-21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1:几何证明选讲］(本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．［选修4—2:矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．（1)求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．［选修4—5：不等式选讲］（本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题,每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2,点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2,1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1,2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1）求34(2),(2)f f 的值;（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅱ(附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4-1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分．证明:连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =23,OC =2，所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2,从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2．B ．［选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2)设P (x ，y ),则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此,点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0）,直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A (4,0）,倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2,所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点,所以31(,,2)22P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．（2)因为Q 为BC 的中点，所以31(,,0)22Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ,y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：(1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2,3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2,3的排列,将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +,当1，2，…,n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列,n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时， 112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

江苏省2018年高考[数学]考试真题与答案解析

江苏省2018年高考：数学卷考试真题与答案解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．5．函数()f x =的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距，则其离心率的值是．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．二、解答题本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．答案解析一、填空题1、{1，8}2、23、904、85、[2，+∞）6、3107、π6-8、2910、4311、–312、3 13、914、27二、解答题15．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+==，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得1,2x =所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．19．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．解：（1）由条件知：112(,)n nn a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,32．（2）由条件知：111(1),n nn a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）．①当2n m ≤≤时，1112222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-．②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习——中档大题规范练2+Word版含答案

2．三角函数的图象、性质与三角变换1．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解 (1)由条件知周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.3．(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 (1)方法一因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0，解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35，从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin2α＝1＋cos2α2，即4sin2α－cos2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin2α－1)2＝1，整理得17sin 22α－8sin2α＝0，解得sin2α＝817或sin2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0，所以sin2α＝817，代入4sin2α－cos2α＝1，得cos2α＝1517，因为tan2α＝sin2αcos2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.4．(2017·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．解 (1)在△AOB 中，由余弦定理，得cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB＝12＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得cos α＝513.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.。

高考数学二轮复习中档大题规范练(六)不等式选讲理

(六)不等式选讲1．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －1|.(1)当a ＝2时，求不等式0<f (x )≤1的解集；(2)若∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤a 2－3，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，因为f (x )＝|x －2|－|x －1|≤|(x －2)－(x －1)|＝1，所以f (x )≤1的解集为R ；由f (x )>0，得|x －2|>|x －1|，则|x －2|2>|x －1|2，即x 2－4x ＋4>x 2－2x ＋1，解得x <32. 故不等式0<f (x )≤1的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. (2)当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝x －a －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，x ≥1，2x －a －1，0<x <1，则f (x )max ＝1－a ≤a 2－3，又a ≤0，所以a ≤－1＋172；当0<a <1，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝1－a >0>a 2－3，故0<a <1不合题意；当a ≥1，x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|x －a |－|x －1|≤|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|＝a －1，当且仅当0<x ≤1时等号成立，则a 2－3≥a －1，又a ≥1，所以a ≥2.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1＋172∪[2，＋∞)． 2．(2018·滨州、淄博模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤2；(2)若∃b ∈R ，不等式|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≤－12，1－3x ，－12<x <2，－x －3，x ≥2，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <2，1－3x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，－x －3≤2，解得x ≤－1或－13≤x <2或x ≥2，综上所述，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥－13. (2)∃b ∈R ，|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立等价于(|a ＋b |－|a －b |)max ≥f (x )max .因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，所以|a ＋b |－|a －b |的最大值为2|a |；当x ≤－12时，f (x )≤52；当－12<x <2时，－5<f (x )<52；当x ≥2时，f (x )≤－5，所以f (x )max ＝52，所以由原不等式恒成立，得2|a |≥52，解得a ≥54或a ≤－54. 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞. 3．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|(x ∈R )．(1)解不等式f (x )≤1；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为m ，且a ＋b ＝m (a ，b >0)，求4a ＋1b的取值范围．解 (1)由f (x )≤1，即|2x ＋1|≤1，得－1≤2x ＋1≤1，解得x ∈[－1,0]．即不等式的解集为{x |－1≤x ≤0}．(2)g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x ＋1|＋|2x －1|≥|2x ＋1－(2x －1)|＝2，当且仅当(2x ＋1)(2x －1)≤0，即－12≤x ≤12时取等号， ∴m ＝2.∴a ＋b ＝2(a ，b >0)，∴4a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24b a ·a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0，4b a ＝a b ，a ＋b ＝2，即a ＝43，b ＝23时等号成立，综上，4a ＋1b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞. 4．(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|，g (x )＝|4x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式g (x )<6的解集；(2)若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)和g (x 2)互为相反数，求a 的取值范围．解 (1)由题意可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14，当x ≤－2时，g (x )＝－3x ＋3<6，得x >－1，无解；当－2<x <14时，g (x )＝－5x －1<6，得x >－75，即－75<x <14；当x ≥14时，g (x )＝3x －3<6，得x <3，即14≤x <3. 综上，g (x )<6的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －75<x <3. (2)因为存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝－g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )，x ∈R }∩{y |y ＝－g (x )，x ∈R }≠∅，又f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|≥|(3x －3a )－(3x ＋1)|＝|3a ＋1|，当且仅当(3x －3a )(3x ＋1)≤0时取等号．由(1)可知，g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞，则－g (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94，所以|3a ＋1|≤94，解得－1312≤a ≤512. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1312，512. 5．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M .(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )．(1)解将f (x )＝|x ＋4|代入不等式，整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，解得x <－103，所以x ≤－4； ②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x <－2，所以－4<x <－2；③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，解得x >2，所以x >2.综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |，所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2，即证a 2b 2＋8ab ＋16>4a 2＋8ab ＋4b 2，即证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——中档大题规范练1 Word版含答案

中档大题规范练1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长；(2)求B 的大小．解 (1)方法一在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，① b cos A ＝1，则b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，② ①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，由asin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c ，代入上式得 c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos B b cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan A tan B＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33，解得tan B ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A .(1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一在△ABC 中，由正弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ，即sin A ＝2sin A cos A .因为A ∈(0，π)，则sin A ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3. 方法二在△ABC 中，由余弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a ·b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bc cos A ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×23sin π3＝32. 3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B .(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．解 (1)由b sin2C ＝c sin B ，根据正弦定理得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12. 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45. 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值；(2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213. 所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]＝－cos(A ＋∠ACB )＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665. (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BC sin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.。

2018年高考数学江苏卷(含答案与解析)

数学试卷第1页（共42页）数学试卷第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共42页）数学试卷第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷第7页（共42页）数学试卷第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷第9页（共42页）数学试卷第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2018江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)

2018江苏一、填空题1．已知集合A ＝{0，1，2，8}，B ＝{－1，1，6，8}，那么A ∩B ＝．【解析】由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1，8}．2．若复数z 满足i •z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．【解析】因为i •z ＝1＋2i ＝i(－i ＋2)，则z ＝2－i ，则z 的实部为2．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为90． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．【解析】由伪代码可得I ＝3，S ＝2；I ＝5，S ＝4；I ＝7，S ＝8；因7＞6，故结束循环，输出S ＝8． 5．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为．【解析】要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．7．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是．【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，得sin(2π3＋φ)＝±1，因－π2＜φ＜π2，故π6＜2π3＋φ＜7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是．【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，故|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，故b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，故双曲线的离心率e ＝ca＝2．9．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为．【解析】因函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，故函数f (x )的最小正周期是4．因在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，故f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，故该多面体的体积为13×(2)2×1×2＝43．11．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为．【解析】f ′(x )＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，故此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a 3，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜a 3，则f (x )在(0，a3)上单调递减，在(a 3，＋∞)上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，故f (a 3)＝1－a 327＝0得，a ＝3，故f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，故f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为．【解析】因AB →·CD →＝0，故AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，故∠BAD ＝45°．设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan(θ＋π4)＝－3．又B (5，0)，故直线AB 的方程为y ＝－3(x－5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得x ＝3，y ＝6，故点A 的横坐标为3．13．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为．【解析】因∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，故∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a ＞0，c ＞0，故1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．14．已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为．【解析】所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26．当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1．求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【解析】(1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因AB 不在平面A 1B 1C 内，A 1B 1⊆平面A 1B 1C ，故AB ∥平面A 1B 1C ． (2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又AA 1＝AB ，故四边形ABB 1A 1为菱形，故AB 1⊥A 1B ．又AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，故AB 1⊥BC ．又A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊆平面A 1BC ，BC ⊆平面A 1BC ，故AB 1⊥平面A 1BC ．因AB 1⊆平面ABB 1A 1，故平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ． 16．(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)因tan α＝43，tan α＝sin αcos α，故sin α＝43cos α．因sin 2α＋cos 2α＝1，故cos 2α＝925，故cos2α＝2cos 2α－1＝－725．(2)因α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55，故sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，故tan(α＋β)＝－2．因tan α＝43，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211．17．(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．17．【解析】(1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，故OH ＝10．过O 作OE ⊥BC 于点E ，则OE ∥MN ，故∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，连接OG ，则GK ＝KN ＝10．令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈(0，π6)．当θ∈[θ0，π2)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，故sin θ的取值范围是[14，1)．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是[14，1)．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k (sin θcos θ＋cos θ)，θ∈[θ0，π2)．设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈[θ0，π2)，则f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f ′(θ)＝0得，θ＝π6，当θ∈(θ0，π6)时，f ′(θ)＞0，故f (θ)为增函数；当θ∈(π6，π2)时，f ′(θ)＜0，故f (θ)为减函数，因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(3，12)，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．(1)若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)因椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，故可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．又点(3，12)在椭圆C 上，故⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．因圆O 的直径为F 1F 2，故其方程为x 2＋y 2＝3．(Ⅱ)(1)设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，故直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0．由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0(*)，因直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0．因x 0＞0，y 0＞0，故x 0＝2，y 0＝1．故点P 的坐标为(2，1)．(2)因△OAB 的面积为267，故12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20），故AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2．因x 20＋y 20＝3，故AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52满足(*)式的Δ＞0，x 20＝20舍去，则y 20＝12，故P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22．综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋32．19．(本小题满分16分)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数．若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”． (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值．(3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，e ()xb g x x=．对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．19．【解析】(1)证明函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”．(2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g′(x )＝1x．设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*)，得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝⎛⎭⎫e －122＝e 2．当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”．因此，a 的值为e 2．(3)对任意a ＞0，设h (x )＝x 3－3x 2－ax ＋a ．因h (0)＝a ＞0，h (1)＝－2＜0，且h (x )的图象是不间断的，故存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，令()302e 1x x b x =-，则b ＞0．函数f (x )＝－x 2＋a ，()e x b g x x =，则f ′(x )＝－2x ，．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得()22e e 12x x b x a xb x x x -+⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩，即()()()00320030202e e 1e 122e 1x x x x x x a x x x x x x x -+=⋅---=⋅-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(**)，此时，x 0满足方程组(**)，即x 0是函数f (x )与g (x )在区间(0，1)内的一个“S 点”．因此，对任意a ＞0，存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S点”．20．(本小题满分16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若 |a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【解析】(1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1，因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52，因此，d 的取值范围为[73，52]．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1．若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因q ∈(1，m2]，则1＜qn －1≤q m≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －in －1b 1＞0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．故取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项(n ＝2，3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1），当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －qn －1)－q n ＋2＞0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增，故()()2e 1x b x g x x -'=数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项为q m －2m ．②设f (x )＝2x (1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0，所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nn q n －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＜1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项为q m m ．因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b 1（q m －2）m ，b 1q m m ．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长．【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，故PC ⊥．又因为23PC =2OC =，故224OP PC OC =+=．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，故2BC =．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2．(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标．【解析】1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0，故A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2． (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，故曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，故A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6．连接OB ．因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，故AB ＝4cos π6＝23．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解析】由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2．因x ＋2y ＋2z ＝6，故x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1．则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ．以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．因AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，从而BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0，2，2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎫32，12，0，因此AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AC 1→＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1，1)．设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝55，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．(本小题满分10分)设n ∈N *，对1，2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记f n (k )为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．【解析】(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，故f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5．(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，故f n (0)＝1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，故f n (1)＝n －1．为计算f n ＋1(2)，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n ．当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22．因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22．。

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6．圆锥曲线
1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32
，且过点P(2，－1)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．
解 (1)由e ＝c a ＝32
，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3，椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2
b
2＝1. 把P(2，－1)代入，得b 2＝2，
所以椭圆C 的方程是x 28＋y 2
2
＝1. (2)由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数．
设直线PA 的方程为y ＋1＝k(x －2)，其中k ≠0.
由⎩⎨⎧ y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，
即(1＋4k 2)x 2－8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0，
因为该方程的两根为2，x A ，
所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2
，从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1
. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1
.
故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12
，是定值． 2．(2017·常州期末)已知圆C ：(x －t)2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B(0，－2)，F(c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B.
(1)求t 的值以及椭圆E 的方程；
(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？
解 (1)由题意得b ＝2.
因为C(t,0)，B(0，－2)，
所以BC ＝t 2＋4＝20，
所以t ＝±4.
因为t ＜0，所以t ＝－4.
因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2，
所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5.
所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24
＝1. (2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，
设l ：y ＝k(x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24
＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.
若点P 存在，设P(m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0，
所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m
＝0，所以(x 1－1)(x 2－m)＋(x 2－1)(x 1－m)＝0，
即2x 1x 2－(1＋m)(x 1＋x 2)＋2m。