2018学高考理科数学通用版二轮复习 寒假作业(二十二) 选修4-4 坐标系与参数方程(注意解题的准度)
选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案) - 副本
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩222tan(0)x yyxxρθ=+=≠在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02)rρθπ=≤<圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22rππρθθ=-≤<圆心为(,)2rπ,半径为r的圆2sin(0)rρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高考复习理科数学专题强化训练：选修4-4坐标系与参数方程 含解析
当α∈ 时、α＋ ∈ 、
故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,2 ]．
7．[20xx·福州质检]在直角坐标系xOy中、直线l的参数方程为 (t为参数、a∈R)．以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系、曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ、射线θ＝ (ρ≥0)与曲线C交于O、P两点、直线l与曲线C交于A、B两点．
(2)由曲线C的直角坐标方程为 ＋ ＝1、可设曲线C上的动点A(2 cosθ、2sinθ)、0＜θ＜ 、
则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2 cosθ＋2sinθ)＝16sin 、0＜θ＜ .
因此该内接矩形周长的最大值为16、当且仅当θ＝ 时取得最大值．
5．[20xx·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy中、曲线C的参数方程为 (α为参数)、以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系、射线l的极坐标方程为θ＝ .
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)射线OP的极坐标方程为θ＝ 、若射线OP与曲线C的交点为A、与直线l的交点为B、求线段AB的长．
解：(1)由 可得
所以x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3、
所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.
由ρsin ＝2 、可得ρ ＝2 、
令Δ＝4－、得3<r2<4.
方程的解ρ1、ρ2分别为点A、B的极径、
ρ1＋ρ2＝2、ρ1ρ2＝4－r2＞0、
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ .
∵3＜r2＜4、∴0＜4－r2＜1、
∴ ＋ ∈(2、＋∞)．
解法二：射线l的参数方程为 (t为参数、t≥0)、将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得、t2－2t＋4－r2＝0、
所以 ρsinθ＋ ρcosθ－2 ＝0、
2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编。选修4-4 坐标系与参数方程
2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编。
选修4-4 坐标系与参数方程2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编] 选修4-4 坐标系与参数方程解答题（本题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.[2016·石家庄教学质检] 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线$l$ 的参数方程为 $\begin{cases}y=3+\dfrac{2t^2}{x}\\x=2t\end{cases}$（$t$ 为参数）。
在以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为$\rho=4\sin\theta-2\cos\theta$。
1) 求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；2) 若直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，直线 $l$ 与曲线$C$ 的交点为 $A$，$B$，求 $|PA|\cdot |PB|$ 的值。
解：(1) 直线 $l$ 的普通方程为 $x-y+3=0$。
将直线 $l$ 的参数方程代入 $\rho=4\sin\theta-2\cos\theta$ 中，得 $4r\sin\theta-2r\cos\theta=r^2$，即 $x^2+(y-2)^2=5$。
2) 将直线的参数方程 $\begin{cases}y=3+\dfrac{2t^2}{x}\\x=2t\end{cases}$ 代入曲线 $C$ 的直角坐标方程 $(x+1)^2+(y-2)^2=5$，解得交点 $A(-3,-1)$，$B(1,3)$。
由 $P$，$A$，$B$ 三点坐标可得 $|PA|=2\sqrt{5}$，$|PB|=2$，故 $|PA|\cdot |PB|=4\sqrt{5}$。
2.[2016·全国卷Ⅱ] 在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $(x+6)^2+y^2=25$。
1) 以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $C$ 的极坐标方程；2) 直线 $l$ 的参数方程是 $\begin{cases}x=t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$|AB|=10$，求 $l$ 的斜率。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习：寒假作业(二十二) 选修4-4 坐标系与参数方程(注意解题的准度)
寒假作业(二十二) 选修4－4 坐标系与参数方程(注意解题的准度)1．(2017·沈阳质检)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． 解：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2， |MN |＝|ρ1－ρ2|＝2， ∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.2．(2017·洛阳第一次统一考试)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．所以圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，θ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6. 设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53，θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.3．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C 与直线l 相离．设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1， 即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1， 可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32， 即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.4．(2017·福州综合质量检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，其左焦点F 在直线l 上．(1)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的值； (2)求椭圆C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)将椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 212＋y 24＝1，则其左焦点F (－22，0)，则m ＝－2 2.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－22＋22t ，y ＝22t(t 为参数)与曲线C 的方程x 212＋y 24＝1联立，化简可得t 2－2t －2＝0，由直线l 的参数方程的几何意义，令|FA |＝|t 1|，|FB |＝|t 2|，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝2. (2)由椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，可设椭圆C 上的任意一点P 的坐标为(23cos θ，2sinθ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 则以P 为顶点的内接矩形的周长为 4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 因此当θ＝π6时，可得该内接矩形周长的最大值为16.。
2018课标版理数一轮(13)选修4—4-坐标系与参数方程(含答案)1 第一节 坐标系
2 由l:ρsin = ,得ρsin θ-ρcos θ=1, θ
4 2 ρ cos θ x, 因为 所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0. ρ sin θ y,
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x y 1 0, x 0, (2)由 2 2 解得 x y x y 0, y 1, ρ2 x2 y 2 , ρ 1, 进而,由 得 y tan θ ( x 0), tan θ不存在, x
x t cos α, (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= 斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程 得ρ2+12ρcos α+11=0,
ρ=r(0≤θ<2π) . ρ=2rsin θ(0≤θ<π) . θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈
,与极轴平行的直线的极坐标方程: (5)过点 a, 2
ρsin θ=a(0<θ<π) .
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1.点P的直角坐标为(1,- 3 ),则点P的极坐标为
(i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的⑦ 距离 |OM|叫做点M的
极径,记为ρ. (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记
为θ.
(iii)极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
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3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间
2020年高中数学理科选修4-4极坐标系习题(附答案)
高中数学理科选修4-4极坐标系习题（附答案）一、单项选择及填空1、在直角坐标系xOy 中，点A （﹣2，2）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（ ）A ． B.(2） C ． D ． 2、在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是（ ）A.θρcos 2a -=（232πθπ<≤） B.θρcos a =（πθ<≤0） C.θρsin 2a -=（232πθπ<≤） D.θρsin a =（πθ<≤0） 3、极坐标系中，圆上的点1=ρ到直线2sin cos =+θρθρ的距离最大值为 （ ） A.2 B. 12+ C. 12- D. 224、在极坐标系中，点)3,4(πM 到曲线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.85、欲将曲线22143x y +=变换成曲线221x y ''+=，需经过的伸缩变换ϕ为（ ） A .2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ B.12x x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩ C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩ D.1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩6、在极坐标系中，直线02)sin (cos =+-θθρ被曲线C ：2=ρ所截得弦的中点的极坐标为 ．7、在极坐标系中，以2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为 . 8、在极坐标系中，点32,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线:3cos 4sin 3l ρθρθ-=的距离为 ．三、解答题.9、在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ=2与曲线C2：，交于不同的两点A，B．（1）求|AB|的值；（2）求过点C（1，0）且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．10、已知曲线C的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程参考答案一、单项选择1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】A5、【答案】B6、【答案】)43,2(π 7、【答案】4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8、【答案】1 三、解答题9、【答案】（1）把曲线C 1和曲线C 2 的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d 的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．（2）用待定系数法求得直线l 的方程为直线l 的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l 的极坐标方程解：（1）曲线C 1：ρ=2，即x 2+y 2=4，表示以原点O （0，0）为圆心，半径等于2的圆．曲线C 2：，即 x ﹣y+2=0，表示一条直线． 圆心到直线的距离为d==，故弦长|AB|=2=2．（2）设过点C （1，0）且与直线AB 平行的直线l 的方程为 x ﹣y+m=0，把点C 的坐标代入求得m=﹣1，故直线l 的方程为 x ﹣y ﹣1=0，即 ρcos θ﹣ρsin θ﹣1=0，即ρsin （θ﹣）=1．10、60y +-=试题分析：根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程1sin cos 32ρθθ+=化为直角坐标方程60y +-=试题解析：由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，5分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 60y +-=．10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程。
2018版高中数学(理)一轮全程复习(课时作业)选修4—4 坐标系与参数方程(七十四)含解析
则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.
(2)由（1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得错误!，解得错误!，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1），
将（0，1)转化为极坐标为错误!，即为所求．
4．(2017·邯郸调研）在极坐标系中，已知直线l过点A（1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为错误!，求：
(1）直线的极坐标方程；
(2）极点到该直线的距离．
解析：(1)如图，由正弦定理得
错误!＝错误!。
即ρsin错误!＝sin错误!＝错误!，
∴所求直线的极坐标方程为ρsin错误!＝错误!。
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝π
3
，∠OAH＝错误!,
则OH＝OA sin错误!＝错误!,
即极点到该直线的距离等于错误!.
5．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝错误!,点R错误!.
（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标;
（2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．。
2018大二轮高考总复习理数文档：解答题5 选修4-4坐标
第一单元高考中档大题突破解答题05: 选修4－4(坐标系与参数方程)基本考点——极坐标方程1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a, π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ．2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b, π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b ．1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4．(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ． 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin2α－π3－32≤2＋3．当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3．所以△OAB 面积的最大值为2＋3．2．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ．(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1． 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．常考热点——参数方程与极坐标的综合几种常见曲线的参数方程(1)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t是参数．1．(2017·全国卷Ⅰ)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，－2125，2425．(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ )到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17．当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917． 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117． 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16．综上，a ＝8或a ＝－16．2．(2017·大庆二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2y ＝45t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ．(1)若a ＝2，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，ρ＝a sin θ转化为ρ＝2sin θ， 整理成直角坐标方程为：x 2＋(y －1)2＝1，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2y ＝45t(t 为参数)．转化成直角坐标方程为4x ＋3y －8＝0．(2)圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 24， 直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍， 所以：d ＝|3a2－8|5＝12·|a |2，2|3a －16|＝5|a |，利用平方法解得：a ＝32或3211．1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110．代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为5．2．(2017·承德二模)在直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝2＋t (t 为参数)．(1)若直线C 1与圆O 相交于A ，B ，求弦长|AB |；(2)以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，圆O 和圆C 2的交点为P ，Q ，求弦PQ 所在直线的直角坐标方程．解：(1)由直线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝2＋t (t 为参数)消去参数t ，可得：x －y ＋1＝0，即直线C 1的普通方程为x －y ＋1＝0．圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，根据sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ，可得：x 2＋y 2＝2．那么圆心到直线的距离d ＝12＝22， 故得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝6．(2)圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，利用ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋23y ． ∵圆O 为：x 2＋y 2＝2.∴弦PQ 所在直线的直角坐标方程为 2＝2x ＋23y ，即x ＋3y －1＝0．3．(2017·河南六市一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22ty ＝5－22t (t 为参数)若以O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)由ρ＝4cos θ，得出ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2＋y 2＝4x ， 即曲线C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，直线l 的方程是：x ＋y ＝0．(2)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，设曲线C 1上的任意点(cos θ，2sin θ)，到直线l 距离d ＝|cos θ＋2sin θ|2＝5|sin (θ＋α)|2．当sin(θ＋α)＝0时，到直线l 距离的最小值为0．4．(2017·南阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t y ＝1－32t (t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ．(1)判断直线l 与圆C 的交点个数；(2)若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．解：(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12ty ＝1－32t (t 为参数)．∴消去参数t 得直线l 的普通方程为3x ＋y －1＝0， ∵圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，即ρ2＝2ρsin θ，∴由ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0． ∵圆心(0,1)在直线l 上， ∴直线l 与圆C 的交点个数为2． (2)由(1)知圆心(0,1)在直线l 上， ∴AB 为圆C 的直径，∵圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0． ∴圆C 的半径r ＝12×4＝1，∴圆C 的直径为2，∴|AB |＝2．5．(2017·厦门二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x ＋1)．由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0.当α＝π2时，方程化为：t 2＋3＝0，方程不成立，当α≠π2时，由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32， 故直线l 倾斜角α为π6或5π6．6．(2017·梅州二模)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ．(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．解：(1)∵曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，∴曲线C 1的平面直角坐标方程为(x ＋2)2＋y 2＝4．又由曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4y ， 把两式作差，得y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y ，得2x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，∴曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标为(0,0)，(－2,2)．(2)如图，由平面几何知识可知：当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋22．。
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寒假作业(二十二) 选修4－4 坐标系与参数方程(注意解题的准度)
1．(2017·沈阳质检)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1＋cos φ，y ＝－2＋sin φ(φ
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． 解：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴直线l 的极坐标方程为θ＝π
4
(ρ∈R)，
圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π
4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2， |MN |＝|ρ1－ρ2|＝2， ∵圆C 的半径为1，
∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝1
2
.
2．(2017·洛阳第一次统一考试)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos φ，
y ＝2＋2sin φ
(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C 的普通方程；
(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π
6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos φ
y ＝2＋2sin φ(φ为参数)，
所以圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.
(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧
ρ＝4sin θ，θ＝π6
，解得ρ1＝2，θ1
＝π
6.
设Q (ρ2
，θ2
)，则由⎩⎨⎧
2ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
6＝53，θ＝π
6，
解得ρ2＝5，θ2＝π
6.
所以|PQ |＝3.
3．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)．
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧
x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2
(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.
(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3t ＋3，
y ＝－3t ＋2
(t 为参数)，
消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.
因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C 与直线l 相离．
设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1， 即
y 0－1x 0
×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2
＝1， 可得x 0＝－
32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝3
2
， 即点D 的坐标为
⎝⎛⎭
⎫32，32.
4．(2017·福州综合质量检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝m ＋22t ，
y ＝22t
(t 为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋
3ρ2sin 2θ＝12，其左焦点F 在直线l 上．
(1)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的值； (2)求椭圆C 的内接矩形周长的最大值．
解：(1)将椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 212＋y 24＝1，则其左焦点F (－22，
0)，则m ＝－2 2.
将直线l 的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝－2
2＋
2
2
t ，y ＝22t
(t 为参数)与曲线C 的方程x 212＋y 2
4
＝1联立，
化简可得t 2－2t －2＝0，
由直线l 的参数方程的几何意义，令|FA |＝|t 1|，|FB |＝|t 2|，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝2. (2)由椭圆C 的方程为x 212＋y 2
4＝1，可设椭圆C 上的任意一点P 的坐标为(23cos θ，2sin
θ)⎝
⎛⎭⎫0<θ<π2， 则以P 为顶点的内接矩形的周长为 4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
3， 因此当θ＝π
6
时，可得该内接矩形周长的最大值为16.。