关于A-G的几个新的上下界

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单调有界定理例题

1、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 1/n2，则该数列：A. 单调递减且有上界B. 单调递增且有上界C. 单调递减且无下界D. 单调递增且无上界（答案：B）2、考虑数列 {b_n}，其中 b_1 = 2，b_{n+1} = b_n * (n/(n+1))，此数列：A. 单调递增且有上界B. 单调递减且有下界C. 单调递增且无上界D. 单调递减且无下界（答案：B）3、设数列 {c_n} 的递推公式为 c_1 = 1，c_{n+1} = c_n + (1/2)n，该数列：A. 不是单调数列B. 单调递减且有下界C. 单调递增且有上界D. 单调递增且无上界（答案：D）4、数列 {d_n} 定义如下：d_1 = 10，d_{n+1} = d_n - (1/n)，此数列：A. 单调递增且有上界B. 单调递减且无下界C. 单调递减且有下界D. 单调递增且无上界（答案：C）5、设数列 {e_n} 满足 e_1 = 1，e_{n+1} = e_n * (1 + 1/n2)，则该数列：A. 单调递减且有上界B. 单调递增且有上界C. 单调递减且无下界D. 单调递增且无上界（答案：D）6、数列 {f_n} 定义如下：f_1 = 1/2，f_{n+1} = f_n + (1/(n(n+1)))，此数列：A. 单调递减且有下界B. 单调递增且有上界C. 单调递减且无下界D. 单调递增且无上界（答案：B）7、考虑数列 {g_n}，其中 g_1 = 3，g_{n+1} = g_n - (2/(n+1))，此数列：A. 单调递增且有上界B. 单调递减且无下界C. 单调递减且有下界D. 单调递增且无上界（答案：C）8、设数列 {h_n} 的递推公式为 h_1 = 1，h_{n+1} = h_n + (n/(n+1))2，该数列：A. 不是单调数列B. 单调递减且有下界C. 单调递增且有上界D. 单调递增且无上界（答案：D）。

递归公式的渐进上下界定理解析

递归公式的渐进上下界定理解析
递归公式的渐进上下界是用来估计递归算法的时间复杂度的重
要工具。

该定理通过比较递归算法的递推公式与一些已知的递归关系，给出了递归算法时间复杂度的上下界。

递归公式的渐进上下界定理通常分为两个部分：渐进上界定理和渐进下界定理。

渐进上界定理：给定一个递归算法的递推公式，如果存在一个函数g(n)，使得递推公式的解f(n)满足f(n)<=g(n)，那么递推公式的时间复杂度的渐进上界为O(g(n))。

渐进下界定理：给定一个递归算法的递推公式，如果存在一个函数h(n)，使得递推公式的解f(n)满足f(n)>=h(n)，那么递推公式的时间复杂度的渐进下界为Ω(h(n))。

通过这两个定理，我们可以得到递归算法的时间复杂度的渐进界。

具体的做法是，通过求解递推公式的解，并找到合适的上界函数和下界函数，然后使用大O和Ω符号来表示递归算法的时间复杂度的上下界。

需要注意的是，渐进上界和渐进下界是针对最坏情况下的时间复杂度的估计。

在实际应用中，我们通常更关心的是平均情况下的时间复杂度，这就需要更加详细的分析和估计。

关于上确界与下确界的概念的教学

ｉｅｆｈｏｃｐｐｅｍｎｎｍｕｉｔｅｔｒｎｅｏｅｃｎｅｔｆｕｒｍｕａｄｉｆｍｎｍａｈｍａｉｓｅｔｏｓｉｃ
ａａｙｉ．ｎｌｓｓ
Ｋｅｏｄｓｅ；ｕｐｅｙｗｒｓｔｓｒｍｕｍ；ｆｍｕｉｉｎｍ
以及实数完备性的几个等价命题。因此理解确界的含义对
后面的数学分析学习至关重要，也对后面的极限思想的掌
上面的例子我们发现上确界是一个集合上界集合的最小
值，它包含了两层含义：（）１上确界是集合的一个上界。（）２上确界是上界集合中最小的，所谓最小的即不能再小了，或者说比它还小的任何一个数都不再是该集合的上
界了。
握起到了辅助的作用。而确界又是数学分析中的第一个涉
及极限思想的概念，初学者往往感到理解起来很困难，尤其
确界的准确定义更是不知所云，考虑到确界的概念的抽象性，因此在确界概念的教学中，需要通过直观的事例来帮助
学生加深对定义的理解。从而导出其准确的定义。
ＡｕｈｒＳｄｒｓＭａｈｍａｉｓｔｏ。ａｄｅｓｔｅｔＤｅａｔｎｏｉｎｕｇｎｃｐｒｍｅｔｆＬａｙｎａｇ
Ｔａｈｒｌｇ，２０６ＬａｙｎａｇＪａｇｕＣｉａｅｃｅｓＣｏｌｅ２２０，ｉｎｕｇｎ，ｉｎｓ，ｈｎｅ
确界的概念包括上确界和下确界，确界是和有界紧密
联系的，学习确界概念之前首先要掌握有界的概念，界在有

ACM必备内容(几乎全)

2 数论........................................................................................................................................... 21
2.1 最大公约数 gcd............................................................................................................21 2.2 最小公倍数 lcm............................................................................................................22
3.1 堆（最小堆）...............................................................................................................31
3.1.1 3.1.2
删除最小值元素：.......................................................................................... 31 插入元素和向上调整：.................................................................................. 32
1.5 拓扑排序.........................................................................................................................7

acm算法源代码

| DIJKSTRA O(E * LOG E)............................................. 4 | BELLMANFORD单源最短路O(VE)................................... 4
| SPFA(SHORTEST PATH FASTER ALGORITHM) .............. 4 | 第K短路（DIJKSTRA）................................................... 5 | 第K短路（A*） .............................................................. 5 | PRIM求MST ..................................................................... 6 | 次小生成树O(V^2)....................................................... 6 | 最小生成森林问题(K颗树)O(MLOGM). ....................... 6 | 有向图最小树形图 ......................................................... 6
(O(NLOGN + Q)).............................................................19 | RMQ离线算法 O(N*LOGN)+O(1)求解LCA...............19 | LCA离线算法 O(E)+O(1).........................................20 | 带权值的并查集 ...........................................................20 | 快速排序 .......................................................................20 | 2 台机器工作调度........................................................20 | 比较高效的大数 ...........................................................20 | 普通的大数运算 ...........................................................21 | 最长公共递增子序列 O(N^2)....................................22 | 0-1 分数规划...............................................................22 | 最长有序子序列（递增/递减/非递增/非递减） ....22 | 最长公共子序列 ...........................................................23 | 最少找硬币问题（贪心策略-深搜实现） .................23 | 棋盘分割 .......................................................................23 | 汉诺塔 ...........................................................................23

定积分的上下界

定积分的上下界
定积分的上下界是指通过对函数进行适当的估计，得到定积分的上限和下限。

这种方法通常用于无法直接计算定积分的情况，例如复杂的函数形式或者积分区间较大的情况。

对于一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内的定积分$int_a^b
f(x)dx$，假设我们能够找到两个函数$g(x)$和$h(x)$，它们分别满足$g(x) leq f(x) leq h(x)$在区间$[a,b]$内成立，那么我们可以得到如下的不等式：
$$int_a^b g(x)dx leq int_a^b f(x)dx leq int_a^b h(x)dx$$ 这个不等式告诉我们，原函数$f(x)$在区间$[a,b]$内的定积分的值一定在$int_a^b g(x)dx$和$int_a^b h(x)dx$之间。

因此，如果我们能够计算出$g(x)$和$h(x)$在区间$[a,b]$内的定积分，那么定积分的上下界就可以得到了。

通常情况下，我们通过对函数的特征进行分析，来找到适当的$g(x)$和$h(x)$。

例如，可以利用函数的单调性、凸凹性、周期性等特征，或者通过对函数的极值点和拐点进行分析，来确定$g(x)$和$h(x)$的形式。

需要注意的是，虽然定积分的上下界可以帮助我们得到积分值的估计，但是这种方法并不能得到代表积分精确值的解析表达式。

因此，在实际应用中，我们需要根据实际需要进行适当的误差分析。

- 1 -。

关于A—G的几个不等式

，
≤ ｍ（叫，Ｆ）２Ａ（一－ｌ２Ｇ（ｎ）ｍ＋Ｇ（，ＷＷｎ）Ｇ（，））ＡＪＷａ一ｎ）（，
中图分类号：２．０１２３ＭＳ２１：２Ｄ１Ｃ００６５文献标志码：Ａ
文章编号：１７ — ３Ｘ（Ｏ２０ —４６０６４２２２１）５０２ — ７
０引言
不加特殊说明，本文都设 ∈ Ｎ， ≥ ２以一（ｌｎ，， ∈ Ｒ，＝叫１训２ … ，）Ｅ，］，ｎ，２ … 口）：：（，， ∈ Ｏ１
Hale Waihona Puke 收稿日期：０２Ｏ～Ｏ２１一４２
通信作者：美秀（９９）女，授，要从事微分方程研究． — ｉ：ｗｙ５１０１３ｃｒ周１６一，教主Ｅｍａｚ９０２＠６．ｏｌｎ
第５期
１
周美秀，：于Ａ— 的几个不等式等关Ｇ
权何均加调平．叫一ｚ ’ 叫一，ｐｎ、（，、（，和叫ａ分几平和权和均当砌一一寺时Ｍ（）叫ｎＧｗｎＨ（，，Ａ）））
别记作Ｍ口、ａ、ａ和Ｈ（）（）Ａ（）Ｇ（）ｎ．又记ｐｎ一（（）Ｍｐｎ） … ，（），同样定义Ａ（）（）Ｍｐｎ，（，Ｍｎ） Ⅱ 、
：
（７）
文［］把式（）和（）别加强为７４７分
∑ 砌（ —Ａｗ。）≤Ａ训ａ一Ｇｗ口≤ 。（，）ｎ（，）（，） ∑ 。ｎ— （，，Ａｗ

线图、全图和细分图的第一几何-算数指数的上下界

文中所考虑的图Ｇ一（（Ｇ），Ｅ（Ｇ））均为简单图，其中（Ｇ）是Ｇ的顶点集，Ｅ（Ｇ）是Ｇ的边集，
（）为点７３在图Ｇ中的度．
示点在图Ｌ（Ｇ）中的度．由线图的定义可知ｄ（）一（）４－ｄ（ｕ）一
２，ｄＬ（ｖｕ２）一ｄ（）＋ｄ（２）一２，其中，１，２Ｅ
２０１８年第３９卷第１期
中北大学学报（自然科学版）
Ｖｏ１．３９Ｎｏ．１２０１８
（总第１７７期）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＯＲＴＨＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＣＨＩＮＡ（ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＥＤＩＴＩＯＮ）
（ＳｕｍＮｏ．１７７）
文章编号：１６７３—３１９３（２０１８）０１００３８０４
线图、全图和细分图的第一几何一算数指数的上下界
霍英杰，高玉斌
（巾北大学理学院，山西太原０３００５１）
摘要：第一几何一算数指数是化学图论中一种全新的拓扑指数，在化学中有着广泛应用．通过对线图、全图和细分图的第一几何一算数指数的研究，并分析图的结构，得到了线图、全图、细分图的第一几何算数指数的上下界，并且刻画了达到上下界的极图．
收稿日期：２０１７０３—２１作者简介：霍英杰（１９９１），男，硕士生，主要从事组合数学的研究
（总第１７７期）
线图、全图和细分图的第一几何一算数指数的上下界（霍英杰等）
３９
本文通过对不等式进行放缩的方法，将特定边数的阶连通图中线图、全图的ＧＡ指数的界推广到阶连通图中线图、全图及细分图的ＧＡ指数的界，得到了线图、全图和细分图的上下界，且刻画了达到上下界的极图．

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∑ （ —ｎａ）
１
∑ （一。。）
Ａ（）一Ｇ（）ａｎ坠一・
（）６
２０ｎＭ
文献［１（）式加强为：１］把６
∑ （ — ｊ口ａ。）
Ａ（）一Ｇ（）ｎａ
∑ （— 。ｎ）
・（）７
的四个新的上下界，中的一些强于相应的已知结果．其
关键词：术平均；几何平均；不等式；值压缩定理算最
中图分类号：７０１８
ＭＳ２０Ｃ００：Ｄ１２６２６５Ｅ６Ｏ
文献标识码：Ａ
的上下界．
不作特殊说明，文设本
７ｚ∈ Ｎ，三三三２，０＜＜Ｍ，
ａ一（１口，，口，２ … ａ）∈ ｍ，Ｍ］，
Ｗ＝讪ｌＷ２ … ，）∈ ［，］，＝＝（，，ＷＯ１
且∑ 硼一１ｉ．ｘ记（，一（Ｗ１（叫ａ） ∑ ）ｐ／ ≠ｏ，０）Ｉ研究结果．献Ｉｌ［］记述了文ｌ、２
Ａ（）Ｇ（）ｎ一口
文献［］［］有：３、４
１
（／一￣￣Ｍ／．）
（）１
ａｗｒ｛）ｉｎ
／２１１曼
＿（ｍ｛）Ｇ）ａｗ墨／２ｘＩ一ｎＡ，－（ａ（ａＧ，ｗ）ｗ）
（２）
南｛ｍＷｉｉｎ｝
（ＥＱ１３）Ｃ６３．
１・／２）。
（３）
收稿日期：００ｌ０２１一Ｏ一１基金项目：江广播电视大学２０年度科学研究课题（ＫＴ一０Ｇ２）２０浙０９Ｘ９１；０８～２００９年度中央电大课题
文章编号：０９７４２１）１０９— ６１０ —１３（００Ｏ —０１０
０引言
在数学不等式理论和经济生活中，于众多正数的平均，对算术平均和几何平均最为重要．于它们差关的估计，也是不等式理论研究中最基础的一部分．文将给出关于元算术平均和几何平均的差的几个新本
１
Ｄ — Ｘ∈ ＤＩ＝ｎ｛ｌ｛ｚ＝＝ｍｉｚ｝一ｚ∈ Ｄｌ１ｚ一 … 一ｚ｝Ｘ一２．
钱伟茂，张小明，赵坚。
（．州广播电视大学，江湖州３３０；．江广播电视大学海宁学院，浙江海宁３４０；１湖浙１００２浙１４０
３中央广播电视大学，京１０３）．北００１
第３２卷第１期２１００年２月
湖州师范学院学报
ＪｕａｆＨｕｈｕＴｅｃｅｓＣｏｌｇｏＲ“ ｌｚｏａｈｒｌｅｏｅ
Ｖｏ．Ｎ０．１３２１Ｆｅｂ．，２Ｏ１０
关于Ａ — 的几个新的上下界Ｇ
为ａ的Ｐ次加权幂平均，中Ｗｉ其（ｌ２ … ，）三０ — ，，，三为权系数．ｗ，）一Ｍｌ硼，）Ｇ（ｎ一Ｍｏ，）ｚ＝Ａ（ｎ（口和ｗ，）（ｎ分别为ｎ的加权算术平均和几何平均．Ｗ一Ｗ当２一 … Ｗｎ１ｎ时，（，）Ａ（口和Ｇ（口又分／口、ｗ，）ｗ，）别记为（）Ａ（）Ｇ口．ｎ、口和（）同时记（）：（（）（） … ，（），ｎ口，口，口）同理可定义（）和（）ｎｎ．
为了本文的展开，需要介绍一下所谓的最值压缩定理，还即引理１至引理３．引理１ … 设集合Ｄ口是有内点的对称凸集，Ｄ一口连续且存在连续偏导数，于ｉ１２，：对一，，
…
，
，
记
Ｄ＝ｚ∈ Ｄｌｍａ｛：＝ｚ一ｘｘｈ一｛ ∈ Ｄ５一ｚ１ＩＣ２一 … 一ｚ｝，
摘
要：于给定区间上的个正数，们的算术平均Ａ和几何平均Ｇ的差的估计，直是不等式理论研究中最对它一
基础的一部分．值压缩定理已成为研究多元不等式的一种常用方法，为最值压缩定理应用之一，出了Ａ — 最作给Ｇ
∑
（ —Ａｗａ）ｎ（，。）・
（４）
２）叫，（口）（ｎ１（ｎ叫一Ｇ（。）Ａｗ，一Ｇｗ，）１（ｎ叫ａ一Ｇ（ｎ）Ｅ２ｔｚ）－ｗ，
：一
（）５
文献［］［０９、１］中的相应结果等价于
作者简介：伟茂，教授，事凸函数理论研究．钱副从
２０
湖州师范学院学报
第３２卷
文献ＬＪＬＪ有：５、６
１∑ 叫（一Ａｗｎ）Ａｗｎ一（，（，（，Ｇｗｎ）））
文献［］［］：７、８有