高考数学大一轮复习 第五章 第3节 平面向量的数量积及应用课件 理 新人教A版
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2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例课件理新人教A版
)
(6)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹
角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12， 则∠ABC＝( )
A．30°
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 几何意义
__|b_|_c_o_s_θ_的乘积
2.向量的夹角
定义
已知两个非零
向量 a 和 b，作
→
→
OA＝a，OB＝
b，则__∠__A_O_B__
就是 a 与 b 的
ห้องสมุดไป่ตู้夹角
图示
范围
共线与垂直
若 θ＝0°，则 设 θ 是 a 与 b a 与 b__同__向___；
的夹角，则 θ 若 θ＝180°， 的取值范围是 则 a 与 b_反__向__； _0_°__≤__θ_≤__1_8_0_° 若 θ＝90°，则
a 与 b__垂__直____
3. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝___b_·_a___； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a_·_(_λ_b_) _； (3)(a＋b)·c＝__a_·_c_＋__b_·c__. 4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，a·b ＝x1x2＋y1y2.
A0， 3，D－13，0，E13，0，
所以A→D＝－13，－
3，A→E＝13，－
A．－2
B．－32
C．－43
D．－1
【解析】 (1)因为 a⊥b，所以 2m－2＝0，所以 m＝1，则 2a
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2
(新课标)2020版高考数学总复习第五章第三节平面向量的数量积及应用举例课件文新人教A版
知识拓展 平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)由a·b=0可得a=0或b=0. ( ✕ )
(2)(a·b)·c=a·(b·c). ( ✕ )
.
x12 y12 x22 y22
3.两向量垂直的应用
a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).
2-1 (2018云南昆明调研)已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|= ( C ) A. 2 B.2 C. 10 D.10 答案 C ∵a=(-1,2),∴2a=(-2,4),又∵b=(1,3),∴2a-b=(-3,1),∴|2a-b|= 10 ,故选C.
4.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (B ) A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B 本题考查数量积的定义和运算. a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B.
5.已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6 3 ,则a与b的夹角θ为 ( D )
|2-|A B
|2+12 A D
·A B
=12 ×22
-22=-2,所以cos
θ=
|
AE BD
AE || BD
|
=
5
2 2
=- 10 .
2 10
命题方向三 平面向量的垂直问题
典例4
高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：53平面向量的数量积及其应用30页PPT
A.322
B.3
15 2
C.-322
D.-3
15 2
因为������������ =(2,1),������������ =(5,5),所以向量������������ 在������������ 方向上的投影为
|������������|cos<������������, ������������>=|������������|·������������·������������
θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. 想一想 b 在 a 上的投影是向量吗?
答案:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos<a,b>,它可以为正, 可以为负,也可以为 0.
第五章
5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
第五章
5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
3.平面向量数量积的性质
已知非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)
性质
几何表示
定义
a·b=|a||b|cos<a,b>
a·a=|a|2 或|a|= ������·������
模 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则������������=(x2-x1,y2-y1)
4.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为π3,则|a+b|=
.
∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=12+2×1×2×cosπ+22=7.
3
∴7|a+b|= (������ + ������)2 = 7.
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件
m＝－79， 联立①②，解得n＝－73.
故选 D.
(2)(2022·陕西渭南模拟)已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C
→ →→ →→ |＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数 λ 的值为
7 12
．
解析 因为A→P⊥B→C，所以A→P·B→C＝0.又A→P＝λA→B＋A→C，B→C＝A→C－A→B，
3．向量数量积的运算律 交换律 分配律
数乘结合律
a·b＝ □10 b·a (a＋b)·c＝ □11 a·c＋b·c (λa)·b＝λ(a·b)＝ □12 a·(λb)
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
A. 5 B．3 5 C．4 5 D．2 5 答案 C
解析 由向量加法的平行四边形法则可知B→A＋B→C＝B→D，则原式＝2|B→D |＝2 42＋22＝4 5.故选 C.
(2)(2021·全国甲卷)若向量 a，b 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b| ＝ 32 .
解析 由|a－b|＝5 得(a－b)2＝25，即 a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b ＝1，得 32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3 2.
4．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为 a 与 b 的夹角为 0 时也有 a·b>0)． (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为 a 与 b 的夹角为 π 时也有 a·b<0)．
1．已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( ) A. 2 B．2 C．5 2 D．50 答案 A
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积课件 理 新人教版
2
考点自测
1.(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于 答案
A.－12
B.6
解析
C.－6
D.12
∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2.(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则
思维升华
平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b| cos〈a，b〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1 (1)(2016·全国丙卷)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，21，则 ∠ABC等于 答案 解析
A.30°
B.45°
∵|B→A|＝1，|B→C|＝1， cos∠ABC＝|B→B→AA|··B|→B→CC|＝ 23，
C.60°
D.120°
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)(2015·天津) 在等腰梯形 ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2 ，BC＝1 ，
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的 几何意义
乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔ a·b＝0 .
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
考点自测
1.(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于 答案
A.－12
B.6
解析
C.－6
D.12
∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2.(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则
思维升华
平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b| cos〈a，b〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1 (1)(2016·全国丙卷)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，21，则 ∠ABC等于 答案 解析
A.30°
B.45°
∵|B→A|＝1，|B→C|＝1， cos∠ABC＝|B→B→AA|··B|→B→CC|＝ 23，
C.60°
D.120°
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)(2015·天津) 在等腰梯形 ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2 ，BC＝1 ，
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的 几何意义
乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔ a·b＝0 .
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
2025年高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用【课件】
，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2 3
2 3
[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝ 2 + 42 + 4·＝ 4 + 4 + 4＝
2 3.]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦
8
AB的长度为4，则·＝________．
·
.
2
• (1)a·b＝b·a.
• (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
• (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
• 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
• 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
x1x2＋y1y2
• (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝___________．
8
1
2
[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝ ，所以·＝
1
2
||||·cos∠BAC＝||||＝ ||2＝8．]
典例精研 核心考点
• 考点一 平面向量数量积的运算
• [典例1]
(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝ 3，
，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线
投影
，垂足分别为A1，B1，得到1 1 ，我们称上述变换为向量a向向量b____
|a|cos θ e
投影向量
，1 1 叫做向量a在向量b上的________，记为____________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ ＝
12 + 12
2 3
2 3
[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝ 2 + 42 + 4·＝ 4 + 4 + 4＝
2 3.]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦
8
AB的长度为4，则·＝________．
·
.
2
• (1)a·b＝b·a.
• (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
• (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
• 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
• 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
x1x2＋y1y2
• (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝___________．
8
1
2
[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝ ，所以·＝
1
2
||||·cos∠BAC＝||||＝ ||2＝8．]
典例精研 核心考点
• 考点一 平面向量数量积的运算
• [典例1]
(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝ 3，
，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线
投影
，垂足分别为A1，B1，得到1 1 ，我们称上述变换为向量a向向量b____
|a|cos θ e
投影向量
，1 1 叫做向量a在向量b上的________，记为____________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ ＝
12 + 12
新高考一轮复习人教A版5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用课件(49张)
7a＋ |a||c|
2b）|＝
7|a|2＋ |a|·|c|
2a·b＝
37，又〈a，c〉∈[0，
π]，所以 sin〈a，c〉＝
1－
372＝
2 3.
另解：不妨取 a＝(1，0)，b＝(0，1)，利用坐标运算求得. 故选 B.
命题角度 3 判断两个向量的垂直关系
(1)(2020 全国Ⅱ卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.
(2)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.
()
(3)a·b＝b·c 且 b≠0，则 a＝c.
()
(4)(a·b)c＝a(b·c).
()
(5)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角.
C. 0
D. 2
解：由题意，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos120°＝1＋1×1×(－12)＝12. 故选 A.
(2)(2020 云南省云天化中学高三期末)已知 a＝(4，2)，b＝(3，9)，则 a 在 a－b 方向上的
投影向量的模为
()
A. 2
B. 5
2 C. 2
10 D. 3
解：a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，由(a－λb)⊥b 可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，
解得 λ＝35. 故填35.
若 O 为空间中一定点，动点 P 在 A，B，C 三点确定的平面内且满足(O→P－O→A)·(A→B－A→C) ＝0，则点 P 的轨迹一定过△ABC 的__________心.
【点拨】 求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝ a2，将模的运算转化 为向量的数量积.
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2 A. 2
1 B.2 C．0 D．－1
解析：a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 答案：C
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方
答案：2 5
5．已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b| ＝2，则a与b的夹角为________．
解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6 得 a2－2 b2＋a·b＝－6. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6， ∴cos〈a，b〉＝12. ∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π3. 答案：π3
a⊥b 的充要 条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|≤|a||b|(当 |a·b|与
且仅当 a∥b 时 |a||b|的关系
等号成立)
|x1x2＋ y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22
4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： (1)交换律：a·b＝__b_·_a_； (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝_____a_·(_λ；b) (3)分配律：(a＋b)·c＝__a_·_c＋__b_·_c_.
第3节 平面向量的数量积及应用
Ⅰ.理解平面向量数量积的含义及物理意义； Ⅱ.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系； Ⅲ.掌握数量积的坐标表 达式，会进行平面向量数量积的运算； Ⅳ.能运用数量积表示 两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．
整合·主干知识
1．向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，如图所示， 则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.
向上的投影为( )
A．2
B.32
C．－2
D．－32
解析：b 在 a 方向上的投影为|b|cos 120°＝－32.故选 D.
答案：D
4．(2014·湖北高考)若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A·O→B ＝0，则|A→B|＝________.
解析：由题意知，O→B＝(3,1)或O→B＝(－3，－1)，所以A→B＝ O→B－O→A＝(2,4)或A→B＝(－4,2)，所以|A→B|＝ 22＋42＝2 5.
5．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹 角等问题． 6．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成与向量的_加__法__和__减__法_相似，可以用向量的知识来解决． (2) 物 理 学 中 的 功 是 一 个 标 量 ， 这 是 力 F 与 位 移 s 的 数 量 积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
提示：(1)不一定有a＝b，因为a·c＝b·c⇔c·(a－b)＝0，即c 与a－b垂直，但不一定有a＝b.因此向量数量积不满足消去律．
(2) 因 为 (a·b)c 与 向 量 c 共 线 ， (b·c)a 与 向 量 a 共 线 ． 所 以 (a·b)c与a(b·c)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律．
(2)范围 向量夹角θ的范围是__[0_，__π_]，a与b同向时，夹角θ＝__0；a 与b反向时，夹角θ＝___π. (3)垂直关系 如果非零向量a与b的夹角是__9_0_°__，我们说a与b垂直，记 作_a_⊥__b_._.
2．平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的 数量积是数量__|a_|_|b_|_·c_o_s_θ__，记作a·b，即a·b＝___|a_|_|b_|c_o_s__θ. (2)向量的投影 设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 __|_a_|·_c_o_s_θ__；向量b在a方向上的投影是__|b_|_c_o_s_θ___. (3)数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与___b_在__a_的__方__向__上__的__投__影__|_b_|c_o_s的θ 乘积.
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝4，则A→B·A→C等于( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 解析：如图，A→B·A→C＝(A→C＋C→B)·A→C＝A→C2＋C→B·A→C＝42＋0 ＝16. 答案：D
2．设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1，2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于( )
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹
角.Байду номын сангаас
向量表示
坐标表示
a·b＝|a||b|cos 数量积
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝ a·a
|a|＝___x_21＋__y_21__
夹角
cos θ＝|aa|·|bb|
x1x2＋y1y2 cos θ＝__x_21_＋__y_12_·__x22_＋__y_22
聚集·热点题型
平面向量的数量积的运算
[典例赏析 1] (1)(2015·荆州市高三质检)在△ABC 中，AB＝
2，AC＝4，若点 P 为△ABC 的外心，则A→P·B→C的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)(2015·石家庄市高三质检)在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC
＝1，E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则
A→E·A→F的最大值为________．
[思路点拨] (1)因 AB、AC 已知，故把B→C写为B→C＝A→C－ A→B，利用 AP＝BP＝CP 和数量积定义化简．(2)建立坐标系， 设 F(x，y)，用坐标计算A→E·A→F.
[解析] (1)∵B→C＝A→C－A→B， ∴A→P·B→C＝A→P·A→C－A→P·A→B. 又 cos∠BAP＝AB2＋2·AABP·2A－PBP2＝2·AABB·2AP，
1 B.2 C．0 D．－1
解析：a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 答案：C
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方
答案：2 5
5．已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b| ＝2，则a与b的夹角为________．
解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6 得 a2－2 b2＋a·b＝－6. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6， ∴cos〈a，b〉＝12. ∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π3. 答案：π3
a⊥b 的充要 条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|≤|a||b|(当 |a·b|与
且仅当 a∥b 时 |a||b|的关系
等号成立)
|x1x2＋ y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22
4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： (1)交换律：a·b＝__b_·_a_； (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝_____a_·(_λ；b) (3)分配律：(a＋b)·c＝__a_·_c＋__b_·_c_.
第3节 平面向量的数量积及应用
Ⅰ.理解平面向量数量积的含义及物理意义； Ⅱ.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系； Ⅲ.掌握数量积的坐标表 达式，会进行平面向量数量积的运算； Ⅳ.能运用数量积表示 两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．
整合·主干知识
1．向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，如图所示， 则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.
向上的投影为( )
A．2
B.32
C．－2
D．－32
解析：b 在 a 方向上的投影为|b|cos 120°＝－32.故选 D.
答案：D
4．(2014·湖北高考)若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A·O→B ＝0，则|A→B|＝________.
解析：由题意知，O→B＝(3,1)或O→B＝(－3，－1)，所以A→B＝ O→B－O→A＝(2,4)或A→B＝(－4,2)，所以|A→B|＝ 22＋42＝2 5.
5．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹 角等问题． 6．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成与向量的_加__法__和__减__法_相似，可以用向量的知识来解决． (2) 物 理 学 中 的 功 是 一 个 标 量 ， 这 是 力 F 与 位 移 s 的 数 量 积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
提示：(1)不一定有a＝b，因为a·c＝b·c⇔c·(a－b)＝0，即c 与a－b垂直，但不一定有a＝b.因此向量数量积不满足消去律．
(2) 因 为 (a·b)c 与 向 量 c 共 线 ， (b·c)a 与 向 量 a 共 线 ． 所 以 (a·b)c与a(b·c)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律．
(2)范围 向量夹角θ的范围是__[0_，__π_]，a与b同向时，夹角θ＝__0；a 与b反向时，夹角θ＝___π. (3)垂直关系 如果非零向量a与b的夹角是__9_0_°__，我们说a与b垂直，记 作_a_⊥__b_._.
2．平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的 数量积是数量__|a_|_|b_|_·c_o_s_θ__，记作a·b，即a·b＝___|a_|_|b_|c_o_s__θ. (2)向量的投影 设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 __|_a_|·_c_o_s_θ__；向量b在a方向上的投影是__|b_|_c_o_s_θ___. (3)数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与___b_在__a_的__方__向__上__的__投__影__|_b_|c_o_s的θ 乘积.
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝4，则A→B·A→C等于( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 解析：如图，A→B·A→C＝(A→C＋C→B)·A→C＝A→C2＋C→B·A→C＝42＋0 ＝16. 答案：D
2．设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1，2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于( )
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹
角.Байду номын сангаас
向量表示
坐标表示
a·b＝|a||b|cos 数量积
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝ a·a
|a|＝___x_21＋__y_21__
夹角
cos θ＝|aa|·|bb|
x1x2＋y1y2 cos θ＝__x_21_＋__y_12_·__x22_＋__y_22
聚集·热点题型
平面向量的数量积的运算
[典例赏析 1] (1)(2015·荆州市高三质检)在△ABC 中，AB＝
2，AC＝4，若点 P 为△ABC 的外心，则A→P·B→C的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)(2015·石家庄市高三质检)在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC
＝1，E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则
A→E·A→F的最大值为________．
[思路点拨] (1)因 AB、AC 已知，故把B→C写为B→C＝A→C－ A→B，利用 AP＝BP＝CP 和数量积定义化简．(2)建立坐标系， 设 F(x，y)，用坐标计算A→E·A→F.
[解析] (1)∵B→C＝A→C－A→B， ∴A→P·B→C＝A→P·A→C－A→P·A→B. 又 cos∠BAP＝AB2＋2·AABP·2A－PBP2＝2·AABB·2AP，