湖南省益阳市箴言中学2015届高三第一次模拟考试 数学(理) Word版含答案

益阳市箴言中学2015届高三第一次模拟考试理科数学（考试时间120分钟 满分150分）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则AB =（ ）（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ） []1,1- （D ）[)1,2 2．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”成立的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（ ） （A ）()f x 是偶函数 （B ）()f x 在(),-∞+∞上是增函数 （C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 的值域为[]1,-+∞4．已知函数()21f x x =-+，()g x kx =. 若方程()()f x g x =有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是（ ） （A ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C ） ()1,2 （D ）()2,+∞ 5．已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，则b =（ ）（A （B ）2 （C ）（D ）6．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。

若1322a a a =⋅，且4a 与72a 的等差中项为,45则=5S （ ） A ．35 Ｂ．33 Ｃ．31 Ｄ．297．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x = B. 0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=8.已知()f x 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设4(log 7)a f =，12(log 3)b f =， 1.6(2)c f =，则,,a b c 的大小关系是( )A.c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<9．下列四个图中，函数( )10. 某同学在研究函数()f x启发，将()f x 变形为()f x ＝＋，则()f x 表示PA PB +（如图），①()f x 的图象是中心对称图形； ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为④方程(())1f f x =()f x 的描述正确的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．下列结论：①若命题;1tan ,:=∈∃x R x P 命题,01,:2>+-∈∀x x R x q 则命题""q p ⌝且是假命题； ②已知直线,01:,013:21=++=-+by x l y ax l 则21l l ⊥的充要条件是3-=ba； ③命题“若,0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x 则.0232≠+-x x ”其中正确结论的序号是.____________（把你认为正确结论的序号都填上）12．已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则不等式()1f x >的解集为 .13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为 .14．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=. 若1AE AF ⋅=，则λ的值为 .15．若集合{}{},,,2,0,1,5a b c d =，且下列四个关系：① 2a =； ② 2b ≠； ③ 0c =； ④ 5d ≠.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）16. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，使得m [f (x )＋3]＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分）如图，A B C ∆中，90,1,B B C D E ∠==、两点分别是线段A B A C 、 的中点，现将A B C ∆沿DE 折成直二面角AD EB --。

(1) 求证：A D C A B E ⊥面面； (2) 求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值。

18. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 有两个零点0和2-，且()f x 最小值是1-，函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称. (1)求()f x 和 ()g x 的解析式；(2)若()()()h x f x g x λ=-在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．19．（本小题13分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单ABCD EABCDE位：枝，n N∈）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润X（单位：元）的分布列与数学期望.20．（本小题满分13分）已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率，F是椭圆的焦点，直线AF，O为坐标原点.(1) 求E 的方程；(2) 设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程.21. （本小题满分13分）已知函数ln ()xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.益阳市箴言中学2015届高三第一次模拟考试理科数学答案1-5：ACDBD 6-10：CABCC11.(1)(3); 12(-1，-1/3); 13.-1/4; 14.2; 15.616.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，使得m [f (x )＋3]＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围. [解答] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－23cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴－2－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π，即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1， 此时f (x )＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[3，2].由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，∴f (x )＋3＝－2m，即3≤－2m≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.17. 解：(Ⅰ) 由90,B D E∠=、两点分别是线段A B A C 、的中点， 得//,D E B C D E A D D E B D ⇒⊥⊥，A DB ∴∠为二面角ADEB --平面角，2ADB π∠= 。

,,A D B C D B E B C D A D B E ∴⊥⊂∴⊥面又面又1,1,,22B D B CB D D EBC BDE D B CD E B D====∴∆∆即 ,E B D D C B B E D C ∴∠=∠∴⊥ ,B E A DC ∴⊥面 ,B E A B E A B E AD C ⊂∴⊥又面面面 ……………7分 (Ⅱ) 连结BE 交CD 于H ，连结AH 过点D 作D O A H⊥于O 。

,A D B E B E D H B E A D H ⊥⊥∴⊥面 ,D O A D H B E D O⊂∴⊥面， ,D O A H D O ⊥∴⊥又面A B E所以D A O ∠为AD 与平面ABE 所成角。

R t B D E ∆中，122B D B D D E D H B E ⋅==∴=，R t A D H ∆中，t a n 6D D A O D A ∠===.所以直线AD 与平面ABE 。

……………13分18 (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0).f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象的对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0].247223 AB CDEH O19解：（Ⅰ）()()1085178517n n y n -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，n N ∈. 5分（Ⅱ）① 平均数为551065207516855476.4100⨯+⨯+⨯+⨯=. 8分②55,65,75,85X =.()550.1P X ==，()650.2P X ==，()750.16P X ==，()850.54P X ==.X （单位：元）的分布列为550.1650.2750.16850.5476.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯=13分（每个结果各1分）20. 解：(Ⅰ) 显然F 是椭圆的右焦点，设(c,0)F由题意2A F K c =c ∴又离心率c a = 2a ∴= ，1b ∴=故椭圆E 的方程为2214x y += …………. …………4分 (Ⅱ) 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ,方程为2y k x =-联立直线与椭圆方程： 22142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得：22(14k )16120x k x +-+= 22316(4k 3)0,k4∆=->∴> 设1122(,),(,)P xy Q xy ，则 1212221612,1414k x x x x k k+==++ 221224431+4k P Q x k k-∴- 坐标原点O 到直线l 的距离为d =22222114432441221+41+41O P Q k k S l d k k k k ∆-∴==+=+令 (0)t t >，则 24444O P Q t S t t t∆==++ 44t t +≥ （当且仅当 4t t= 即2t =时等号成立）1O P Q S ∆∴≤故当 2t = 即 2=，k =±O P Q ∆的面积最大从而直线l 的方程为 2y =- .…………. …………13分 21.解：（Ⅰ）1ln '()xx kx f x e--=，依题意，1'(1)01k f k e -==⇒=为所求. （Ⅱ）此时1ln 1'()xx x f x e --=(0)x > ，记1()l n 1h x x x =--，211'()0h x xx =--<，所以()h x 在(0，)+∞单减，又(1)0h =，所以，当01x <<时，()0h x >，'()0f x >，()f x 单增； 当 1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单减. 所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，)+∞.（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=⋅--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 .所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减， 所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<第 11 页 共 11 页 综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e --++=--≤+<+.。