天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 正弦定理与余弦定理习题课课件新人教A版必修5

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天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学总复习 4.6正弦定理和余弦定理

4.6正弦定理和余弦定理(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对3．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°5．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 等于( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15°二、填空题(每小题6分，共24分)6．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.8．在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则ab ＋c ＋b c ＋a ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________.三、解答题(共41分)11．(14分)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C 1＋cos 2B，试判断△ABC 的形状． 12．(14分)在△ABC 中，A ，B 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．答案 1.C 2.C 3.D 4.B 5.D6. π6 7．33 8．1 9. π410. 解 (1)∵3b ＝2a ·sin B ，由正弦定理知3sin B ＝2sin A ·sin B .∵B 是三角形的内角，∴sin B >0，从而有sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，∵A 是锐角，∴A ＝60°.(2)∵103＝12bc sin π3，∴bc ＝40，又72＝b 2＋c 2－2bc cos π3，∴b 2＋c 2＝89. 11. 解由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B，所以cos C cos B ＝b c 或cos C cos B ＝0.即C ＝90°或cos C cos B ＝b c. 方法一利用正弦定理边化角．由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，所以cos C cos B ＝sin B sin C，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B 、C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二由余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac ＝b c，即(a 2＋b 2－c 2)c 2＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(b 2－c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0，所以b 2＝c 2或a 2－b 2－c 2＝0，即b ＝c 或a 2＝b 2＋c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．综上：△ABC 为等腰三角形或直角三角形(分为A 或C 为直角)．12. 解 (1)∵A 、B 为锐角，且sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35， ∴sin A ＝55，cos A ＝1－sin 2A ＝255. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，即2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.点评本题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识以及基本运算能力．。

天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学总复习 2.2 函数的单调性与最值

2.2 函数的单调性与最值(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．(2010·北京)给定函数①y ＝12x ，②y ＝12log (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)单调递减的函数的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)5．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 二、填空题(每小题6分，共24分)6．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________．其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为_____________________________________．8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是 __________． 9．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小．11.(14分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．(14分)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－x 2)<0.答案1．B 2．B 3．B 4．C 5．D6．[3，＋∞) 7．①③ 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 9．(－1,0] 10．解 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，又∵y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.11．(1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.12．解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴由f (1－x )＋f (1－x 2)<0 得f (1－x )<－f (1－x 2)．∴f (1－x )<f (x 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－x <1，－1<1－x 2<1，1－x >x 2－1.解得0<x <1.∴原不等式的解集为(0,1)．。

天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学专题复习测试专题四直线与圆锥曲线练习

一、选择题(每小题7分，共35分)1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1 (m >0)，假如直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．8 D ．2 35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上状况都有可能二、填空题(每小题6分，共24分)6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是__________．7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为____________．8．(2010·湖北重点中学联考)]如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于A ，B ，C 三点，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________．三、解答题(共41分)10．(13分)设AB 是过椭圆x 25＋y 24＝1的一个焦点的弦，若AB 的倾斜角为60°，求弦AB 的长．11．(14分)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，若另有一条直线l 经过P (－2, 0)及线段AB 的中点Q . (1)求k 的取值范围；(2)求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．12．(14分)(2010·温州十校模拟)已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为12.(1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E （0，-4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OT OR •＝167.若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案。

天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学专题复习专题一函数图象与性质的综合应用练习

天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学专题复习专题一函数图象与性质的综合应用练习(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( )A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝－log 2x C ．y ＝3xD ．y ＝－1x2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则( )A ．a <12且a ≠－1B ．－1<a <0C ．a <－1或a >0D ．－1<a <23．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增5．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (|x |)|的图象可能是( )二、填空题(每小题6分，共24分)6． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xx ≥0，－x 2－x x <0，则不等式f (x )＋2>0的解集是________．8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为 ___________．9．已知x 2>13x ，则实数x 的取值范围是________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝aa 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .(1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．11.(14分)设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．12．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案11．解原不等式为(x 2－1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f2<0f －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1－2x －1<0－2x 2－1－2x －1<0，解得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.12．解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有实根．方法二作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：。

天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章解三角形配套练习新人教A版必修5

天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学第一章解三角形配套练习新人教A 版必修5课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°答案 C 解析由a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1³sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22³2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2³222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角 a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12³63³12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝B ＋C －sin C cos B A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12³2³107³45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322³7³43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2³2³4³cos 60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°解析易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722³3³5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3³2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ²AC ²sin A＝12AB ²AC ²sin 60°＝23， ∴AB ²AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A＝AB 2＋AC 2－AB ²AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ²AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ²AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2³1³4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ²cos B －sin Bsin C²cos A＝a c ²a 2＋c 2－b 22ac －b c ²b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53，且AB ²BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解（1）∵AB ²BC ＝－21，∴BA ²BC =21.∴BA ²BC = |BA |²|BC |²cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21³35³54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542³45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA ²BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ²BC =23得ca ²cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ²cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ²cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a ，b ，c )余弦定理由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A ) 余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B ；由A ＋B＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ²sin∠ACBsin ∠ABC ＝50³2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B解析由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟答案 A解析设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )²6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°²sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ²sin 75°＝6－223²6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126³2232＝24(n mile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ²AC ²cos 30°，解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ²BC ²cos 45°＝34＋616－2³32³64³22＝38， ∴AB ＝64(km)．答河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时答案 B解析设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2³20t ³40²cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1²t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302³2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1²A 1B 2²cos 45°＝202＋(102)2－2³20³102³22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220³60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，2033 m解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析在△PAB 中，由正弦定理可得60－＝PBsin 30°，PB ＝60³12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析如图所示，600²sin 2θ＝2003²sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003²sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53解析设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________．答案 20解析设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ²AC ²sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A＝82＋52－2³8³5³12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622³12³12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.由12(a ＋b ＋c )²r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2³10³9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC－α＝BCα－β，∴AC ＝BC cos αα－β＝h cos αα－β.在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βα－β.即山高CD 为h cos αsin βα－β.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ²AD ²sin A ＋12BC ²CD ²sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ²AD ＋BC ²CD )²sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2³2³4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2³4³6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)， EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ²EF＝1302＋1502－102³2982³130³150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解如图所示：∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45° ∵AB ＝30， ∴BC ＝30，BD ＝30tan 30°＝30 3. 在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ²BD ²cos 30°＝900， ∴CD ＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章解三角形复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对答案 C解析 sin B ＝b ²sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m k ＋mk 3mk >m k ＋，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βα－β B.a sin αsin βα－β C.a sin αcos βα－β D.a cos αcos βα－β答案 A解析设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CDα－β＝ADsin β.∴aα－β＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βs α－β. 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( )A ．25B ．51C ．49 3D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ²AB ²sin 60°＝12³16³AB ³32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos 60°＝552＋162－2³16³55³12＝2 401.∴BC ＝49.6．(2010²天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，。

天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 余弦定理课件(一)新人教A版必修5

＝a· a＋b· b－2a· b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以 c2＝a2＋b2－2abcos C.
同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
问题探究二问题
利用坐标法证明余弦定理
如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐
2
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设中线长为 x，由余弦定理知： x 2 ＝4 ＋9 －2×4×9×3＝49，所以 x＝7.
2 2
AC AC 2 2 ＝ 2 ＋AB －2·2 · ABcos
A
所以 AC 边上的中线长为 7.
1.1.2（一）
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．
∴a2－b2＝± c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
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练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.2（一）
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1．在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60° ，则 c 等于( A ) A. 3 B． 3 C. 5 D．5
解由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－ 3ab＝52－3×2＝19.∴c＝ 19.

天津市塘沽区紫云中学高中数学 1.1.2 余弦定理课件(二

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1.1.2（二）
典型例题
例 1 在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 所对的三边，
已知(a＋b－c)(a－b＋c)＝bc，求 A.
解 ∵(a＋b－c)(a－b＋c)
本课
＝[a＋(b－c)]·[a－(b－c)]
栏目
＝a2－(b－c)2
开
＝a2－b2－c2＋2bc＝bc.
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1.1.2（二）
方法二设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，
得 b2＝a2＋c2－2accos B，
∴22＝a2＋(2 3)2－2a×2 3cos 30°，
即 a2－6a＋8＝0，解得 a＝2 或 a＝4.
本课栏目
当 a＝2 时， S＝12acsin B＝12×2×2 3×sin 30°＝ 3；
(3)c＝acos B＋bcos A.
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1.1.2（二）
问题探究三利用余弦定理证明平面图形的几何性质
问题在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两
条对角线长的平方和．你能利用余弦定理加以证明吗？
已知四边形 ABCD 为平行四边形．
本
求证 AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2
1.1.2（二）
1.1.2 余弦定理(二)
【读一读学习要求，目标更明确】
1．熟练掌握余弦定理及其变形形式．
本
2．会用余弦定理解三角形．
课 3．能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．
栏
目【看一看学法指导，学习更灵活】
开关
1．正、余弦定理都反映了任意三角形边角之间的具体关系，

天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学总复习 3.3定积分

3.3定积分（时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．(2010·湖南)ʃ421x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 22．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 －1≤x ≤01 0<x <1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．－23C ．－43 D.43 3．⎰-+2π2πd )cos (sin x x x 的值是( )A ．0 B.π4C ．2D ．4 4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 5．(2010·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知f (x )是偶函数，且ʃ50f (x )d x ＝6，则ʃ5－5f (x )d x ＝________.7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．8．(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．9．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．11．(14分)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112.试求：切点A 的坐标以及过切点A 的切线方程． 12．(14分)已知二次函数f (x )＝x 2－x ，设直线l ：y ＝t 2－t (其中0<t <12，t 为常数)，若直线l 与f (x )的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是S 1(t )，直线l 与f (x )的图象所围成封闭图形的面积是S 2(t )，设g (t )＝S 1(t )＋12S 2(t )，当g (t )取最小值时，求t 的值．答案 1. D 2.D 3.C 4.C 5.A6.127. －18. 139.23 10.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2－a b ＝0. ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10[ax 2＋(2－a )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋2－a x |10＝2－23a ＝－2. ∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.即f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.11.解如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B . S 曲边△AOB ＝⎰002d x x x ＝13x 300|x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30. 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. 所以x 0＝1，从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.12.解据题意，直线l 与f (x )的图象的交点坐标为(t ，t 2－t )，由定积分的几何意义知： g (t )＝S 1(t )＋12S 2(t )＝－ʃt 0[(t 2－t )－(x2－x )]d x －ʃ21t [(x 2－x )－(t 2－t )]d x ＝ʃt 0[(x 2－x )－(t2－t )]d x ＋ʃ21t [(t 2－t )－(x 2－x )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22－t 2－t x |t 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2－t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|21t＝－43t 3＋32t 2－12t ＋112， g ′(t )＝－4t 2＋3t －12＝－12(8t 2－6t ＋1)＝－12(4t －1)(2t －1)，令g ′(t )＝0，则t ＝14，或t ＝12(不合题意，舍去)．当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，g ′(t )<0，g (t )递减；当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，g ′(t )≥0，g (t )递增．故当t ＝14时，g (t )有最小值．。

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(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．
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1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一定是 A．等腰直角三角形 ( C ) B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
1 ah (1)S＝ 2 a
(ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S＝ absin C＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
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题型一
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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证：＝ . tan B b2＋c2－a2
小结这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c，已知 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求＋的值； tan A tan C → → 3 (2)设BA· BC＝，求 a＋c 的值． 2 3 解 (1)由 cos B＝， 4
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(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32， c b ∴b＝4 2.由正弦定理：sin C＝sin B. c 5 4 2 ∴sin C＝ sin B＝ × ＝ . b 4 2 5 2 ∵c<b 且 B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C＝45° .
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2．正弦定理及其变形 a b c (1) ＝＝＝ 2R . sin A sin B sin C (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝2Rsin C . a b c (3)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R . (4)sin A∶sin B∶sin C＝ a∶b∶c .
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1．在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，则有： A＋ B π C (1)A＋B＋C＝π ，＝－ . 2 2 2 (2)sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝－cos C ， tan(A＋B)＝－tan C . C A＋B cos C A＋B sin 2 . 2 ，cos (3)sin ＝＝ 2 2
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题型二例2
利用正、余弦定理判断三角形形状
在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的
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形状．
解方法一根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60° ，2b＝a＋c，
a＋c 2 2 2 ∴ ＝ a ＋ c －2accos 2
例 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 3 → → cos B＝，且AB· BC＝－21. 5 (1)求△ABC 的面积； (2)若 a＝7，求角 C. → → 解 (1)∵AB· BC＝－21，
→ → ∴BA· BC＝21.
→ → → → ∴BA· BC＝|BA|· |BC|· cos B＝accos B＝21. 3 4 ∴ac＝35，∵cos B＝5，∴sin B＝5. 1 1 4 ∴S△ABC＝2acsin B＝2×35×5＝14.
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2.下列判断中正确的是 A．△ABC 中，a＝7，b＝14，A＝30° ，有两解 B．△ABC 中，a＝30，b＝25，A＝150° ，有一解 C．△ABC 中，a＝6，b＝9，A＝45° ，有两解 D．△ABC 中，b＝9，c＝10，B＝60° ，无解
解析 A：a＝bsin A，有一解；
a2＋c2－b2 b(a2＋c2－b2) 2ac 证明方法一左边＝ 2 ＝， a ＋b2－c2 c(a2＋b2－c2) 2ab b2＋c2－a2 c－b· b(a2＋c2－b2) 2bc 右边＝＝， b2＋c2－a2 c(a2＋b2－c2) b－c· 2bc ∴等式成立．
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证明方法一 sin A cos A sin Acos B 因为左边＝ sin B ＝sin Bcos A cos B
a2＋c2－b2 a2＋c2－b2 2ac a ＝ ·2 2 ＝＝右边， b b ＋c －a2 b2＋c2－a2 2bc
2 2 2 tan A a ＋c －b 所以tan B＝ 2 2 . b ＋c －a2
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方法二
2Rsin C－2Rsin B· cos A 右边＝ 2Rsin B－2Rsin C· cos A
sin(A＋B)－sin Bcos A ＝ sin(A＋C)－sin Ccos A
sin Acos B ＝＝左边． sin Acos C
∴等式成立．
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跟踪训练 2 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC 的形状．
解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即 a2＝b2＋c2－bc，
b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ 2bc ＝2bc＝2，
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4．如图所示，在四边形 ABCD 中， AC 平分∠DAB，∠ABC＝60° ， 15 3 AC＝7，AD＝6，S△ACD＝ . 2 求 AB 的长．
解在△ACD 中， 1 S△ACD＝2AC· ADsin∠1， 15 3 2 × 2S△ACD 2 5 3 ∴sin∠1＝＝＝， AC· AD 14 7×6
得 sin B＝
3 1－42＝
7 . 4
由 b2＝ac 及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C. 1 1 cos A cos C 于是＋＝＋ tan A tan C sin A sin C sin Ccos A＋cos Csin A sin(A＋C) ＝＝ sin Asin C sin2B sin B 1 4 7 ＝sin2B＝sin B＝ 7 .
60° ，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
∴△ABC 是正三角形．
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方法二根据正弦定理，
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2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60° ，∴A＋C＝120° .
∴C＝120° －A，
∴2sin 60° ＝sin A＋sin(120° －A)，
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3．余弦定理及其推论 (1)a2＝ b2＋c2－2bccos A .
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b2＋c2－a2 (2)cos A＝ 2bc
.
(3)在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为直角；c2>a2＋b2⇔C 为钝角；c2<a2＋b2⇔C 为锐角． 4．三角形常用面积公式
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a2＋c2－b2 · 2ac 2ac 右边＝ 2 2 2 b ＋c －a · 2bc 2bc
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方法二
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a2＋c2－b2 · a 2ac cos B sin A ＝ 2 2 2 ＝ · cos A sin B b ＋c －a b 2bc ·
sin A cos B tan A ＝cos A· sin B ＝tan B＝左边，
2 2 2 tan A a ＋c －b 所以＝ . tan B b2＋c2－a2
小结
证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差
异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
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跟踪训练 1 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对 cos B c－bcos A 边，求证：＝ . cos C b－ccos A
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【读一读学习要求，目标更明确】 1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用． 2．提高学生对正、余弦定理应用范围的认识． 3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题．
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【看一看学法指导，学习更灵活】解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．