2021届天津市滨海新区塘沽紫云中学高三上学期第二次月考(期中考试)数学试卷(解析版)

天津市滨海新区塘沽紫云中学2021届高三上学期第二次月考（期中考试）数学试卷一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}222320A x x B x x x =-<=-+<，.则R A C B =( )A. (][)0,12,4 B. ()1,2 C. ∅ D. ()(),04,-∞+∞『答案』A『解析』因为2204x x -<⇒<<，232012x x x -+<⇒<<，所以{}{}0412A x x B x x =<<=<<，，因此{}1,2R C B x x x =≤≥或， 所以R AC B =(][)0,12,4，故本题选A.2. “01x <<”是“2log (1)1x +<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』因为2log (1)111x x +<⇔-<<，所以(0,1) (1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件. 故选A ．3. 过点()3,1M 作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（ ） A. 40x y +-= B. 40x y +-=或3x = C. 20x y --=D. 20x y --=或3x =『答案』C 『解析』222620x y x y +--+=()()22138x y ∴-+-=()3,1M ()()2231138∴-+-=即M 在圆上则过M 点的切线方程为()()()()3111338x y --+--= 整理得20x y --= 故选：C.4. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b ++=π，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A. 1B.2C. 2-D. 『答案』D 『解析』{}n a 是等比数列326106a a a a ∴⋅⋅==6a ∴= {}n b 是等差数列 1611637b b b b π∴++== 673b ∴=π2106239614273tan tan tan tan tan 111333b b b a a a π+ππ∴===-=-=-⋅--本题正确选项：D.5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2e ()1xf x x =-的图象大致是（ ） A. B.C. D.『答案』C『解析』当12x =时，e 12e 2012314f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭-，可排除A 选项；当x →+∞时，0ex >，210x -< x ∴→+∞时，()0f x <，可排除,B D 选项 本题正确选项：C.6. 如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，则三棱锥11B ABC -的体积为（ ）A.B.C.D.『答案』A『解析』三棱锥11B ABC -的体积等于三棱锥11C AB B -的体积，因此，三棱锥1B ABC -的体积为111132⨯⨯=故选：A.7. 设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>『答案』B『解析』依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B.8. 已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』B『解析』由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得，双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a=±，即20x ay ±=．=234a =，∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合， ∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l的距离2d ==．故选B ．9. 若直线:2l y kx =-与函数()()2ln 1,143,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩图像恰好有2个不同的公共点，则k 的取值范围为（ ） A. (),0-∞B. ()24}+∞⋃，C. ()()02-∞+∞，， D. ()()024}-∞⋃+∞⋃，，『答案』D『解析』画出函数 ()f x 的图象，由图可知，当0k <时，直线l 与函数()f x 在区间()1，-∞内有两个交点，与区间[)1+∞，的部分没有交点，因而满足条件；当0k =时，直线l 与函数()f x 只有一个交点，不满足条件；当0k >时，直线l 与函数 ()f x 在区间()1，-∞内只有一个交点，当直线 l 与 ()f x 在区间[)1+∞， 内的部分也有一个交点时满足条件，这时由2y kx =-与 243y x x =-+联立，得()2450x k x -++=，由()24200k ∆=+-=得4k =，当2k >时，直线l 也与()f x 在区间[)1+∞， 内的部分也有一个交点，满足条件.所以满足条件的k 的取值范围为()()024}-∞⋃+∞⋃，， 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 设121iz i i-=++，则||z =______. 『答案』1.『解析』由复数的运算法则有：()()()()11122221112i i ii z i i i i i i i ----=+=+=+=++-， 则：1z i ==.11. 曲线()2sin cos f x x x =+在点(,())f ππ处的切线方程为______________.『答案』2120x y π++-=『解析』由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，|2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，即2210x y +-π+=． 故答案为：2210x y +-π+=．12. 在8x⎛ ⎝的二项展开式中，2x 的项的系数是_______.（用数字作答）『答案』70『解析』根据二项式定理,8x⎛ ⎝的通项为348218(1)r r r r T C x --+=⋅-⋅，当3422r-=时,即r=4时,可得2570T x =. 即2x 项的系数为70.13. 底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为_______.『解析』如图正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，PO AO R ==，1PA =，12AO =，则12PO ==，12OO R =-，在1Rt AO O 中，2212R R ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，得2R =，∴球的体积为33443323R ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭..14. 已知a ，b 均为正数，且1a b +=，2112a ab+-的最小值为________.『解析』因为1a b +=，所以2221()11222a a a b a b ab ab b a +++-=-=+≥=当且仅当2a bb a=，即1a =、2b =-15. 如图梯形ABCD ，//AB CD 且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为_______.『答案』9513『解析』因为//AB CD ，所以向量AD 与AB 的夹角和向量AD 与DC 的夹角相等，设向量AD 与AB 的夹角为θ，因为0AC BD ⋅=，所以()()0AD DC A AB D +-=⋅， 即20AD DC AD B AD C A AB D +⋅-⋅-⋅=， 整理得168cos 20cos 100θθ+--=，解得1cos 2θ=，60θ=， 如图，过点D 作AB 垂线，垂足为O ，建立如图所示的直角坐标系，易知()2,0A -，()3,0B ，(0,D ，(2,C ， 则1,23BC，λλ,23λBE BC ，01λ≤≤，3λ,23λE ，5λ,23λAE ，3λ,23λ23DE，25λ3λ23λ23λ2313λ20λ15AE DE ，因为01λ≤≤，所以当1013λ=时，取最小值，最小值为9513，故答案为：9513. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值. （Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin ab A B=，得2a b =. 由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2acbc aA bcac+-===. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A Bb ==. 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛⎫-=-=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭17. 在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ，1230EF AB DE EF DC EAD ===∠=︒，，，∥.（1）求证：CD ⊥平面ADE ；（2）在线段BD 上是否存在点G ，使得平面EAD 与平面FAG 所成的锐二面角的大小为30，若存在，求出DGDB的值；若不存在，说明理由. （1）证明：∵平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD =AD ， 正方形中CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面ADE . （2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面AED .在平面DAE 内，过D 作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C，()1,,2,0,02F A ⎛ ⎝⎭， ()2,2,0DB =，32AF ⎛=- ⎝⎭，设()[]2,2,0,0,1DG DB λλλλ==∈，则()22,2,0AG λλ=-. 设平面F AG 的一个法向量()1,,n x y z =，则11,n AF n AG ⊥⊥，1100n AF n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()3022220x y x y λλ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，令3x λ=-可得：)()131,25n λλ=---， 易知平面EAD 的一个法向量()20,1,0n =，由已如得12212cos303n n n n λ︒⋅===⋅+.化简可得：219610,3λλλ-+=∴=，即13DG DB =. 18. 已知点A ，B 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点和上顶点，F 为其右焦点，1BA BF ⋅=，且该椭圆的离心率为12； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线AP 与y 轴的交点，线段AP 的中垂线与x 轴交于点N ，若直线OP 斜率为OP k ，直线MN 的斜率为MN k ，且28OP MN b k k a⋅=-（O 为坐标原点），求直线AP 的方程. 解：（1）依题意知：(,0)A a -，(0,)B b ，(c,0)F ，(,)BA a b =--，(,)BF c b =-，则21BA BF ac b ⋅=-+=，又12c e a ==，2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的标准方程为22:143x y C +=. （2）由题意()2,0A -，设直线AP 的斜率为k ，直线AP 方程为(2)y k x =+所以(0,2)M k ，设(),p p P x y ，AP 中点为(),H H H x y ，(),0N N x 由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-= 221612(2)34P k x k-∴-⋅=+ 2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k H k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭AP ∴中垂线方程为：2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭令0y =得22234N k x k -=+. 222,034k N k ⎛⎫-∴ ⎪+⎝⎭ 2634P OP P y k k x k ∴==-，222234234MN k k k k kk +==+ 22263481234OP MNk k b k k k k a ⎛⎫+⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 解得294k =. 32k ∴=± ∴直线AP 的方程为3(2)2y x =±+， 即3260x y ±+=19. 已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，37S =，且13a +，23a ，34a +成等差数列.数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∀∈满足1112n n T T n n +-=+，且11b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ；解：（1）由已知，得()()12313273432a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩， 即123123767a a a a a a ++=⎧⎨-+=-⎩，也即2121(1)7(16)7a q q a q q ⎧++=⎨-+=-⎩，解得11a =，2q ， 故12n n a ；1112n n T T n n +-=+，11b =，可得{}n T n是首项为1，公差为12的等差数列，111(1)22n T n n n +=+-=，(1)2n n n T +=， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b T T n -+-=-=-=， 经检验1n =时也符合上式.则n b n =，*n N ∈； （2）111,22,n n n c n n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，2132124221()()11111(1)(224822)3352121n n n n Q c c c c c c n n n --=++⋯++++⋯+=-+-+⋯+-+++⋯+-+ 设352122426222n n T n -=+++⋯+，所以3572+1422426222n n T n =+++⋯+，两式相减得35212+13422222222n n n T n --=+++⋯+-=212122842413422221433n n n n n -++-⋅-+⋅-⋅=-+- 所以1431499n n n T +-=+， 所以121431(1)(4)2199n n n Q n +-=-+++11313149219n n n +-=-++. 20. 设函数()ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.解：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x x=-'，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =.所以当1x ≠时，ln 1x x <-.故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1x x <-，即11ln x x x-<<. （Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x g x c x c =+--，则'()1ln x g x c c c =--，令'()0g x =，解得01lnln ln c cx c -=. 当0x x <时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'()0g x <，()g x 单调递减. 由（Ⅱ）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >. 所以当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.。