数学苏教版选修2-2合情推理
数学知识点苏教版选修(2-2)2.1《合情推理与演绎推理》word教案1-总结
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
知识点
认知层次 识记
理解 √
应用
综合
知识点 1
合情推理的含义
知识点 2
利用合情推理进 行简单的推理
√
目标设计
1.了解合情推理的含义， 2.能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
教学过程设计
情境设计 情境一：类比平面 内直角三角形的勾 股定理,试给出空间 中四面体性质的猜 想． 问题设计 问题 1、把前面所进行的推理过程进行概括？总结什么是合情推理？ 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、 联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推 理。
情境二：学生讨论 并体会合情推理在 实际例子中的应用
问题 2、 例 1 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规 则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动 1 个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测：把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少需要移动多少 次？ 解：设 an 表示移动 n 块金属片时的移动次数. 当 n=1 时,a1=1 当 n=2 时,a2=3 当 n=3 时,a3=7 当 n=4 时,a4=15 猜想 an=2n -1
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理》
合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性．教学过程我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年〞“邋遢冬至干净年〞，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验．这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比方说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的问题．当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字．一．问题情境数学教育家G．波利亚在其名著?数学与猜测?中对哥德巴赫猜测的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质．这一段表达说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段．接着，波利亚说：假设你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟．同样，假设你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…．这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究．波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西．比方说你可能会碰到这样几个关系：3＋7＝103＋17＝20213＋17＝30并注意到它们之间的类似之处．它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20210都是偶数…．这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的根底．波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6＝3＋3．看看超过6的数，我们发现8＝3＋510＝3＋7＝5＋512＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋11．这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证．只有在较多的归纳检验证实的根底上得到的结论才能使我们更有信心．最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和．至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论〔猜测〕．当然，波利亚还进一步说明了证明的必要性．从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑．2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真〞；归纳推理是一种创造性的推理．3、归纳推理的思维规程大致为：【活动一】1．观察以下等式，从中可以得出怎样的一般规律？猜测：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和．2．在数列中，，通过计算，试猜测这个数列的通项公式．猜测3．前个正整数的和为，前个正整数的平方和从表中发现，于是猜测．归纳推理要具备下述几个要素：1．多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜测．归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已局部取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送．但我们还有另外一种常用的推理方法．在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等．〔G波利亚的类比〕类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加〔＋〕乘〔×〕加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有以下类似的性质：试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆 球 弦截面圆 直径 大圆 周长 外表积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1．选两个相关知识进行类比2．圆的方程是，那么过圆上一点的切线方程为．猜测新命题：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性．〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．【活动三】1．设,为实数，满足，，求的最大值．解：设，那么，即，，将，两式相加得．根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设,为实数，满足，，求的最大值．〔2021年江苏高考第13题〕设，由此可以求出，，而2021江苏高考数学卷中的题目就表达出多种形式的类比思想。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 合情推理
2.1.1 合情推理双基达标 限时20分钟1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A 、B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a>AB ，得P 的轨迹为椭圆．②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列的前n 项和S n 的表达式．③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab. ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特殊到一般的推理．答案 ②2．下面几种推理是合情推理的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n －2)·180°.答案 ①②④3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是__________．答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题4．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n)5．如图(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB ＝PA′·PB′PA·PB ，则图(2)有体积关系：V PA′B′C′V P-ABC ＝________.解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V PA′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC . 答案 PA′·PB′·PC′PA·PB·PC6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和S n ，则有如下性质：①通项：a n ＝a m ＋(n －m)d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m 、n 、p 、q ∈N *)；③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m 、n 、p ∈N *)；④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假． 解 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可以得到：①通项：b n ＝b m ·q n －m (真命题)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q (m ，n ，p ，q ∈N *)(真命题)；③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p(m ，n ，p ∈N *)(真命题)； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(假命题)．综合提高 限时25分钟7．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是________．解析 a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．答案 a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n) 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________ ，T 16T 12成等比数列．解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此，T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 18T 12成等比数列． 答案 T 8T 4 T 12T 89．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…………………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左向右的第3个数是________．解析 ∵前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个， ∴第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 答案 n 2－n ＋6210．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝mcos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋ncos 4α＋pcos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析 观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得 －12＝m ⎝⎛⎭⎫1210－1 280×⎝⎛⎭⎫128＋1 120×⎝⎛⎭⎫126＋n×⎝⎛⎭⎫124＋p×⎝⎛⎭⎫122－1，即n ＋4p ＝－200(2) 联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50，∴m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.答案 96211．就任一等差数列{a n }，计算a 7＋a 10和a 8＋a 9，a 10＋a 40和a 20＋a 30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{a n}，若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则有a m＋a n＝a p＋a q成立．类比等差数列，可得等比数列{a n}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m·a n＝a p·a q成立．12.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB，SAC，SBC与底面ABC所成角分别为α1，α2，α3，三棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为β1，β2，β3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．解如图，在△DEF中，由正弦定理得DE sin F＝EFsin D＝DFsin E.如图，由于平面SAB，SAC，SBC与底面所成的二面角分别为α1，α2，α3，类比可得：在四面体S -ABC中，有S△SAB sin α1＝S△SACsin α2＝S△SBCsin α3，即S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3.13．(创新拓展)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)并进行研究，你能得到什么样的结论？解：(1)∵a10＝a1＋9×1＝10，a20＝a10＋10d＝10＋10d＝40.∴d＝3.(2)∵a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d≠0)， ∴a 30＝10，即a 30为关于d 的二次函数， 由于d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴a 30∈[152，＋∞)． (3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，a 10n ＋2，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式． 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)推广到一般有： a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋d 2＋…＋d n )(n ∈N *)．。
苏教版数学高二- 选修2-2教案 《合情推理—归纳推理》(1)
2.1.1 合情推理—归纳推理教案（1）学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
学习重点、难点教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点用归纳进行推理，做出猜想。
学习过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、问题情境案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）二、学生活动案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
由此猜想：案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒由此猜想：案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正由此猜想：三、建构数学这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。
苏教版高中数学选修2-2合情推理 归纳推理教案
合情推理－归纳推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学过程一．问题情境1．情境：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何一个推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推导得的命题．它告诉我们推理的知识是什么．下面是三个推理案例．（1）前提：当0n =时，21111n n -+=；当1n =时，21111n n -+=；当2n =时，21113n n -+=；当3n =时，21117n n -+=；当4n =时，21123n n -+=；当5n =时，21131n n -+=；11,11,13,17,23,31都是质数．结论：对于所有的自然数n ，211n n -+的值都是质数．2．问题：上述案例中的推理各有什么特点？二．学生活动从个别事实推演出一般性结论．三．建构数学1．归纳推理：从个别事实中推演出一般性结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
2．归纳推理的思维规程大致为：3．归纳推理的特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围.（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,“瑞雪兆丰年”等谚语一样，是 人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.四．数学运用1．例题：例1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇鳄鱼海龟蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的．例2．三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540，……由此我们猜想：凸n 边形的内角和是(2)180n -⨯．例3．221222223,,331332333+++<<<+++，…… 由此我们猜想：(,,b b m a b m a a m+<+均是正实数)． 五．回顾小结：1．归纳推理的概念和特点；2．归纳推理的思维过程．。
高中数学 第二章之《合情推理》教学课件 苏教版选修2-2
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
世界近代三大数学难题之一
哥德巴赫猜想
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小
于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如
的数都是质数
这就是著名的"费马猜想"
半个世纪后,
费马
• 宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作 为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发 现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.
陈氏定理 (Chen‘s Theorem)
任何充分大的偶数都是一 个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘
积, 简称为 “1 + 2 ” 。
归哥纳德巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_____________.任何推理都包含_____________和_____________两部分，____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；___________是根据___________推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_____________,简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.3.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_____________，简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_____________，_____________、_____________是_____________常用的思维方法.知识导学学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律，找出共性，产生联想，归纳出有关的结论.或类比原来研究过的内容来研究与之相似的，更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题，如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识，学会探索，勇于探索，注意知识的前后、纵横联系. 疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.可从正反两个方面举例理解.2.类比推理剖析：类比推理在日常生活中常用，可以由一种事物的特征、启发得到尚未熟悉或尚未被发现的事物的研究，是从特殊到特殊的推理.类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现新问题、探索新知识的功能.如研究球时常与圆类比；研究立体方面的问题常与平面问题类比；研究双曲线、抛物线常与椭圆相类比，这种思维方式，可以使旧知识得到发展，将新旧知识联系起来，使科学不断发展.典题精讲【例1】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值.同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,…,10的结果进行归维推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.由此猜想，n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41,∴f(40)为合数，∴猜想的结论不正确.绿色通道：归纳推理是从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段,通过归纳得到猜想结论.一般来说，归纳推理发现真理的过程为：从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命题→结论的猜想→证明.变式训练:)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,写出1、2、3、4的值,归纳并猜想出结果. 解：取n=1,2,3,4分别得54,43,32,21，观察4个结果都是分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1，猜想：原式=1+n n . 推算：由111)1(1,,3121321,211211+-=+-=⨯-=⨯n n n n , ∴原式=111111141313121211+=+-=+-++-+-+-n n n n n . 【例2】两个同心圆中，任作大圆的弦XY 交小圆于P 、Q ，大圆半径为R ，小圆半径为r ，求证：PX×PY 为定值.思路分析：本题PX×PY 为定值，定值是多少？我们可先由特殊到一般，我们可先取特殊位置，如XY 为大圆的直径等.解：当XY 为大圆的直径时，PX×PY=(R+r)·(R=r)=R 2-r 2.当XY 为小圆的切线时，P 、Q 重合，PX×PY=OX 2-OP 2=R 2-r 2.猜想：过点P 作一直径MN ，由相交弦定理，得PX·PY=PM·PN=(R+r)(R-r)=R 2-r 2(为定值).绿色通道：类比是对知识进行理线串连的好方法，在平时学习中，常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆和运用，思维过程一般为：从具体问题→类比推理→联想→形成一般命题→结论的猜想→证明预见.变式训练:类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a +b =b +a ,(a +b )+c =a +(b +c ).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即a +x =b ,则x =b -a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加不改变大小，在向量加法中任意向量a +0=a .【例3】从大、小正方形的数量关系上，观察图2-1-1所示的几何图形，试归纳得出的结论.图2-1-1思路分析：从个别事例归纳总结，得到一般性的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=32，1+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52，1+3+5+7+9+11=6×6=62，猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.绿色通道：本题为图形语言，要善于观察图形的前后联系和变化，找出规律.变式训练:把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图2-1-2所示.则第七个三角形点数是( )A.27B.28C.29D.30图2-1-2答案：B问题探究问题1：意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的《算经》一书中，记述了有趣的兔子问题，假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？若一直推算下去，可得到一个数列{a n}.若a1=a2=1，你能归纳出当n≥3时a n的递推关系吗？导思：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳，归纳离不开观察、分析，我们应从数值特征、从式子结构、从已知与未知的必然联系等方面观察、分析、探究.应注意所探究的事物或现象的本质属性和因果关系，才能发现规律.探究：我们将各个月的大兔子对数依次排列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……通过观察我们会发现每个数为前两个数之和.∴a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*).问题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.导思：类比推理，就是根据两个不同的对象的某些方面相同或相似推测他们在其他方面也可能相同或相似的思维方式.它是思维过程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想，结论中S2=S12+S22+S32为真命题.探究：类比时应先找共性，抓特点,前提类比、结论类比.考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可类比选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象，在图2-1-3中的四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,图2-1-3设S1、S2、S3和S分别表示△PDF、△PDE、△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边和一条斜边.四面体中有3个“直角面”，S1、S2、S3和一个“斜面”S，于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32成立.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 合情推理 类比推理
第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b⇒a+c=b+c(2)减法法则:a=b⇒a-c=b-c(3)乘法法则:a=b⇒ac=bc(4)除法法则:a=b⇒a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b⇒a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35) [处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)↔乘(×)加数、被加数↔乘数、被乘数和↔积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d↔=q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d↔b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2↔=b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q↔b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.。
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合情推理
1．教学目标：
(1)知识与技能：
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
(2)过程与方法：
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
(3)情感、态度与价值观：
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
2．教学重点：归纳推理及方法的总结。
3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
6．教学过程：
学生探究过程：
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）
A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:
思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：
实验、观察概括、推广猜测一般性结论
师生活动
例 1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
例3 ,333232,232232,131232++<++<++<
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
巩固练习
{}数列的通项公式。
试归纳出这个且的第一项：已知数列
例,......),2,1(1,1411=+==+n a a a a a n
n n n ①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心． ⑵能力培养（例2拓展）
?,2
1,32,1,2:44321=====n a a a a a 求拓展例 ①思考：怎么求n a ？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
7．教学反思：
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多，(,,)a b m <b b+m 由此我们猜想：均为正实数。
a a+m
越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。