人教A版高中数学选修一新课标2-1综合测试题

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【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一

单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉B B．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉A D．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p 和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin yB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos yC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos yD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3>x2”的否定是“∃x∈Z，x3<x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p真，q假．再进行判断．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是() A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1C．－3<λ<3 D．－1<λ<1解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝x cosα＋y sinα＝x2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a·b<λ2成立的充要条件，因此a·b<λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，如果对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则a 的取值范围是________．解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，所以⎩⎨⎧a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1. 答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，则B A .答案：a >1(不惟一)16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α＝5tan β； ④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2. 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；对于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，则⎩⎨⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎨⎧ 0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)． 19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，并且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证．20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3. 设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3满足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]，即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP→与OQ →不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，所以cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP→⊥OQ →成立，因而p 是假命题． 22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－b2)2＋3b24≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.。

高中数学人教A版选修2-1同步练习：3.1.1空间向量及其加减运算

第三章 3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D.BA → [答案] D[解析] 解法1：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法2：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD →[答案] D[解析] OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D.5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________. [答案] 0[解析] 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 方法2：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD —A1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→.10.在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.一、选择题11．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 12．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错； ⑤假命题．零向量的方向是任意的．13．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形，故EF →＋GH →＝0，故选B.14．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 [答案] D 二、填空题15．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为________________________________．[答案] 12(AD →－AB →)[解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)16．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是__________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，∴④不正确．三、解答题17.如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，证明EF →＝12(AD →＋BC →)．[证明] 证法1：设AC 的中点为G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.故EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)．证法2：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0，∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →， ∴2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12(AD →＋BC →)．证法3：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GE →＝12(GA →＋GB →)，GF →＝12(GC →＋GD →)，∴EF →＝GF →－GE →＝12(GC →＋GD →－GA →－GB →)＝12[(GC →－GB →)＋(GD →－GA →)]＝12(BC →＋AD →)．。

最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案

高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列．证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0，所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1，所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ，所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4，即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章圆锥曲线与方程测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ．（1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0），从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576，所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1；（2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325，所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0，因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4，所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）；（2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0，令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0），则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34，当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且＝＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|．错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3．三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030．提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31．提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。

人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案

⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。

高中数学选修2-1人教A同步练习及答案解析-第2章2.2.1同步练习

高中数学人教A 版选2-1 同步练习1.若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 225＋y 29＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于( ) A ．16 B ．18C ．20D ．不确定解析：选B.由椭圆的定义知2a ＝10，2c ＝225－9＝8，所以三角形PF 1F 2的周长等于10＋8＝18. 2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P (2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝12()（2＋1）2＋0＋（2－1）2＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 3.已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．解析：由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4，2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 4.椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m 等于__________．解析：∵2c ＝2，∴c ＝1.当椭圆的焦点在x 轴上时，由4－m ＝1得m ＝3；当椭圆的焦点在y 轴上时，由m －4＝1得m ＝5.答案：3或5[A 级基础达标]1.若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 5 B ．2 3C ．4 5D ．4 3解析：选D.将点(－2，3)代入椭圆方程求得b 2＝4，于是焦距2c ＝216－4＝4 3.2.已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( )A.x 213＋y 212＝1 B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C.x 213＋y 2＝1 D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 解析：选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．3.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D.由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6a ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0a >－6 ⇔a >3或－6<a <－2.故选D.4.椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝1 5.(.·烟台高二检测)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为__________．解析：由已知c ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝41.根据椭圆定义可得：△ABF 2的周长为4a ＝441.答案：4416.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3，2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3，2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵2a ＝8，∴a ＝4.又点P (3，2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16，2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. [B 级能力提升]7.(.·宜宾质检)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.m >n >0⇒1n >1m>0⇒方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；反之，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >n >0.8.已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选 B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．9.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则|PF 1||PF 2|＝__________．解析：两焦点的坐标分别为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100. 而|PF 1|＋|PF 2|＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝196，100＋2|PF 1|·|PF 2|＝196，|PF 1||PF 2|＝48.答案：4810.已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15. 故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 11.(创新题)已知椭圆中心在原点，两焦点F 1、F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

高二数学选修2-1综合测试题(带答案)

高二数学选修2-1测试题(120分钟150分)班级姓名成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【变式训练】命题“若C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m ∥β且n ∥βD.m∥β且n∥l2【变式训练】有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3. “1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【变式训练】若双曲线C：x 2-=1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.3D.5.已知命题p：∀x∈R，x ≥2，那么下列结论正确的是( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-26.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为( )A.1B.C.D.7.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.48.在四边形ABCD中，“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.11.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是( )A. B.C.[-1，0]D.12.已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.15.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量= .16.曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a ≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围. 18.(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.20.(12分)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求的值. 21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.22.(12分)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.高二数学选修2-1测试题答案一、选择题1、【解析】选C.当-1≤a≤1时，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5--12≤5--12<0，所以原命题为真，逆否命题亦为真.反之，如a=-2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[-1，1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假.【变式训练】【解析】选C.原命题是真命题.其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C=90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角.这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题.因此真命题的个数是2.2.【解析】选B.对于选项A，α，β也可能相交，此时，l1，m都平行于交线，是必要不充分条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B符合题意；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，【变式训练】【解析】选 A.a>b>0⇒a2>b2，a2>b2⇒|a|>|b|⇒a>b>0，故①错.a>b>0⇒<，但<⇒a>b>0，故②错.a>b>0⇒a3>b3，但a3>b 3⇒a>b>0故③错故选A.3. 【解析】选 B.当方程+=1表示椭圆时，必有所以1<m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x 2+y2=1，它表示一个圆.4【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF⊥x轴得-=1得|y|=，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即=2c.得b2=2ac，所以=，e2-1=2e，所以e=+1.【拓展延伸】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以=，解得b=1，所以c=，所以e==.5.【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∃x0∈R，x0<2.6. 【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=，BM=，CN=，DN=，MN=1.由于=++，所以||2=(++)2=||2+||2+||2+ 2(·+ ·+·)=+12++2(0+0+0)=，所以||=.7.【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|===5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y 轴的距离等于4.8. 【解析】选C.若=λ，=λ，则∥，∥，即AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC ，即=，=，此时λ=1，所以∃λ∈R ，使得=λ，=λ成立.所以“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9. 【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD 1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以=(0，1，-1)，=(1，1，-1)，=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n ，>===-1.所以<n ，>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90°.10. 【解析】选C.双曲线方程化为-=1(a>0)，因为·=0，所以PF1⊥PF2.所以||2+||2=4c2=20a. ①由双曲线定义||-||=±4，②又已知||·||=2，③由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11. 【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)其中0≤x≤1，0≤y≤1.则=(1-x，-y，1) =(-x，1-y，0)所以·=(1-x，-y，1)·(-x，1-y，0)=+-，因为+的几何意义是平面区域到点的距离的平方，所以当x=y=时，+有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，+有最大值，所以-≤+-≤0，即·的取值范围是.12. 【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，根据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则即x2=4x1，又AF==2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以=，x1=，即p===.二、填空题13.【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=，x1x2=-m，所以5=，把x1+x2=，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y. 答案：x2=4y或x2=-20y 14.【解析】由条件知PC，AC，BC 两两垂直，设=a ，=b ，=c，则a·b=b·c=c·a=0，因为∠BAC=60°，AB=8，所以|a |=||=8cos60°=4，|b |=||=8sin60°=4，|c |=||=4.设=x=x(b -a)，其中x∈[0，1]，则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+x b-c，||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)x a·b-2x b·c-2(1-x)a·c=16(1-x) 2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64+28，所以当x=时，||2取最小值28，所以||min =2. 答案：215. 【解析】因为BG=2GD ，所以=.又=+=-+-=a+c-2b，所以=+=b +(a+c-2b)=a -b +c.答案：a -b +c16.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·=k2，①，将(-1，1)代入得0=k2，因为k>0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，①错误.②，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，②正确.③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以+≥2=2k，故③正确.④，由题意知点P0在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2=4·=4k2，所以④正确.综上所述，正确结论的序号是②③④.答案：②③④三、解答题17.【解析】当p真时，0<a<1，当q 真时，即a>，所以p假时，a>1，q假时，a ≤.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a ≤；当p假q真时，a>1. 综上a 的取值范围为∪(1，+∞). 18.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=-，=-，又因为=，=，所以=，所以BD∥B1D1.又B1D1⊂平面B1CD1，BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)=++=++(+)=++(-+)=++.设=a ，=b ，=c，则=(a+b+c).又=-=b-a，所以·=(a+b+c)·(b-a)=(b2-a2+c·b-c·a).又因为⊥，⊥，所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以·=0.所以MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为-1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.【解析】(1)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，|PF2|=，所以=.若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以=2，综上，=2或.21.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以=，=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ===.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，=(-1，0，1)，=.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n ·=0，n ·=0，得所以x=z，y=z.取z=2，得n=(2，1，2).因为F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1). 又B1(1，0，1)，所以=(t-1，1，0).而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ⇒·n=0⇔(t-1，1，0)·(2，1，2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.22.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE.(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m ，>===-，从而sin<m ，>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ====.于是=，解得λ=，所以AM=.【一题多解】(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B 1+E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，B1C1∩B1G=B1，故CE⊥平面B1C1G，又C1G⊂平面B1C1G ，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x，在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.。

高中数学人教A版选修2-1同步练习：1.4.2含有一个量词的命题的否定

第一章 1.4.2含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案] B[解析]量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.2．(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0[答案] C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3．(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案] D[解析]特称命题的否定是全称命题．4．(2014·贵州湄潭中学期中)已知命题p：∀x∈R,2x>0，则()A．¬p：∃x∈R,2x<0 B．¬p：∀x∈R,2x<0C．¬p：∃x∈R,2x≤0 D．¬p：∀x∈R,2x≤0[答案] C[解析]全称命题的否定为特称命题，“>”的否定为“≤”，故选C.5．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件[答案] B[解析]由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p 假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确．6．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a，b∈R，如果ab<0，则a<0B．∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a，b∈R，如果ab<0，则a<0D．∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0[答案] B[解析]条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．给出下列三个命题：①5≥5；②存在x∈R，使得2x＋1＝3；③对任意的x∈R，有x2＋1＜0，其中为真命题的是______________________．[答案]①②[解析]对于①，由5≥5成立，故①为真；对于②来说，因为2x＋1＝3，所以x＝1.所以存在x∈R，使2x＋1＝3，故②为真命题；对于③，因为x2＋1＞0恒成立，则不存在x∈R，使得x2＋1＜0，故③为假命题，所以①②为真命题．三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是¬p：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B.12．(2014·福建厦门六中期中)下列命题错误．．的是( ) A ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”．B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＝2＝0”的充分不必要条件．C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题．[答案] D[解析] 由逆否命题的定义知A 正确；x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，不一定有x ＝1，故B 正确；由特称命题的否定为全称命题知C 正确；p 与q 只要有一个为假命题，p ∧q 为假命题，故D 错．13．(2014·抚顺二中期中)下列说法正确．．的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x >0”B ．命题“已知x 、y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题[答案] B[解析] A 显然错误；若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3，∴B 正确；如图，在x ∈[1,2]时，y ＝x 2＋2x 的图象总在y ＝ax 的图象的上方，但y ＝x 2＋2x (1≤x ≤2)的最小值不大于y ＝ax (1≤x ≤2)的最大值，故C 错；若f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝0或a ＝－1，故原命题的逆命题为假命题，∴D 错误．14．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题15．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________．[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．16．(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.17．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题18．(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6.若(¬p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

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湛江市二中新课标数学2-1综合测试题
一．选择题：
1. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为
60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率 A ．
32 B. 2
2 C. 21 D. 32 2. 过原点的直线l 与曲线C:13
22
=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 4
34παπ≤≤ 3已知c 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范
围是 ( )
A (1, +∞)
B ),2(∞+
C )2,1(
D ]2,1(
4．过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在（）
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 3条
5．已知是双曲线13
2
2=-y m x 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为（） A. 2 B. 23 C. 1 D. 2
1 6．过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 ( )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 无数条.
7. 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是
A ． 2a
B ． 2
p C ． 2p a + D ． 2p a - 8．与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).
A. y 2=8x
B. y 2=8x (x >0) 和 y =0
C. x 2=8y (y >0)
D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0)
9．已知3=AB , A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动, O 为原点, OB OA OP 3
231+=
则动点P 的轨迹方程是 ( ). A. 1422=+y x B. 1422=+y x C. 1922=+y x D. 192
2=+y x。