高一数学人教b版必修4双基限时练19 向量共线的条件与轴上向量坐标运算含解析

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高中数学人教B版必修4向量共线的条件与轴上向量坐标运算

車点竜点释麺ip 惑方法超巧系统点接热点命題权裁莘篠孔能训舞职爲落寞训、媒、评一牀，爷、思、用结合夯实每一歩，成绩步步高让祢在学H 学常数材的同时疑雄把匪左耆的际动第O 部分教材同步导学第二章■ D I ERZHANG爭页向量向量的线性运算2. 1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课肋门上了 AT 基植才能楼咼预习课本P90〜93,思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的?(2)轴上向量的坐标是怎样表示的?(3)轴上向量的坐标运算法则是什么?［新知初探］1.平行向量基本定理(1) 平行向量基本定理如果a=入b则a // b;反之，如果a// b,且b*0,则一定存在唯一一个实数人使得a=入b(2) 单位向量.给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a o,贝V a= |a|a°或a°= a.|a|［点睛］对定理两个方面的说明(1) 第一个方面“若a=^b贝U a// b”中没有b*0的要求，当b= 0时a= 0对任意的实数入都能使a // b.(2) 第二方面“若a// b且b* 0,则存在唯一一个实数入使a =入b中必须有b*0,否则a = 0时入不唯一，a* 0时，入不存在.2 .轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标量的坐标的和则 a + b =(X 1+ X 2)e轴上向量的坐标等于向量终点的坐AB = X 2— X 1轴上向量的坐标公式标减去始点的坐标 |AB|= |X 2— X 1|---------------------- -------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4 ----------- — ------------------------------- --------------------- ----------------------------------------------------- --------------------------------- ［点睛］ AB 是一个向量，既有大小，也有方向•而 A B 表示A B 的坐标，它是一个实数.［小试身手］1 .判断下列命题是否正确.（正确的打“V”，错误的打“x” ）（1）平行向量基本定理，条件0可以去掉.（）（2）若|a| —|b|=|a — b|,贝U a 与b 是共线向量.（）（3）若a 与b 共线，则存在唯一实数人使b =^a 成立.答案：⑴x ⑵V ⑶x 2.数轴上三点 A , B , C 的坐标分别为一1,2,5，则（）A . AB = — 3B . BC = 3TTC . AC = 6D . AB = 3答案：B13. 在四边形 ABCD 中，若AB =— 2CD ，则此四边形是（）A .平行四边形B .菱形C .梯形D .矩形答案：C4.已知A , B , C 三点在数轴上，且点 B 的坐标X B = 3, AB = 5, AC = 2，则点C 的坐标为 ________ .答案：0［典例］已知数轴上 A , B 两点的坐标为X 1, X 2，根据下列题中的已知条件，求点 A 的坐标X 1.(1) x 2=— 5, BA =— 3; (2) X 2 =— 1, |AB|= 2.课-堂讲练设计■举一能通类题轴上向量的坐标运算［解］(1)因为BA = X1—(—5)= —3,所以X1=—8.(2)因为|AB|= |—1—X1|= 2,所以X1= 1 或X1=—3.轴上向量的坐标及长度计算的方法⑴轴上向量的坐标的求法：先求出 (或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标.(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.［活学活用］已知数轴上三点 A , B , C 的坐标分别是一8,- 3,7,求AB , BC , CA 的坐标和长题点一：判断或证明点共线1 .已知两个非零向量 a 与b 不共线， AB = a + b, BC = 2a + 8b , CD = 3(a - b),求证：A , B , D 三点共线.T T7证明：AB = a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3(a — b), TriTBD = BC + CD = 2a + 8b + 3(a — b) = 2a + 8b + 3a — 3b = 5(a + b)= 5 AB . T T• AB , BD 共线，又•••它们有公共点 B,••• A , B , D 三点共线. 题点二：利用向量共线确定参数 2.设两个不共线的向量e 1, e 2,若a = 2e 1-3e 2, b = 2& + 3e 2, c = 2& — 9e ?，问是否存在实数入□，使d =入a yb 与c 共线?解：d = X 2e 1- 3e2) + 询2e 1 + 3e 2) = (2 + 2 p)e 1+ (3 卩一3 片勺,要使d 与c 共线，则存在实数 k ,使得d = kc , 即(2 入 + 2 讪& + (— 3 3 y)e 2= 2ke 1 — 9ke 2. 由「++；- 9k ，得一 2“故存在实数入和y,使得d 与c 共线，此时入=—2 题点三：几何图形形状的判定1 23.如图所示，正三角形ABC 的边长为15, AP = ?AB + 5AC , BQ =£ AB + ?AC. 5 5求证：四边形 APQB 为梯形.度.解：AB = (- 3)- (-8) = 5, |AB |= |5|= 5; BC = 7-(-3) = 10 , |BC |= |10|= 10;CA = (- 8) — 7=- 15, |CA |= |- 15|= 15.題型二共线向量定理的应用2 3T T，所以 PQ // AB .又|AB |= 15,所以|"PQ |= 13,故|PQ |* | AB I ,于是四边形 APQB 为梯形.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b =入a* 0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行;(2)若b =入a* 0),且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量AB =入AC ，则AB , AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ,从而A , B , C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法.课后层级训练，步步提升能力1 .已知数轴上两点 M , N ,且|MN|= 4.若1或一7解析：选 D |MN|=|X N — (— 3)| = 4,X N — (— 3)=也，即 X N = 1 或一7.选 C •/ OP = 2OA — OB ,••• OP — OA = OA — OB ,证明：因为花=品+ AB + BQ 一 3AB—57C + 7B + 5AB55213 + 5AC =祜ABX M = — 3,则 X N 等于(2 .已知0是厶ABC 所在平面内一点,D 为边BC 的中点，且2OA + OB + OC = 0,A . AO = ODB . AO = 2 0DD . 2 AO = OD ITT 解析：选A •••在△ ABC 中，D 为边BC 的中点，• OB + OC = 2OD , F TT T=0，即 OA + OD = 0,从而 AO = OD .C . AO= 30D• 2(OA + OD )3 .点P 满足向量OP = 2OA — OB ，则点P 与AB 的位置关系是(A .点 P 在线段 AB 上B .点 P 在线段 AB 的延长线上C .点 P 在线段 AB 的反向延长线上D .点 P 在直线 AB 外解• AP = BA，•点P在线段AB的反向延长线上，故选 C.r 2 1 =4.在△ ABC中，点P是AB上一点，且CP = ；CA + ^CB，又AP = t AB，则t的值23Cl D.5解析：选A 由题意可得 AP = CP — CA = 3CA + CB3 3—CA = 1( CB — CA )=-1AB ，又 AP = t AB ，二 t = 3.5.设e i , e 2不共线，b = ©i +入2与a = 2e i — e 2共线，则实数入的值为（）1 A _ A.2 C . 1D . — 1解析：选B 设a = kb （k € R ）, 贝U 2e 1 — e 2= ke 1 + 12. k = 2, 1•••环 e 不共线，••• * •••匕一-. k ^=— 1, 26 .在数轴x 上，已知OA =— 3e （e 为x 轴上的单位向量），且点的坐标为 __________ . 解析：由OA =— 3e ,得点A 的坐标为一3, 贝U AB = 3 — （— 3） = 6,即卩AB 的坐标为6. B 的坐标为3,则向量AB答案：67.下列向量中a , b 共线的有 ___________ (填序号). ① a = 2e , b = — 2e ; ② a = e 1 — e 2, b = — 2& + 2e 2； 2 1③ a = 4e 1 — 5e 2, b = e 1 —10e 2； ④ a = e 1+ e 2, b = 2©— 2e 2. 解析：①中，a =— b ;②中，b =— 2^ + 2e 2=— 2（q —勺）=— 4 e 1 — 10e 2 = 4b ;④中，当e 1, e 2不共线时，a z 入.故填①②③. 答案：①②③ 2 2a ;③中，a = 4e 1 —502 =8.已知M , P , N 三点在数轴上，且点 P 的坐标是5, MP 标为 ________ . 2, MN = 8，则点N 的坐解析：设点 M , N 的坐标分别为 x 1, x 2,v 点 P 的坐标是 5, MP = 2, MN = 8,5—X1==2，解得F= 3，故点N 的坐标为11. X 2— X 1 = 8, X 2= 11.答案：11⑵若AB = BC ,求证：解：(1)AC = AB + BC = 5，即向量 AC — 的坐标为5. (2) •/ AB = BC ,「. b — a = c — b ,b =竺|上，故B 是AC 的中点.=a + 2b , BC = — 4a — b , CD = — 5a — 3b ,求证:四边形ABCD 为梯形.证明：如图所示.T T 1AD = AB + BC + CD = (a + 2b) + (— 4a — b) + (— 5a — 3b) =—8a — 2 b = 2( — 4a — b), • AD = 2BC .T T—T• AD 与 BC 共线，且 | AD |= 2|BC |. 又•••这两个向量所在的直线不重合,••• AD // BC ，且 AD = 2BC.层级二应试能力达标9.已知数轴上 A , B ,C 三点.⑴若 AB = 2, BC = 3,求向量AC —的坐标; B 是AC 的中点.10.已知：在四边形 ABCD 中，AB •••四边形 ABCD 是以AD , BC 为两条底边的梯形.1 .已知向量 AB = a + 3b , BC = 5a + 3b , CD =— 3a + 3b ,则(A. A , B , C 三点共线B. A , B , D 三点共线C. A , C , D 三点共线T r解析：选B BD = BC +D . B , C , D 三点共线1 TCD = 2a + 6b = 2(a + 3b) = 2 AB ，由于BD 与AB 有公共点B,因此A, B, D三点共线.2.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O, E是线段0D的中点，AE的延长AD = b,则AF =( )线交DC于点F，若AB = a,A.^a + bB.p+ b1 C. a+ 3b1D. a+ 2b1 r r : T解析：选A 由已知条件可知BE = 3DE ,• DF = ；AB,A AF = AD + DF = AD +3则 PB + PC = 2 PD .T T又 PA + PB + PC = 0, 5. 已知向量 a , b 是两个不共线的向量，且向量 ma — 3b 与a + (2 — m)b 共线,的值为解析：因为向量 ma — 3b 与a + (2 — m)b 共线且向量a , b 是两个不共线的向量,在实数入使得 ma — 3b =+ (2 — m)b ］，即(m — ”a + (m h — 2入一3)b = 0,因为a 与b 不共m = h,线，所以I m 入一 2 h — 3= 0,3 AB =1a + b. 3•已知向量a , b 不共线，若AB =h a + b , AC = a +h b ,且 A , B , C 三点共线，则关于实数h, h 一定成立的关系式为(B • h = h=— 1C •为?2= 1 解析：选C ••• A , B , C 三点共线，•••D • h +h = 1 AB = 二入a + b = k(a + 2zb)= ka + k h b.又:a , b 不共线,h = k , _ •・ h h 1.1 = k h, 4.已知△ ABC 的三个顶点 A , B , C 及平面内一点 P 满足PA + PB + PC 数h 满足A B + A C =即，则h 的值为()=0,若实解析：选C 如图，取BC 的中点为 • 2PD =— PA , • A 、P 、D 三点共线且• AP =3 AD . 3r T T又••• AB + AP = 2 AD ,|晶=2局|, ••• T B + 齐=3 AP ，即 h= 3.则实数m所以存 D •6解得m=—1或m= 3.答案：—1或36.设e i , e 2是两个不共线的向量，若向量ke i + 2册与8&+ ke 2方向相反，则k = _________ .解析：T ke i + 2e 2 与 8e i + ke 2 共线，二 k& + 2册=48e i + ke 2)= 8 入 e+ 入 ke■/ kq + 2勺与 8q + ke 2 反向,• =-2, k =-4.答案：—47. 已知数轴上四点 A , B , C , D 的坐标分别是一4，— 2, c , d. ⑴若AC = 5,求c 的值;(2) 若|BD|= 6, 求 d 的值；■ I I I(3) 若 AC =— 3 AD ，求证：3CD =— 4 AC . 解：(1) •/ AC = 5,「. c — (— 4) = 5,「. c = 1.(2) T |BD|= 6,「. |d — (— 2)| = 6,即 d + 2 = 6 或 d + 2=— 6,••• d = 4 或 d = — 8.(3)证明：T AC = c + 4, AD = d + 4, I, I又 AC = — 3 AD , • c + 4 = — 3(d + 4)，即 c = — 3d — 16.3CD = 3(d — c) = 3d — 3c = 3d — 3( — 3d — 16) = 12d + 48,—4 AC =— 4c — 16=— 4( — 3d — 16)— 16= 12d + 48,•• 3CD = — 4 AC .8.如图，已知△ OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2 : 1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA = a , OB = b.(1)用a , b 表示向量 OC , DC ；⑵若0E =入0A ，求4的值.II I1 解：(1)由A 是BC 的中点，则有 OA = [OB + OC ),从而 OC = 2 OA — OB = 2a — b.r 2 :由D 是将OB 分成2 : 1的一个内分点，得 OD = -OB , 3从而 DC = OC — OD = (2a — b) — 2b = 2a — 3b.k = 8人2 =4 k 解得k = 4k =— 4.3 3⑵由于C , E , D 三点共线，则EC = y DC ,又 EC = OC — OE = (2a — b)—入=(2 — R a — b , DC = 2a — 3b ,2 — = 2 3,又a , b 不共线，则/ 5 解得R=4.IJ = 33, 5从而(2 — R a — b = 32a —。

数学人教B版必修4教案2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算含答案

一、课前延伸预习检测：判断下列命题是否正确（1）向量与向量平行，则向量与向量方向相同或相反。

（）（2）向量与向量是共线向量则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上。

（）（3）若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。

（）（4）起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。

（）师问生答的形式完成检测。

设计意图：通过几个小题检测一下预习的效果。

二、课上探究学习目标叙写：1.通过经历平行向量基本定理的得出过程,能够理解并掌握向量共线的条件，并且能够正确运用定理证明三点共线和平行问题。

2.借助几何直观引导，能够认识单位向量和理解轴上向量的坐标运算，并能够区分轴与数轴的区别，记住数轴上两点的距离公式。

（一）情景导入通过三个问题引入新课。

问题1：向量共线是如何定义的？由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知：平行向量基本定理。

引出新课。

（二）新知讲解1、平行向量基本定理（老师板演定理）通过几个例子解释剖析定理的内容，结合图像直观体现。

2、单位向量：（由数乘向量的定义推知）（三）合作探究展示小组合作讨论学习做学案上探究一、变式1、探究二、变式2的方向有何关系？与，：根据向量的数乘运算问题),0(2≠≠λλ共线吗？为常数与：向量问题)(3λλa a探究一已知 MN 是ABC ∆的中位线，求证:,21BC MN =且BC MN // 变式训练1：已知：在ABC ∆中，.31,31AC AN AB AM ==求证：,//BC MN 并且.31BC MN = 第3小组展示探究一答案（板演）第4小组展示变式1答案（板演）第5组点评，老师补充强调规范解题，总结规律。

探究二已知2,3-==试问向量,:。

变式训练2：设两个非零向量,不共线，若(3,82,b -=+=+=，求证：A,B,D 三点共线第6小组展示探究二答案（板演）第1小组展示变式2答案（板演）第7组点评，老师补充规范解题步骤，总结规律。

高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.1 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)，则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3，则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6，即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48，－4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ，又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

高一数学人教B版必修4课时作业2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含解析

A．6 B．－6
C．3 D.
解析：由a∥b知a＝λb，即2e1－e2＝λ(me1＋3e2)，
解得λ＝－，m＝－6.
答案：B
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是()
A. ＋＋ B. ＋＋
C. ＋＋ D．3 ＋
解析：由M为△ABC的重心知，＋＋＝0，0与任何向量共线，故选C.
(2)∵ ＝λ ，则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵ 与共线，且 ≠0，∴存在实数k，使＝k ，
即(λ－2)a＋b＝k ，解得λ＝ .
∴实数λ的值为 .
答案：8或－2
5．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A、B、D三点共线？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解析：存在．假设存在k∈R，使得A、B、D三点共线，
∵ ＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则()
A．λ＝0B．e2＝0
C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0
解析：∵a∥b，∴存在实数k，使a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2，
∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝ e2，此时e1∥e2，而0与任何向量平行，∴λ＝0或e1∥e2.
答案：C
2．在四边形ABCD中，＝，且| |＝| |，则这个四边形是()
A．平行四边形B．矩形
C．等腰梯形D．菱形
解析：＝，说明DC与AB平行且不相等．又| |＝| |，所以AD＝BC，故应构成等腰梯形，C正确．

高中数学新人教B版必修4课堂测试向量共线的条件与轴上向量坐标运算

4.在△ ABC 中，点P 是AB 上一点，且 r 2 r 1 r f fCP = 3CA + 3CB ，又 AP = t AB ，贝y t 的值为（2 1 1—CA = ；CA + ：CB — CA = *CB — CA )=5.设e 1, e 2不共线，b = e p +入e 与a = 2^—册共线，则实数入的值为（）B .课时跟踪检测（十六）向量共线的条件与轴上向量坐标运算层级一学业水平达标1.已知数轴上两点 M , N ，且|MN|= 4若X M = — 3，则 X N 等于（）B.1或一7解析：选 D |MN|=|X N — (-3)|= 4,X N — (— 3)= ±4，即 X N = 1 或一7.2.已知 0是厶ABC 所在平面内一点,D 为边BC 的中点，且2OA + 0B + OC = 0,A . AO = ODB . AO = 20DC . AO = 3 0DD . 2 AO = OD解析：选A •••在△ ABC 中，D 为边 r T T r T • OB + OC = 2OD , • 2( OA + OD ) = 0, T T T T即 OA + OD = 0,从而 AO = OD .BC 的中点, 3.点 P 满足向量OP = 2OA — OB ，则点P 与AB 的位置关系是（）A .点 P 在线段 AB 上B .点 P 在线段 AB 的延长线上C .点 P 在线段 AB 的反向延长线上D .点 P 在直线解析：• A P = BA , AB 外 OPT = T T T i =2OA — OB ,• OP — OA = OA — OB ,•••点P 在线段AB 的反向延长线上，故选 C. 3 AB ，又 AP = t AB ,• t = 13.解析：选A 由题意可得AP = CP解析：选B 设a = kb （k € R ）,则 2e i — e 2 = ke i + k 入 2.6. _____________ 在数轴x 上，已知OA = — 3e （e 为x 轴上的单位向量），且点B 的坐标为3, AB 的坐标为 .解析：由OA =— 3e ,得点A 的坐标为一3, 贝U AB = 3— （— 3） = 6,即卩AB 的坐标为6.答案：6①a = 2e , b =— 2e ;②a = e i — e 2, b = — 2e i + 2册; 2 1③a = 4e 1 — 5e 2, b =亦②④a = e i + e 2, b = 2e i — 2册. 解析：①中，a =— b ;②中，b =— 2e i + 2e 2=— 2(e i — e 2)= — 2a ;④中，当6, e 2不共线时，入b 故填①②③. 答案：①②③N 三点在数轴上，且点 P 的坐标是5, MP = 2, MN = 8,则点标为-e i , e ?不共线，…k = 2,k=— 1,则向量7.下列向量中a , b 共线的有（填序号）.③中，a = 4e 1— ^e 2 = 4e 1-丄10。

数学人教B版必修4训练：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含解析

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算一、基础过关1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知点B 的坐标为(m ，n )，AB →的坐标为(x ，y )，则点A 的坐标为( )A ．(m －x ，n －y )B ．(x －m ，y －n )C ．(m ＋x ，n ＋y )D ．(m ＋n ，x ＋y )3．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →、OB →、OC →、OD →满足等式OA →＋OC →＝OB→＋OD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．等腰梯形4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D5．已知A 、B 、P 三点共线，O 为平面内任一点，若OP →＝λOA →＋2OB →，则实数λ的值为________． 6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b 有①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中a ，b 共线的有________．(填序号) 7．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．8．如图所示，已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN .求证：M 、A 、N 三点共线．二、能力提升9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图所示，平行四边形ABCD ，E 在边AB 上，且BE ＝14BA ，F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15BD ，则( )A ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝13FC →B ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →C ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝15FC →D ．E 、F 、C 三点不共线11．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)12．如图，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线．三、探究与拓展13．如图，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证： 1m ＋1n＝3.答案1．D 2.A 3.A 4.C 5.－1 6.①②③7． (1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 8．证明在△AMC 中，D 为MC 的中点，易得2A D →＝AM →＋A C →.又∵D 为AB 中点，∴A B →＝2A D →，∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理得AN →＝BC →. ∴AM →＝－AN →.∴A 、M 、N 三点共线． 9． B 10.B 11.14(b －a )12．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →， ∴MN →∥MC →，又M 为公共点． ∴M 、N 、C 三点共线．13．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →， ∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则AD 为△ABC 一边BC 边上的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )，∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝⎛⎭⎫n －13b ， ∴⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ，即1m ＋1n ＝3.。

高一数学人教B版必修4双基限时练19 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含解析

双基限时练(十九)基础强化1．已知数轴上两点M 、N 的坐标分别是4、－3，则NM →的坐标为( )A ．1B ．－7C ．7D ．1解析 NM →＝4－(－3)＝7. 答案 C2．下列命题正确的个数为( )①若向量a ∥b ，则必存在唯一一个实数λ，使a ＝λb ； ②若a ＝λb ，则a ∥b ； ③向量a 的单位向量为a|a |；④若a ，b 不共线，且m a ＋n b ＝0，则m ＋n ＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析 ①中b ＝0，③中a ＝0时均不成立，②④正确．答案 B3．已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB →2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析 ∵2OP →＝3OA →－OB →， ∴2(OP →－OA →)＝OA →－OB →， ∴2AP →＝BA →，∴AP →＝－12AB →， ∴P 在线段AB 的反向延长线上．答案 B4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．A 、C 、D 三点共线D ．B 、C 、D 三点共线解析 BD →＝BC →＋CD →＝(－2a ＋8b )＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →. ∴AB →与BD →共线．∵AB →与BD →有一个公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线．答案 B5．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．λ＝0或e 1∥e 2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数μ，使得a ＝μb ， ∴e 1＋λe 2＝2μe 1，∴λe 2＝(2μ－1)e 1.∵e 1≠0，∴当λ＝0时，则μ＝12，即a ＝12b .∴满足a 与b 共线．当λ≠0时，e 2＝2μ－1λe 1，∴e 1与e 2共线．综上分析：若a ∥b ，则λ＝0或e 1∥e 2. 答案 D6．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比为( )A.13B.12C.23D.34解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则PC →＝2AP →.∴A 、P 、C 三点共线，且P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点，∴S △P ABS △ABC＝13. 答案 A7．若(x ＋y －1)a ＋(x －y ＋3)b ＝0，其中a ，b 为非零向量，且a ，b 不共线，则实数x ，y 的值分别为________．答案－1,28．已知M 、N 、P 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP →的坐标为2，MN →的坐标为8，则点N 的坐标为______．解析 ∵P 点坐标为5，MP →的坐标为2， ∴M 点的坐标为3.∵MN →的坐标为8，∴N 点坐标为11. 答案 11能力提升9．设向量e 1，e 2不共线，若λe 1＋2e 2与2e 1＋3λe 2共线，则实数λ的值是________．解析 ∵λe 1＋2e 2与2e 1＋3λe 2共线，∴λe 1＋2e 2＝k (2e 1＋3λe 2)，即(λ－2k )e 1＝(3kλ－2)e 2.又e 1与e 2不共线，∴λ－2k ＝3kλ－2＝0，解得λ＝±233.答案 ±23310．i 、j 是两个不共线的向量，已知AB →＝3i ＋2j ，CB →＝i ＋λj ，CD →＝－2i ＋j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值．解析 ∵BD →＝CD →－CB →＝(－2i ＋j )－(i ＋λj )＝－3i ＋(1－λ)j ， ∵A 、B 、D 三点共线． ∴向量AB →与BD →共线．因此存在实数μ，使得AB →＝μBD →，即3i ＋2j ＝μ[－3i ＋(1－λ)j ] ＝－3μ i ＋μ(1－λ)j ，∵i 与j 是两不共线向量，⎩⎨⎧－3μ＝3，μ(1－λ)＝2，∴⎩⎨⎧μ＝－1，λ＝3.故当A 、B 、D 三点共线时，λ＝3.11．设两个非零向量e 1与e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线．解析 (1)证明：BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2＝5AB →， ∴BD →∥AB →.又∵AB →、BD →有公共点B ，∴A 、B 、D 共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎨⎧k ＝λ1＝kλ.∴k 2＝1，∴k ＝±1.12．如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线．证明令AB →＝e 1，AD →＝e 2，则有 BD →＝BA →＋AD →＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋13e 2，MB →＝12e 1， BC →＝AD →＝e 2，∴MC →＝MB →＋BC →＝12e 1＋e 2， MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝⎛⎭⎪⎫12e 1＋e 2.∴MN →＝13MC →.∴MN →与MC →共线，且有公共点M . ∴M 、N 、C 三点共线．品味高考13．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B。

数学人教B版必修4课后训练：2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算含解析精品

向量共线的条件与轴上向量坐标运算练习1．e 为x 轴上的单位向量，若AB ＝－2e ，且B 点的坐标为3，则A 点的坐标和AB 中点的坐标分别为( )A ．2,1B ．5,4C ．4,5D ．1，－22．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1，且c 与d 同向B ．k ＝1，且c 与d 反向C ．k ＝－1，且c 与d 同向D ．k ＝－1，且c 与d 反向3．设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A ．AD ＝BCB ．AD ＝2BCC ．AD ＝BC D ．AD ＝－2BC4．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述中，正确的个数是( )①λa ∥a ；②λa 与a 的方向相同；③||a a 是单位向量；④若|λa |＞|a |，则λ＞1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及△ABC 所在平面内一点P 满足：PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．23B ．32C ．2D ．3 6．已知数轴上点A ，B 的坐标分别是－8，－3，则AB 的坐标为__________，长度为__________．7．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝__________.8．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．9．如图所示，在ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ．利用向量法证明M ，N ，C 三点共线．10．如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA 交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．参考答案1．解析：设A点的坐标为x A，由题意，知AB＝－2＝3－x A，∴x A＝5，即A点的坐标为5，∴线段AB中点的坐标为3542+=.故选B．答案：B2．答案：D3．解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.答案：B4．答案：B5．解析：由PA＋PB＋PC＝0知，P为△ABC的重心，所以AB＋AC＝3AP，即λ＝3，故选D．答案：D6．解析：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5.答案：5 57．解析：设k′＞0，则k a＋2b＝－k′(8a＋k b)，即k a＋2b＝－8k′a－k′k b，因为a，b不共线，所以k＝－8k′，2＝－k′k，所以k2＝16，解得k＝－4或k＝4(舍去)．答案：－48．解析：∵在△AMN中，MO＝AO－AM，ON＝AN－AO，设MO＝λON，∴AO－AM＝λ(AN－AO)．∴AO＝11λ+AM＋11λ+AN.①∵在△ABC中，AO＝12(AB＋AC→)＝12m AM＋12n AN，②∴由①②，可得21mλ=+，21nλλ=+.∴m＋n＝2. 答案：29．证明：设AB＝a，BC＝b，∵MN＝MB＋BN＝12a＋13(－a＋b)＝16a＋13b，MC＝MB＋BC＝12a＋b，∴MC＝3MN.∴MC∥MN，且MC与MN有公共点M，∴M，N，C三点共线．10．解：(1)依题意，A是BC的中点，∴2OA＝OB＋OC，即OC＝2OA－OB＝2a－b，∴DC＝OC－OD＝OC－23OB＝2a－b－23b＝2a－53b.(2)∵OE＝λOA，则CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. ∵CE与DC共线，且DC≠0，∴存在实数k，使CE＝k DC，即(λ－2)a＋b＝k523⎛⎫-⎪⎝⎭a b，解得λ＝45.4 5.∴实数λ的值为。

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