_八年级数学下册复习讲义

第十六章 二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】题型一：二次根式的判定 【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．题型二：二次根式有意义 【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．题型三：二次根式定义的运用【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014题型四：二次根式的整数与小数部分已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-cb a ．题型二：二次根式的性质2 （公式)0()(2≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4 题型三：二次根式的性质3 （公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用）【例6】已知2x <,则化简244x x -+的结果是A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】【例7】在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。

知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】 1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，ab a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a b+与a b-，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】【例8】 把下列各式分母有理化（1）148 （2）4337- （3）11212（4）13550-【例9】把下列各式分母有理化（1）328x x y（2）2a b - （3）38x x （4）2525a b b a -【例10】把下列各式分母有理化：（1）221- （2）5353+- （3）333223- 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与；③与； ④与．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=a b（a ≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

ab=a b（a ≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】【例11】化简 (1) 916⨯ (2)1681⨯(3)1525⋅【例12】计算（1）（2）（3）（4）知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】 【例13】计算（1）11327520.53227--+-； （2）12543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【例14】 （1）224344x y x y x y x y --+--+ （2）a b a b a b a b--+-+知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、a b b a ab b 3)23(235÷-⋅2、 22 (212 +418－348 )【例15】 1．已知：，求的值．知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则ab <。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< 8、求商比较法9、它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1aa bb >⇔>； ②1aa bb<⇔<【典型例题】 【例16】 比较35与53的大小。

（用两种方法解答） 【例17】比较231-与121-的大小。

一 元 二 次 方 程一、知识结构：一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析 考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、()()12132+=+x x B 、02112=-+xx C 、02=++c bx ax D 、1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次类型一、直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0;()();09132=--x例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x典型例题： 例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A25=x B3=x C 3,2521==x x D 52=x例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，xx B.2321-==，xx C.3321-==，xx D.2221-==，x x例4、解方程： ()04321322=++++x x例5、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 。

类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442aac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。