精选基本初等函数高考题(1)
高考数学专题精炼函数概念与基本初等函数Ⅰ
2010届高考数学专题精炼：函数概念与基本初等函数Ⅰ 一、选择题1.已知()()a ax x x f 3log 221+--=在区间[)+∞,2上为增函数，则实数a 的取值范围为2.设(){}12,2++==bx xy y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}φ==P M b a S ,，则S 的面积是 （ ）A. 1B. πC. 4D. 4π3.设定义在R 上的函数1, 22() 1 , 2x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有3个不同实数解1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则下列说法中正确的是：( )A . 0a b +=B . 1322x x x +>C . 135x x +=D . 22212314x x x ++=4.设α+=+n 2009)310(，其中n 是正整数，α是小数，且10<<α，则n 的值为（ ）A.αα-1B. 21αα- C. αα21- D. αα-15.已知)1(,0)2(,)(),10()(111+<≠>=----x f f x f a a a x f x 则若的反函数且的图象大致（ ）6.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)7.二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B. [)+∞,2C. (]2,0D. [2,4]8.如图所示，在一个盛水的圆柱形容器内的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速地将小球从水下向水面上以上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数图象大致是（ ）9.关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）①f （x ）是奇函数 ②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立 ③f （x ）的最大值是23 ④f （x ）的最小值是－21 A 1B 2C 3D 410.设定义域为R 的函数111()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，， ，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的整数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 （ ）A 、5B 、2222b b +C 、13D 、2222c c +11.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是（ ）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a -C ．(,())a f a -D ．(,())a f a ---12.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<13.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为 ().14.设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定15.若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x，则有A ．f(2)＜f(3)＜g(0)B ．g(0)＜f(3)＜f(2)C ．f(2)＜g(0)＜f(3)D ．g(0)＜f(2)＜f(3)16.右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是A ．m<0，n>1B ．m>0，n>1C ．m>0,0<n<1D ．m<0,0<n<117.已知f(x －1)＝log a x(a>1)，则函数f －1(x)的图象是18.若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是A ．2x >x 12>lgxB ．2x >lgx>x 12C ．x 12>2x >lgxD ．lgx>x 12>2x19.已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．9820.定义运算，＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b.例如＝1，则函数y ＝x的值域为A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]21.函数22()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是（ ）A 、322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B 、522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭DC 、,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D 、3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭22.已知(10)x f x =，则(5)f = （ ）A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 523.函数x ya log =当x>2 时恒有y >1，则a 的取值范围是（ ）A ．1221≠≤≤a a 且 B ．02121≤<≤<a a 或 C ．21≤<a D ．2101≤<≥a a 或 24.北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( )A ．10%B ．16．4%C ．16．8%D ．20%25.设g(x)为R 上不恒等于0的奇函数，)(111)(x g b a x f x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则常数b 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．21 D ．与a 有关的值26.当a ≠0时，函数y ax b =+和yb ax =的图象只可能是（ ）27.设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>28.设f(x)=a x，g(x)=x 31，h(x)=log a x ，a 满足log a (1－a 2)＞0，那么当x ＞1时必有( ）A ．h(x)＜g(x)＜f(x)B ．h(x)＜f(x)＜g(x)C ．f(x)＜g(x)＜h(x)D ．f(x)＜h(x)＜g(x)29.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ）A 、减少7.84%B 、增加7.84%C 、减少9.5%D 、不增不减30.对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ）A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定二、填空题31.若函数 f (x ) 在[0，1]上满足：对于任意的 s 、t ∈[0,+∞]，λ >0, 都有f (s ) + λ f (t )1+λ <f ( s +λ t1+λ)，则称 f (x ) 在[0，1]上为凸函数。
高考数学文科基本初等函数(Ⅰ)及应用最全讲解含答案解析
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r ·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r)s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．③(ab )r ＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． [小题速通] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a. 2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则 xy 的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4二次函数[过双基]1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞10＜a ＜11．函数f(x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)； 当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数， 所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2. 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数， 所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或 12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1， ＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值． 解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22 x 1＋1－1＋22 x 2＋1 ＝2(2 x 1－2 x 2)(2 x 1＋1)(2 x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2 x 1－2 x 2<0，(2 x 1＋1)(2 x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·安徽江南七校联考)已知幂函数f (x )＝(＋2－2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数． ∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112. 即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2．若(a ＋1)-13<(3－2a ) -13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)-13<(3－2a ) -13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16，f (2)＝4a ＋c ＝4，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：(1)二次函数的图象与性质；(2)二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a . ①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a ，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ① 当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x， 令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22， 则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立， 所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a .当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则ba ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k－k －2， 则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)函数f (x )＝e ·x e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确；C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y， 所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥23+11x y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 故1x ＋1y 的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1， 所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32一、选择题。
高考数学：专题一第四讲 基本初等函数及函数的应用配套限时规范训练
第四讲 基本初等函数及函数的应用（推荐时间：50分钟）一、选择题1．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A.13B.23C ．1D ．22．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( )A ．f (1)< f (2)< f (4)B ．f (2)< f (1)< f (4)C ．f (2)< f (4)< f (1)D ．f (4)< f (2)< f (1) 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1＋1，x >0，则f (2 013)等于( ) A ．2 010 B ．2 011 C ．2 012D ．2 0134．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19的值为( ) A ．4B.14 C ．－4D ．－145．若函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x，x ≥4f x ＋1，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16D.137．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，－2]D ．[1,2]8．(2011·天津)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 二、填空题9．(2011·陕西)则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，则f (f (－2))＝____________.10．(2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．11．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．12．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍． 三、解答题13．(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．14．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x .求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由．答案1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．－210．－3411．212．6 10 00013．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b ；当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b .14．解 由题意知，x ∈[0，＋∞)，h (x )＝x 3－x －x ，h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．方法一 h ′(x )＝3x 2－1－12x 21-，记φ(x )＝3x 2－1－12x 21-，则φ′(x )＝6x ＋14x 23-.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ(33)<0，则φ(x )在(33，1)内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减，而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．方法二 由h (x )＝x (x 2－1－x －12)，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x 23-.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点． 综上所述，h (x )有且只有两个零点．。
基本初等函数(选择题第一部分)
基本初等函数（选择题第一部分）1. 已知函数)(x f 是定义R 上的奇函数且)2()(+-=x f x f ，当10≤≤x 时，2)(x x f =,那么使21)(-=x f 成立的x 的集合为 A.},2|{Z n n x x ∈= B.},12|{Z n n x x ∈-= C.},14|{Z n n x x ∈-= D.},14|{Z n n x x ∈+=2. 设奇函数f (x )在[-1,1]上是增函数，且f (-1)= -1，若函数f (x )≤t 2-2at+1对所有的x ∈[-1，1]都成立，则当a ∈[-1，1]时，t 的取值范围是A.t ≥2或t ≤-2或t=0B.-2≤t ≤2C.21t 21≤≤-D.0t 21t 21t =-≤≥或或 3. 已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为A.,1,2B.2,1,3C. 1,2,3D. 3,2,14. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=； 当a b <时，a b b ⊕=2。
则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A.-1B.1C.6D.125. 若0<a <b <1,则在a b ,b a ,log a b,log b a 这四个数中,最大的一个是A.a bB.b aC.log a bD.log b a6. 函数f (x)=|ax 2+bx +c |（a ≠0）的定义域分成四个单调区间的充要条件是 02ab -D. 04C.b 02a b -B. 040.22<>->>->ac ac b a A 且 7. 某集镇近20年来的常住人口y(千人)与时间x(年)的函数如右图,考虑下列说法: ①前16年的常住人口是逐年增加的;②第16年后常住人口实现零增长; ③前8年的人口增长率大于1；④第8年到第16年的人口增长率小于1. 在上述说法中,只有一种说法是错误的,这个错误的说法是A.①B.②C.③ D ④8. 设集合A 和B 都是自然数集合N,映射f:B A →把集合A 中的元素n,映射到集合B 中的元n n +2,则在映射 f 下,象20的原象是A .4B .3C .2D . 5X(年)9. 已知g (x 2+1)=x 4+x 2-6,那么g (x 2+1)的最小值是D.g(1) 41C.g(1) 41-B.g(1) )0(.+g A 10. 函数y =|x -3|-|x +1|的值域是A.[0，4]B.[-4，0]C.[-4，4]D.（0，+∞）11. ,0)0(),22(2)()(,)(≠-•+=+f b a b a f b f a f b a x f 且都有对任意实数已知函数则f(x)是 A 奇函数 B 偶函数 C .既是奇函数也是偶函数 D . 既非奇函数又非偶函数12. 的单调递增区间是那么已知)(),1()(,28)(2x g x f x g x x x f -=-+=A.(-∞,1〕B. (-∞,0〕C.[-3,0]D.[0,3]13. 之间的那么上单调递增在区间已知偶函数)41(log ),2(),(,],0[ )(2f f f x f πππ--大小关系是)41(log )2()(. )2()41(log )(.22f f f B f f f A >->-->>-ππππ )()2()41(log )()41(log )2(.22ππππ->->->>-f f Df f f f C 14. 函数y=f(x)在区间(0，2)上是增函数，函数y=f(x +2)是偶函数，则下列结论正确的是)1()25()27(. )27()25()1(.f f f B f f f A <<<< )27()1()25(. )25()1()27(.f f f D f f f C <<<< 15. 已知y=f(x)有反函数，那么方程f(x)=a （a 为常数）A .无实数根B .只有一个实数根C .无实数根或只有一个实数根D .至少有二个实数根16. 已知奇函数f(x)有反函数f -1(x ),那么下结论中正确的是A. f -1(x )也是奇函数B . f(x)在定义域上是单调函数C . f -1(x )与f(x)图象关于直线y=x 成轴对称D .设f(x)的定义域是M ,值域是G ,若f(x)在M 上是单调增函数,那么f -1(x )在G 上也是单调函数17. 下列四个命题:①函数y=f -1(x )的反函数是y=f (x );②若点M(a,b )在y=f (x )的图象上,则点M'(b,a )一定在其反函数y=f -1(x )的图象上;③关于直线y=x 成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数图象;④因为函数y=f (x )与其反函数y=f -1(x )的图象关于直线y=x 对称,所以y=f (x )与y=f -1(x )的图象不能相交.其中错误的命题的个数为A.1B.2C.3D.418. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )= -f (x +2),当时 10≤≤x 时f (x )=x ,则 f (7.5)=A .7.5B .-1.5C .0.5D .-0.519. 设f(x)是定义在R 上的任意一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F -1(x )必是A .增函数且奇函数B .增函数且偶函数C .减函数且奇函数D .减函数且偶函数20. 已知c>b>a >0,那么下列不等式成立的是a cbc c b c a c a c b b c a c B A )1()1()1()1.( .ππππππππ<<<<<< c a c b b c a c a c b c c b c a C ππππππππ1111log log log D.log log log log log .<<<>>> 21. 设函数y=f (x )的定义域是R,则函数y=f (x -1)与y=f (1-x )的图象关于A .直线x =1对称B .直线x =0对称C .直线y =1对称D .直线y =0对称22. 函数f (x )的图象无论经过平移或沿直线翻折后仍不可能与y=log 2 x -1的图象重合,则f (x )是A .y =2 -xB .y =2log 4 xC .y =log 2(x +1)D .y =2 2x +123. 函数y =|2 x -2|A.在(-∞,+∞)上单调递增B.在（-∞,1]上是减函数，在［１，＋∞）上是增函数C.在（-∞,1]上是增函数，在［１，＋∞）上是减函数D.在（-∞,０]上是减函数，在［０，＋∞）上是减函数24. 已知函数f 1(x )的图象（不过原点的曲线）与f 2(x )的图象关于y 轴对称，f 3(x )与f 4(x )的图象关于x 轴对称，那么f 1(x )与f 4(x )的图象关于Ａ.原点对称 Ｂ.x 轴对称 Ｃ.直线y = -x 对称 Ｄ.y 轴对称25. 已知定义域为Ｒ的偶函数y=f (x )的一个单调递增区间是(2,6),则函数y=f (2-x )图象A.对称轴为x = -2,且一个单调减区间是(4,8)B.对称轴为x = -2,且一个单调减区间是(0,4)C.对称轴为x = 2,且一个单调增区间是(4,8)D.对称轴为x = 2,且一个单调增区间是(0,4)26. 的值是则已知函数 )]41f[f( 0)(x 30)(x log )(x 2⎩⎨⎧≤>=x x f 91-D. 9-C. 91B. 9.A27. 函数y=f (x )和函数y=g(x)的图象如下图所示，则y=f(x)·g(x)的图象可能是28. 已知y=f(x)是(0,+∞)上的增函数,且方程f(x)+x=p 与f -1(x )+x=p (p >0)的解分别是x 1,x 2,则x 1+x 2等于A.0.5pB.2pC.pD.无法确定29. 函数f(x)是定义在[a ，b ]（a<b ）上的单调减函数，则它的反函数是A.在[f (a ) , f (b )]上的增函数B.在[f (a ) , f (b )]上的减函数C.在[f (b ) , f (a )]上的增函数D.在[f (b ) , f (a )]上的减函数30. 在100个学生中,有篮球爱好者60人,足球爱好者65人,则既爱好篮球又爱好足球人数的最小值,最大值分别是A.0、60B.25、60C.35、65D.25、6531. 设函数y=f (x )为奇函数,把y=f (x )的图象沿x 轴正向平移2个单位得到图象c,又设图象c 1与c 关于原点对称，则c 1所对应的函数是A.y = -f (x -2)B.y=f (x -2)C.y = -f (x +2)D.y =f (x +2)32. 方程f (x,y )=0的曲线如图,那么方程f (2-x,y )=0的曲线是33. 经过变换得到曲线将曲线1 =x y A.向左平移2个单位，向上平移3个单位； B.向左平移2个单位，向下平移3个单位；C.向右平移2个单位，向上平移3个单位；D.向右平移2个单位，向下平移3个单位.34. 如果函数：f (x )=x 2-ax +3≥x 对一切实数x 恒成立, 则132)32(1-D. 3232-C. 32-1B. )321(.A -≤≤+≤≤+>+-<a a a a35. 已知f (x )=(x-a )(x-b )-2,并且m,n 是方程f (x )=0的两根,实数a,b,m,n 的大小可能是A .n<a<b<mB .a<n<m<bC .a<n<b<mD .n<a<m<b36. 已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点，那么｜f (x +1)｜＜1的解集是A.(1，4)B.(-1,2)C.(-∞,1)∪［4,+∞)D.(-∞,-1］∪［2,+∞)37. 的值是则且如果)2001()2002()5()6()3()4()1()2(,2)1(),()()(f f f f f f f f f y f x f y x f ++++==+ A.1999 B.2000 C.2001 D.200238. 已知不恒为零的函数f (x )对任意实数x,y 都满足f (x+y )+f (x-y )=2[f (x )+f (y )],则f (x )是A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数39. 的大小关系是则的图象如图所示设函数 ,,,)(2c b a cx b ax x f ++= A.a >b >c B.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b40. 对某种产品市场销量情况如图所示，其中：l 1表示产品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销售情况，下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； (3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量，你认为较合理的叙述的是A.(1)(2)(3)B.(1)(3)C.(2)D.(2)(3)41. 设函数,2)2(),0()4()0(2)0( )(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为A.1B.2C.3D.442. 函数()()log 11a y x a =+>的大致图像是. A 2yx 2y x -2y x -2y x B C Dl 2l 1O y(万吨)x(年份)43. 已知函数f(x)满足f(x+2)=21)2(),()(1)(1=∈-+f R x x f x f ，则f (2004)等于. A.21 B.1 C.2 D.3 44. 对于函数a ax y +-=1的图象C ，有下列命题：① C 关于l ：x －y ＝0对称；② C 关于l ：x ＋y ＝2a 对称；③C 关于A (a ，a )对称；④ C 关于B (－a ，－a )对称 其中假命题是A.①B.②C.③D.④45. 已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则 A.0<λ B.0=λ C.10<<λ D.1≥λ 46. 是那么是有理数是无理数已知函数)( )(x 1)(x 0)(x f x f ⎩⎨⎧=A.奇函数且为周期函数B.偶函数且为周期函数C.非奇非偶函数且非周期函数D.偶函数且非周期函数 47. 的图象分别是函数 1)(,1,1)(,1)(4321x x f x f x x f x x f +=+=-=-=点集C 1,C 2,C 3,C 4,这些图象关于直线x =0的对称曲线分别是点集D 1,D 2,D 3,D 4，现给出下列四个命题：①D 1⊆D 2;②D 1∪D 3=D 2∪D 4;③D 4⊆D 3;④D 1∩D 3=D 2∩D 4.其中,正确命题的序号是A.①③B.①②C.③④D.②④48. 已知f(x)的定义域为R,对任意x 都有f (1-x )=f (1+x ),且当x ∈(-3,-1)时f(x)=3x -2;则当x ∈(3,5)时f(x)的解析式为A.3x-8B.3x-1C.1-3xD.4-3x49. 如果函数使得存在常数对任意实数,,)(M x x f 不等式个函下面有为有界泛涵那么就称函数恒成立4,)(,)(x f x M x f ≤数：①1)(=x f ； ②2)(x x f =；③x x x x f )cos (sin )(+=； ④1)(2++=x x xx f ．其中有两个属于有界泛涵，它们是．A.①，②B.③，④C.①，③D.②，④50. 如右图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长2的等边三角形，设直线l ：x=t （0≤t ≤2），截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数s =f （t ）的图象只可能是O x y O x y -1 O 1 xy-1 O 1 x y AB51.的表达式为则已知)(,)11(x f x x x f =+-1x 2x D. 1x -1C. 1-x 1x B. 11.+++-+x x x A 52. f (x )是定义在区间[-c,c ]上的奇函数，其图象如图所示。
(整理)基本初等函数历年高考题.
基本初等函数 I1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 若 函 数 y f ( x) 是 函 数 yx0，且 a1）的反函数，且a （ a f (2) 1，则 f ( x)( )A ． log 2 xB ．1 C ． log 1 x D ．2 x 22x 2答案 A解析x0，且 a 1）的反函数是 f ( x) log a x ,又 f (2) 1 ,即 log a 2 1 ,函数 y a （ a所以 , a 2 ,故 f (x)log 2 x ,选 A.2.（ 2009 北京文）为了得到函数 ylgx 3的图像，只需把函数ylg x 的图像上所有10点（ ）A ．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度B ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C ．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度D ．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度答案C解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.3.（ 2009 天津卷文）设 a log 1 2, blog 13,c ( 1)0. 3 ，则()322A a<b<cB a<c<bC b<c<aD b<a<c答案 B解析由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到a0,0 c 1 ，而 b log 2 3 1，因此选 B 。
【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能4.（ 2009 四川卷文）函数 y2 x 1 ( x R) 的反函数是A. y 1 log 2 x( x0) B. y log 2 ( x 1)( x 1)C. y 1 log 2 x(x0)D. ylog 2 (x 1)( x1)答案 C解析由 y2 x 1x 1 log 2 yx1log 2 y ，又因原函数的值域是 y 0 ，∴其反函数是 y1 log2 x(x 0)5.（ 2009 全国卷Ⅱ理）设 alog 3, b log 2 3, c log 3 2 ，则A. a b cB.a c bC. b a cD.b c a答案 A解析l o g2 l o g2 l o g b 3c322l o g3 l o g 2l o g 33l oag ba b.c2236.（ 2009 湖南卷文） log 22 的值为A ．2B ．2C ．1D ．122答案 D11log 2 21解析由 log 2 2 log 2 22,易知 D 正确 .227.（ 2009 湖南卷文）设函数y f ( x) 在 ( , ) 内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K ( x)f (x), f (x )K ,K , f ( x)K .取函数 f ( x)2 x 。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
基本初等函数习题
基本初等函数习题1．已知关于的不等式的解集；且函数的定义域为，则的范围为（）A. B. C. D.2．已知，，，设，若，则的取值范围是（）A. ，B. ，C. ，D. ，3．已知函数（其中）的图像如下图所示，则函数的图像大致是（）A. B.C. D.4．设，，，则（）A. B. C. D.5．设，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.6．已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.7．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c8 ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．已知函数()931x x f x m m =-⋅++对()0 x ∈+∞，的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（ ） B.2m <10 ）A.c a b <<B.c b a <<C.a c b <<D.a b c <<11 ）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<12．若函数xxa a x f --=)()10(≠>a a 且在R 上是增函数，那么)1(log )(+=x x g a 的大致图象是（ ）13．函数()()1log 2830,1a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 的横坐标为0x ，函数024x x y a -=+的图象恒过定点B ，则B 点的坐标为（ ）A ．()27,3--B ．()27,5-C ．()3,5-D ．()2,5-14．已知定义在R 上的函数（m 为实数）为偶函数，记，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<15．设函数1()421x x f x +=-+-，2()lg(41)g x ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,4]B ．(,4]-∞C ．(4,0]-D ．[4,)+∞16，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则函数）A ．B ．C ．D ．17．若实数a 满足，()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ()2,⎫+∞⎪⎭B [)2,⎤+∞⎥⎦C18．则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．()0,+∞ D ．(),0-∞19．设0.33a =，5log 3b =，cos2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<20．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）21．若函数()()01xxf x a kaa a -=+>≠且上既是奇函数，又是增函数，则()()log a g x x k =+的图象是（ ）22（a R ∈），2(l n (l o g 5))5f =，则5(ln(log 2))f =（ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．423．已知函数(3),2()log (1)3,2x a a x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（ ）AC24．已知lg3a =，，lg 0.3c =，这三个数的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<25，若()0f f m <⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） ]()1,12,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦ B.]()211,1,log 32⎛⎤--⎥⎝⎦]()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D.(](]()2,31,01,log 3-∞--26时，恒有x a xlog 4<，则a 的取值范围是（）27．设均为正数，且，，.则（ ）A. B.C. D. 28．已知，，，则（ ）A. B ． C. D.，则log a y 等于（ ） ，其中1a >，则 ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4c b a ,,a a 21log 2=b b21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛c c2log 21=⎪⎭⎫⎝⎛b a c <<a b c <<c b a <<c a b <<2log 3a =12log 3b =123c -=c b a >>c a b >>a b c >>a c b >>31，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b c a >> 32．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)33，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．334．已知函数 满足 ，且当 时， ，则 =（ ） A.B.C.D.35．二次函数 与 ， 在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为__________．36．当(,1]x ∈-∞，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为________. 37．已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图形都如果()1f x ()()234g x h x ===，那么38．函数)3(log )(ax x f a -=在区间)6,2(上递增，则实数a 的取值范围是 ． 39．已知函数3)2016(,1log ln )(2=++=f x b x a x f ，则x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围41．[2014·北京西城模拟]已知函数f(x)c ＞0.那么f(x)的零点是________；若f(x)c 的取值范围是________．42．设函数()()621log ,4,4x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()34f f +=_____________． 43．计算下来各式： （1）化简：a ••；（2）求值：log 535+2log 0.5﹣log 5﹣log 514+5．44．已知函数24()log (23)f x ax x =++．（1）已知(1)1f =，求()f x 单调递增区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 45．已知函数()()2lg 1f x x =+和()()lg 2g x x t =+（t 为常数）. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若[]0,1x ∈时，()g x 有意义，求实数t 的取值范围；（3）若存在[]0,1x ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数t 的取值范围.46．已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围． 47．已知函数()f x 是定义域为R 的单调减函数，且是奇函数，当0>x 时，（1）求()f x 的解析式；（2）解关于t 的不等式22(2)(25)0f t t f t -+-<48．已知()()()⎩⎨⎧-≥+-<=1211x x x x f ，()()()⎩⎨⎧>-≤-=1112x x x x g ，()()()x g x f x h ⋅= （1）求函数()x h 的解析式，并求它的单调递增区间； （2）若()t x h =有四个不相等的实数根，求t 的取值范围。
高考数学专题1-初等函数
1、若函数(),y f x =的定义域是[0,4]，则函数()1g x x =-的定义域是（ ）。
A ．(1,8)B ．(1,2)C ．(1,8]D ．(1,2]2、函数()232=||f x x x -+的单调递增区间是( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞3、函数43)1ln()(2+--+=x x x x f 的定义域为 .4、函数y ＝log 2（2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（，+∞）B ．[1，+∞）C ．（，1]D ．（﹣∞，1）5、已知)(x f 的定义域是[1，3]，则函数)12(-x f 的定义域为 。
6、若0.3232,(0.3),log 0.2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. c a b <<7、三个数0.40.22log 0.3,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是A.a cb << B. a bc << C. b a c << D. b c a <<8、已知函数14()2(1) 4.xx f x f x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，≥，则2(2log 3)f +的值为 9、已知39()[(4)]9x x f x f f x x -⎧=⎨+<⎩， ≥，，则(5)f 的值为 .10、函数1()4x f x a-=+的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 .11、设函数f （x ）＝133,1log ,1x x x x -⎧⎨->⎩≤1则满足f （x ）≤3的x 的取值范围是（ ）．A ．[0，＋∞）B ．[19，3] C ．[0，3] D ．[19，＋∞）12、函数234()log ()f x x x =-的单调增区间为__________．13、函数221()2xxy -+=的单调递增区间是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞14、函数log (2)1a y x =++的图象过定点（ ） A.（1，2）B.（2，1）C.（-2，1）D.（-1，1）15、已知函数 ()()8log 30,19a y x a a =+->≠ 的图象恒过定点 A ，若点 A 也在函数 ()3x f x b =+ 的图象上，则 ()3log 2f = ________________．16、函数2283,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围是A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭17、已知(2)331()log 1a a x a x f x x x <=-+≥-⎧⎨⎩是R 上的单调递增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．5(1,]4 C ．(1,)+∞ D ．5[,2)418、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=1,31log 1,)21()(x x x a x f a x ，当21x x ≠时，0)()(2121<--x x x f x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．]310，（ B ．]2131[， C. 10)2（， D ．]3141[，19、函数213(),(2)()24log ,(02)x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，若方程()0f x k -=仅有一根，则实数k 的取值范围是 ．20、已知21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪-⎩≥，若()0f x a =－有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．21、若函数f （x ）=| 2x-2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.22、函数的零点所在的一个区间是( )A. (1，2)B. (0，1)C. (－1，0)D. (－2，－1) 23、函数2()log 212f x x x =+-的零点位于区间A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5 24、函数f （x ）=cosx-|lgx|零点的个数为______25、已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,101 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,1101,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛10,101 D ．()()+∞⋃,101,0 26、若2()24()f x x mx m -+∈R ＝ 在[2,)+∞单调递增，则m 的取值范围为（ ）．A ．m ＝2B ． m＜2C ．m ≤2D ． m ≥227、已知3220()()x x x f x g x x ⎧-≤=⎨>⎩为奇函数，则()g x =（ ） A ．322x x -- B ．322x x + C ．322x x - D ．322x x -+ 28、同一坐标下，函数a x y +=与函数xa y =的图像可能是（ ）29、函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．30、已知对数函数()f x 过点1(,2)100-，()(1)(1)F x f x f x =++-． （1）求()F x 的解析式，并指出()F x 的定义域； （2）设a R ∈，求函数()y F x a =-的零点.31、已知定义域为的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数．（1）求a 和b 的值；（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）若对于任意22,(2)(2)0t R f t t f t k ∈-+-<不等式恒成立，求k 的取值范围．32、设函数2()log ()x xf x a b =-，且(1)1f =，2(2)log 12f =．（1）求 a b ，的值； （2）当[12]x ∈，时，求()f x 的最大值．。
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精选基本初等函数高考题一、选择题1.（10山东文）函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为A .(0,+∞) B. [0,+∞) C. (1,+∞) D. [1,+∞） 2. (13福建文)函数f (x )=ln(x 2+1)的图象大致是3. (14浙江文)在同一坐标系中，函数f (x )=x a (x ＞0)，g (x )=log a x 的图象可能是4.（12四川理）函数y =a x –1a ( a ＞0，a ≠1)的图象可能是5.（12·四川文）函数y =a x –a ( a ＞0，a ≠1)的图象可能是6. (14陕西文)下列函数中，满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是A.f (x )=x 3 B . f (x )=3x C.f (x )12x = D.f (x )1()2x=7. (14山东文)已知实数x , y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是A. x 3＞y 3B.sin x ＞sin yC.ln(x 2+1)＞ln(y 2+1)D.221111x y >++ 8.(14山东文)已知函数y =log a (x +c )( a , c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如右图，则下列结论成立的是A. a ＞0，c ＞1B. a ＞1, 0＜c ＜1C. 0＜a ＜1, c ＞1D.0＜a ＜1, 0＜c ＜1yxO Dy x O y xOC y x O A y x O A 1 1 –1 y x O 1 1 –1 C· y x O B 1 1 –1 · yx O 11 –1 D·yx O A y x O 1 1 y x O B 1 1y x O 1 1 yxO D1 1A y x O 1 1 y x OB 1 1y x O C 1 1 yx OD1 19. (14安徽文)设a =log 37，b =23.3，c =0.8，则A. b ＜a ＜cB.c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. a ＜c ＜b10. (13新课标II 文)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则A. a ＞c ＞bB. b ＞c ＞aC. c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b11.(13新课标Iwl12)已知函数f (x )={22,0,ln(1),0,x x x x x -+≤+>，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 A. (–∞,0] B. (–∞,1] C. [–2,1] D .[–2,0]12．（ 13陕西文）设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A. log a b ·log c b = log c aB.log a b ·log a a = log a bC. log a (bc )=log a b ·log a cD. log a (b +c )=log a b +log a c13. (14福建文)若函数y =log a x (a ＞0且a ≠1)的图象如右图所示， 则下列函数正确的是14．（ 13浙江文）已知a ,b ,c ∈R,函数f (x )=ax 2+bx+c .若f (0)=f (4)＞f (1),则 A . a ＞0,4a +b =0 B.a ＜0,4a +b =0 C.a ＞0,2a +b =0 D.a ＜0,2a +b =015.(13天津文)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,+∞)单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A. [1,2]B.1(0,]2 C .[1,22] D. (0,2] 16.（13湖南文）函数f (x )=ln x 的图像与函数g (x )=x 2–4x +4的图像的交点个数为A. 0B. 1C.2D. 317.（12·新课标全国文）当0＜x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 2) 2 2) 2,2) 18.（12·安徽文）(log 29)·( log 34)=A.14B.12C.2 D .4 19. (13辽宁文)已知函数2()193)1,f x x x =++则1(lg2)(lg )2f f += A. –1 B. 0 C. 1 D.220.（2011·天津文）已知a =log 23.6, b =log 43.2, c =log 43.6, 则A. a ＞b ＞c B . a ＞c ＞b C. b ＞a ＞c D. c ＞a ＞b21.（2011·辽宁理）设函数f (x )={12211log 1x x x x -≤-，，，＞，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 A. [–1,2] B. [0,2] C. [1,+∞） D .[0,+∞)y x O y =log a 1 3 Ay x O y =a –x 3 1 y =x a y x O B 1 1 y =(–x )a y x O C 1 1 y x O D y =log a (–x ) –1 –322．（2011·安徽文）若点(a , b )在y =lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是 A. (1,b a ) B. (10a ,1–b ) C. (10,1b a+) D .(a 2, 2b ) 23.（10·浙江文）已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (a )=1, a =A. 0 B .1 C. 2 D. 324.（12天津文）已知a =21.2，b =(12)–0.8，c =2log 52，则a , b , c 的大小关系为 A. c ＜b ＜a B.c ＜a ＜b C.b ＜a ＜c D.b ＜c ＜a 25.（11北京文）如果1122log log 0x y <<，那么A. y ＜x ＜1B. x ＜y ＜1C. 1＜x ＜y D .1＜y ＜x26.（10·辽宁高考文)设2a =5b =m , 且11a b +＝2，则m = AB.10C.20D.10027.（2010·天津文）设a =log 54, b =(log 53)2, c =log 45, 则A. a ＜c ＜bB. b ＜c ＜aC. a ＜b ＜c D . b ＜a ＜c28.（10山东文）设f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时，f (x )=2x +2x +b (b 为常数)，则f (–1)=A. –3B. –1C.1D. 329.(15新课标I 文)已知函数{1222,1,()log (1),1,x x f x x x --≤=-+> 且f (a )= -3，则f (6-a )= A. 74- B.54- C.34- D.14- 30. 设函数y =f (x )的图像与y =2x +a 的图像关于直线y = -x 对称，且f (-2)+ f (-4)=1, 则a =A. -1B.1C. 2D.4 (15新课标I 文12)31. (15新课标II 文12)设函数f (x )=ln(1+| x |) –211x +, 则使得f (x )＞f (2x –1)成立的x 的取值 范围是 A.(1,13) B.1(,)(1,)3-∞+∞ C.11(,)33- D.11(,)(,)33-∞-+∞ 32. (15新课标II 理5)设函数f (x )={211log (2),1,2,1,x x x x -+-<≥，则f (–2)+ f (log 212)= A. 3 B. 6 C.9 D. 12二、填空题1.（2013北京文）函数f (x )=12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩的值域为 2.(14新课标I)设函数113,1,(),1,x ex f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 .3. (14上海文)若2132()f x x x =-，则满足f (x )＜0的x 取值范围是 .4. (14陕西文)已知4a =2，lg x =a ，则x = ________.5. (14江苏文) 已知函数f (x )= x 2+mx –1, 若对于任意x ∈[m , m +1],都有f (x )＜0成立,则实数 m 的取值范围是 .6. (14安徽文)34331654()log log 8145-++= ________. 7.（12·北京文）已知函数f (x )=lg x ，若f (ab ) =1，则f (a 2)+f (b 2)=8.（12·山东文）若函数y =a x ( a ＞0，a ≠1)在[–1, 2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,+∞)上是增函数，则a ＝＿＿＿＿9.（2013四川文）的值是 .10.（2012·江苏）函数()f x =的定义域为11.(12重庆文)已知a =log 23+ log b =log 29 – log c =log 32,则a , b , c 的大小关系是A. a =b ＜c B . a =b ＞c C. a ＜b ＜c D. a ＞b ＞c12.（11陕西文）设{lg ,0,()10,0,x x x f x x >= 则((2))f f -=______. 13.（2011·四川理）计算121(lg lg 25)1004--÷= .精选基本初等函数高考题答案二、填空题1.（2013北京文）函数f (x )=12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩的值域为 .( –∞,2) 2.(14新课标I)设函数113,1,(),1,x ex f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 (–∞, 8] .3. (14上海文)若2132()f x x x =-，则满足f (x )＜0的x 取值范围是 (0,1) .4. (14陕西文)已知4a =2，lg x =a ，则x =5. (14江苏文) 已知函数f (x )= x 2+mx –1, 若对于任意x ∈[m , m +1],都有f (x )＜0成立,则实数 m 的取值范围是.(2,0)6. (14安徽文)34331654()log log 8145-++= ________.27/8 7.（12·北京文）已知函数f (x )=lg x ，若f (ab ) =1，则f (a 2)+f (b 2)= 28.（12·山东文）若函数y =a x ( a ＞0，a ≠1)在[–1, 2]上的最大值为4，最小值为m，且函数()(14g x m =-[0,+∞)上是增函数，则a ＝＿＿＿＿ 1/49.（2013四川文）的值是 .110.（2012·江苏）函数()f x =的定义域为11.(12重庆文)已知a =log 23+ logb =log 29 – logc =log 32,则a , b , c 的大小关系是A. a =b ＜c B . a =b ＞c C. a ＜b ＜c D. a ＞b ＞c12.（11陕西文）设{lg ,0,()10,0,x x x f x x >= 则((2))f f -=______. –2 13.（2011·四川理）计算121(lg lg 25)1004--÷= . –20。