成都七中2021届高三一诊模拟测试理科数学试卷
2021届四川省成都市第七中学高三第一诊断模拟测试数学(理)试题【含解析】
2021届四川省成都市第七中学高三第一诊断模拟测试数学（理）试题【含解析】一、单选题1．已知集合()1222M x y x x⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}11N x x =-<<，则M N =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【分析】先求出集合M ，再根据交集定义即可求出.【详解】(){}{}122222002M x y x xx x x x x ⎧⎫⎪⎪==-=-≥=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， {}[)010,1M N x x ∴⋂=≤<=.故选：A.【点睛】本题考查交集运算，其中涉及函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3 B ．5C 5D ．35【答案】C【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =. 因此，63631253i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3．函数()()33ln ||x xf x x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及计算()1(),22f f ，可得结果. 【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()(),00,x ∈-∞+∞()()()()33ln ||33ln ||x x x x f x x x f x -+--=+-=+=所以可知函数()f x 为偶函数又()()11222211()33ln 0,233ln 2022f f --⎛⎫=+<=+> ⎪⎝⎭所以选项D 正确 故选：D【点睛】本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题. 4．执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10【答案】C【解析】此题为流程图，主要考察学生的思维能力和对循环结构及赋值语句的理解程度，属于高考数学中的常见题型，难度不大，建议采用筛选法或排除法． 请在此填写本题解析!解 设输入,,a b c 的值依次为1,2,3，由条件结合赋值语句得c a 1,== a 2,b c 1,===所以3,ac b +=故排除A ，B ，同理验证可知排除D ，因此选C ． 5．函数()()2sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．若对任意x ∈R ，()()2f x f t x =-恒成立，则实数t 的最大负值为（ ）A ．512π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-【答案】A【分析】根据函数图象可确定5544T π=，由此确定ω，利用1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由()f x 的对称轴为x t =，采用整体对应的方式可确定t 的取值，进而确定t 的最大负值. 【详解】由图象可知：555546124T πππ=+=，2T ππω∴==，解得：2ω=. 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()5262k k Z ππϕπ∴-+=-+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭. ()()2f x f t x =-，()f x ∴关于直线x t =对称， ()232t k k Z πππ∴+=+∈，解得：()122k t k Z ππ=+∈，则当1k =-时，t 取得最大负数，此时512t π=-. 故选：A .【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.6．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A ．25 B ．29C ．27D ．28【答案】C【分析】计算()89lg 21-判断即可.【详解】因为()89lg 2189lg 226.789-≈≈.故8926.7892110-≈.故第10个梅森数的位数为27. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.7．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.【详解】①甲在2道的安排方法有：336A =种；②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有22228A ⨯⨯=种，共有6814+=种方案. 故选B.【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况； （3）两种情况求和.8．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>23，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，且OMN 为直角三角形，若332ONM S =△，则C 的方程为（ ） A ．221124x y -=B ．22162x y -=C ．2213x y -=D ．22126x y -=【答案】C【分析】利用双曲线的离心率得出3b a =，可得3a b ，2c b =，由OMN 为直角三角形可得出直线MN 的方程，求出点N 的坐标，可得出ON 、MN ，再由33ONM S =△b 、a 的值，进而可得出双曲线C 的方程. 【详解】由于双曲线C 的离心率为2231c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，3b a ∴=，可得3ab ，2c b =，设点M 、N 分别为直线3y x =、3y =上的点，且MN ON ⊥，则直线MN 的方程为)32y x b =-，联立)323y x b y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得323x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点33,2b b N ⎛ ⎝⎭，则2233322b b ON b ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知3MON π∠=，tan3333MN ON b b π∴===，所以，2133332ONMSON MN =⋅==1b =，3a ∴= 因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a 、b 、c 的方程组，考查计算能力，属于中等题.9．设0a >，0b >，1a b +=，则下列选项错误．．的是（ ） A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的取值范围是[)9,+∞ C ．11a b ab++的最小值为2D ．若1c >，则231121a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为8 【答案】C【分析】由222()2a b a b ++≥，可判定A 正确；由41414()5b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，可判定B 正确；由ab ab ab ab ==ab 的范围，可判定C 不正确；由231424a a b ab b a+-=+≥，得到2311124(1)411a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++ ⎪--⎝⎭，进而判定D 正确. 【详解】对于A 中，由222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确； 对于B 中，由41414()55249b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，即21,33a b ==时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确； 对于C ab ab ab ab==，又由102ab <1219412222ab ab ≥+=+=，所以C 不正确； 对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+≥，当且仅当2b a =时，即12,33a b ==时，等号成立， 可得2311124(1)4811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++≥ ⎪--⎝⎭， 当且仅当32c =时取等，所以D 正确. 故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．下列正确命题的序号有（ ） ①若随机变量()100,XB p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫⎪⎝⎭+=．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()22A Amnn m -④由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅中的一个点． A ．②③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可判断①；根据互斥和对立事件的定义即可判断②；计算2ξ=概率可判断③；根据回归直线方程是由最小二乘法得到，且过样本中心点可判断④，进而可得正确答案. 【详解】对于①：因为()100,X B p ，且()20E X =，所以10020p =，解得15p =，所以()1110011655D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()111424D X D X ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故①不正确；对于②：根据互斥事件的定义可得A 与BC D 是互斥事件，()()1P A P B C D +=也是对立事件，故②正确；对于③：2ξ=表示前两次取出的是白球，第三次取到的是黑球，则()2122m n mnA C A P ξ-==，故③正确； 对于④：对于回归直线方程，只能确定通过(),x y ，故④不正确， 所以②③正确. 故选：A11．已知231a e b e +=-=，1e =，则a b ⋅的最小值是（ ） A ．18-B ．12-C ．8-D ．6-【答案】B【分析】根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出13a ≤≤，24b ≤≤，得到a 与b 取得最大值时，a 与b 恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果.【详解】因为231a e b e +=-=，根据向量线性运算的几何意义，可得222a e a e a e -≤+≤+，333b e b e b e -≤-≤+，即212a a -≤≤+，313b b -≤≤+， 所以13a ≤≤，24b ≤≤，当3a =时，由21a e +=可得22441a a e e+⋅+=，即912cos ,41a e +<>+=，所以cos ,1a e <>=-，因为向量夹角大于等于0且小于等于180，所以,180a e <>=，故3a e =-；当4b =时，由31b e -=可得22691b b e e-⋅+=，即1624cos ,91a e -<>+=， 所以cos ,1a e <>=，故,0a e <>=，所以4b e =，此时a 与b 恰好反向，且模都取得最大值，所以a b ⋅的最小值是34cos18012⨯⨯=-. 故选：B.【点睛】思路点睛：求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解. 12．已知函数()21cos 2f x x x =--，()2g x x k =-，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】将问题转化为()23cos 2h x x x =+与y k =有唯一交点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性和最值，由此得到()h x 大致图象，数形结合可求得结果. 【详解】()f x 与()g x 图象有且仅有一个公共点，()()f x g x ∴=有唯一解，即23cos 2k x x =+有唯一解， 令()23cos 2h x x x =+，则()3sin h x x x '=-，()3cos h x x ''=-， []cos 1,1x ∈-，()0h x ''∴>，()h x '∴在R 上单调递增，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 01h x h ∴==，可得()h x 大致图象如下图所示：23cos 2k x x =+有唯一解等价于()y h x =与y k =有唯一交点， 由图象可知：当1k =时，()y h x =与y k =有唯一交点，即()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点. 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为平行于x 轴的直线与函数的交点个数的问题，进而利用数形结合的方法求得结果.二、填空题13．设实数x y ，满足2105x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则4z x y =+的最小值为______.【答案】53【分析】作出可行域,观察可得,当4z x y =+过点C 时，z 有最小值,再联立方程组解得最优解C 的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值；联立210x y x y +=⎧⎨-=⎩解得13x y == 即11,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，故4z x y =+的最小值为53． 【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题. 14．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ，则数列12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+=______． 【答案】20202021【分析】根据()132n S n n =+，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得1n a n =+，再由()111111n na n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ， 当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，()()()111312122n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+ 对1n =时，也成立， 所以1n a n =+，所以()111111n na n n n n ==-++， 所以12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+， 11111120201 (12232020202120212021)=-+-++-=-=，故答案为：2020 2021【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnn a a n nS na d+-==+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnna qS a qqq=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．15．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，3PE ED=，若PF PCλ=且满足//BF平面ACE，则λ=______．【答案】23【分析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GE ED=，连接BG，可证平面//BGF平面AEC，从而可得23PF PGPC PE==.【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，则BO OD=，在线段PE 取一点G 使得GE ED =，则23PG PE =. 连接,BG FG ，则//BG OE ，又因为OE ⊆平面AEC ，BG ⊄平面AEC ， 所以//BG 平面AEC .因为//BF 平面ACE 且满足BG BF B ⋂=，故平面//BGF 平面AEC . 因为平面PCD 平面BGF GF =，平面PCD平面AEC EC =，则//GF EC .所以23PF PG PC PE ==，即23λ=为所求. 故答案为：23.【点睛】思路点睛：已知线面平行，则可以得到两类平行关系-线线平行和面面平行，前者可找过已知线的平面，该平面和已知平面的交线与已知直线平行，后面可构造过已知的直线的平面，它与已知的平面的平行.16．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______． 【答案】32【分析】根据点P 是直线2y x =+上一动点，设(),+2P a a ，求得CP ，然后利用射影定理24CA CR CP =⋅=，变形为2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-，求得点R 的坐标，建立函数()2222R R FR x y =++，利用基本不等式求解. 【详解】如图所示：由射影定理得：24CA CR CP =⋅=， 因为点P 是直线2y x =+上一动点， 设(),+2P a a ， 所以()()()222=2+22+4CP a a a -+=所以()242+4CR CPa ==，则2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-， 则22221+424+4R R a x a a y a ⎧-⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎪=⎪⎩，所以()2222R R FR x y =++，22222242+4+4a a a a ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2224822344168+4+4+4a a a a a --⎛⎫=++=+⋅ ⎪⎝⎭，令223+4a t a -=， 当230m a =->时，1125425131344+2+4242t m m m m =≤=+⋅，当且仅当 25144m m =，即4a =时取等号，所以21168184FR ≤+⨯=， 所以线段FR 长度的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题关键是将线段之比转化为坐标之比，即R c RP c Px x y CR CP x x y -==-，求得点R 的坐标，从而得解.三、解答题17．在①sin sin sin A b cB C b a+=--，②3sin c a A =，③23S CA CB =⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】（1）答案见解析；（2）32. 【分析】（1）若选①，可以利用正弦定理得到关于边的关系式，再利用余弦定理得到所求的角，若选②，可利用辅助角公式求得角C 的大小，若选③，利用向量数量积的定义可得角C 的正切值，从而得到其大小.（2）利用余弦定理和基本不等式可求ab 的最大值，从而可求面积的最大值. 【详解】（1）选①：sin sin sin A b cB C b a+=--，∵由正弦定理得a b c b c b a +=--， ∴()()()a b a b c b c -=+-，即222a b c ab +-=，∴1cos 2C =， ∵(0,)C π∈，∴3C π=.选②：由正弦定理得sin sin 3sin C A A=sin 0A ≠，3sin cos 1C C =+， 12sin 1,sin 662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵(0,)C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，∴3C π=. 选③：23,sin 3cos S CA CB ab C ab C =⋅=，∴tan 3C =∵(0,)C π∈，∴3C π=，（2）在BCD △中，由余弦定理知222(2)22cos 602a b a b +-⨯⨯=︒⨯，∴224242222a b ab a b ab ab +-=⋅⋅-=，∴2ab ，当且仅当2a b =. 即2,1a b ==时取等号， 此时ab 的最大值为2，面积13sin 2S ab C ==3【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2…… 1n -nP14 3144⋅ 23144⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……13144n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭34n⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1）()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （2）当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置. 【答案】（1）证明见解析；（2）F 为PC 的中点.【分析】（1）连接AC ，可知得出AE AD ⊥和PA AE ⊥，即可证明AE ⊥平面PAD ，从而得出平面AEF ⊥平面PAD ；（2）以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC 为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又//AD BC ，∴AE AD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， ∵PA AD A ⋂=，PA 、AD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，3,1,0)B -，3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,1,1)M ，3,0,0)E ∴(3,1,2)=-PC ，(0,2,2)PD =-，(0,0,2)AP =.设(3,,2)PF PC λλλλ==-，则(3,,22)AF AP PF λλλ=+=-.. 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11111320220m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令13z =，则11x =，13y =∴(1,3,3)m =. 设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，222332323sin |cos ,||||(3)(22)7AF mAF m AF m λλλθλλλ⋅++-===⋅++-⨯2231172222λ=⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭ 当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 【点睛】关键点睛：本题考查点的存在性问题，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立与线面角的关系，从而通过数量关系进行说明.20．已知函数()22ln f x ax x =-．（1）当2a =时，求()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对[]1,3x ∀∈，都有()14f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0a >，若1x ∃，2x 且满足120x x <<，使得()()12f x f x =，求证：)()2121220a x x x x +-+>．【答案】（1）21y x =+；（2）14a ≤；（3）证明见解析. 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程;（2）转化已知条件为函数()f x 在[]1,3上的最大值()max 14f x ≤，利用单调性，①0a ≤时，②0a >时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围;（3）通过()()12f x f x =)()2121220a x x x x +-+>,从而得到12x x a +>,令()212ln 4x g x x +=,求导,利用单调性可得()g x 在a ⎛ ⎝单调递减,即可()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立,即可证明所求成立.【详解】（1）解：当2a =时，()222ln f x x x =-，()12f =，()24f x x x'=-，()12k f ='=，∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程为221y x -=-． 整理得: 21y x =+（2）解：法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x-'=-= ①当0a ≤时，()'0fx <，()f x 在[]1,3上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴0a ≤ ②当0a >时，()'0fx >，x a>∴()f x 在a ⎛ ⎝上单减，在a ⎫+∞⎪⎭上单增，（ⅰ1a≤，1a ≥时，()f x 在[]1,3上单增， ()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去； （ⅱ3a ≥，109a <≤时，()f x 在[]1,3上单减， ()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤（ⅲ）当13a <<，119a <<时，()f x 在a ⎡⎢⎣上单减，a ⎤⎢⎥⎣⎦上单增， ()()114134f f ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，14a ≤，1194a <≤， 综上，14a ≤． 法2：()22l 1n 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4xa x +≤， 令()212ln 4x g x x +=，()334ln 2xg x x-'=，()0g x '>，381e x <<． ∴()g x 在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38e ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x ≤=．（3）证明：因为120x x +>)()2121220a x x x x +-+>， 只需证明12x x a+>， 由（2）可知120x x a <<<，要证12x x a+>， 只需证明21x x a>-，又因为2x a >1x a a ->()f x 在a ⎫+∞⎪⎭单调递增， 所以只需证明()21f x f x a ⎫>-⎪⎭， 又因为()()21f x f x =，即证()11f x f x a ⎫>⎪⎭， 令()()0g x f x f x x a a ⎫⎛=--<<⎪⎭⎝即()222ln 2ln g x ax x a x x a a ⎫⎫=--+-⎪⎪⎭⎭442ln 2ln ax x x a ⎫=--+-⎪⎭注意到0g a = 因为()221442g x a a x a x x x a a '=-=⎫-⎪⎭140a a a x a ≤=+- ⎪⎪⎝⎭则()g x 在a ⎛ ⎝单调递减， 所以()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立，所以12x x a+>)()2121220a x x x x +-+>． 【点睛】(1)曲线切线方程的求法：①以曲线上的点()00()x f x ，为切点的切线方程的求解步骤：求出函数()f x 的导数()f x '；求切线的斜率()0f x '；写出切线方程()()000()y f x f x x x '-＝- ，并化简．②如果已知点11()x y ， 在曲线上，则设出切点00()x y ，，解方程组()()0010010y f x y y f x x x ⎧=⎪-⎨=-'⎪⎩得切点00()x y ，，进而确定切线方程．(2)恒成立问题与存在成立问题常转化为值域问题．单变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x mn ∈， ，()a f x >恒成立()max a f x ⇒>； 若存在[]x mn ∈，，()a f x >有解()min a f x ⇒> ； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x >无解()min a f x ⇒≤. ②对任意的[]x mn ∈，，()a f x <恒成立()min a f x ⇒<. 若存在[]x mn ∈，，()a f x <有解()max a f x ⇒<； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x <无解()max a f x ⇒≥. 双变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x a b ∈，，不等式()()f x g x >恒成立，只须()()[]0min f x g x >－； ②存在0[]x a b ∈，，不等式()()00f x g x >成立，只须()()[]0max f x g x >－； ③对任意1[]x ab ∈，，2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >恒成立，只须()()min max f x g x >；④存在1[]x a b ∈，，2[]x c d ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()max min f x g x >； ⑤对任意1[]x ab ∈，，存在2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()min min f x g x >.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为3C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点. （1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点. （ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅱ）点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值. 【答案】（125；（2）（ⅰ）15-；（ⅱ）38.【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得5a b =，又222,ca b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅱ）,(01)NMNM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可．【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=， 则3,44a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,5a a b b==，∴222c a b b =-=， ∴255c e a ==． （2）（ⅰ）由（1）可得1,5b a ==∴22:15x C y +=设直线l ：()()()11223332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+ ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C 的方程：223255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 28310,0y +-=∆>恒成立1212318y y y y +==- ∴)())121212125323232348x x y y y y =++=+++=∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设,(01)NMNM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=--∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-，∴38λ=∴38NM NQ =． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为3x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）42【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l ：(3y k x =， 2l ：)133y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C 上的点()3,sin Qαα到直线60x y +-=的距离为2sin 63cos sin 6322d πααα⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==， 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为2. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23．已知函数()2725f x x x =-+- （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）在（1）的条件下，正数a ，b 满足22a b m +=，证明2a b ab +≥． 【答案】（1）2m =；（2）证明见解析【分析】（1）由()()27252725x x x x -+-≥---，可求出()f x 的最小值； （2）利用基本不等式可得222a b ab +≥，从而可得1ab ≤1ab ，再结合2a b ab +≤12ab ≤1ab ≤，可证明结论. 【详解】（1）()()()272527252f x x x x x =-+-≥---=， ∴函数()f x 的最小值2m =． （2）证明：正数a ，b 满足222a b +=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，所以1ab ≤1ab ≤， 2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 所以12ab a b ≤+， 1ab ≤，所以12ab a b ≤+， 故2a b ab +≥．【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.。
高2021届成都“一诊”理科数学(word版含答案)
高2021届成都“一诊”理科数学第I 卷 (选择题，共60分)一、 选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B) 12 (C) 12- (D) 1- 7.设1202120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)2(B) 2(C)(D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可 以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度， (C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。
2021年四川成都高三一模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川成都高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第1题5分设集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x||x−1|<3,x∈N}，则A∩B=（）．A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {x|−1<x<4}D. {x|−2<x<4}2、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第2题5分2021年四川成都高三一模文科第2题5分（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）．复数z=1+2iiA. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第3题5分2021年四川成都高三一模文科第3题5分若等比数列{a n}满足a2+a3=2，a2−a4=6，则a6=（）．A. −32B. −8C. 8D. 644、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第4题5分2021年四川成都高三一模文科第4题5分甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：x1，x2分别表示甲乙两组数据的平均数，S1，S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）．A. x 1=x 2，S 1>S 2B. x 1>x 2，S 1>S 2C. x 1<x 2，S 1>S 2D. x 1>x 2，S 1<S 25、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第5题5分若函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A. (−∞,0)∪(4,+∞) B. (−∞,−8)∪(0,+∞) C. [0,4] D. (−8,0)6、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第6题5分若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为（ ）． A. 1B. 12C. −12D. −17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第7题5分设a =log 2020√2021，b =ln√2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第8题5分 2021年四川成都高三一模文科第8题5分若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l ，α∩γ=m ，γ∩β=n ，则l//m 是n//m 的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第9题5分 已知平行于x 轴的一条直线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于P ，Q 两点，|PQ |=4a ，∠PQO =π3（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）．A. √62B. √52C. √6D. √510、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第10题5分 2021年四川成都高三一模文科第10题5分已知锐角φ满足√3sinφ−cosφ=1．若要得到函数f (x )=12−sin 2(x +φ)的图象，则可以将函数y =12sin2x 的图象（ ）． A. 向左平移7π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移7π12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度11、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第11题5分2020~2021学年四川成都温江区成都七中实验学校高二上学期期末模拟理科第11题5分 2021年四川成都高三一模文科第11题5分已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，P (0,−72)．若PB ⊥AB ，则|AF |=（ ）．A. 32B. 2 C. 52D. 312、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第12题5分已知函数f(x)=x+ln(x−1)，g(x)=xlnx．若f(x1)=1+2lnt，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)lnt的最小值为（）．A. 1e2B. 2eC. −12eD. −1e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第13题5分(√x−1x )7的展开式中x−1的系数是．（用数字作答）14、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第14题5分2017~2018学年湖南郴州嘉禾县嘉禾县第一中学高二上学期期中2017~2018学年广东深圳罗湖区菁华中英文实验中学高二上学期期中2017年高考真题新课标卷I2017~2018学年湖南郴州临武县临武县第一中学高二上学期期中设x，y满足约束条件{x+2y⩽12x+y⩾−1x−y⩽0，则z=3x−2y的最小值为．15、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第15题5分2021年四川成都高三一模文科第15题5分数列{a n}的前n项和为S n，a n+2S n=3n，数列{b n}满足3b n=12(3a n+2−a n+1)(n∈N∗)，则数列{b n}的前10项和为．16、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第16题5分在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2，三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为 ；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第17题12分 2021年四川成都高三一模文科第17题12分在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan∠ABM =√35，tan∠BMC =−√32． (1) 求角A 的大小．(2) 若BM =√21，求△ABC 的面积．18、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第18题12分 2021年四川成都高三一模文科第18题12分一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1) 根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2) 在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：K2=a(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第19题12分如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．(1) 求证：平面B1D1E⊥平面C1MN．(2) 若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．20、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第20题12分已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第21题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM，△BOP的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+sinα+cosαy=2+sinα−cosα（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√2．(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程．(2) 设点P(0,2)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求||PA|−|PB||的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1．(1) 求不等式f(x)+|x−m|>2的解集．(2) 若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C; 8 、【答案】 C; 9 、【答案】 D; 10 、【答案】 A; 11 、【答案】 D; 12 、【答案】 C; 13 、【答案】 −35; 14 、【答案】 −5; 15 、【答案】 65; 16 、【答案】 √32;2√63;17 、【答案】 (1) A =2π3． ; (2) 6√3． ;18 、【答案】 (1) 有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． ;(2) ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)=23． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ; (2) √155．;20 、【答案】 (1) 当a ⩽0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(lna,1)上单调递减，在(−∞,lna)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,lna)上单调递减，在(−∞,1)和(lna,+∞)上单调递增．;(2) (1,4e32)．;21 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) [√33,√63]．;22 、【答案】 (1) (x−1)2+(y−2)2=2；x−y+2=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,3)∪(133,+∞)．;(2) 3．;。
2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题一、单选题1.若随机变量弁~2),且>5)=0.2,则P(1 V X < 5)=()A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】A【解析】根据随机变量X服从正态分布N (3,。
？)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3,根据正态曲线的特点，即可得到结果.【详解】•・,随机变量X服从正态分布N (3, o=),・••对称轴是x=3.VP (X25)=0.2,AP (1<X<5) =1 - 2P (X25) =1 -0. 4=0.6.故选：A.【点睛】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x二口，并在x=u时取最大值从x二口点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.2.函数)'=1)的图象大致是()【答案】D【解析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断.【详解】y = ln（l+ x2）, 因为满足偶函数f（・X）=f（X）的定义，所以函数y=ln（l+/）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B.又x=0时,y=0,排除A、C,故选D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于基础题.3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的恻面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）. 当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）【答案】B【解析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案.【详解】・・•相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.・•・其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, ・♦•俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B.【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题.4.设'是虚数单位，复数需满足9 — 1" ="+3,贝『的虚部为（）A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】令z=a+bi（a,b6R）,将其代入（Z—l"=z+3,化简即可得出.【详解】令z=a+bi,代入9T）i=z + 3,（a-l+bi） a+3+bi, •---b + （a-l）i = （a + 3）+bi3 =a—2< a-1 = b ,故选C.【点睛】本题考查了复数相等的概念及运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120,则横线处应填入（）k=lDOS=S*kk=k+\LOOP UNTILPRINT S\gND J.k< 6n k < 6 尸k > 6、k> 6A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果.【详解】模拟执行算法程序，可得：S=l, k=l,不满足条件，S=l, k=2,不满足条件，S=2, k=3,不满足条件,S=6, k=4,不满足条件,S=24, k=5,不满足条件,S=120, k=6,此时i满足条件，退出循环，输出S的值为120；所以横线处应填写的条件为卜-°,故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.2x - y < 4x +2y < 2 y+i6.设实数满足（彳一1之° ,则丫的最大值是（）1 3A. -1B. 2 C, 1 D. 2【答案】D【解析】由约束条件确定可行域，由丁的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0, -D连线的斜率求得答案.【详解】2x - y < 4x + 2y <2由约束条件（X—,作出可行域如图，^-l=o I 巳联立&+ 2y -2=。
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学附答案解析
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B = （）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =i2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（ ）AB ．15C ．125D3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．C ．πD ．π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ）A ．12a b<<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）A ．36625B ．9125C ．108625D ．541259．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（ ）A．BC．D10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.811．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AMm n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x xx x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（ ）A ．3或4或6B ．1或3C ．4或6D ．3二、填空题13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）14．已知向量,a b 满足()1,1a =r ，()23,1a b +=- ，则向量a 与b的夹角为___________.15．已知斜率为13-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.16．在ABC V 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x （单位：百万元）23456经济回报y （单位：千万元）2.5344.56(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C相交于P ，Q 两点.(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；(2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.(1)a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos(4πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.(1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.参考答案：1．C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.【详解】{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞I .故选：C.2．A 【解析】【分析】化简得2i5z -+=，即得解.【详解】解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．C 【解析】【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ==.4．D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【详解】解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=．故选：D ．5．D 【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径R =22S π∴=⨯=6．B 【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为y =，所以ba=故可得：e ====故选：B 7．B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.【详解】21log log a a a >=Q ，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >，lg lg 0b a -∴>，即lg 0ba >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<<故选：B 8．C 【解析】【分析】利用二项分布的概率即可得解.【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为10.40.6-=罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率()2131080.40.60.40.1728625P C =⨯⨯==故选：C 9．B 【解析】【分析】先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解.【详解】解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=，所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以sin sin sin cos 7sin 1tan cos sin 501cos ααααααααα===---.故选：B 10．C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误．11．A 【解析】【分析】①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④截面MNPQ 的面积为24(1)nn +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.【详解】解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当ACm BD=时，,22AC ACm m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AM m m m n MN BM MB =∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11nMN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为2244411(1)212n n n n n n n ==≤=+++++，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A 12．D 【解析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e -<<三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x >时，1ln ()x f x x+=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x -+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e =-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e<-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e -<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题13．80-【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()5155255212rr r r r r r C x x C x ----⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令523-=r 得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()14151280C -⋅⋅=-.故答案为：80-14．2π##90【解析】【分析】利用向量坐标的线性运算求得(02)a = ，，相减得(22)b =，，再利用夹角公式可得结果.【详解】设(,)b x y =r ，()1,1a =r Q ，()23,1a b +=-则123121x y +=⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，(1,1)b ∴=-r故[]cos ,0,,0,πa b a b a b a b ⋅==∈⋅r rr r r r r r ，则a 、b 的夹角为2π.故答案为：2π.15．⎛ ⎝【解析】【详解】设直线AB 的方程为13y x t =-+，由2213+197y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 并化简得22869630x tx t -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，212123963,48t x x t x x -+=⋅=，()2236329630t t ∆=-->，解得t -<<()()1212121212311373,28226648x x t x x y y t x x t t t t-++++===-++=-⨯+=.由于MA MB =，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =得14y t =-，由于t -<<14t -<.也即M的纵坐标的取值范围是⎛ ⎝.故答案为：⎛ ⎝16．6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+17．(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.(2)解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++ .1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822nn -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．(1)ˆ0.850.6yx =+(2)分布列答案见解析，数学期望：127【解析】【分析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望(1)23456 2.534 4.564,455x y ++++++++==== .()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410ii x x =-=++++=∑.()()()155210.85,40.8540.6iii i i x x y y bax x ==--∴===-⨯=-∑∑ .0.80.ˆ56yx ∴=+.(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.()()()3122134343331777C C C C C 112180,1,2C 35C 35C 35P X P X P X ========= ，34374(3)35C P X C ===，X ∴的分布列为X0123P13512351835435112184120123353535357EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得M 为A D '的中点，再以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.利用空间向量求得所求的线面角.(1),D E 分别为,AB AC 的中点，DE BC ∴∥.AD BC ⊥ ，AD DE ∴⊥，A D DE '∴⊥.A D BD '⊥Q ，DE DB D ⋂=，A D '∴⊥平面BDEC .又AD '⊂平面A DB '，∴平面A DB '⊥平面BDEC .(2)（2）选①，BM BE =；BM BE = ，90BDM BDE ∠=∠=︒，BDM BDE ∴≅V V ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选②，直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；BC DE ∥，∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠.又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，45MED ∴∠=︒A D DE '⊥ ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选③，三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.413E A C A EBC BC B E V V S A D ''--'==⋅V Q ，1134M BDE BDE M BDE E A CB V S MD V V '---=⋅⋅=V 又12DE BC =，即12BDE EBC S S =V V ，2A D MD'∴=M ∴为A D '的中点.∵过,,B C M 三点的平面与线段A E '相交于点N,DE BC BC ⊄∥平面A DE ¢，BC ∴∥平面A DE ¢.又平面BMNC ⋂平面A DE MN '=，BC MN ∴∥，N ∴为A E '的中点.,,DE DB DA ' 两两互相垂直，∴以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(0,0,4),(1,0,2),(0,4,0),(4,4,0)D A N B C '；(1,0,2),(0,4,4),(4,0,0)DN BA BC '==-=.设平面A BC '的一个法向量为(,,)m x y z =，直线DN 与平面A BC '所成的角为θ.由00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，得44040y z x -+=⎧⎨=⎩.令1y =，得(0,1,1)m =.则||sin |cos ,|||||DN m DN m DN m θ⋅=〈〉===∴直线DN 与平面A BC '.20．(1)(2,0)-(2)12【解析】【分析】（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标；（2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解.(1)由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立2(2)2y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，122212022y yy y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k ⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.(2)由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk =，θ为倾斜角，则sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-∴==2122224114sin 1y y p AP AQ p k k kθ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.2112pk ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.21．(1)最大值为0，最小值为2a π-(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数小于零，可得函数在[0,]π上单调递减，从而可求出函数的最值，（2）由题意得sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，构造函数sin (),(0,)2cos x g x ax x x=-∈+∞+，则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+，设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，利用基本不等式可求得1()1,3h x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，然后分13a ≥和113a π≤<判断()g x 的最大值是否小于零即可(1)由题意，()cos 2f x x a '=-.21a ≥ ，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.()f x ∴在[0,]π上单调递减.∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-.(2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立.即sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立.∴当2x π=时，有sin2022cos2a πππ-≤+成立，即1a π≥.设sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+.则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+.设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，2449696t y t t t t==++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦.1()1,3h x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.①当13a ≥时，22cos 1()0(2cos )x g x a x '+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x =-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；②当113a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数496y t t=++在(0,3)t ∈上单调递增.∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，020,3x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=.且当()00,,()0x x g x '∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，解题的关键是将不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，转化为sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，然后构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+，利用导数求函数的最大值小于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=；(2)7.【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解.(1)解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos(4πρθ-cos sin θθ+=cos sin 2ρθρθ+=cos ,sin x y ρθρθ== ，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)解：设直线l的参数方程为1,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（*）24740∆=-⨯=>.设12,t t 是方程（*）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=.12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)617.【解析】【分析】（1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；答案第17页，共17页（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解.(1)解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+.由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<；②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+.由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--.由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-.综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩.当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立.22232a b c ∴++的最小值为617.。
四川省成都市2021年高考复习数学一诊试卷(理科)
B．函数f(x) =
푥2 + 9 +
1 푥2 + 9的最小值为 2
C．当 α，β∈R 时，命题“若 α＝β，则 sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题
D．命题“∀x＞0，2021x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，2021x+2021≤0” 8．（5 分）已知函数 f（x）＝3x+2cosx，若a = f(3 2)，b＝f（2），c＝f（log27），则 a，b，c 的大小关系
（Ⅰ）已知销售单价 y 与等级代码数值 x 之间存在线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程（系数 精确到 0.1）；
（Ⅱ）若莫斯科某个餐厅打算从上表的 6 种等级的中国小龙虾中随机选 2 种进行促销，记被选中的 2 种等级代码数值在 60 以下（不含 60）的数量为 X，求 X 的分布列及数学期望．
→→
﹣2a．若 A，B 是函数 f（x）图象上的两个动点，点 P（a，0），则当PA ⋅ 푃퐵的最小值为 0 时，函数 f （x）的最小值为（ ）
1
A．e - 2
B．e﹣1
3
C．e - 2
D．e﹣2
푥2 푦2 12．（5 分）设椭圆 C：푎2 + 푏2 = 1（a＞b＞0）的左，右顶点为 A，B．P 是椭圆上不同于 A，B 的一点，
9
202
高考复
【点评】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值． 5．（5 分）（2021•汉中模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是（ ）
练
试卷 A．5
B．7
C．9
D．11
【考点】EF：程序框图．
【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题(含答案解析)
当 时，则 ，此时 有0个根， 有3个根，
综上，对任意的 ，方程都有3个根，
故选：D
【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题
13．
A． B． C． D．
9．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8
11．如图，已知三棱锥A-BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且 ，其中m，n∈（0，+∞）.有下列命题：
设数列 的前 项和为 ，则 .
.
18．
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，
（2）由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望
（1）
.
， .
.
.
（2）
由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3.
，
，
的分布列为
0
由 消去 并化简得 ，
设 ， ，
，解得 .
.
由于 ，所以 是 垂直平分线与 轴的交点，
垂直平分线的方程为 ，
令 得 ，
由于 ，所以 .
也即 的纵坐标的取值范围是 .
故答案为：
16．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.
四川省成都市2021届高三一诊考试试卷 理科数学 Word版含答案
成都市2022级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R，A={x|x2-x-2>0）．则(A)（-∞，-1) ⋃(2,+∞) (B)[-1,2](C)（-∞，-1] ⋃[2，+∞）(D)（-1，2）(2)命题“若a>b，则a+c>b+c"的否命题是(A)若a≤6，则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c，则a≤6(C)若a+c>b+c，则a>b(D)若a>b，则a+c≤b+c(3)执行如图所示的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为(A)19(B) -1或1 (C)l (D)一1(4)已知双曲线2222-1(0x ya ba b=＞＞）的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为(A) 1312(B)125(C)32(D)3(5)已知α为其次象限角，且sin2α=2425，则cosα-sinα的值为(A)75(B) 一75(C)15(D) 一15(6)（x+1)5(x-2）的开放式中x2的系数为(A) 25 (B)5 (C) - 15 (D) - 20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A) 136π (B) 34π (C) 25π (D) 18π(8)将函数f(x)=sin2x+3cos2x图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上全部点向右平移6π个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是(A)x=一6π(B)x=6π(C)x=2425π(D)x= 3π(9)在直三棱柱ABC-A1BlC1中，平面口与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面d．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α上平面BCFE．其中正确的命题有(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③(10)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点，若M是线段AB的中点，则的值为(A)3 (B) 23(C)2 (D) -3(11)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f（-x-1）=f（x-1），当x∈[-1，0]时，f(x)= 一x3．则关于x的方程f(x ) =|cosπx|在[一52，12]上的全部实数解之和为(A) -7 (B) -6 (C) -3 (D) -1(12)已知曲线C1:y2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C2:y=e x+l—1也相切，则tln24et的值为(A) 4e2 (B) 8e (C)2 (D)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)若复数z=1aii+（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ．(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个外形不规章的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为.(15)若实数x，y满足约束条件，则的最小值为(16)已知△ABC中，AC=2，BC=6，△ABC的面积为32，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=4π，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l = -2，a n+1 =2a n +4． (I)证明数列{a n +4)是等比数列； (Ⅱ)求数列{|a n |}的前n 项和S n ． (18)（本小题满分12分）某省2022年高中数学学业水平测试的原始成果采 用百分制，发布成果使用等级制．各等级划分标准为：85 分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数 在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认 定A ，B ，C 为合格，D 为不合格，已知甲，乙两所学校同学 的原始成果均分布在[50，100]内，为了比较两校同学的 成果，分别抽取50名同学的原始成果作为样本进行统 计，依据[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90 ,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙 校的样本中等级为C ，D 的全部数据的茎叶图如图2所示． (I)求图中x 的值，并依据样本数据比较甲乙两校的合 格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的同学中随 机抽取3名同学进行调研，用X 表示所抽取的3名同学中 甲校的同学人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．(19)（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中点，点R 在线段BH 上，且BRRH =λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示． (I)若λ=2，求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(20)（本小题满分12分）已知椭圆22:154x y E +=的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(I)若直线l 1的倾斜角为4π，求△ABM 的面积S 的值；(Ⅱ)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线 (21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=xln(x+1)+（12一a ）x+2一a ，a ∈R ． (I)当x>0时，求函数g(x)=f(x)+ln(x+1)+ 12x 的单调区间；(Ⅱ)当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f(x)<0成立，求a 的最小值． 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1． (I)求不等式f(x ）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x ）的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab =a+2b ，求2a+b 的最小值.。