高二数学算术平均数与几何平均数1
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算术平均数与几何平均数
2 2
汽车遥控器 汽车遥控器 阴鬻閪
2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
定理1：如果 a, b R, 那么a
2
b 2ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a, b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
n
a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
注意2：等号取到的条件。
推广：Leabharlann 定理：如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
汽车遥控器 汽车遥控器 阴鬻閪
2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
定理1：如果 a, b R, 那么a
2
b 2ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a, b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
n
a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
注意2：等号取到的条件。
推广：Leabharlann 定理：如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。
在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。
通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。
它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。
2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。
•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。
•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。
算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。
•确定商品的平均价格。
•分析学生成绩的平均水平等。
3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。
它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。
3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。
用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。
•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。
•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。
算术平均数与几何平均数
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
; 哈利魔法科学加盟费多少 ；
舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
; 哈利魔法科学加盟费多少 ；
舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
【算术平均数与几何平均数(一)】 算术平均数与几何平均数
【算术平均数与几何平均数（一）】算术平均数与几何平均数教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
算术平均数与几何平均数
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b
0,
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
算术平均数与几何平均数
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便 宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该 是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便 宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该 是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖
算术平均数与几何平均数
2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
注意2：等号取到的条件。
推广：
定理：如果
a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
推论：如果
关于“平均数”的概念：
如果a1 , a2,.......an R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n 个正数的算术平均数； n
定理1：如果 a , b R , 那么 a
2
b 2 ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a , b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a
2
b c ab bc ca
2 2 2 c b c a
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
注意2：等号取到的条件。
推广：
定理：如果
a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
推论：如果
关于“平均数”的概念：
如果a1 , a2,.......an R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n 个正数的算术平均数； n
定理1：如果 a , b R , 那么 a
2
b 2 ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a , b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a
2
b c ab bc ca
2 2 2 c b c a
高二数学算术平均数与几何平均数1
,
课堂练习： 5. 已知a、b、c都是正数，求证： (a + b)(b + c)(c + a) 8abc． (P11练习1)
ab 分析：可选择定理： ab 2
(a > 0，
b > 0)灵活变形，求得结果．
小结
1．重要不等式可以用来证明某些不 等式． 2．应用重要不等式证明不等式时, 要注意不等式的结构特征： (1) 满足定理的条件； (2) 不等式一边为和的形式，另一边 为积或常数的形式． 3．用重要不等式证明有关不等式时, 要注意与不等式性质结合．
4. 设a, b, c是区间(0, 1)内的三个互不相 等的实数, 且p = logc r
1 ab = logc , 2 2
,q=
则p, q, r的大小关系是( C ) A．p > q > r B．p < q < r C．r < p < q D．p < r < q
logc a logc b 2
ab x y
分析：本题结论中，注意
ab x y 与 x y ab
互为倒数，它们的积为1，可利用公式 a + b 2 ab，但要注意条件a、b为正数. 故此题应从已知条件出发，经过变形， 说明
ab x y 与 ab x y
为正数开始证题.
说明：我们在运用重要不等式a2 + b2 2ab时，只要求a、b为实数就可以 ab 了．而运用定理：“ ”时， ab 2 必须使a、b满足同为正数． 本题通过对已知条件变形(恰当地因 式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 ab x y 与 是正还是负，这是我们今后 ab x y 解题中常用的方法．
引例 某种商品分两次降价，降价的方案 有三种：方案甲是第一次9折销售，第二 次再8折销售；方案乙是第一次8折销售， 第二次再9折销售；方案丙是两次都是 98 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？ 2 故降价最少的方案是丙．
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一根x2，使得x1 + x2 2．
； 霍山米Leabharlann 霍山石斛orz70msr
正怀里，跑过来扶住她的胳膊，说：“大嫂，我们就是你和大哥七年半以前曾经留宿，照顾过的那落难的仨兄妹啊！大嫂你别 激动，我们进屋里慢慢说话！”大嫂怎么能不激动呢，由耿英扶着一边往屋里走，一边就在淌眼泪了。她激动地絮叨着：“妹 子，我不是在做梦吧？我做了很多回像这样的梦呢！醒了就和你们大哥说，不知道你们到了景德镇以后怎么样了。你们那么小， 多不容易啊！”说着话，大家一起进了屋里。大哥和大嫂让兄妹三人坐下，赶快忙着沏茶。耿英对大嫂说：“嫂子你就甭忙活 了，快坐着吧，我来帮大哥沏茶！”大嫂说：“没事儿，动一动好。都是你们大哥，非要我歇着，哪里用得着呢！”屋里非常 宽敞明亮。一张颇大的八仙桌摆在起居室的中间，旁边放着六把漂亮的铜漆木椅。靠里边的一侧放了一个酒柜，另一侧摆了一 个台桌，桌上放了水罐，旁边是一盘茶具，上面盖着雪白的台布。在正面墙上还挂了一幅气势磅礴的山水画。泡上茶后，大嫂 问：“你们一直在景德镇？看来情况实在是很好呢！对啦，你们叫什么名字，家住哪里？好多的话都还没有问呢！”耿直抢先 将他感觉最重要的说了出来：“我们也姓耿，哥哥叫耿正、姐姐叫耿英、我叫耿直„„”耿英接着说：“我们是从杭州返回来 的，要回老家山西„„”看耿大业夫妇听得直瞪眼儿，耿正赶快伸手示意弟弟和妹妹都不要再说下去了。他说：“你俩这样没 头没脑地抢着说不好，让我来慢慢说给大哥大嫂听吧！对啦，我们先把带来的礼物交给大哥大嫂！”耿直听了，赶快打开放在 身边的大皮箱。耿正把红漆木匣子取出来放在八仙桌上，耿大业夫妇几乎同时问：“兄弟，你这是„„”耿正把木匣子轻轻揭 开，将里面红绸衬垫上安放着的那个制作工艺非常精美的大元宝双手捧起来，恭恭敬敬地送到大哥大嫂的面前，说：“这个元 宝是专门为大哥大嫂定制的，她既代表了我们兄妹三人的一点儿小小的心意，更表达了我们对大哥大嫂慈善仁厚高尚品德的崇 高敬意，请大哥大嫂收下！”耿大业夫妇接过来仔仔细细看过几遍，眼含热泪说：“如此贵重的礼物我们怎么可以接受呢？” 耿英说：“礼物再贵重，也比不上大哥大嫂在我们最艰难的时候，给予我们的关爱和叮嘱那样弥足珍贵！”耿直也说：“大哥 大嫂仁慈的心和语重心长的话，支撑着我们走过了那段最难的岁月，那些话我们一辈子都不会忘记！”耿大业夫妇听兄妹三人 如此说，都含泪连连点头，摇头，再点头„„耿大业说：“好，好，好，弟弟妹妹们不要说了，这份厚礼大哥大嫂收下了！今 后，我们要把她作为镇店之宝，用来勉励后人，以慈善仁厚的品德来做人和做事！”耿英又拿起四块丝绸，对耿大业夫妇说： “这四块衣料是杭州的特产，这厚实一些的大哥和大嫂各做一件长袍
引例 某种商品分两次降价，降价的方案 有三种：方案甲是第一次9折销售，第二 次再 8折销售；方案乙是第一次 8折销售， 第二次再 9 折销售；方案丙是两次都是 98 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？ 2 故降价最少的方案是丙．
方案丙：t ( )2 = 0.7225t (元)． 思考：若将问题变为第一次 a 折销 售，第二次 b 折销售．则可猜想有什么 不等式成立？
C．
2ab ab ab ab 2
D．
ab 2
2ab a b ab ab 2
4. 设a, b, c是区间(0, 1)内的三个互不相 等的实数, 且p = logc r
1 ab = logc , 2 2
,q=
则p, q, r的大小关系是( C ) A． p > q > r B．p < q < r C． r < p < q D． p < r < q
ab x y
分析：本题结论中，注意
ab x y 与 ab x y
互为倒数，它们的积为 1，可利用公式 a + b 2 ab，但要注意条件a、b为正数. 故此题应从已知条件出发，经过变形， 说明
ab x y 与 ab x y
为正数开始证题.
说明：我们在运用重要不等式a2 + b2 2ab 时，只要求 a 、 b 为实数就可以 ab 了．而运用定理：“ ”时， ab 2 必须使a、b满足同为正数． 本题通过对已知条件变形(恰当地因 式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 ab x y 与 是正还是负，这是我们今后 ab x y 解题中常用的方法．
(2) + 条件是不同的：前者只要求a，b都是实 数，而后者要求a，b都是正数． (3) 上述定理一般称为均值定理， 可推广为“n个(n > 1，n N)正数的算 术平均数不小于它们的几何平均 数”．(参看教材P24《阅读材料》)
a2
b2
ab 2ab和 ab 成立的 2
3．均值定理的几何意义是： “半径不小于半弦”．(如图) 以长为a+b的线段为直径作圆，在直 径AB上取点C，使AC=a，CB=b．过点C 作垂直于直径AB的弦DD，那么CD2 = AC CB，即CD = ab ． 这个圆的半径为 ， 显然，它不小于CD，即： ab ab ，其中当且仅当 2 点C与圆心重合；即a=b时，等号成立．
ab 2
例1 已知 a，b，c，d都是正数，求 证：(ab + cd)(ac + bd) 4abcd． (见课本P10例2)
分析： (1) 应用定理证明； (2) 研究问题与定理之间的联系； (3) 注意应用定理的条件和应用不等式 的性质． 证明：见课本P10例2．
例2 已知：(a + b)(x + y) > 2(ay + bx)， x y ab 求证： 2 ．
a 2 b2 2 2 2 a b <1 2
B．ab < 1 <
a 2 b2 D． < 2
ab < 1
a 2 b2 2
3.若a > b > 0，则下面不等式正确的 是( C ) 2ab a b a b 2ab A．a b 2 ab B． 2 a b ab
作业
1. 已知x > y > 0, xy = 1, log2 (2a+2b)
2. 已知a，b R，求证：
x2 y2 求证： 2 2. x y
3. 教材P11练习第2题、习题6.2中第3题．
4. 思考题：已知方程ax2 + bx + c = 0有一
ab2 . 2
根x1 > 0，求证：方程cx2 + bx + a = 0必有
log c a log c b 2
,
课堂练习： 5. 已知a、b、c都是正数，求证： (a + b)(b + c)(c + a) 8abc． (P11练习1)
ab 分析：可选择定理： ab 2
(a > 0 ，
b > 0)灵活变形，求得结果．
小结
1．重要不等式可以用来证明某些不 等式． 2．应用重要不等式证明不等式时, 要注意不等式的结构特征： (1) 满足定理的条件； (2) 不等式一边为和的形式，另一边 为积或常数的形式． 3．用重要不等式证明有关不等式时, 要注意与不等式性质结合．
课堂练习： 1.设b > a > 0，且a + b =1，则四个数 1 2 + b2，b中最大的是( A ) ， 2 ab ， a 2 1 2 2 A．b B．a + b C．2ab D．
2
2. 设a，b R，且a b，a + b = 2， 则必有( B ) A．1 ab C．ab <
98 2
1．重要不等式： 如果a，b R，那么a2 + b2 2ab (当且仅当a = b时取“=”号)． 注意：(1) a2+b2=2ab的充要条件是a=b； (2) “当且仅当”是充要条件的表达方 式(“当”表示条件是充分的，“仅当”表 示条件是必要的)． (3) 几何解释，如图．
2、定理: ab 如果a，b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a = b时取“=”号)． ab 说明：(1) 我们称 2 为a，b的算术平均 数，称 ab 为a，b的几何平均数． 定理可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数．
引例 某种商品分两次降价，降价的方案 有三种：方案甲是第一次9折销售，第二 次再 8折销售；方案乙是第一次 8折销售， 第二次再 9 折销售；方案丙是两次都是 98 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？
2
分析：设物价为t元，三种降价方 案的销售物价分别是： 方案甲：t 0.9 0.8 = 0.72t (元)； 方案乙：t 0.8 0.9 = 0.72t (元)；
； 霍山米Leabharlann 霍山石斛orz70msr
正怀里，跑过来扶住她的胳膊，说：“大嫂，我们就是你和大哥七年半以前曾经留宿，照顾过的那落难的仨兄妹啊！大嫂你别 激动，我们进屋里慢慢说话！”大嫂怎么能不激动呢，由耿英扶着一边往屋里走，一边就在淌眼泪了。她激动地絮叨着：“妹 子，我不是在做梦吧？我做了很多回像这样的梦呢！醒了就和你们大哥说，不知道你们到了景德镇以后怎么样了。你们那么小， 多不容易啊！”说着话，大家一起进了屋里。大哥和大嫂让兄妹三人坐下，赶快忙着沏茶。耿英对大嫂说：“嫂子你就甭忙活 了，快坐着吧，我来帮大哥沏茶！”大嫂说：“没事儿，动一动好。都是你们大哥，非要我歇着，哪里用得着呢！”屋里非常 宽敞明亮。一张颇大的八仙桌摆在起居室的中间，旁边放着六把漂亮的铜漆木椅。靠里边的一侧放了一个酒柜，另一侧摆了一 个台桌，桌上放了水罐，旁边是一盘茶具，上面盖着雪白的台布。在正面墙上还挂了一幅气势磅礴的山水画。泡上茶后，大嫂 问：“你们一直在景德镇？看来情况实在是很好呢！对啦，你们叫什么名字，家住哪里？好多的话都还没有问呢！”耿直抢先 将他感觉最重要的说了出来：“我们也姓耿，哥哥叫耿正、姐姐叫耿英、我叫耿直„„”耿英接着说：“我们是从杭州返回来 的，要回老家山西„„”看耿大业夫妇听得直瞪眼儿，耿正赶快伸手示意弟弟和妹妹都不要再说下去了。他说：“你俩这样没 头没脑地抢着说不好，让我来慢慢说给大哥大嫂听吧！对啦，我们先把带来的礼物交给大哥大嫂！”耿直听了，赶快打开放在 身边的大皮箱。耿正把红漆木匣子取出来放在八仙桌上，耿大业夫妇几乎同时问：“兄弟，你这是„„”耿正把木匣子轻轻揭 开，将里面红绸衬垫上安放着的那个制作工艺非常精美的大元宝双手捧起来，恭恭敬敬地送到大哥大嫂的面前，说：“这个元 宝是专门为大哥大嫂定制的，她既代表了我们兄妹三人的一点儿小小的心意，更表达了我们对大哥大嫂慈善仁厚高尚品德的崇 高敬意，请大哥大嫂收下！”耿大业夫妇接过来仔仔细细看过几遍，眼含热泪说：“如此贵重的礼物我们怎么可以接受呢？” 耿英说：“礼物再贵重，也比不上大哥大嫂在我们最艰难的时候，给予我们的关爱和叮嘱那样弥足珍贵！”耿直也说：“大哥 大嫂仁慈的心和语重心长的话，支撑着我们走过了那段最难的岁月，那些话我们一辈子都不会忘记！”耿大业夫妇听兄妹三人 如此说，都含泪连连点头，摇头，再点头„„耿大业说：“好，好，好，弟弟妹妹们不要说了，这份厚礼大哥大嫂收下了！今 后，我们要把她作为镇店之宝，用来勉励后人，以慈善仁厚的品德来做人和做事！”耿英又拿起四块丝绸，对耿大业夫妇说： “这四块衣料是杭州的特产，这厚实一些的大哥和大嫂各做一件长袍
引例 某种商品分两次降价，降价的方案 有三种：方案甲是第一次9折销售，第二 次再 8折销售；方案乙是第一次 8折销售， 第二次再 9 折销售；方案丙是两次都是 98 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？ 2 故降价最少的方案是丙．
方案丙：t ( )2 = 0.7225t (元)． 思考：若将问题变为第一次 a 折销 售，第二次 b 折销售．则可猜想有什么 不等式成立？
C．
2ab ab ab ab 2
D．
ab 2
2ab a b ab ab 2
4. 设a, b, c是区间(0, 1)内的三个互不相 等的实数, 且p = logc r
1 ab = logc , 2 2
,q=
则p, q, r的大小关系是( C ) A． p > q > r B．p < q < r C． r < p < q D． p < r < q
ab x y
分析：本题结论中，注意
ab x y 与 ab x y
互为倒数，它们的积为 1，可利用公式 a + b 2 ab，但要注意条件a、b为正数. 故此题应从已知条件出发，经过变形， 说明
ab x y 与 ab x y
为正数开始证题.
说明：我们在运用重要不等式a2 + b2 2ab 时，只要求 a 、 b 为实数就可以 ab 了．而运用定理：“ ”时， ab 2 必须使a、b满足同为正数． 本题通过对已知条件变形(恰当地因 式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断 ab x y 与 是正还是负，这是我们今后 ab x y 解题中常用的方法．
(2) + 条件是不同的：前者只要求a，b都是实 数，而后者要求a，b都是正数． (3) 上述定理一般称为均值定理， 可推广为“n个(n > 1，n N)正数的算 术平均数不小于它们的几何平均 数”．(参看教材P24《阅读材料》)
a2
b2
ab 2ab和 ab 成立的 2
3．均值定理的几何意义是： “半径不小于半弦”．(如图) 以长为a+b的线段为直径作圆，在直 径AB上取点C，使AC=a，CB=b．过点C 作垂直于直径AB的弦DD，那么CD2 = AC CB，即CD = ab ． 这个圆的半径为 ， 显然，它不小于CD，即： ab ab ，其中当且仅当 2 点C与圆心重合；即a=b时，等号成立．
ab 2
例1 已知 a，b，c，d都是正数，求 证：(ab + cd)(ac + bd) 4abcd． (见课本P10例2)
分析： (1) 应用定理证明； (2) 研究问题与定理之间的联系； (3) 注意应用定理的条件和应用不等式 的性质． 证明：见课本P10例2．
例2 已知：(a + b)(x + y) > 2(ay + bx)， x y ab 求证： 2 ．
a 2 b2 2 2 2 a b <1 2
B．ab < 1 <
a 2 b2 D． < 2
ab < 1
a 2 b2 2
3.若a > b > 0，则下面不等式正确的 是( C ) 2ab a b a b 2ab A．a b 2 ab B． 2 a b ab
作业
1. 已知x > y > 0, xy = 1, log2 (2a+2b)
2. 已知a，b R，求证：
x2 y2 求证： 2 2. x y
3. 教材P11练习第2题、习题6.2中第3题．
4. 思考题：已知方程ax2 + bx + c = 0有一
ab2 . 2
根x1 > 0，求证：方程cx2 + bx + a = 0必有
log c a log c b 2
,
课堂练习： 5. 已知a、b、c都是正数，求证： (a + b)(b + c)(c + a) 8abc． (P11练习1)
ab 分析：可选择定理： ab 2
(a > 0 ，
b > 0)灵活变形，求得结果．
小结
1．重要不等式可以用来证明某些不 等式． 2．应用重要不等式证明不等式时, 要注意不等式的结构特征： (1) 满足定理的条件； (2) 不等式一边为和的形式，另一边 为积或常数的形式． 3．用重要不等式证明有关不等式时, 要注意与不等式性质结合．
课堂练习： 1.设b > a > 0，且a + b =1，则四个数 1 2 + b2，b中最大的是( A ) ， 2 ab ， a 2 1 2 2 A．b B．a + b C．2ab D．
2
2. 设a，b R，且a b，a + b = 2， 则必有( B ) A．1 ab C．ab <
98 2
1．重要不等式： 如果a，b R，那么a2 + b2 2ab (当且仅当a = b时取“=”号)． 注意：(1) a2+b2=2ab的充要条件是a=b； (2) “当且仅当”是充要条件的表达方 式(“当”表示条件是充分的，“仅当”表 示条件是必要的)． (3) 几何解释，如图．
2、定理: ab 如果a，b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a = b时取“=”号)． ab 说明：(1) 我们称 2 为a，b的算术平均 数，称 ab 为a，b的几何平均数． 定理可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数．
引例 某种商品分两次降价，降价的方案 有三种：方案甲是第一次9折销售，第二 次再 8折销售；方案乙是第一次 8折销售， 第二次再 9 折销售；方案丙是两次都是 98 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？
2
分析：设物价为t元，三种降价方 案的销售物价分别是： 方案甲：t 0.9 0.8 = 0.72t (元)； 方案乙：t 0.8 0.9 = 0.72t (元)；