【新教材】人教版(2019)高一英语数学必修第一册综合检测卷

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综合试卷一-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

综合试卷一一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（）A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞）B．y＝f（x）在其定义域上为减函数C．y＝f（x）是偶函数D．y＝f（x）是奇函数3．（5分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b＞c＞0，则B．若a＞b＞0，则b2＜ab＜a2C．若a＞b＞0，则ac2＞bc2D．若a＜b＜0，则5．（5分）已知，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．（5分）设命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有的矩形都不是平行四边形B．存在一个平行四边形不是矩形C．存在一个矩形不是平行四边形D．不是矩形的四边形不是平行四边形7．（5分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣k有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[1，2]D．[1，2）8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，图象恒过（1，1）点，对任意x1＜x2，都有则不等式的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，log23）C．（﹣∞，0）∪（0，log23）D．（0，log23）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列结论正确的是（）A．是第三象限角高一年级数学学科假期作业使用日期：寒假编辑：校对：审核：B ．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为C．若角α的终边过点P（﹣3，4），则D．若角α为锐角，则角2α为钝角10．（5分）已知函数其中a＞0且a≠1，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．函数f（x）在其定义域上有零点C．函数f（x）的图象过定点（0，1）D．当a＞1时，函数f（x）在其定义域上为单调递增函数11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在[0，π]上有三个零点C ．当时，函数f（x）取得最大值D．为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小值为﹣4B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增C．函数f（|x|）为偶函数D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．14．（5分）已知tan（α﹣）＝2，则tanα＝．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x ＞0时，f（x）＝．16．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），则＝，函数g（x）的值域为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①tanα＝4，②7sin2α＝2sinα，③cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知，，cos（α+β）＝﹣，，求cosβ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4．（1）若函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，求实数k的取值范围；（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a＝3时，求函数f（x）的最大值．20．（12分）物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，x＞0），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．（12分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）．（1）当a＝时，求函数g（x）＝的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．（12分）已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos（﹣x）+cos x+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求使f（x）＜0成立的实数x的取值集合．期末综合一答案1．解：∵集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，∴集合A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，0）}．∴集合A∩B的子集个数为2．故选：C．2．解：设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x ）的图象过点，∴，∴，∴y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B 正确，∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．3．解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．解：A．∵a＞b＞c＞0，∴ab＞0，∴，∴，∴，故A不正确；B．∵a＞b＞0，∴a（a﹣b）＞0，b（a﹣b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故B正确；C．由a＞b＞0，取c＝0，则ac2＞bc2，故C错误；D．∵a＜b＜0，∴，故D错误．故选：B．5．解：∵a＝tan＝tan （+）＝＝2+＞2，b＝cos＝cos （+）＝﹣sin＜0，c＝cos （﹣）＝cos ＝＜1，∴a＞c＞b．故选：D．6．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为：存在一个矩形不是平行四边形．故选：C．7．选：A．8．解：由题意可得f（1）＝1，对任意x1＜x2，都有，则f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1即f（x1）+x1＜f（x2）+x2，令g（x）＝f（x）+x，则可得g（x）在R单调递增，且g（1）＝2，由可得，g[log2（2x﹣1）]＜g（1），故，解可得，0＜x＜log23．故选：D．9．解：对于A ：是第而二象限角，所以A不正确；对于B ：若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为：＝．所以B正确；对于C：若角α的终边过点P（﹣3，4），则，所以C正确；对于D：若角α为锐角，则角2α为钝角，反例α＝1°，则2α＝2°是锐角，所以D不正确；故选：BC．10．解：函数其中a＞0且a≠1，由于f（﹣x）＝﹣f（x），且x∈R，所以函数为奇函数．当x ＝0时，f（0）＝0，所以函数在其定义域上有零点，当当a＞1时，函数中都为整函数，故在其定义域上为单调递增函数．故选：ABD．11．解：T ＝＝＝π，故A正确；令f（x）＝0，2x +＝kπ，当x∈[0，π]时，x ＝，，故B不正确；当x ＝时，f（x ）＝取得最大值，故C正确；为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），故D错误；故选：AC．12．解：二次函数f（x）在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f（1）＝﹣4，故选项A正确；二次函数f（x）的对称轴为x＝1，其在（0，+∞）上有增有减，故选项B错误；由f（x）得，f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3，显然f（|x|）为偶函数，故选项C正确；令h（x）＝f（|x﹣1|）＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣3，方程f（|x﹣1|）＝a 的零点转化为y＝h（x）与y＝a的交点，作出h（x）图象如右图所示：图象关于x＝1 对称，当y＝h（x）与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1+x2+x3+x4＝4，故选项D正确．故选：ACD．13．解：原式＝．故答案为：．14．解：∵tan（α﹣）＝tan（α﹣）＝＝2，则tanα＝﹣3，故答案为：﹣3．15．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x（x+1）．故答案为：﹣x（x+1）．16 .f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），g （）＝f （﹣[]）＝f （）＝f （）＝2，由g（x）＝2x﹣[x]，[x]∈（x﹣1，x]，x﹣[x]∈[0，1），所以g（x）∈[1，2），故答案为：；[1，2）．四、解答题17．解：方案一：选条件①解法一：因为，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得或因为，所以．因为，由平方关系sin2（α+β）+cos2（α+β）＝1，解得．因为，所以0＜α+β＜π，所以，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．解法二：因为，所以点在角α的终边上，所以，．以下同解法一．方案二：选条件②因为7sin2α＝2sinα，所以14sinαcosα＝2sinα，因为，所以sinα≠0，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得．因为，所以．以下同方案一的解法一．方案三：选条件③因为，所以由平方关系sin2α+cos2α＝1，得．因为，所以．以下同方案一的解法一．①18．解：（1）由函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4知，函数f（x）图象的对称轴为x＝1﹣k．因为函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，所以1﹣k≤2或1﹣k≥4，解得k≤﹣3或k≥﹣1，所以实数k的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）．（2）解法一：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则△＜0，所以4（k﹣1）2﹣16＜0，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的取值范围为（﹣1，3）．解法二：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则f（x）min ＞0，所以，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的为（﹣1，3）．19．解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣3＜x＜3．所以函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．（2）函数f（x）为偶函数．理由如下：因为∀x∈（﹣3，3），都有﹣x∈（﹣3，3），且f（﹣x）＝log a（3+x）+log a（﹣x+3）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）＝f（x），所以f（x）为偶函数．（3）当a＝3时，f（x）＝log3（3﹣x）+log3（x+3）＝log3[（3﹣x）（x+3）]＝．令t＝9﹣x2，且x∈（﹣3，3），易知，当x＝0时t＝9﹣x2取得最大值9，此时取得最大值log39＝2，所以函数f（x）的最大值为2．20．解：设，其中x＞0，当x＝9时，，解得k＝20，m＝0.8，所以，y2＝0.8x，设两项费用之和为z（单位：万元）则＝＝7.2当且仅当，即x＝4时，“＝”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．21．解：（1）当时，函数，要使根式有意义，只需，所以，化简得3x≥3＝31，解得x≥1，所以函数g（x）的定义域为[1，+∞）；（2）函数f（x）在定义域R上为增函数．证明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，则＝，由x1＜x2，可知，则，又因为，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f （x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域R上为增函数．22．解：（1）∵＝＝＝＝．（1）函数f（x）的最大值为2+a＝1，所以a＝﹣1．（2）对于函数f（x），由，解得，所以f（x）的单调递增区间为．（3）由（1）知．因为f（x）＜0，即．∴，∴．所以，所以使f（x）＜0成立的x的取值集合为．。

高中数学人教A版(2019)必修一综合测试卷

高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|x2<1}，集合B={x|log2x<0}，则A∩B=（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−1,1)D．(−∞,1) 2．（2分）已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sin2α=（）A．√32B．−√32C．−12D．−√343．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．−14B．14C．−2D．24．（2分）由y=2sin(6x−16π)的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y=2sin(3x−16π)B．y=2sin(3x+16π)C．y=2sin(3x−112π)D．y=2sin(12x−16π)5．（2分）若sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=（）．A．−78B．−14C．14D．786．（2分）已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m 的取值范围（）A．(0, 12)B．(12,1]C．(0,1]D．（0,1）7．（2分）对于函数f（x）=x3cos3（x+ π6），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递减8．（2分）若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则f(x)+f(−x)2x<0的解集为（）A．(－3,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)．9．（2分）已知函数f(x)={x2,x≤0lg(x+1),x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．(−∞,9)D．(−∞,−1)∪(9,+∞)10．（2分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意正实数x1,x2(x1≠x2)，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2﹥0 ，则一定有（）A．f(3)>f(−5)B．f(−3)<f(−5)C．f(−5)>f(3)D．f(−3)>f(−5)11．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞，0)上单调递减，若a=f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a12．（2分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上,则φ的取值范围是()A．(π6,π4]B．(π12,π4]C．(π6,π2)D．(π12,π2)二、填空题(共4题；共4分)13．（1分）若a>0，b>0，a+2b=1，则1a+a+1b的最小值为.14．（1分）若函数f(x)={log2x,x>0−2x−a,x≤0有且只有一个零点，则a的取值范围是．15．（1分）设f(x)是定义在[−2b，3+b]上的偶函数，且在[−2b，0]上为增函数，则f(x−1)≥f(3)的解集为.16．（1分）下列命题中：①已知函数y=f(2x+1)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x)的定义域为[1,3]；②若集合A={x|x2+kx+4=0}中只有一个元素，则k=±4；③函数y=11−2x在(−∞,0)上是增函数；④方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是1.所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.三、解答题(共6题；共65分)17．（10分）若集合A＝{x ∈R| x2−x−12≤0}和B＝{ x ∈R|2m－1≤x≤m＋1}．（1）（5分）当m=−3时，求集合A∪B.（2）（5分）当B∩A=B时，求实数m的取值范围．18．（10分）（1）（5分）计算(lg14−lg25)÷10012的值；（2）（5分）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19．（10分）已知函数f(x)=a(sin2x−π6)−a+b(a，b∈R，且a<0).（1）（5分）若当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[−5，1]，求实数a，b的值；（2）（5分）在（1）条件下，求函数f(x)图像的对称中心.20．（15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3)，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）若g(x)=f(x)−(2t−4)x在区间[−1,2]上有最小值2，求实数t的值；（3）（5分）设ℎ(x)=mx2−4x+m，若当x∈[−1,2]时，函数y=ℎ(x)的图象恒在y= f(x)图象的上方，求实数m的取值范围.21．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0 ， 8]，不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立，命题q：存在x∈(0 ， 2π3)，使不等式2sin2x+2sinxcosx≤√2m(sinx+cosx)成立．（1）（5分）若p为真命题，求m的取值范围；（2）（5分）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（10分）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x （1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f(x)+x①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】根据题意：集合 A ={x|−1<x <1} ，集合 B ={x|0<x <1} ， ∴A ∩B =(0,1)故答案为： A ．【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.2．【答案】B【解析】【解答】角 α 的终边经过点p （﹣1， √3 ），其到原点的距离r =√1+3= 2Cos α=−12 ，sin α=√32∴sin2α=2 sin α cos α=2×（−12）×√32=−√32.故答案为：B ．【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．3．【答案】B【解析】【解答】设幂函数的表达式为 f(x)=xn，则 (12)n =√22，解得 n =12 ，所以 f(x)=x 12 ，则 log 4f(2)=log 4212=12log 2212=12×12=14.故答案为：B.【分析】利用幂函数图象过点 (12,√22) 可以求出函数解析式，然后求出 log 4f(2) 即可。

新教材高一数学必修第一册单元测试卷(人教A版2019)(解析版)

高一数学必修一第一册提优卷第三章《函数的概念与性质》（一）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，表示同一个函数的是（） A ．2yx 与()4y x =B ．11y x x =+⋅-与21y x =-C ．xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ D ．2yx 与2S a =2．函数1()2x f x x -=-的定义域为（） A ．[1,2)(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[)1,2D ．[1,)+∞3.已知幂函数()f x 的图像经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列正确的是（）A. ()()f x f x -=B. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦ （其中12x x ≠）C. ()()f x f x -=-D. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦（其中12x x ≠）4．己知函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，，则函数()y f x ＝－的定义域为（） A ．[]3,0-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[2,1]-5. （2020天津卷）.函数241xy x =+的图象大致为（） A BC. D ．6．函数26,[1,2]()7,[1,1)x x f x x x ⎧+∈=⎨+∈-⎩，则()f x 的最大值和最小值分别为（）A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．10，77．若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-8. 已知()f x 是定义在R 上的增函数，若()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ，则满足()111f x -<+<的x 的取值范围是（）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()1,4-D ．()1,1-9．若函数()245f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则()1f 的最小值是（） A ．7-B ．7C ．25-D ．2510．函数y ＝f(x)是定义在R 上的减函数，则函数f(|x ＋2|)的单调减区间是( ) A ．RB ．(－∞，2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)11．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.12．已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（）A ．(11]－， B．(1,1-+ C．[1)++∞D．(1,1][1)-⋃++∞二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知(21)65f x x +=+，则()f x =________14．已知函数f(x)＝3020x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩－，，，，则f[f(－1)]等于________．15．已知21)65()(2--=x x x f ，则()f x 的单调递增区间为________．16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：()[]f x x x =-，在下列命题正确的是________．①(0.8)0.2f -=；②当12x ≤<时，()1f x x =-；③函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)； ④函数()f x 是增函数，奇函数．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数1()7f x x - ⑴求函数的定义域； ⑵求(11)f ，54f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；⑶ 当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．18．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x ＝－. (1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()12xf x ≤-的解集. 19．（12分）已知f(x)在R 上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x －(1)求f(x)； (2)求函数y ＝f(x)＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．20．（12分）已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．21.（12分）某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）； (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102 kg ，时间单位：天)22．（12分）已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．高一数学必修一第一册提优卷解析第三章《函数的概念与性质》（一）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，表示同一个函数的是（） A ．2yx 与4y x =B ．11y x x =+-21y x =-C ．xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩D ．2yx 与2S a =【答案】D 【解析】对于A ，2y x 的定义域为R ，4y =的定义域为{}0x x ≥，定义域不同，故不为同一函数；对于B ，y ={}1x x ≥，y ={}11x x x ≥≤-或，定义域不同，故不为同一函数；对于C ，xy x =定义域为{}0x x ≠，()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为R ，定义域不同，故不为同一函数；对于D ，2yx 与2S a =定义域和对应法则完全相同，故选D.2．函数()2f x x =- ） A ．[1,2)(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[)1,2D ．[1,)+∞【答案】A【解析】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x≥1且x≠2，故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），故选：A ．3.已知幂函数()f x 的图像经过点2,2⎛ ⎝⎭，则下列正确的是（） A. ()()f x f x -= B. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦ （其中12x x ≠） C. ()()f x f x -=- D. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦（其中12x x ≠）【答案】D 【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点2,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴2α=2=122- 解得α=12-，∴f （x ）=12x -； ∴f （x ）在R 递减，故选：D ．4．己知函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，，则函数()y f x ＝－的定义域为（）A ．[]3,0-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[2,1]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，由-1≤x ≤2，得，0≤x+1≤3 所以()y f x =的定义域是[0,3]，由0≤-x ≤3 得30x -≤≤.所以()y f x =-的定义域为[3,0]-.故选： 5. （2020天津卷）.函数241xy x =+的图象大致为（） A BC. D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.6．函数26,[1,2]()7,[1,1)x x f x x x ⎧+∈=⎨+∈-⎩，则()f x 的最大值和最小值分别为（）A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．10，7【答案】A【解析】由题意得，当12x ≤≤时，7()10f x ≤≤；当11x -≤<时，6()8f x ≤<，所以函数()f x 的最大值为10，最小值为6．7．若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，∴22()()(2)2f x f x x x x x =--=-+=--，又0x <时，2()f x x ax =-+，∴2a =-．8. 已知()f x 是定义在R 上的增函数，若()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ，则满足()111f x -<+<的x 的取值范围是（）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()1,4-D ．()1,1-【答案】B 【解析】∵()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ， ∴()21f -=-，()31f =，又∵()f x 是定义在R 上的增函数，∴()111f x -<+<等价于()()()213f f x f -<+<，即213x -<+<，解得32x -<<，即不等式的解集为()3,2-，故选B.9．若函数()245f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则()1f 的最小值是（）A ．7-B ．7C ．25-D ．25【答案】D 【解析】函数()245f x x mx =-+开口向上，对称轴为8m x =，由函数在区间[)2,-+∞上是增函数可得28m≤-，即16m ≤-， ∴()()145916925f m m =-+=-+≥--+=． ∴()1f 的最小值是25，故选D ．10．函数y ＝f(x)是定义在R 上的减函数，则函数f(|x ＋2|)的单调减区间是( ) A ．RB ．(－∞，2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)【答案】C【解析】∵t ＝|x ＋2|的单调增区间为[－2，＋∞)，而f(x)在R 上是减函数，∴f(|x ＋2|)的单调减区间为(－2，＋∞)．11．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.12．已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（） A ．(11]－，B ．(1,1-+C ．[1)++∞D ．(1,1][1)-⋃++∞【答案】D 【解析】()f x 的图象如下图：对称轴为1,(1)4x f ==，令2234x x --=，得122x =±. 因为(1)0f -=，所以数形结合可得11m -<或122m +. 故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知(21)65f x x +=+，则()f x =________ 【答案】32x +【解析】函数(21)653(21)2f x x x +=+=++，()32f x x ∴=+，故答案为：32x +14．已知函数f(x)＝3020x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩－，，，，则f[f(－1)]等于________．【答案】2【解析】∵f(－1)＝－(－1)3＝1， ∴f[f(－1)]＝f(1)＝2.15．已知21)65()(2--=x x x f ，则()f x 的单调递增区间为________．【答案】[6,)+∞ 【解析】∵2()56f x x x =--，∴2560x x --≥，求得1x ≤-或6x ≥，故函数的定义域为{|1x x ≤-或6}x ≥，由题即求函数256y x x =--在定义域内的增区间，由二次函数的性质可得函数256y x x =--在定义域内的增区间为[6,)+∞．16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：()[]f x x x =-，在下列命题正确的是________．①(0.8)0.2f -=；②当12x ≤<时，()1f x x =-；③函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)； ④函数()f x 是增函数，奇函数．【答案】①②③【解析】()[]f x x x =-表示数x 的小数部分，则(0.8)(10.2)0.2f f -=-+=①正确，当12x ≤<时，()[]1f x x x x =-=-，②正确，函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)，③正确，当01x ≤<时，()[]f x x x x =-=；当12x ≤<时，()1f x x =-，当0.5x =时，(0.5)0.5f =；当 1.5x =时，(1.5)0.5f =，则(0.5)(1.5)f f =，即有()f x 不为增函数，由( 1.5)0.5f -=，(1.5)0.5f =，可得( 1.5)(1.5)f f -=，即有()f x 不为奇函数，④错误．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数1()7f x x - ⑴求函数的定义域； ⑵求(11)f ，54f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；⑶ 当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．【解析】：⑴使根式有意义的实数x 的集合是{}5x x -≥，使分式17x -有意义的实数x 的集合是{}7x x ≠，∴{}57x x x -≠≥且；⑵117(11)444f =+=，51107544674f ⎛⎫==⎪⎝⎭-；⑶因为0a >，所以(),(1)f a f a -有意义，1()7f a a =-，11(1)178f a a a -==--- 18．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x ＝－.(1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()12x f x ≤-的解集. 【答案】（1）3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】（1）若0x <，则0x ->.因为当0x >时.()3f x x =-，所以()3-=--f x x因为()f x 是奇函数，所以()()3f x f x x =--=+.因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =.故3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）当0x <时，()312x f x x =+≤-，解得43x - 当0x =时，0(0)012f =<-，则0x =是不等式()12x f x ≤-的解；当0x >时，()312x f x x =--. 解得83x ≤. 又0x >，所以803x <≤. 故原不等式的解集为48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦19．（12分）已知f(x)在R 上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x －(1)求f(x)；(2)求函数y ＝f(x)＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．【答案】(1) f(x)＝－2x ＋1. (2) 最大值为5，最小值为－54 . 【解析】(1)由题意可设()()0f x ax b a ＝＋，＜，由于()()41f f x x ＝－，则a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，故241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得2 1.a b ＝－，＝故()21f x x +＝－.(2)由(1)知，函数()2222131y f x x x x x x x x =+-=-++-=-+ 故函数y ＝x 2－3x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝，则函数()2y f x x x =+-在上为减函数，在上为增函数．又由f ＝－()()1521f f ，－＝，＝－，则函数()2y f x x x =+-在x ∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－.20．（12分）已知函数f(x)=xa x x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】(1)27(2) a ＞－3 【解析】 (1)当a=21时，f(x)=x ＋x 21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f(x 2)－f(x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f(x 2)＞f(x 1) 可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=x a x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y=x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y=(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a ＞－3．21.（12分）某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102 kg ，时间单位：天)【答案】(1) g （t ）＝1200 （t －150）2＋100 0≤t ≤300(2) t ＝50【解析】：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f （t ）＝⎩⎨⎧300－t （0≤t ≤200）2t －300（200＜t ≤300）由图二可得种植成本间接函数关系式为g （t ）＝1200 （t －150）2＋100 0≤t ≤300(2)设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－ｇ（t ）即h （t ）＝⎩⎨⎧－1200 t 2＋12 t ＋1752 （0≤t ≤200）－1200 t 2＋27 t －10252 （200＜t ≤300）当0≤t ≤200时，得h （t ）＝－1200 （t －50）2＋100∴当t ＝50时，h(t)取得在t ∈[0，200]上的最大值100当200＜t ≤300时，得h （t ）＝－1200 （t －350）2＋100∴当t ＝300时，h （t ）取得在t ∈（200，300]上的最大值87.5综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t ∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.22．（12分）已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23. (1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）最大值为2，最小值为－4【解析】(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1、x2∈R，且x1＞x2，则x1－x2＞0，于是f(x1－x2)＜0.从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＜0.所以f(x)为减函数．(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4。

期末复习综合测试题(1)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

模块一测试题一一．选择题（共10小题）1．设集合2{|10}A x x =-=，则( ) A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1-，1}A ∈2．命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．1a <B ．2aC ．3aD ．4a3．若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围( ) A ．[4-，3]-B ．(,4)-∞-C ．[4-，)+∞D ．[4-，0]4．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为1x ，2x ，则1212ax x x x ++的最小值为( ) A ．8B ．6C ．4D ．25．已知动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C．D ．46．设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，若2020m n +=，(2)(2)2m n f f -+-=，则(a = ) A ．1011 B ．1009C ．1009-D ．1011-7．已知(2πθ∈-，0)，且3cos2cos()02πθθ++=，则sin()(4πθ+= ) ABCD8．已知函数()sin()cos()(06f x x x πωϕωϕω=++++>，0)3πϕ-<<，若点11(12π，0)为函数()f x 的对称中心，直线6x π=为函数()f x 的对称轴，并且函数()f x 在区间4(3π，3)2π上单调，则(2)(f ωϕ= )A ．1-B ．3C ．12 D ．12-二．多选题（共4小题）9．设集合{|4}x M y y e ==-+，{|[(2)(3)]}N x y lg x x ==+-，则下列关系正确的是( )A ．R RM N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =∅D ．RN M ⊆10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD ．下面不能由OD CD 直接证明的不等式为( )A (0,0)2a baba b +>> B 2(0,0)ababa b a b>>+C ．222(0,0)a bab a b +>>D ．22(0,0)22a b a b a b ++>> 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x 时，2()2f x x x =+，则可作为方程()(1)f x f x =-实根的有( )A 13-- B ．12C 13-+D 33+ 12．给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A ．sin()sin παα+=-成立的条件是角α是锐角B ．若1cos()()3n n Z πα-=∈，则1cos 3α=C ．若()2Z πα≠∈，则1tan()2tan παα-+=D ．若sin cos 1αα+=，则sin cos 1n n αα+= 三．填空题（共4小题）13．对于正数a ，a a a 可以用有理数指数幂的形式表示为．14．若函数12|1|log (1),1021,0x x x y x m---<⎧⎪=⎨⎪-⎩的值域为[1-，1]，则实数m 的取值范围为．15．已知22log log 16sincos1212a b ππ+=⋅，则a b +的最小值为．16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ，则a 的最大值为．四．解答题（共8小题）17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：)m ，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？18．已知a ，(0,)b ∈+∞，且24a 2b =．（Ⅰ）求21a b+的最小值；（Ⅱ）若存在a ，(0,)b ∈+∞，使得不等式21|1|3x a b-++成立，求实数x 的取值范围．19．已知函数212log (1)&0()log (1)&0x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数1x 、2x ，且120x x +>，求证：12()()0f x f x +>；（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 取值范围．20．已知函数()sin (cos )f x x x x =+．（1）求()3f π的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若[12x π∀∈，]2π，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合．21．已知函数()sin()(0f x A x B A ωϕ=++>，0ω>，||)2πϕ<在一个周期内的最高点和最低点分别为(2,1)，(8,3)-．（1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()f x 在区间[0，6]的最大值和最小值；（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6tπ倍(0)t >，纵坐标不变，再向上平移1个单位得到()y g x =的图象．若函数()y g x =在[0，]π内恰有4个零点，求t 的取值范围．22．已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求()3f π的值；（2）求函数()y g x =的解析式；（3）若0()2x f =0()g x ．模块一测试题一参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．设集合2{|10}A x x =-=，则( ) A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1-，1}A ∈【分析】根据题意，用列举法表示集合A ，据此判断各选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，2{|10}{1A x x =-==-，1}，对于A ，A ∅⊆，A 错误，对于B ，1A ∈，B 正确，对于C ，{1}A -⊆，C 错误，对于D ，{1-，1}A =，D 错误，故选：B ．【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及集合的表示方法，属于基础题． 2．命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．1a <B ．2aC ．3aD ．4a【分析】求出函数恒成立的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若[1x ∀∈，2]，220x a -恒成立，则2(2)2min a x =，故命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的充要条件是2a ，而(-∞，1)(⊆-∞，2]，故命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是1a <，故选：A ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及函数恒成立问题，是一道基础题．3．若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围( ) A ．[4-，3]-B ．(,4)-∞-C ．[4-，)+∞D ．[4-，0]【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--，当14x 时，4()0f x - 则40m -，故选：D ．【点评】本题主要考查命题真假的应用，利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命题是解决本题的关键．难度中等．4．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为1x ，2x ，则1212ax x x x ++的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】由韦达定理求出124x x a +=，212x x a =，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：由题意得：124x x a +=，212x x a =，故1212114244a x x a a x x a a ++=+⋅=，当且仅当12a =时“=”成立，故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 5．已知动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．D ．4【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分，所以124a b+=，由基本不等式122424a b a b=+，解得2ab ，当且仅当1242a b ==时，等号成立，故ab 的最大值为2．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：基本不等号式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，若2020m n +=，(2)(2)2m n f f -+-=，则(a = ) A ．1011B ．1009C ．1009-D ．1011-【分析】在函数()y f x =的图象上取点(,)x y ，则关于直线y x =-对称点为(,)y x --，代入2x a y +=，结合题目条件可得答案．【解答】解：因为函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，令(2)m f p -=，(2)n f q -=，则2p q +=；故(p -，2)m ，(q -，2)n 在2x a y +=的图象上，所以22m p a -+=，22n q a -+=，即m p an q a =-+⎧⎨=-+⎩，两式相加得()2m n p q a +=-++，所以2202022022a m n p q =+++=+=，解得1011a =，故选：A ．【点评】本题考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7．已知(2πθ∈-，0)，且3cos2cos()02πθθ++=，则sin()(4πθ+= )A B C D 【分析】由已知结合二倍角公式可先求sin θ，进而可求cos θ，然后结合两角和的正弦公式可求．【解答】解：因为(2πθ∈-，0)，且3cos2cos()02πθθ++=，所以cos2sin 0θθ+=，即22sin sin 10θθ-++=，解得，sin 1θ=（舍)或1sin 2θ=-，所以cos θ=则sin()cos )4πθθθ+=+=故选：A ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角平方关系，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础题．8．已知函数()sin()cos()(06f x x x πωϕωϕω=++++>，0)3πϕ-<<，若点11(12π，0)为函数()f x 的对称中心，直线6x π=为函数()f x 的对称轴，并且函数()f x 在区间4(3π，3)2π上单调，则(2)(f ωϕ= )A ．1- BC ．12 D ．12-【分析】利用两角和差和辅助角公式化简函数函数()sin()cos()sin()63f x x x x ππωϕωϕωϕ=++++=++，再利用三角函数的单调性、周期性和对称性可得2(21)3ω=+，N ∈．66l ππϕωπ=-+，I Z ∈．又因为03πϕ-<<，且06ω<．解得解得：26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即4(33ππϕ++，3)(3236πππωϕπ++=-，3)6ππ+符合单调性条件，所以函数()sin(2)6f x x π=+，即可得21(2)()32f f πωϕ=-=．【解答】解：函数()sin()cos()sin()63f x x x x ππωϕωϕωϕ=++++=++，并且函数()f x 在区间4(3π，3)2π上单调，因此62T ππω=，所以06ω<．又因为点11(12π，0)为函数()f x 的对称中心，直线6x π=为函数()f x 的对称轴，因此113126442T Tπππ-==+，N ∈，所以2321T ππω==+，解得2(21)3ω=+，N ∈．将6x π=代入函数()f x 时函数有最值，即632m πππωϕπ++=+，m Z ∈，即66m ππϕωπ=-+，m Z ∈．又因为03πϕ-<<，且06ω<．解得：26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即4(33ππϕ++，3)(3236πππωϕπ++=-，3)6ππ+符合单调性条件，所以函数()sin(2)6f x x π=+，则21(2)()32f f πωϕ=-=，故选：C ．【点评】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、二倍角公式，考查推理论证能力和运算求解能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养．二．多选题（共4小题）9．设集合{|4}x M y y e ==-+，{|[(2)(3)]}N x y lg x x ==+-，则下列关系正确的是( )A ．R RM N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =∅D ．RN M ⊆【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合A ，由对数函数的性质即真数大于0，解一元二次不等式得到集合B ，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案．【解答】解：集合{|4}{|4}(,4)x M y y e y y ==-+=<=-∞，集合{|[(2)(3)]}{|(2)(3)0}{|(2)(3)0}(2N x y lg x x x x x x x x ==+-=+->=+-<=-，3)，N M ∴⊆，即RM RN C C ⊆，故选：AB ．【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题． 10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD ．下面不能由OD CD 直接证明的不等式为( )A ．(0,0)2a baba b +>> B ．2(0,0)ababa b a b>>+C ．222(0,0)a bab a b +>>D ．22(0,0)22a b a b a b ++>> 【分析】由题意得，1()2OD a b =+，然后结合射影定理可得，2CD AC BC ab =⋅=，从而可判断．【解答】解：因为AC a =，BC b =，所以1()2OD a b =+，由题意得，90ADB ∠=︒，由射影定理可得，2CD AC BC ab =⋅=，由OD CD ，得1()2a b ab +，当且仅当a b =时取等号，A 正确，B ，C ，D 不正确．故选：BCD ．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理，属于基础题．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x 时，2()2f x x x =+，则可作为方程()(1)f x f x =-实根的有( )AB ．12CD【分析】由已知求得函数解析式，得到(1)f x -，进一步写出分段函数()()(1)g x f x f x =--，求解方程()0g x =得答案．【解答】解：()()0f x f x -+=，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()2f x x x =+，设0x >，则0x -<，得2()2()f x x x f x -=-=-，即2()2f x x x =-+．222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+∴=⎨-+>⎩，则221,1(1)2,1x x f x x x x ⎧-+<-=⎨-+⎩，令22263,1()()(1)21,01221,0x x x g x f x f x x x x x x ⎧-+-⎪=--=-<<⎨⎪+-⎩，当()0g x =时，解得x =或12x =或x =．故选：ABD ．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．12．给出下列四个结论，其中正确的结论是( )A ．sin()sin παα+=-成立的条件是角α是锐角B ．若1cos()()3n n Z πα-=∈，则1cos 3α=C ．若()2Z πα≠∈，则1tan()2tan παα-+=D ．若sin cos 1αα+=，则sin cos 1n n αα+=【分析】由诱导公式二即可判断A ；分类讨论，利用诱导公式即可判断B ；利用同角三角函数基本关系式即可判断C ；将已知等式两边平方，可得sin 0α=，或cos 0α=，分类讨论即可判断D ．【解答】解：由诱导公式二，可得R α∈时，sin()sin παα+=-，故A 错误；当2n =，Z ∈时，cos()cos()cos n πααα-=-=，此时1cos 3α=，当21n =+，Z ∈时，cos()cos[(21)]cos()cos n παπαπαα-=+-=-=-，此时1cos 3α=-，故B 错误；若2πα≠，Z ∈，则sin()cos 12tan()2sin tan cos()2παπααπααα++===--+，故C 正确；将sin cos 1αα+=，两边平方，可得sin cos 0αα=，所以sin 0α=，或cos 0α=，若sin 0α=，则cos 1α=，此时22sin cos 1αα+=；若cos 0α=，则sin 1α=，此时22sin cos 1αα+=，故sin cos 1n n αα+=，故D 正确．故选：CD ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．对于正数a可以用有理数指数幂的形式表示为 78a ．【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【解答】解：原式7111311317182222224242(())(())()()a a a a a a a a a =⋅==⋅==．故答案为：78a ．【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．14．若函数12|1|log (1),1021,0x x x y x m---<⎧⎪=⎨⎪-⎩的值域为[1-，1]，则实数m 的取值范围为 [1，2] ．【分析】可求出10x -<时，10y -<，然后根据原函数的值域为[1-，1]可得出0x m 时，0|1|1x -，01y ，这样即可求出m 的范围．【解答】解：10x -<时，112x <-，121(1)0log x --<，且原函数的值域为[1-，1]，0x m ∴时，0|1|1x -，即02x ， 12m ∴，m ∴的取值范围为：[1，2]．故答案为：[1，2]．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于中档题．15．已知22log log 16sincos1212a b ππ+=⋅，则a b +的最小值为 8 ．【分析】由已知结合对数的运算性质及二倍角公式进行化简可求ab ，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为22log log 16sincos8sin412126a b πππ+=⋅==，所以2log 4ab =，故16ab =，则28a b ab +=，当且仅当4a b ==时取等号，a b +的最小值8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，二倍角公式及基本不等式，属于基础题． 16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ，则a 的最大值为98π．．【分析】分a 在不同区间进行讨论，得出符合条件的a 取值范围，即可求得a 的最大值．【解答】解：当[0a ∈，]2π时，2[0a ∈，]π，[0,]sin a M a =，[,2]1a a M =，由[0,][,2]2a a a M M ，得sin 2a，此时不成立；当[2a π∈，]π时，2[a π∈，2]π，[0,]1a M =，[,2]sin a a M a =，由[0,][,2]2a a a M M ，得12sin a ，即2sin a ，所以34a ππ；当[a π∈，3]2π时，2[2a π∈，3]π，[0,]1a M =，[,2]sin 2a a M a =或1，由[0,][,2]2a a a M M ，得12sin 2a ，即2sin 2a且222a ππ+，解得98a ππ；当3[2a π∈，)+∞时，2[3a π∈，)+∞，[0,]1a M =，[,2]1a a M =，不合题意．综上，a 得最大值为98π．故答案为：98π．【点评】本题主要考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题．四．解答题（共8小题）17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：)m，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为1200mx，人行道占地面积为12007200(6)(8)1200848S x xx x=++-=++，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为1200mx，人行道占地面积为120072007200(6)(8)1200848284896S x x xx x x=++-=++⋅=，当且仅当72008xx=，即30()x m=时取等号，296()minS m=，此时120040()mx=，所以矩形停车场的南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是2528m．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．18．已知a，(0,)b∈+∞，且24a2b=．（Ⅰ）求21a b+的最小值；（Ⅱ）若存在a，(0,)b∈+∞，使得不等式21|1|3xa b-++成立，求实数x的取值范围．【分析】()I由已知结合指数的运算性质可得，21a b+=，然后结合2121()(2)a ba b a b+=++，展开后利用基本不等式可求，()II 存在a ，(0,)b ∈+∞，使得21|1|3x a b-++成立，则结合()I 得|1|34x -+成立，解不等式可求．【解答】解：因为a ，(0,)b ∈+∞，且24a 222b a b +==，所以21a b +=，212144()()(2)4428b a b I a b a b a b a b a +=++=+++=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即14b =，12a =时取等号，故21a b+的最小值8， ()II 由21()I a b+的最小值4，又存在a ，(0,)b ∈+∞，使得21|1|3x a b-++成立，所以|1|34x -+>，所以|1|1x ->，解得，2x >或0x <，故x 的范围{|2x x >或0}x <．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化关系的应用，属于中档题．19．已知函数212log (1)&0()log (1)&0x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数1x 、2x ，且120x x +>，求证：12()()0f x f x +>；（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 取值范围．【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；（2）证明函数2log (1)y x =+在[0，)+∞上是严格增函数，结合函数的奇偶性可得12(1)y log x =-在(,0)-∞上也是严格增函数，从而()y f x =在R 上是严格增函数，由120x x +>，即可证明12()()0f x f x +>；（3）由（1）知，()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=，把原方程有两个不等正根转化为关于a 的不等式组求解．【解答】解：（1）2(0)log (10)0f =+=．当0x >时，0x -<，有122()[1()](1)()f x log x log x f x -=--=-+=-，即()()f x f x -=-．当0x <时，0x ->，有212()[1()](1)()f x log x log x f x -=+-=--=-，即()()f x f x -=-．综上，函数()f x 是R 上的奇函数；证明：（2）函数2log y x =是(0,)+∞上的严格增函数，函数1u x =+在R 上也是严格增函数，故函数2log (1)y x =+在[0，)+∞上是严格增函数．由（1）知，函数()y f x =在R 上为奇函数，由奇函数的单调性可知，12(1)y log x =-在(,0)-∞上也是严格增函数，从而()y f x =在R 上是严格增函数．由120x x +>，得12x x >-，122()()()f x f x f x ∴>-=-，即12()()0f x f x +>；解：（3）由（1）知，()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=．令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>，于是，原方程有两个不等正根等价于：关于t 的方程23()04t at a -+-=有两个不等的正根．即234()04034a a a a ⎧=-->⎪⎪>⎨⎪⎪->⎩⇔1,3034a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪>⎩或⇔314a <<或3a >．因此，实数a 的取值范围是3(4，1)(3⋃，)+∞．【点评】本题考查函数奇偶性的判定及应用，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，是中档题．20．已知函数()sin (cos )f x x x x =+．（1）求()3f π的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若[12x π∀∈，]2π，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求()3f π的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；（2）求出()f x 在[12π，]2π上的值域，根据题意列出不等式组即可解出m 的范围．【解答】解：（1）211cos2()sin (cos )sin cos sin 2sin(2)223x f x x x x x x x x x π-====-，()sin(2)sin 3333f ππππ∴=⨯-==，令222232x πππππ-+-+，解得51212xππππ-++，Z ∈．()f x ∴的单调递增区间是[12ππ-+，5]12ππ+，Z ∈．（2）[12x π∈，]2π，可得2[36x ππ-∈-，2]3π，∴当232x ππ-=时，()f x 取得最大值1，当236x ππ-=-时，()f x 取得最小值12-． ()2m f x m <<+恒成立，∴1221m m ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112m -<<-．∴实数m 的取值范围是1(2-，1)-．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．21．已知函数()sin()(0f x A x B A ωϕ=++>，0ω>，||)2πϕ<在一个周期内的最高点和最低点分别为(2,1)，(8,3)-．（1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()f x 在区间[0，6]的最大值和最小值；（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6tπ倍(0)t >，纵坐标不变，再向上平移1个单位得到()y g x =的图象．若函数()y g x =在[0，]π内恰有4个零点，求t 的取值范围．【分析】（1）由最值求出A 、B ，由周期求ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（3）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的性值，求得t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，1A B +=，3A B -+=-，故2A =，1B =-．12822πω⋅=-，6πω∴=．根据五点法作图，262ππϕ⨯+=，6πϕ∴=，()2sin()166f x x ππ=+-．（2）[0x ∈，6]，∴7[]6666x ππππ+∈，故当662x πππ+=时，()f x 取得最大值为211-=；当7666x πππ+=时，()f x 取得最小值为12()122⨯--=-．（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6t π倍(0)t >，纵坐标不变，可得62sin()12sin()1666t y x tx ππππ=⨯+-=+-的图象；再向上平移1个单位得到()2sin()6y g x tx π==+的图象．当[0x ∈，]π，[66tx ππ+∈，]6t ππ+，若函数()y g x =在[0，]π内恰有4个零点，则456t ππππ+<，求得232966t <．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．22．已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求()3f π的值；（2）求函数()yg x =的解析式；（3）若0()2x f =0()g x ．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，可得()3f π的值．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．（3）由题意求得0sin()6x π-的值，再利用诱导公式、二倍角公式，求得0()g x 的值．【解答】解：（1）函数2()4cos sin()1cos 2cos 12cos22sin(2)66f x x x x x x x x x ππ=-+=-+=-=-，故()2sin 232f ππ==．（2）将函数()2sin(2)6y f x x π==- 的图象向左平移6π个单位，得到函数()2sin(2)6y g x x π==+的图象，（3）若00()2sin()26x f x π==-，则0sin()6x π-= 000()2sin(2)2cos(2)2cos(63g x x x ππ∴=+=-=2002)2[12sin ()]36x x ππ-=⨯-- 32[12]14=-⨯=-．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．。

本册检测-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习.pdf

本册检测考试时间120分钟,满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2},B ＝{2,},若B ⊆A ,则实数k 的值为(　D )2k A ．1或2　B ． 12C ．1 D ．2[解析]　∵集合A ＝{1,2},B ＝{2,},B ⊆A ,2k∴由集合元素的互异性及子集的概念可知＝1,解得k ＝2.故选D ．2k 2．下列关于命题“∃x ∈R ,使得x 2＋x ＋1<0”的否定说法正确的是(　B )A ．∀x ∈R ,均有x 2＋x ＋1<0,假命题B ．∀x ∈R ,均有x 2＋x ＋1≥0,真命题C ．∃x ∈R ,均有x 2＋x ＋1≥0,假命题D ．∃x ∈R ,均有x 2＋x ＋1＝0,真命题[解析]　根据存在量词命题的否定是全称量词命题,先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“∀x ∈R ,均有x 2＋x ＋1≥0”,因为x 2＋x ＋1＝(x ＋)2＋>0恒成1234立,所以原命题的否定是真命题．3．sin1,cos1,tan1的大小关系为(　A )A ．tan1>sin1>cos1B ．sin1>tan1>cos1C ．sin1>cos1>tan1D ．tan1>cos1>sin1[解析]　∵sin1>sin ＝,cos1<cos ＝,tan1>tan ＝1,π422π422π4∴tan1>sin1>cos1.4．lg2－lg －e ln2－()－＋的值为(　A )151412 (－2)2A ．－1B ．12C ．3D ．－5[解析]　原式＝lg2＋lg5－2－2＋2＝lg10－2＝1－2＝－1.故选A ．5．设角α＝－,则的值为(　D )35π62sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin2α＋sin (π－α)－cos2(π＋α)A ．B ．1232C ．D ．223[解析]　因为α＝－,35π6所以2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin2α＋sin (π－α)－cos2(π＋α)＝＝＝2sin αcos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin αcos αsin α＝＝＝.故选D ．cos (－35π6)sin (－35π6)cos π6sinπ636．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞,0)内有解,则y ＝f (x )的图象可以是(　D )[解析]　因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞,0)内有解,所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图象在(－∞,0)内有交点,观察题中图象可知只有D 中图象满足要求．7．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,＋∞)上单调递增,且f ()＝0,则满足f (x )>0的x 的13log 18取值范围是(　B )A ．(0,＋∞)B ．(0,)∪(2,＋∞)12C ．(0,)∪(,2)D ．(0,)181212[解析]　由题意知f (x )＝f (－x )＝f (|x |),所以f (|x |)>f ()．因为f (x )在[0,＋∞)上单调递增,log 1813所以|x |>,又x >0,解得0<x <或x >2.log 1813128．具有性质f ()＝－f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换．给出下列函数：1x ①y ＝ln ；②y ＝；③y ＝Error!1－x 1＋x 1－x 21＋x 2其中满足“倒负”变换的是(　C )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①[解析]　①f ()＝ln ＝ln ,－f (x )＝－ln ＝ln ,f ()≠－f (x ),不满足“倒负”1x 1－1x 1＋1x x －1x ＋11－x 1＋x 1＋x 1－x 1x 变换．②f ()＝＝＝－＝－f (x ),满足“倒负”变换．1x 1－(1x )21＋(1x )2x 2－1x 2＋11－x 21＋x 2③当0<x <1时,>1,f (x )＝x ,f ()＝－x ＝－f (x )；1x 1x 当x >1时,0<<1,f (x )＝－,f ()＝＝－f (x )；1x 1x 1x 1x当x ＝1时,＝1,f (x )＝0,f ()＝f (1)＝0＝＝－f (x ),满足“倒负”变换．1x 1x 1x 综上,②③是符合要求的函数,故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9．将函数y ＝sin(x －)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平π4移个单位长度得g (x )的图象,则下列说法正确的是(　ACD )3π4A ．g (x )是奇函数B ．x ＝是g (x )图象的一条对称轴π3C ．g (x )的图象关于点(3π,0)对称D ．2g (0)＝1[解析]　将函数y ＝sin(x －)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得yπ4＝sin(－)的图象,再向左平移个单位长度得g (x )＝sin ＝sin 的图象,所以Ax 3π43π4(13(x ＋3π4)3－π4)x 3正确；因为g ()≠±1,所以B 错；因为g (3π)＝sin π＝0,所以C 正确；又g (0)＝0,所以2g (0)＝1,π3所以D 正确．综上,ACD 正确．10．已知0<a <b <1<c ,则下列不等式不成立的是(　BD )A ．a c <b cB ．c b <c aC ．log a c >log b cD ．sin a >sin b[解析]　取a ＝,b ＝,c ＝2,则()2<()2,A 成立；2>2,B 不成立；2＝－,2＝－1,1412141212 14 log 1412log 12∴2>2,C 成立；∵0<a <b <1<,∴sin a <sin b ,D 不成立．故选BD ．log14log 12π211．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则π8φ的一个可能取值为(　AB )A ．－πB ．34π4C ．0D ．－π4[解析]　将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移个单位,得到函数y ＝sin[2(x ＋)＋π8π8φ]＝sin(2x ＋＋φ),因为此时函数为偶函数,所以＋φ＝＋k π,k ∈Z ,即φ＝＋k π,k ∈Z ,k ＝0π4π4π2π4时,φ＝,k ＝－1时,φ＝－.π43π412．下列命题正确的是(　CD )A ．∀x ∈(2,＋∞),都有x 2>2xB ．“a ＝”是函数“y ＝cos 22ax －sin 22ax 的最小正周期为π”的充要条件12C ．命题p ：∃x 0∈R ,f (x 0)＝ax ＋x 0＋a ＝0是假命题,则a ∈(－∞,－)∪(,＋∞)201212D ．已知α,β∈R ,则“α＝β”是“tan α＝tan β”的既不充分也不必要条件[解析]　A 错,当x ＝4时,42＝24,故不等式不成立；B 错,y ＝cos 22ax －sin 22ax ＝cos4ax ,当a ＝时,y ＝cos2x ,其最小正周期为＝π；当a ＝－时,y ＝cos(－2x )＝cos2x ,其最小正周期为π,122π212故说法不正确；C 正确,因为p 为假命题,所以¬p 为真命题,即不存在x 0∈R ,使f (x 0)＝0,故Δ＝1－4a 2<0,且a ≠0,解得a >或a <－；D 正确,如果两个角为直角,那么它们的正切值不存在,反1212过来,如果两个角的正切值相等,那么它们可能相差k π(k ∈Z ),故反之不成立．综上,CD 正确．三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.＝____.2sin 47°－3sin 17°2cos 17°12[解析]　原式＝＝＝.2sin (17°＋30°)－3sin 17°2cos 17°cos 17°2cos 17°1214．李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__130__元；(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的7折,则x 的最大值为__15__.[解析]　(1)x ＝10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付60＋80－10＝130元．(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,y <120元时,李明得到的金额为y ×80%,符合要求．y ≥120元时,有(y －x )×80%≥y ×70%恒成立,即8(y －x )≥7y ,x ≤,即x ≤()min ＝15元,y 8y8所以x 的最大值为15.15．已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x >0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)＝__－11__.[解析]　∵当x >0时,f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称,∴当x >0时,f (x )＝2x ,∴当x >0时,g (x )＝2x ＋x 2,又g (x )是奇函数,∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.16．给出以下四个命题：①若集合A ＝{x ,y },B ＝{0,x 2},A ＝B ,则x ＝1,y ＝0；②若函数f (x )的定义域为(－1,1),则函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)；③函数f (x )＝的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞)；1x④若f (x ＋y )＝f (x )f (y ),且f (1)＝1,则＋＋…＋＋＝2 016.f (2)f (1)f (4)f (3)f (2 014)f (2 013)f (2 016)f (2 015)其中正确的命题有__①②__.(写出所有正确命题的序号)[解析]　①由A ＝{x ,y },B ＝{0,x 2},A ＝B 可得Error!或Error!(舍)故x ＝1,y ＝0正确；②由函数f (x )的定义域为(－1,1),则函数f (2x ＋1)中x 应满足－1<2x ＋1<1,解得－1<x <0,即函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0),正确；③函数f (x )＝的单调递减区间1x 是(－∞,0),(0,＋∞),不能用并集符号,错误；④由题意f (x ＋y )＝f (x )·f (y ),且f (1)＝1,则＋f (2)f (1)f (4)f (3)＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝f (1)＋f (1)＋…f (2 014)f (2 013)f (2 016)f (2 015)f (1)·f (1)f (1)f (3)·f (1)f (3)f (2 013)·f (1)f (2 013)f (2 015)·f (1)f (2 015)＋f (1)＝1＋1＋…＋1＝1 008,错误．四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图,以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P ,Q 两点,已知点P 的坐标为(－,)．3545(1)求的值；sin2α＋cos2α＋11＋tan α(2)若cos αcos β＋sin αsin β＝0,求sin(α＋β)的值．[解析]　(1)由三角函数定义得cos α＝－,sin α＝,3545∴原式＝＝＝2cos 2α＝2×(－)2＝.2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α351825(2)∵cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0,且0<β<α<π,∴α－β＝,∴β＝α－,π2π2∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝,π235cos β＝cos(α－)＝sin α＝.π245∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋(－)×＝.4545353572518．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝Error!且点(4,2)在函数f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(2)求不等式f (x )<1的解集；(3)若方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围．[解析]　(1)∵点(4,2)在函数的图象上,∴f (4)＝log a 4＝2,解得a ＝2.∴f (x )＝Error!函数的图象如图所示．(2)不等式f (x )<1等价于Error!或Error!解得0<x <2或x <－1,∴原不等式的解集为{x |0<x <2或x <－1}．(3)∵方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根,∴函数y ＝2m 的图象与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点．结合图象可得2m ≤2,解得m ≤1.∴实数m 的取值范围为(－∞,1]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(2 018π－x )·sin(＋x )－cos 2x ＋1.33π2(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若对于任意的x ∈[－,],都有|f (x )－m |≤1恒成立,求实数m 的取值范围．π12π2[解析]　(1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x 3＝－cos 2x ＋sin 2x121232＝sin(2x －)＋,π612令2x －＝k π,k ∈Z .π6解得x ＝＋,k ∈Z ,π12k π2所以函数f (x )的对称中心为,k ∈Z .(π12＋k π212)(2)∵x ∈,[－π12π2]∴2x －∈,π6[－π35π6]∴sin ∈,(2x －π6)[－321]∴sin ＋∈,(2x －π6)12[－32＋1232]即f (x )∈,[－32＋1232]∵|f (x )－m |≤1恒成立,即－1≤f (x )－m ≤1,－1＋f (x )≤m ≤1＋f (x ),[－1＋f (x )]max ≤m ≤[1＋f (x )]min ,∴≤m ≤,123－32∴实数m 的取值范围为.[123－32]20．(本小题满分12分)某工厂现有职工320人,平均每人每年可创利20万元．该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人,将有一名职工下岗)．据测算,如果购进智能机器人不超过100台,每购进一台机器人,所有留岗职工(机器人视为机器,不作为职工看待)在机器人的帮助下,每人每年多创利2千元,每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元,工厂为体现对职工的关心,给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台,则工厂的年利润y ＝8 202＋lg x 万元(x 为机器人台数且x <320)．(1)写出工厂的年利润y 与购进智能机器人台数x 的函数关系；(2)为获得最大经济效益,工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？(参考数据：lg2≈0.301 0)[解析]　(1)当购进智能机器人台数x ≤100时,工厂的年利润y ＝(320－x )(20＋0.2x )－4x －2x ＝－0.2x 2＋38x ＋6 400,∴y ＝Error!(2)由(1)知,当0≤x ≤100时,y ＝－0.2(x －95)2＋8 205,当x ＝95时,y max ＝8 205；当x >100时,y ＝8 202＋lg x 为增函数,8 202＋lg x <8 202＋lg320＝8 202＋1＋5lg2≈8 204.505<8 205.综上可得,工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益,此时的最大年利润为8 205万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)的一系列对应值如下表：x －π6π35π64π311π67π317π6y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果,若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为,当x ∈[0,]时,方程f (kx )＝m 恰有两个2π3π3不同的解,求实数m 的取值范围．[解析]　(1)设f (x )的最小正周期为T ,则T ＝－(－)＝2π,11π6π6由T ＝,得ω＝1,又Error!,2πω解得Error!,令ω·＋φ＝,即＋φ＝,5π6π25π6π2解得φ＝－,∴f (x )＝2sin(x －)＋1.π3π3(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －)＋1的周期为,又k >0,∴k ＝3,令t ＝3x －,π32π3π3∵x ∈[0,],∴t ∈[－,],π3π32π3如图,sin t ＝s 在[－,]上有两个不同的解,则s ∈[,1),π32π332∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0,]时恰好有两个不同的解,则m ∈[＋1,3),即实数m 的取值范π33围是[＋1,3)．322．(本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0,b <1)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f (x )＝.g (x )x(1)求a ,b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]时恒成立,求实数k 的取值范围．[解析]　(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ,当a >0时,g (x )在[2,3]上为增函数,故Error!即Error!解得Error!当a <0时,g (x )在[2,3]上为减函数,故Error!即Error!解得Error!∵b <1,∴a ＝1,b ＝0.(2)由(1)知,g (x )＝x 2－2x ＋1,f (x )＝x ＋－2.1x不等式f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋－2≥k ·2x ,12x 即1＋()2－≥k .令＝m ,则k ≤m 2－2m ＋1.12x 22x 12x ∵x ∈[－1,1],∴m ∈[,2]．12记h (m )＝m 2－2m ＋1,则h (m )min ＝0.∴k ≤0.∴k 的取值范围是(－∞,0]．。

期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程（1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-．（1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+．（Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可．【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--．由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]．故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果．【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）．故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解．【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确．故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==．对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ．故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ．【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值．【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求．【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程（1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分）解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-．（1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32．【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论．（Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈．又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--．由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈．（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象．由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ．则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值．（Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。

2019-2020学年新版高中数学必修第一册综合测试题及答案

2019-2020学年新版高中数学必修第一册综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1．已知集合A＝{x∣(2＋x)(a－2x)＞0}，Z为整数集，若A∩Z＝{－1，0，1，2}，则实数a的取值范围是( )．A．{a∣a≥4}B．{a∣a＞4}C．{a∣4＜a≤6}D．{a∣4＜a＜6}2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α，则cos 2α＝( )．A B C D3．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c R)，则“xR，使f(x0)＜0”是“c＜0”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．下列不等式一定成立的是( )．A．lg(x2＋14)＞lg x(x＞0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠πk，k Z)C．x2＋1≥2∣x∣(x R)D．21 1x+＞1(x R)5．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝12e-，则( )．A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．已知函数f(x)＝sin22x xx-－，g(x)＝cos22x xx-－，则f(x) g(x)( )．A．是奇函数且在[3π2，7π4]上单调递增B．是偶函数且在[5π4，7π4]上单调递增C．是奇函数且在[5π4，3π2]上单调递减D．是偶函数且在[5π4，3π2]上单调递减7．已知函数⎩⎨⎧>--≤-=,1,32,1,44)(x x x x x f g (x )＝tan π2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间 (－1，5)内的零点个数为( )． A ．2B ．3C ．4D ．58．函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )．A B C D9．已知a ＞1，若函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 的值为( )．AB ．2C ．D ．410．已知函数f (x )＝2sin (13x －π6)，x ∈R ．设α，β [0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，则cos (α＋β)的值为( )． A ．5665B ．1665C ．6365D ．336511．已知函数21,(,1],12()1e ,(1,).x x x f x x x ⎧∈-⎪+=⎨-⎪∈+∞⎩g (x )＝－x 2＋4x －3．若有实数a ，b 满足f (a )＝g (b )，则b 的取值范围是( )．A ．(－∞，2(2) B ．(1，3)C ．(22D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)12．已知两条平行直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝821m +(m ＞0)，l 1与函数y ＝∣log 2x ∣的图象从左至右相交于A ，B 两点，l 2与函数y ＝∣log 2x ∣的图象从左至右相交于C ，D 两点．设A ，B ，C ，D 四点的横坐标分别为a ，b ，c ，d ，，当m 变化时，∣b da c --∣的最小值为( )．A ．B ．C ．16D ．8。

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1.已知a，b∈R且a<b<0，则下列不等式中一定成立的是()
A. 1
a <1
b
B. b
a
<a
b
C. a2<b2
D. ab<b2
2.不等式2
x+1
>1的解集是()
A. (1,+∞)
B. (−1,1)
C. (−∞,−1)
D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
3.定义{x}为不小于x的最小整数(例如：{5.5}=6，{−4}=−4)，则不等式{x}2−5{x}+ 6≤0的解集为()
A. [2,3]
B. [2,4)
C. (1,3]
D. (1,4]
4.函数y=1
x−3
+x(x>3)的最小值为()
A. 4
B. 3
C. 2
D. 5
5设0<m<12，则1
m +4
12−m
的最小值为()
A. 3
2B. 9
10
C. 3
4
D. 9
5
6.关于x的不等式x2−(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()
A. (2,3]
B. (3,4]
C. [−3,−2)∪(2,3]
D. [−3,−2)∪(3,4]
7.下列说法正确的有()
A. 不等式2x−1
3x+1>1的解集是(−2,−1
3
)
B. “a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
C. 命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0
D. “a<5”是“a<3”的必要条件
8.已知x，y是正数，1
x +2
y
=1，则2x+y
xy+1
的最小值为______．
9.已知a，b为正实数，且a+b−3√ab+2=0，则ab的最小值为______．
10.已知集合A={x|(x−a)(x−a+1)≤0}，B={x|x2+x−2<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)设命题p：∃x∈B，x2+(2m+1)x+m2−m>8，若命题p为假命题，求实数m 的取值范围．
11.函数f(x)=x2+ax+3
(1)若命题“对∀x∈R，都有f(x)≥a恒成立”是真命题，求a的取值范围；
(2)若命题“∃x∈[−2,2]，使得f(x)<a成立”是假命题，求a的取值范围．
12.(1)解不等式：3≤x2−2x<8;
(2)已知a，b，c，d均为实数，求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．
13.已知关于x的方程(1−a)x2+(a+2)x−4=0，a∈R，求：
(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件
(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件．。