2018年新课标1理科数学真题

2019年09月01日xx 学校高中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1.设21z i i

=++则z = ( ) A. 0

B. 12

C. 1

D.

答案：C 解析：()()()()

11222112i i i z i i i i i ---=

+=+=++,1z

=,故选C

2.已知集合=-->2

{|20}A x x x ,则R C A = ( )

A. {}|12x x -<<

B. {|12}x x -≤≤

C. <->{|

1}{|2}x x x x

D. {}{}|1|2x x x x ≤-?≥

答案：B

解析：由题得()(){}

210A x x x =-+>={|2x x >或1}x <-，故

{}12R C A x x =-≤≤，故选B

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是( )

A.新农村建设后,种植收入减少

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后,养殖收入增加一倍

D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案：A

解析：设建设前总经济收入为100则建设后总经济收入为200

对于A,建设前种植收入为10060%60?=,建设后种植收入为20037%74,6074?=<故A 借误:

对于B,建设前其他收入为1004%4?=,建设后其他收入为2005%10,1024?=>?,故B 正确

对于C,建设前养殖收入为10030%30?=,建设后养殖收入为

20030%60,60230?==?,故C 正确:

对于D,建设后,养殖收入占30%,第三产业收入占28%,30%28%58%50%+=>故D 正确:

4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若32413,2S S S a =+=,则5a = ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案：B

解析：由{}n a 为等差数列，且3243S S S =+，故有

1113221433324222a d a d a d ????

?????+=+++ ? ? ???????

，即1320a d +=又由12a =，故可得

3d =-，故51424(3)10a a d =+=+?-=-，故选B

5.设函数3

2

()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切

线方程为( ) A. 2y x =- B. y x =- C. 2y x = D. y x = 答案：D

解析：因为()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-，即()()

1111a a a a -+--=-+-+解得1a =，所以()()2

31,01f x x f '=+=，故切线方程为：y x =，故选D

6.在ABC ?中, AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点,则EB =uur

( )

A. 31

44AB AC -

B. 13

44

AB AC -

C. 3144AB AC +uu

u r uuu r

D. 1344

AB AC +uu

u r uuu r

答案：A

解析：由AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，故

11113

122224

4EB EA AB DA AB AB AB AC AB AC ??=+=

+=-+=- ???，故选A 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为(

)

A.

答案：B

解析：设过点M 的高与圆柱的下底面交于点 O ,将圆柱沿MO 剪开, 则,M N 的位置如图所示,连接MN ,易知2,4OM ON ==,

则从M 到N

==

8.设抛物线2

:4C y x =的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为

2

3

的直线与C 交于,M N 两点,则FM FN ?=uuu r uuu r

( )

A.5

B.6

C.7

D.8 答案：D

解析：由直线过点()2,0且斜率为

23故可得直线MN 为()2

23

y x =+,联立直线MN 与抛物线()2223

4y x y x

?

=+???=?，解得1{2x y ==或4{4x y ==，故可设()1,2M ,则()4,4N .又由抛物线焦点()1,0F ，故()0,2FM =,()3,4FN =,所以03248FM FN ?=?+?=,故选D

9.已知函数(),0

ln ,0

x e x f x x x ?≤=?>?,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值

范围是( )

A. [)1,0-

B. [)0,+∞

C. [)1,-+∞

D. [)1,+∞ 答案：C

解析：()g x 有两个零点等价于()f x 与y x a =--有两个交点,由图可知,当1a -≤,即

1a ≥-时, y 与()f x 有两个交点,故选C

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边,AB AC .ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为123,,p p p ,则( )

A. 12p p =

B. 13p p =

C. 23p p =

D. 123p p p =+

答案：A

解析：假设2,2,2AC a AB b BC c ===,由三角形ABC 是直角三角形,故有

222AC AB BC +=,即()()()222

222a b c +=,即有222a b c +=,故区域Ⅰ的面积为

2222a b

ab ?=,区域Ⅱ的面积为22222222a b c ab ab πππ??+--= ???

,区域Ⅲ的面积为()

222

2222

a b c ab ab ππ+-=-又由于总区域固定,故12p p =·即选A 11.已知双曲线:C 2

213

x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 若OMN △为直角三角形,则MN =( )

A.

32

B.3

C.

D.4

答案：B

解析：因为双曲线

2

21

3

x

y

-=

的渐近线方程为y x

=，所以60

MON

∠=?.不妨设过

点F

的直线与渐近线y x

=交于点M，且90

OMN

∠=?，则60

MFO

∠=?，又直线

MN过点(2,0)

F，所以直线MN

的方程为2)

y x

=-

，由

2)

3

y x

y x

?=-

?

?

=

?

?

得

3

2

x

y

?

=

??

?

?=

??

M

的坐标为

3

2

?

??

，所以OM==

3

MN=故选B

12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )

A.

C.

4

D.

答案：A

解析：如图所示平面

1

AB C与平面的所有棱缩成角都相等

故//

α平面

1

AB C，构造平面//

MNPQRS平面

1

AB C

设

1

A S x

=

,SP=

SR PQ MN

===

,)

SM RQ PN x

===-

故

=

SRQP SMNP

S S S

==

六边形

2

)

22)

22

x

x x

-

=+-

当

1

2

x=

时

max

S=

二、填空题

13.若,x y 满足约束条件220,10,0,x y x y y --≤??

-+≥??≤?

则32z x y =+的最大值为__________。

答案：6

解析：作出约束区域如图所示

,

目标函数化为322

z y x =-+ 当322

z

y x =-

+直线经过(2,0)时有最大截距,且此时z 取得最大值。 故当2,0x y ==时z 取得最大值max 32206z =?+?=

14.记n S 为数列{}n a 的前n 项的和,若21n n S a =+,则6S =__________。 答案：63-

解析：由题意,当1n =时, 11=21a a +,解得1a =-1

当2n ≥时111(2+1)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+=- 化简得12(2)n n a a n -=≥

故{}n a 是以1-为首项, 2为公比的等比数列,因此66(1)(12)

=

6312

S -?-=-- 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案) 答案：16

解析：可分两种情况:第一种情况,只有1位女生人选,不同的选法有12

24C C 12= (种); 第二种情况,有2位女生人选,不同的选法有2

1

24C C 4= (种).

根据分类加法计数原理,知至少有1位女生入选的不同的选法有 16种. 16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值是__________。

答案：2

-

解析：显然(2)()f x f x π+=,故()f x 是以为2π周期的函数

又'

2

()2cos 2cos 22(2cos cos 1)2(cos 1)(cos 1)f x x x x x x x =+=+-=-+

故当1cos 2x >

,即22()33k x k k z ππ

ππ-<<+∈时, ()f x 单调递增 当1cos 2x <,即522()33

k x k k z ππ

ππ+<<+∈时, ()f x 单调递减

所以2()3

x k k z π

π=-

∈时, ()f x 取得最小值

不妨令0?k =,取3

x π

=-代入()f x 得min 2()2sin sin 33f x ππ

????

=-

+-= ? ?

????

三、解答题

17.在平面四边形中, 90,ADC ∠=?45,A ∠=2,AB = 5.BD = 1.求cos ADB ∠;

2.若DC =求BC

答案：1.在ABD ?中,由正弦定理可知:

sin sin BD AB

A AD

B =

∠∠2sin 2

ADB

=∠∴sin ADB ∠= 由()()22

sin cos 1ADB ADB ∠+∠=得

()2

23cos 25ADB ∠=

∵0,2ADB π??

∠∈ ???

∴cos ADB ∠=

2.∵90ADC ∠=?,cos cos sin 25BDC ADB ADB π??

∠=-∠=∠=

???

又由余弦定理知: 2222cos

25BD DC BC BDC BD DC +-∠===

? 解得: 2

25,BC =∴5BC =

解析：

18.如图,四边形ABCD 为正方形, ,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC ?折起,使点C 到达点P 的位置,且PF F ⊥B .

1. 证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;

2.求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值

答案：1.证明:∵,E F 分别为,AD BC 的中点,四边形ABCD 为正方形∴//,EF AB BC AB ⊥∴BC EF ⊥∵PF BF ⊥,∴PF BC ⊥

而: EF PF F ?=∴BC ⊥平面PEF ,而BC ?平面ABFD ,∴平面PEF ⊥平面ABFD 2.记正方形ABCD 边长为()20a a >则: 2,DC EF AD BC a DE CF a ======, 且由翻折的性质可知: Rt DPF Rt DCF ???

∴,2,PF CF a PD DC a DF =====

=

=

过P 作PH EF ⊥于H 连接DH ,由1知:平面PEF ⊥平面ABFD ,平面PEF ?平面ABFD EF =,

∴PH ⊥平面ABFD ,∴PDH ∠

即为DP 与平面ABFD 所成的角.记()0FH x x =>,则

2EH a x =-,∴()2

222222222,2PH PF HF a x DH DE HE a a x =-=-=+=+-,

在PHD ?中,由勾股定理得: 222DH PH PD +=, 即()()2

2

22222a a x a x a +-+-=,

解得2

a x =

∴2222

3a PH PH HF a x =-=-=

∴33

2sin 24

a

PH PDH PC a ∠=== 即PD 与平面ABFD 所成的角的正弦值为3

4

解析：

19.设椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,过F 得直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为()2,0.

1.当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;

2.设O 为坐标原点,证明: OMA OMB ∠=∠

答案：1.依题意,右焦点()1,0F ,当l 与x 轴垂直时,则点A 的坐标为21,? ??

, 所以当21,2A ? ??

时,2220x y +-=,即2

22y x =- 所以当21,2A ??- ? ???

时,直线AM 22220x y --,即2

2y 2.①当直线l 与x 轴垂直时, ,A B 两点分别为2? ??和21,? ??

根据对称性可知,

MA MB k k =-所以OMA OMB ∠=∠

②当直线l 不与x 垂直时,设直线的方程为()1y k x =-联立方程组

()()22222

2

121422012

y k x k x k x k x y ?=-??+-+-=?+=??

设()()1122,,,A x y B x x ,则2212122

2

422

,2121

k k x x x x k k -+==++则()()()()()()()()()

1221122121212122212200222222MA MB y x y x k x x k x y y k k x x x x x x -+---+---+=+==------ ()()()

121212234

22MA MB

x x x x k k k x x -+++=?

-- ()22

1212224412234402121

k k x x x x k k --++=-+=++

0MA MB k k += OMA OMB ∠=∠

解析：

20.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立.

1.记20?件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p 。

2.现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以1中确定的0p 作为p 的值。已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ; (ⅱ)检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

答案：1. 20?件产品中恰有2件不合格品的概率为()()182

220

1f p C p p =-, 所以()()()()()181717222

2020'2118121110f p C p p p p C p p p ??=---=--??

令()'0f p =,得0.1p =.

当()0,0.1p ∈时, ()'0f p >; 当()0.1,1p ∈时, ()'0f p <. 所以()f p 的最大值点为0p =0.1. 2.(ⅰ)由1知, 0.1p =.

令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知()180,0.1Y B ,

20225X Y =?+,即4025X Y =+,

所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.

(ⅱ)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元, 由于400EX >,故应该对余下的产品作检验. 解析：

21.已知函数()1

ln f x x a x x

=

-+ 1.讨论()f x 的单调性;

2.若()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:

()()

1212

2f x f x a x x -<--

答案：1. 222

11

'()1(0)a x ax f x x x x x

-+=--+->

当0a ≤时, '()0f x <,此时()f x 在(0,)+∞上单调递减; 当0a >时,令2

()1g x x ax =-+,判别式24a ?=-

当0?≤时,此时02a <≤,()0g x ≥,从而'()0,()f x f x ≤在(0,)+∞上单调递减 当0?>时,此时2a >,设()0g x =的两根为12,x x ,且12x x <,利用求根公式得

120,0x x =>=>

当12(0,),(,)x x x ∈+∞时, ()0g x >,从而'()0f x <,()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞单调递减 当12(,)x x x ∈时, ()0g x <,从而'()0f x >,此时()f x 在12(,)x x 上单调递增 综上所述,当2a ≤时, ()f x 在(0,)+∞上单调递减

当2a >时, ()f x

在0,2a ?- ???

和2a ??

++∞

? ???

上单调递减,

在22a a ? ???

上单调递增

2.由1可知,若()f x 有两个极值点,则2a >,且'()0f x =的两根即为1212,()x x x x <

且满足韦达定理1212,1x x a x x +==,易得1201,1x x <,12

1

x x =

因1

()ln f x x a x x

=

-+,可得221()0f x f x ??

+= ???

,即21()()0f x f x += 若要证

1212()()2f x f x a x x -<--,只须证2212()

2f x a x x <--,即证22212()(2)f x a x x ??<-- ??

? 整理得2222

2ln 0(1)a

a x ax x x -+

<> 构造函数()2ln (1)a

h x a x ax x x

=-+>,求导得2222(1)'()0a a a x h x a x x x -=--=-≤ 因此()h x 在(1,)+∞上单调递减 ()(1)0h x h ∴<=

从而2222

2ln 0(1)a

a x ax x x -+<>成立,原式得证 解析：

22.[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2y k x =+,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2

2cos 30ρρθ+-= 1.求2C 的直角坐标方程

2. 若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程

答案：1. 2

2:2cos 30C p p θ+-=

则22230x y x ++-=,即22

(1)4x y ++= 所以2C 的直角坐标方程为2

2

(1)4x y ++= 2.由题1可知圆心坐标为(1,0)C -,半径2r =

又曲线方程2y k x =+,关于y 轴对称,且曲线过圆外定点(0,2)P

∴当曲线与圆有且仅有3个交点时,设曲线在y 轴的右半部分与圆相切于点A , 此时, 220y k x kx y =+?-+=

2d r ∴=

==则22(2)4(1)k k -=+,

43k ∴=-,即直线1C 的方程为4

23

y x =-+

解析：

23.[选修4—5:不等式选讲] 已知()11f x x ax =+-- 1.当1a =时,求不等式()1f x >的解集

2.若()0,1x ∈时,不等式()f x x >成立,求a 的取值范围

答案：1.当1a =时,则2,1()2,112,1x f x x x x -≤-??

=-<

∴当()1f x >时, 1212x x >?>即1

12

x << 又当1x ≥时, ()2f x =满足()1f x >

综上: 1

2

x >

2. 当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立.

若0a ≤,则当()0,1x ∈时11ax -≥; 若0a >,11ax -<的解集为20x a <<,所以2

1a

≥,故02a <≤. 综上,即a 的取值范围是(]0,2。 解析：