初中物理：中点在圆中的应用专题复习
初中圆弧中点定理及应用
初中圆弧中点定理及应用的实际应用情况1. 应用背景初中数学中，圆弧中点定理是一个重要的几何定理，它揭示了圆弧上的中点与圆心、圆弧两端点之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，尤其是在测量、建模、设计等实际应用中。
2. 应用过程圆弧中点定理的表述如下：定理：圆上任意两点与圆心的连线所夹的圆弧上的中点与圆心、圆弧两端点连线的中点三点共线。
应用圆弧中点定理的具体过程如下：1.已知一个圆和圆上的两点A、B，以及这两点与圆心O的连线。
2.连接OA和OB，得到两条线段。
3.找到线段OA和OB的中点M1和M2。
4.连接AM1和BM2，得到一条直线。
5.判断AM1BM2是否共线，即判断M1、O、M2是否在一条直线上。
6.如果M1、O、M2在一条直线上，则圆上的中点与圆心、圆弧两端点连线的中点共线。
3. 应用效果圆弧中点定理在实际应用中具有广泛的应用，下面将介绍一些具体的应用情况。
3.1 测量在测量中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的圆心位置。
假设我们需要测量一个圆的圆心位置，但是只能通过圆上的几个点来进行测量。
我们可以选择圆上的任意两点A、B，并通过这两点与圆心的连线来确定圆心位置。
根据圆弧中点定理，我们可以找到线段OA和OB的中点M1和M2，然后连接AM1和BM2，如果M1、O、M2在一条直线上，那么这条直线就是圆的直径，圆心就在直线的中点上。
3.2 建模在建模中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的直径。
假设我们需要根据一些已知的点来建立一个圆的模型，但是只能通过这些点来确定圆的直径。
我们可以选择圆上的任意两点A、B，并通过这两点与圆心的连线来确定圆的直径。
根据圆弧中点定理，我们可以找到线段OA和OB的中点M1和M2，然后连接AM1和BM2，如果M1、O、M2在一条直线上，那么这条直线就是圆的直径。
3.3 设计在设计中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的中点。
假设我们需要在一个圆上设计一个凸起的装饰物，并使得这个装饰物与圆心和圆弧两端点连线的中点共线。
初中点、直线与圆位置关系及应用精解
点、直线与圆位置关系及应用一、点与圆的位置关系及应用1、过点作圆：①经过一点A 作圆：只要以点A 以外任意一点味圆心，以该点到点A 的距离为半径，可以作出无数个圆；②经过两点A 、B 作圆：圆心在线段AB 的垂直平分线上，可以作出无数个圆；③经过三点A 、B 、C 作圆：若A 、B 、C 三点在同一直线上，过A 、B 、C 三点不一定能作出圆；若A 、B 、C 三点不在同一直线上，过A 、B 、C 三点能且只能作出一个圆，其圆心是连接A 、B 、C 三点所得三条线段的垂直平分线交点。
④过n(n ≥4)个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2、确定圆定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”． 3、三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.例1、在△ABC 中，AB=1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程（m+5）x2-(2m-5)x+12=0的两根，外接圆⊙O 的面积为4π，求m 的值 解：∵πR 2=4π，∴R=21，∵AB=1，∴AB 为⊙O 的直径，∴AC 2+BC 2=1，即（AC+BC ）2-2AC ·BC=1，∴（552+-m m ）2-2·512+m =1，∴m 2-18m-40=0，∴m 1=20，m 2=﹣2.当m=﹣2时，△＜0（舍去），∴m=202例（1，0），R （2，2）与⊙O 的位置关系。
点圆及点圆的性质与应用
点圆及点圆系的性质与应用魏烈斌湖北荆州中学点是几何中最基本的元素，也可以视其为半径零的圆，即点圆。
坐标平面上的点),(00y x P 的方程可记为0)()(2020=-+-y y x x 。
由点圆P ，直线0:=++C By Ax l ，圆22)()(:b y a x M -+- )0(2>=r r 可构成下列圆系：点),(00y x P 在圆M 上，λ为非零实数，有圆系:λD0))()(()()(2020222=-+-+--+-y y x x r b y a x λ（1）点),(00y x P 在直线l 上，λ为非零实数，有圆系 :λE0)()()(2020=+++-+-C By Ax y y x x λ （2）直线l 与圆M 相切于点),(00y x P ，λ为非零实数，有圆系:λF0)()()(22=+++-+-C By Ax b y a x λ （3）下面给出λD ，λE ，λF 的性质。
定理1 1）1-D 是圆M 在点),(00y x P 的切线。
2）)1(-≠λλD 是与圆M 相切于点),(00y x P 的圆，并且任一与圆M 切于点),(00y x P 的圆的方程都能写成（1）.定理 2 λE 是与直线l 相切于点),(00y x P 的圆，并且任一与直线l 切于点),(00y x P 的圆的方程都能写成（2）.定理3 1）存在唯一的实数0λ，使0λF 就是点),(00y x P 2）)(0λλλ≠F 是与直线l 相切于点),(00y x P 的圆，并且它与圆M 也切于点),(00y x P仅对定理3 给出证明.其过程如下：证 1）由于直线l 与圆M 相切，所以圆心M),(b a 到直线l 的距离为r ，从而有 2222)()(r B A C Bb Aa +=++代入（3）可得2222222)(41)2()2(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B A C Bb Aa B A B b y A a x λλλ（4）因为点),(00y x P 是直线l 与圆M 的切点，所以点P 的坐标满足（3），进而满足（4）另一方面，当22λλ=+++=BA CBb Aa 时，（4）表示点)2,2(λλB b A a P --' 这说明P '就是点P ，故存在实数0λ使0λF 就是点P 。
考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)
考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。
关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。
2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
圆的中点应用知识点总结
圆的中点应用知识点总结圆的中点是指圆上任意两点的中点，也可以理解为圆的直径的中点。
在几何学中，圆的中点有许多重要的应用和性质，以下是一些常见的应用和知识点总结：1.直径的中点是圆心：直径是连接圆上两个点并经过圆心的线段。
根据定义，直径的中点必然是圆心。
这个性质可以用来证明圆的性质和定理，如切线垂直于半径、切线与半径的夹角等等。
2.圆的中点和线段的中点性质：圆上的任意两点与圆心构成的线段的中点，必然在圆上。
换句话说，圆的中点在圆上的任意两点和圆心构成的线段的中点上。
这个性质可以用来证明圆与直线的关系，如圆的直径是圆上的最长弦等。
3.圆的中点和半径的关系：圆的条半径的中点也是圆的另一条半径的中点。
换句话说，如果连接圆心和圆上任意一点的线段过圆的中点，那么这条线段被圆的直径平分。
这个性质可以用来证明圆上的弦垂直于半径、圆的直径垂直于弦等。
4.圆的中点和弦的关系：圆上弦的中点与弦的两个端点分别构成的两条线段，与弦的长度成正比。
换句话说，如果连接圆上两点的线段过圆的中点，那么这条线段等于弦的一半。
这个性质可以用来证明等腰三角形的性质，如等腰三角形的底边中点与顶角之间的关系等。
5.圆的中点和切线的关系：圆的中点位于与圆相切的切线上，并且切线与半径的夹角为90度。
换句话说，如果连接圆的中点和切点的线段，那么这条线段垂直于切线。
这个性质可以用来证明切线与半径的关系，如切线是过切点的圆上弦的垂直平分线等。
6.圆的中点和正方形的关系：圆的中点与正方形的顶点构成的线段的长度等于正方形的边长。
换句话说，圆的中点到正方形的每个顶点的距离相等。
这个性质可以用来证明正方形的性质，如对角线相等、对角线垂直等。
7.圆的中点和平行四边形的关系：圆的中点与平行四边形的相对顶点构成的线段等于平行四边形的对角线的一半。
换句话说，圆的中点到平行四边形的每个顶点的距离相等，且等于平行四边形的对角线的一半。
这个性质可以用来证明平行四边形的性质，如对角线平分等。
九年级点与圆的位置关系知识点
九年级点与圆的位置关系知识点我们生活中到处都是点和圆，而点与圆之间的位置关系是数学中非常重要的一个知识点。
在九年级的数学课程中，我们将学习点与圆的位置关系，探索它们之间的奥妙。
1. 点在圆内：当一个点位于一个圆的内部时，我们称它为圆的内点。
圆的内点与圆心之间的距离小于半径的长度。
这意味着，无论内点与圆的任何一点相连，线段的长度都小于半径。
这个性质对于我们判断几何图形的位置关系尤为重要。
2. 点在圆外：当一个点位于一个圆的外部时，我们称它为圆的外点。
圆的外点与圆心之间的距离大于半径的长度。
同样地，我们可以利用这个特性来推断几何图形的位置关系。
3. 点在圆上：当一个点位于一个圆上时，我们称它为圆的边点。
边点与圆心之间的距离等于半径的长度。
这意味着边点与圆心之间的连线就是圆的半径。
此外，边点还有一个特殊的性质，就是任何通过边点的直径都可以被边点所分成两段相等的弧。
4. 内切圆和外切圆：在九年级，我们还将学习内切圆和外切圆这两个重要的概念。
内切圆是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的内部。
外切圆则是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的外部。
通过这些概念，我们不仅可以研究多边形与圆的位置关系，还能够解决一些实际问题。
例如，我们可以利用内切圆和外切圆来设计最大面积或最小周长的形状。
5. 点与圆的判定问题：在九年级的数学课程中，我们还会学习如何判定一个点与一个已知圆的位置关系。
这需要我们掌握一些重要的定理和方法。
例如，切线定理可以帮助我们判断一个直线与圆的位置关系，弦切角定理则可以用来判断两条弧的位置关系。
此外，我们还可以使用勾股定理和三角形相似性来解决一些点与圆的位置关系问题。
在学习点与圆的位置关系时，我们不仅仅停留在理论层面，更要加强实际应用。
数学在现实生活中的应用非常广泛，点与圆的位置关系也不例外。
例如，我们可以利用圆与点的位置关系来设计游乐场、车辆行驶轨迹等等。
通过深入理解点与圆的位置关系，我们可以更好地认识和应用数学知识。
点与圆的位置关系知识点总结_概述及解释说明
点与圆的位置关系知识点总结概述及解释说明1. 引言1.1 概述在数学几何中，点与圆的位置关系是一种基础且重要的概念。
研究点与圆的位置关系可以帮助我们理解圆和其他几何图形之间的互动，进而应用于解决各种实际问题。
本文将总结和解释点与圆的位置关系知识点，包括点在圆内部、点在圆上以及点在圆外部的情况，同时还会介绍圆与圆的位置关系以及圆与直线的位置关系。
1.2 文章结构本文分为五个部分：引言、点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆与直线的位置关系以及结论。
下面将逐一介绍这些部分内容。
1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的知识总结和解释，并帮助读者对点与圆的位置关系有更深入和全面的理解。
通过学习这些知识，读者能够掌握各种不同情况下点与圆之间可能存在的几何关系，从而更好地解决相关问题。
此外，文章还将尝试给出一些实际应用场景，并探讨该知识对进一步学习的启示。
2. 点与圆的位置关系:2.1 点在圆内部:当一个点位于圆内部时，它到圆心的距离小于圆的半径。
可以通过以下步骤来判断点是否在圆内部：- 确定点的坐标以及圆心的坐标。
- 计算点与圆心之间的距离，可以使用勾股定理或者距离公式来计算。
- 如果计算得到的距离小于圆的半径，则可以得出结论，该点位于圆内部。
2.2 点在圆上:当一个点位于圆上时，它到圆心的距离等于圆的半径。
同样可以使用以上步骤来判断点是否在圆上：- 确定点的坐标以及圆心的坐标。
- 计算点与圆心之间的距离。
- 如果计算得到的距离等于圆的半径，则可以得出结论，该点位于圆上。
2.3 点在圆外部:当一个点位于圆外部时，它到圆心的距离大于圆的半径。
同样可以使用以上步骤来判断点是否在圈外部：- 确定点的坐标以及园心座標- 计算点与园心距离的值- 如果计算出的距离大于圓半徑，就可以得到结论说這个點在圓外部。
3. 圆与圆的位置关系:3.1 内切、外切和相交关系:在平面几何中，圆与圆之间有三种可能的位置关系。
内切关系：当两个圆恰好相切于一个点时，我们称它们为内切。
点与圆一般式的位置关系
点与圆一般式的位置关系在数学的世界里，点与圆的关系就像是老友相聚，总有那么一些微妙的感觉。
大家有没有想过，当一个小点儿遇上大圆时，它们之间会擦出什么样的火花呢？点与圆的关系可以分成三种情况，听起来很简单，但背后却有不少故事。
要是这个小点儿恰好在圆的边缘，那可真是绝妙的时刻，恍若一场偶遇。
想象一下，点儿轻轻地站在圆的边上，就像是在说：“嘿，我在这里哦！”这时候，点儿和圆之间就形成了一个“切点”，也就是它们的联系恰到好处，真是一种微妙的平衡，像极了两个人的默契。
要是点儿在圆的内部，那可就热闹了！点儿仿佛是进入了一个大派对，四周都是欢声笑语。
圆就像是这个派对的外围，里面是热情洋溢的小点儿。
这个时候，点儿和圆的距离可不是简单的“远”和“近”，而是带着一种深厚的情感。
这种关系，让人想起那句老话：“近水楼台先得月。
”小点儿在圆的怀抱里，真是享受到了圆的温暖，仿佛无忧无虑，尽情地舞动着自己的小身影。
再说说，点儿如果在圆的外面，那可就像是一个不请自来的旁观者。
圆里面的热闹与欢乐，点儿只能在外面欣赏，甚至有点儿嫉妒。
这种关系让人心里有点小不甘，像极了那句“看花吃不到，心里难受。
”点儿虽然在外，但它的存在感却丝毫不减，似乎在悄悄注视着圆里面的一切。
点儿和圆的距离在这里也有意思，它们的关系让人感受到一种拉扯，既想靠近，又怕受伤。
点与圆的关系就像是生活中的种种碰撞，时而亲密，时而疏远。
每一次相遇，都有它的意义。
不管是切点、内部还是外部，点与圆总是在不断地展示着一种独特的和谐。
它们的互动像极了人际关系，有时候你我相依为命，有时候却又各自独立。
真是让人感叹不已，生活中的每一种关系都是如此复杂而美妙，令人百思不得其解。
点与圆之间的关系，也能启发我们思考人生。
我们就是那个点，面对生活中的各种圆，有的圆包容我们，有的圆则让我们感到遥不可及。
生活中，总是有那么多不同的“圆”在等着我们去探索，去理解。
就像是在游戏中，每个选择都可能引领我们走向不同的结局，激发着我们的无限可能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥ A C ，垂足为K 。
过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．
(1)求证：AE=CK ；
(2)如果AB=a ，AD=13
a (a 为大于零的常数)，求BK 的长：
(3)若F 是EG 的中点，且DE=6，求⊙O 的半径和GH 的长．
2.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．
（1）求证：DE ⊥AC ；
（2）若AB=3DE ，求tan ∠ACB 的值．
3.如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=AB；
（3）若，求的值．
5.如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．。