两条直线的交点坐标
已知两个直线方程求交点坐标
已知两个直线方程求交点坐标一、问题描述假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1: y = m1*x + n1L2: y = m2*x + n2其中m1、n1、m2、n2分别是已知的实数。
现在的问题是，如何求出这两条直线的交点坐标？二、分析解决方法要求直线的交点坐标，实际上就是要求满足两个方程的x和y的值。
我们可以通过联立两个方程，解得交点的坐标。
我们以解析几何的思路来解决这个问题。
两条直线的交点坐标可以通过以下步骤求得：1.将两个方程联立得到等式：m1x + n1 = m2x + n22.移项得到一次方程：(m1 - m2)*x = n2 - n13.求解x： x = (n2 - n1) / (m1 - m2)4.将x的值代入其中一个方程，求得y的值：y = m1x + n1 或者 y =m2x + n25.得到交点坐标(x, y)。
三、示例演算为了更好地理解求交点坐标的过程，我们通过一个示例来演算一下。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1: y = 2*x + 1L2: y = -3*x + 6我们将步骤一到步骤五依次应用于这个示例：1.将两个方程联立得到等式：2x + 1 = -3x + 62.移项得到一次方程：5*x = 53.求解x：x = 14.将x的值代入其中一个方程，求得y的值：y = 21 + 1 = 3 或者 y = -31+ 6 = 35.得到交点坐标(x, y)：(1, 3)经过计算，我们得到了直线L1和L2的交点坐标为(1, 3)。
四、总结通过以上分析和示例演算，我们了解了如何求解已知两个直线方程的交点坐标。
需要注意的是，联立两个方程并解得交点坐标的前提是这两条直线确实有交点。
如果两条直线平行或重合，就无法得到交点坐标。
解析几何中联立方程求解交点坐标是一个常见的问题，对于直线方程的求解具有重要的实际应用意义，例如在图形学、工程学等领域中常常需要求解直线的交点坐标。
第二章 §2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标
§2.3 直线的交点坐标与距离公式 2．3.1 两条直线的交点坐标学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等． 一、求相交直线的交点坐标问题1 已知两条直线l 1：x ＋y －5＝0，l 2：x －y －3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M 与直线l 1，l 2的方程有什么关系？提示 直线l 1，l 2的图象如图所示．点M 既在直线l 1上，也在直线l 2上．满足直线l 1的方程x ＋y －5＝0，也满足直线l 2的方程x －y －3＝0.即交点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －y －3＝0的解．知识梳理已知两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 方法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.反思感悟 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点，则过l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l 2)，设出方程后再利用其他条件求解．跟踪训练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.方法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.二、判断两直线位置关系的方法 知识梳理已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)：方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行注意点：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．例2 (教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，①4x －12y ＋8＝0，②①×2得4x －12y ＋8＝0.①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，y ＝－2x ＋3无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.反思感悟 判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 跟踪训练2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是______. 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.所以－32<a <2.三、直线系过定点问题问题2 观察下面的图象，发现直线都经过点M (4,1)，怎么表示出经过M 点的直线方程？提示 当斜率存在时，y －1＝k (x －4)(k ∈R )；当斜率不存在时，x ＝4. 知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3 无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标． 解 ∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴点P 的坐标为(7,3)．反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3 已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，求证：无论a 为何值，直线总经过第一象限． 证明 将直线方程整理为a (3x －y )＋(－x ＋2y －1)＝0. 因为直线3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫15，35， 即直线系恒过第一象限内的定点⎝⎛⎭⎫15，35，所以无论a 为何值，直线总经过第一象限．1．知识清单： (1)两条直线的交点． (2)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3) D ．(－3，－2)答案 B解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点( ) A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1)答案 C解析 直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为______________． 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________. 答案 －12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上， ∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12.课时对点练1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3) D ．(3,4)答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( ) A ．12 B ．10 C ．－8 D ．－6 答案 B解析 ∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5， 将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5， ∴m ＋n ＝10.3．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37.故过点⎝⎛⎭⎫－197，37 和原点的直线方程为y ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.4．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．24 答案 C解析 因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6.5．已知实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫16，12 B.⎝⎛⎭⎫12，16 C.⎝⎛⎭⎫16，－12 D.⎝⎛⎭⎫12，－16 答案 D解析 由a ＋2b ＝1，得a ＝1－2b ，则直线ax ＋3y ＋b ＝0可化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0， 整理得x ＋3y －b (2x －1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，2x －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎫12，－16. 6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是( ) A ．{θ|0°<θ<60°} B ．{θ|30°<θ<60°} C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案 C解析 由题可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ，∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33， ∴30°<θ<90°.7．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________． 答案 3x ＋y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案 －2解析 由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5. 又点(1，m )在直线上， 所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327. 又因为直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫x ＋1127， 即27x ＋54y ＋37＝0.10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解 联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1，∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎨⎧－12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16.则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，－16.11．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________． 答案 y ＝2x解析 由直线ax ＋y ＋a ＋2＝0，得a (x ＋1)＋(y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－2， ∴直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，∴过这一定点和原点的直线方程是y －0－2－0＝x －0－1－0，即y ＝2x . 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案 x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析 设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ， 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ， 得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2 解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线方程y ＝3x ＋b ，得b ＝2.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图所示，直线l ：ax －y －2＝0经过定点D (0，－2)，a 表示直线l 的斜率，设线段AB 与y 轴交于点C ，由图形知，当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段CB 上时，a 大于或等于DB 的斜率，即a ≥2＋24－0＝1，即a ≥1.当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段AC 上时，a 小于或等于DA 的斜率， 即a ≤4＋2－2－0＝－3，即a ≤－3.综上，a 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在直线方程为() A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0. 16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解 设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4， 即B (6,4)．同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5， 即4x －y －20＝0.。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，让我们来看直线交点坐标公式。
设直线1的方程为y=m1x+c1，直线2的方程为y=m2x+c2、这里，m1和m2分别是直线1和直线2的斜率，c1和c2是它们的截距。
要计算两条直线的交点坐标，我们可以将直线1和直线2的方程联立，解出x和y的值。
具体步骤如下：1.将直线1和直线2的方程联立：m1x+c1=m2x+c22.移项得：m1x-m2x=c2-c13.合并同类项：(m1-m2)x=c2-c14.求解x的值：x=(c2-c1)/(m1-m2)5.将x的值带入直线的方程，求解y的值：y=m1x+c1或y=m2x+c2这样，我们就可以得到两条直线的交点坐标(x,y)。
下面，让我们来看直线之间的距离公式。
设直线1的方程为Ax+By+C1=0，直线2的方程为Ax+By+C2=0。
这里，A、B和C1、C2分别是直线1和直线2的系数。
要计算两条直线之间的距离，我们可以使用以下公式：d=，C2-C1，/√(A^2+B^2)其中，C2-C1，表示C2和C1的绝对值。
√(A^2+B^2)表示A^2+B^2的平方根。
需要注意的是，当A^2+B^2=0时，即直线1和直线2平行，此时它们没有交点。
接下来，我将给出两个实际应用的例子，以帮助读者更好地理解直线的交点坐标和距离公式。
例子1：两条直线的交点设直线1的方程为y=2x+3，直线2的方程为y=-x+1、我们需要计算这两条直线的交点坐标。
将直线1和直线2的方程联立，可得：2x+3=-x+1移项得：3x=-2解出x的值得到：x=-2/3将x的值带入直线的方程，可得：y=2*(-2/3)+3=-1/3所以，这两条直线的交点坐标为(-2/3,-1/3)。
例子2：两条直线的距离设直线1的方程为2x+3y-4=0，直线2的方程为4x-6y+8=0。
我们需要计算这两条直线之间的距离。
根据直线之间的距离公式，可以计算得到：d=，(-6)-3(4)，/√(2^2+3^2)=6/√13所以，这两条直线之间的距离为6/√13通过以上例子，我们可以看到直线的交点坐标公式和距离公式的实际应用。
两条直线的交点坐标高中乐乐课堂
两条直线的交点坐标高中乐乐课堂
摘要：
1.直线与直线的交点
2.交点坐标的求法
3.高中乐乐课堂
正文：
1.直线与直线的交点
在数学中，两条直线相交于一点，这个点被称为两条直线的交点。
在平面直角坐标系中，两条直线的交点可以通过求解它们的解析式中的联立方程组得到。
2.交点坐标的求法
为了求得两条直线的交点坐标，我们需要先知道这两条直线的解析式，也就是它们的y=ax+b 的形式。
然后，将这两条直线的解析式组成一个联立方程组，通过解这个方程组，我们可以得到交点的坐标。
例如，如果一条直线的解析式是y=2x+1，另一条直线的解析式是y=3x-2，我们可以将它们组成一个联立方程组：
2x+1=3x-2
通过解这个方程，我们可以得到x 的值为3。
然后，将x 的值代入任意一条直线的解析式，例如y=2x+1，我们可以得到y 的值为7。
所以，这两条直线的交点坐标就是(3,7)。
3.高中乐乐课堂
高中乐乐课堂是一个提供高中数学知识的在线学习平台。
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对于直线与直线的交点这一知识点，高中乐乐课堂提供了详细的视频讲解和例题分析，帮助学生掌握这一知识点。
在高中乐乐课堂，学生不仅可以学习到直线与直线的交点这一知识点，还可以学习到更多其他的数学知识，如函数、方程、不等式等。
两条直线的交点坐标 优秀教案
两条直线的交点坐标教学设计一、内容分析1．知识简介本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下：⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础．⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系．难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系．重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解．4．本节教材的地位与作用求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用．二、教学方法5．学生现状的分析及对策．学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导．教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识．6．教学目标的确定及依据教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教育目标.⑴情感目标：通过对两直线求交点概念的学习，使学生认识到两直线位置关系的重要性；通过数形结合的比较，体现数学的美感．提高学生对数学文化学习的兴趣．树立学生认识客观事物内在联系的正确观点；提高学生辨证地看待问题的能力．通过课堂教学使学生与教师、学生与学生善于合作与交流．⑵知识目标：牢固掌握两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解的方法.⑶能力目标：（见前2）7．注重学生对教学目标的掌握和反馈教学的三维目标有短期的（知识）和长期的（情感、能力）目标．本节课以在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合为背景．以学生的认知规律为前提建构关于两直线相交的基本知识体系， 精讲精练、学用结合．使学生感知两条直线相交，是由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；不断的巩固所学习的课堂知识；运用“交点”解决实际问题形成技巧技能．与优、中、后进各层次的学生进行课堂或课后交流，不断的完善学生自主学习的过程．三、教学策略 8．教学设计见附件1 教学设计，附件2板书设计 9．教具（多媒体）（图1、图2、图3） 附件1 教学设计 方法和手段1．教学方法的采用．数学的学习是每一个学生主动接受数学知识以及在自己原有知识的基础上以自己的方式不断建构的过程．本节课以讲授法、发现法为主，并结合启发、引导、讲练结合的具体教学方式为主线进行课堂教学，引导学生积极思考，发挥学生的主观能动作用，体现学生的主体性．2．教学手段的采用．根据本节内容的特点，为了更有效地抓住关键、突破难点、突出重点，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节课的知识内容，采用多媒体辅助教学，强化记忆，节省教学时间，提高教与学的效率．四、教学过程 复习回顾我们一起研究了平面上两直线(斜截式)的平行（斜率相等且截距不相等），重合(斜率截距都相等），垂直（斜率之积等于-1）的位置关系. 这一节，我们来研究在同一平面内两条直线相交的交点问题.(课题)讲授新课:1.观察出示小黑板，同学按同桌分开，左侧同学解方程组，右侧同学分别在同一直角坐标系下作图（数形结合），然后观察这三个方程组的系数关系，探索⎩⎨⎧≠=++≠=++)0(0)0(0222222111111C B A C y B x A C B A C y B x A 的解的情况与系数之间的关系.猜想: 唯一解 212121l l B BA A ⇔≠⇔无穷多解21212121l l C CB B A A ≡⇔==⇔无解 21212121l l C CB B A A ⇔≠=⇔若222,,C B A 中有一个为0，那么方程组的解及此时两直线的位置关系怎样呢?启发分析.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. 2.例题讲解例1.求下列两条直线的交点并作图.022:，0243:21=++=-+y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22得 0220243y x y x y x 所以，l 1与l 2的交点是M(-2，2). 例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:,022:21=--=+-y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22得 022022y x y x y x 所以， l 1与l 2的交点是(2，2). 方法一:设经过原点的直线方程为kx y =，把点(2，2)的坐标代入以上方程，得1=k ，所以所求直线方程为x y =．方法二:020020--=--x y ，即x y =. 例3 直线 ,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，直线1l 与2l 01相交，02平行，03垂直，04重合?分析:01当1≠m 且3≠m 时，21l l ;02当1-=m 时，21l l ;03当21=m 时，21l l ⊥;04当3=m ，21l l ≡. 3.课堂练习4.课堂小结:大家掌握了两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.进一步体现了以形论数与就数构形，数形结合的重要数学思想.5.课后作业附件2 板书设计。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式要求出两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立，得到如下方程组：a1x+b1=a2x+b2(1)y=a1x+b1通过对方程组进行求解，可以得到两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将方程(1)两边关于x进行整理，得到：(a1-a2)x=b2-b1再将这个结果代入方程y=a1x+b1中，可以求解出y的值。
现在，我们来看一个具体的实例来说明如何通过方程组来计算两条直线的交点坐标。
假设有两条直线分别为y=2x+1和y=-3x+4我们可以将这两条直线的方程联立，得到方程组如下：2x+1=-3x+4(2)y=2x+1将方程(2)两边关于x进行整理，得到：5x=3解方程5x=3，可以得到x=3/5再将这个结果代入方程y=2x+1中，可以求解出y的值。
代入x=3/5，可以得到y=2*(3/5)+1=6/5+1=11/5因此，两条直线的交点坐标为(3/5,11/5)。
接下来，我们来介绍一下两点间的距离公式。
两点间的距离公式可以通过勾股定理推导得到。
假设有平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过勾股定理的推导得到。
假设有直角三角形ABC，其中角C为直角，AB为斜边，AC为边长为a，BC为边长为b，AB为边长为c。
根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
将直角三角形ABC的顶点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标代入，可以得到：c²=(x2-x1)²+(y2-y1)²开方后可以得到两点间的距离d，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是两点间的距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出平面上两个点之间的距离，进而可以用来计算两条直线的距离。
总结起来，要确定两条直线的交点坐标，可以通过解直线方程组来计算。
3-3两直线交点坐标的求法
必修2 第三章§3-3 两直线交点坐标的求法1.点A （a ,b ）在直线L ：A x +B y +C=0上,则满足条件:2.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.3.方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.4.对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔.5.已知两直线12,l l 的方程为1l :1A x +1B y +1C =0,2l :2A x +2B y +2C =0,则两直线的位置关系如下⑴12//l l ⇔ ；⑵1l 和2l 相交⇔ ；⑶1l 和2l 重合⇔ ；⑷12l l ⊥⇔ .基础练习1.直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是( )A. (2,1)-B. (3,2)-C. (2,1)-D. (3,2)-2.两直线1:1)2l x y +=,2:1)3l x y +=的位置关系是( )A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合 3. 直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为 ( ）.A. 1B. －1C. 2D. －24. 若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ．5. 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.6. 求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.7.已知直线1l :3mx+8y+3m-10=0 和 2l :x+6my-4=0 问 m 为何值时: （1）.1l 与2l 相交;（2）.1l 与2l 平行;（3）.1l 与2l 垂直;8. 过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线1l 2x+y-8=0和2l x-3y+10=0所截得的线段被点P 平分的直线的方程.9. 试求直线1:l x -y -2=0关于直线2l :3x -y +3=0对称的直线l 的方程.课后作业1．两条垂直的直线2x +y +2=0与ax +4y -2=0的交点坐标是 .2.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程是( )A. 3450x y +-=B. 3450x y ++=C. 3450x y -+=D. 3450x y --=3. 若直线l ：y ＝kx 2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的斜率的取值范围是 .该直线的倾斜角的取值范围是 .4. 光线从M （-2，3）射到x 轴上的一点P （1，0）后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程.5. 已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.。
两条直线的交点坐标ppt课件
B.(1,1)
C.(1,2)
D. (2,1)
练习3.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),
则m+n的值为 ( B
A.12
B.10
)
C.-8
D.-6
练习4.经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,
且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是 ( D
.
练习9.无论实数k取何值,直线kx+y+2=0都过定点,则该定点
的坐标为 ( A )
A.(0,-2)
B.(0,2)
C.(2,0)
D.(-2,0)
练习10.已知直线x+ky-2-3k=0恒过定点Q,Q点在直线l上,则l
的方程可以是 ( B )
A.x+y-4=0
C.3x+y-8=0
B.2x-y-1=0
Ax0+By0+C=0
问题3：两条直线l1：x+y+2=0，l2：x-y-4=0相交，
它们的交点坐标怎么求？
点P既在直线l1上，也在直线l2上.
点P的坐标既满足直线l1的方程，也满足直线l2的方程.
+ + 2 = 0，
= 1，
解：联立{
解得{
.
= −3，
− − 4 = 0，
平行于直线x-2y+4=0,则直线l的方程为(
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x-y+2=0
D.2x+y-2=0
B)
练习8.已知直线l经过两条直线l1:x+2y-6=0和l2:2x-y+3=0的交点.
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高二数学必修②第三章【直线与方程】导学案 班级 姓名
- 1 -
3.3.1 两条直线的交点坐标
【学习目标】
1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交
点坐标； 2.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 【自主学习】 一、基础知识 （1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，_______________即为交点坐标. （2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是： ①方程组有一组解，该解为_____________； ②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为________，交点个数为_____________； ③方程组无解，此时两直线的位置关系是 _________，交点个数为___________． 二、辨析应用 1．初步运用 （1）求下列各对直线的交点坐标： ①;042:,01232:21yxlyxl ②.01223:,2:21yxlxl （2）判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： ①;01033:,0:21yxlyxl ②;0126:,043:21yxlyxl ③;01086:,0543:21yxlyxl 2．概念辨析 1.已知两直线方程0:1111CyBxAl和 0:2222CyBxAl如何判断这两条直线的位置关系？ 2.如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交 点坐标与二元一次方程组有什关系？ 3.当变化时，方程0)(222111CyBxACyBxA表示什么图形？ 【典例精析】 例1. 求经过两直线0332yx和02yx的交点且与直线013yx平行的直线方程.
例2. 已知三条直线1l：440xy，2l：
0xmy，3l：2340xmy
，求分别满
足下列条件的m的值：
（1）使这三条直线交于同一点；
（2）使这三条直线不能构成三角形．
【当堂检测】
1.若三条直线2380,xy10,xy
0xky
相交于一点，则k的值等于_______.
2.直线03)1()2(yaxa恒过定点___.
3.已知两点A(-2 ,1),B(4,3) ，求经过两直线
0132yx和0123yx
的交点和线
段AB中点的直线l的方程.
4.求直线02yx关于直线
033yx
对称的直线方程.
【总结提升】
1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方
程联立，得方程组00222111CyBxACyBxA，若方
程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数
组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线
平行；
2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐
标，能将几何问题转化为代数问题来解决.
【巩固练习】
基础训练（25）