江西省抚州一中届高三第四次同步考试试卷----理科数学doc
江西省抚州一中高三数学第四次同步考试(文理)
抚州一中2009届高三第四次同步考试数学试卷（理）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知},12|{R x x y y A ∈+==，}0,1|{≠∈+==a R x ax y y B 且，则集合B A 是 A ．空集B ．单元素集C ．无限集D ．单元素集或无限集2．若i x x x )23()1(22+++- 是纯虚数，则实数x 的值是 A ．－1B ． 1C ．±1D ．－1或－23．已知数列{a n }满足a n +1=a n –a n –1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结论正确的是A ．a 2008= – a ，S 2008=2b – aB ．a 2008= – b ，S 2008=2b – aC ．a 2008= – b ，S 2008=b – aD ．a 2008= – a ，S 2008=b – a4．已知向量)cos ,(sin αα=，)sin 3,cos 3(ββ=，若向量与的夹角为32π，则直线01sin cos =++ββy x 与圆41)cos ()sin (22=-+-ααy x 的位置关系是 A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定5．设定义在R 上的函数f (x )存在反函数，且对于任意R x ∈恒有2)3()1(=--++x f x f ，则)2007()2009(11-+---x f x f的值是A ．－2B ．0C ．2D ．不确定，与x 有关6．锐角三角形ABC 中，若2A B =，则下列叙述正确的是①C B 2sin 3sin = ②12tan 23tan=C B ③64B ππ<<④ab∈ A ． ①② B ．②③ C ．③④ D ．④①7．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，不同的放球方法有 A ．15种 B ．20种 C ．25种 D ．32种8．已知D C B A ABCD ''''-为长方体，对 角线C A '与平面BD A '相交于点Ｇ， 则Ｇ是BD A '∆的A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心9．根据表格中的数据，可以断定函数f （x ）=xx 2ln -的零点所在的区间是ＡＣ Ａ′Ｃ′ＢＢ′Ｄ′ＤA ．（1, 2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（3，10．在如下图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数：z ＝x ＋ay 解有无数个，则a x y -的最大值是A ．2B ．21C ．72D ．41 11．若AB 是过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，则=⋅MB MA k kA ．22a c -B ．22a b -C ．22b c -D ．22ba -12．若动点P 满足条件5)3()4(2222=+-+-+y x y x 的轨迹为C ，在曲线C 上有三个点到原点的距离构成等比数列，则该等比数列的公比q 的取值范围是 A ．)312,412(B ．]312,412[C ．)315,515(D ．]315,515[第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．）13．若x >1时，不等式k x x >-+11恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 14．已知二项式n x x )1(-的展开式中含3x 的项是第4项，则n 的值是 ．15．设函数)1,0(1)(≠>+=a a a a x f xx，][m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数 ]21)([]21)([+-+-x f x f 的值域是 ．16．下列四个命题：①圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；②直线kx y =与圆1)sin ()cos (22=-+-θy θx 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为π27；④若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=， 则)111(lim 21nn a a a +++∞→的值是2． 其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知函数f (x )=x x ln 212+．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[1，e ]上的最值；（Ⅱ）在区间（0，+∞）上，函数f (x )的图像在函数y =332x —a 图像的下方，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）第五届全国中学生桥牌锦标赛于2008年7月在抚州一中举行，抚州一中共派出甲、乙、丙三个队参加比赛，这三个队进入决赛阶段的概率分别为0.8、0.5、0.4． （Ⅰ）求恰有一个队进入决赛阶段的概率；（Ⅱ）记ξ为进入决赛阶段的队数，求ξ的分布列和期望值．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，∠A 1C 1B 1=90°，A 1C 1=1，AA 1=3，D 是线段A 1B 1的中点．（Ⅰ）证明：C 1D ⊥平面A 1B 1BA ； （Ⅱ）求点A 1到平面AB 1C 1的距离；（Ⅲ）求二面角A 1—AB 1—C 1的大小.20．（本小题满分12分）已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列．（Ⅰ）求△ABC 的面积S 的最大值； （Ⅱ）求⋅的取值范围．21．（本小题满分12分）已知双曲线E 以抛物线C ：)1(42-=x y 的顶点为右顶点，以C 的焦点为右焦点，以原点O 为中心． （Ⅰ）求双曲线E 的方程；（Ⅱ）若AB 是双曲线E 经过原点O 的弦， MN 是经过焦点且平行于MN 的弦，求证：||||2MN AB 为定值．22．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足*)()1(231N n S n n n ∈-+=+． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设)13)(223(2--=-n a b n n n ，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设])1(23[33++-+=n n n a n c ，证明：8311121<+++n c c c ．抚州一中2009届高三第四次同步考试数学试卷参考答案(理)一、选择题：CBAB ABCD BCBD二、填空题：13．)3,(-∞ 14．9 15．｛0，1｝ 16．②③ 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由已知xx x f 1)(+=' ，当x ∈[1，e ]时，0)(>'x f 所以函数f (x )在区间[1，e ]上单调递增，所以函数f (x )在区间[1，e ]上的最小值、最大值分别为f (1)、f (e )∵f (1)=21，12)(2+=e e f∴函数f (x )在区间[1，e ]上的最大值为122+e ，最小值为21． （6分）（Ⅱ）设F (x )=21x 2 +ln x –32x 3 +a ，则xx x x x x x x F )21)(1(21)(22++-=-+='当0<x <1时，0)(>'x F ；当x >1，0)(<'x F所以函数F (x )在区间 (0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 所以，在区间（0，+∞）上，F (x )≤F (1)，由题意F (1)= –61+a < 0， a <61所以a 的取值范围为)61,(-∞． （12分）18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三个队进入决赛阶段分别为事件A 、B 、C则P (A )=0.8 P (B )=0.5 P (C )=0.4(2分)恰有一个队进入决赛阶段的概率为：P (C AB C B A BC A ++)=4.0)5.01()8.01()4.01(5.0)8.01()4.01()5.01(8.0⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯ ＝0.34(6分)（Ⅱ）ξ的取值为0、1、2、3P (ξ=0)=0.06，P (ξ=1)＝0.34，P (ξ=2)=0.44，P (ξ=3)=0.16(8分)(10分) E ξ=7.116.0344.0234.0106.00=⨯+⨯+⨯+⨯(12分)19．（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，平面11111C B A A ABB 平面⊥，又点D 是等腰直角三角形111C B A 斜边11B A 的中点，则111B A D C ⊥， 所以，BA B A D C 111平面⊥；(4分)（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥A C 1于E 点, 1111111,CC C B C A C B ⊥⊥ ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ．又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴平面AB 1C 1⊥平面A 1C 1CA ． 又∵A 1E ⊥AC 1, ∴A 1E ⊥平面AB 1C 1，∴A 1E 就是A 1到平面AB 1C 1的距离 由已知，A C 1=2，所以，A 1E =23． (8分)（Ⅲ）在平面BA B A 11内，过D 作1AB DF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，则11AB F C ⊥．FD C 1∠是二面角111C AB A --的平面角，在1DFC Rt ∆中，315arctan ,315103022tan 111=∠===∠ED C DF D C FD C ，所以， 二面角111C AB A --的大小为315arctan. (12分)20．解：设,,BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b ²=ac ，（2分）由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=, 故有03B π<≤，（4分） 又6,22a c b b +-==从而2≤b又 b c a <-|| ∴2222b ac c a <-+ 225)(b c a <+ 即b c a 5<+∴ b b 56<- 2353->b ∴ 22353≤<-b （6分）（Ⅰ）所以22111sin sin 2sin 2223S ac B b B π==≤⋅⋅=max S = （8分） （Ⅱ）所以22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++259272,22353-<⋅≤∴≤<-BC BA b（12分）21．解：（Ⅰ）E ：1322=-y x （5分）（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ,),(),,(4433y x B y x A由题意可知，直线MN 的斜率存在且不为0，设MN ：y =k (x –2)，则AB ：kx y =，⎩⎨⎧-==-)2(3322x k y y x 消去y ，并整理得：0344)3(2222=++--k x k x k342221-=+k k x x ，3342221-+=k k x x|MN |=]4))[(1(||1212212212x x x x k x x k -++=-+=|3|)1(6)]334(4)34)[(1(22222222-+=-+--+k k k k k k k⎩⎨⎧==-3322kx y y x 消去y ，并整理得：2233k x -= ，∵02>x ∴32<k |AB |=224323)1(32||1kk x x k -+=-+ ∴23)1(63)1(12||||22222=-+-+=k k k k MN AB 为定值 （12分）22．解：（Ⅰ）1)1(23+-+=n n n S （1） 211)1(23+++-+=n n n S (2) (2)－(1)得：n n n a )1(2231-⨯+=+ ，所以：])1(2[3212---+=n n n a （3分） （Ⅱ）1)1)(13(---=n n n b 110)1)(13()1(5)1(2---++-⨯+-⨯=n n n T （3）n n n n n T )1)(13()1)(43()1(5)1(2121--+--++-⨯+-⨯=-- （4）(3)－(4)得：n n n n T )1)(13()1(3)1(3)1(322121----⨯++-⨯+-⨯+=-2)1)(13(2)1(311nn n ----⨯+=-所以 41)1)(16(1+-+=-n n n T（8分）（Ⅲ）1112)1(1212)1(2211++++-=++<=n n n n n n n n n n n c834111<=c 当n >1时，]2)1(121[)241231()231221(411111433221++-++⋅-⋅+⋅-⋅+<+++n n n n n c c c 832)1(181411<+-+=+n n （14分）抚州一中2009届高三第四次同步考试数学试卷（文）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知},12|{R x x y y A ∈+==，}0,1|{≠∈+==a R x ax y y B 且，则集合B A 是 A ．空集B ．单元素集C ．无限集D ．单元素集或无限集2．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体甲被抽到的概率是 A ．301 B ．61 C ．51D ．653．已知数列{a n }满足a n +1=a n –a n –1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结论正确的是A ．a 2008= – a ，S 2008=2b – aB ．a 2008= – b ，S 2008=2b – aC ．a 2008= – b ，S 2008=b – aD ．a 2008= – a ，S 2008=b – a4．在⊿ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为AB 边上一点，BD 、CE 交于点F ，且2=，若λ=，则实数λ的值是 A ．31B ．21 C ．32 D ．43 5．设定义在R 上的函数f (x )存在反函数，且对于任意R x ∈恒有2)3()1(=--++x f x f ，则)2007()2009(11-+---x f x f的值是A ．－2B ．0C ．2D ．不确定，与x 有关6．0,sin cos ,sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=若，则A ． a >bB ．a <bC ． ab <1D ． ab >27．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，不同的放球方法有 A ．15种 B ．20种 C ．25种D ．32种8．已知D C B A ABCD ''''-为长方体，对角线C A ' 与平面BD A '相交于点Ｇ，则Ｇ是BD A '∆的 A ．垂心 B ．外心 C ．内心D ．重心9．根据表格中的数据，可以断定函数f （x ）=xx 2ln -的零点所在的区间是ＡＣ Ａ′ＢＢ′Ｃ′ Ｄ′ＤA ．（1, 2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（3，+10．在如下图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）， 目标函数：z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解 有无数个，则a 的一个可能值是A ．1B ．－1C ．－3D ．311．若AB 是过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，则=⋅MB MA k kA ．22a c -B ．22a b -C ．22b c -D ．22ba -12．若动点P 满足条件5)3()4(2222=+-+-+y x y x 的轨迹为C ，在曲线C 上有三个点到原点的距离构成等比数列，则该等比数列的公比q 的取值范围是 A ．)312,412(B ．]312,412[C ．)315,515(D ．]315,515[第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．）13．若x >1时，不等式k x x >-+11恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 14．已知二项式n xx )1(-的展开式中含3x 的项是第4项，则n 的值是 ．15．设函数)1,0(1)(≠>+=a a a a x f xx，][m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]21)([]21)([+-+-x f x f 的值域是 ．16．下列四个命题：①圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；②直线kx y =与圆1)sin ()cos (22=-+-θy θx 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为π27；④若向量)2,(λ=a ，)5,3(--=b 且 向量与的夹角为钝角，则λ的取值范围是),310(+∞-． 其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立． 18．（本小题满分12分）第五届全国中学生桥牌锦标赛于2008年7月在抚州一中举行，抚州一中共派出甲、乙、丙三个队参加比赛，这三个队进入决赛阶段的概率分别为0.8、0.5、0.4． （Ⅰ）求恰有一个队进入决赛阶段的概率； （Ⅱ）求至少有二个队进入决赛阶段的概率．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，∠A 1C 1B 1=90°，A 1C 1=1，AA 1=3，D 是线段A 1B 1的中点．（Ⅰ）证明：C 1D ⊥平面A 1B 1BA ； （Ⅱ）求点A 1到平面AB 1C 1的距离； （Ⅲ）求二面角A 1—AB 1—C 1的大小.20．（本小题满分12分）已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列． （Ⅰ）求△ABC 的面积S 的最大值； （Ⅱ）求⋅的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知双曲线E 以抛物线C ：)1(42-=x y 的顶点为右顶点，以C 的焦点为右焦点，以原点O 为中心． （Ⅰ）求双曲线E 的方程；（Ⅱ）若AB 是双曲线E 经过原点O 的弦， MN 是经过焦点且平行于MN 的弦，求证：||||2MN AB 为定值．22．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S 且*)(2222N n n n S nn ∈-++=． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设)13)((--=n n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）设12--=n n n a c ，证明：203311122221<+++nc c c ．抚州一中2009届高三第四次同步考试数学试卷参考答案(文)一、选择题：CBAB ABCD BCBD二、填空题：13．)3,(-∞ 14．9 15．｛0，1｝ 16．②③ 三、解答题：17．解：（Ⅰ）)0()(23≠++=a cx bx ax x f c bx ax x f ++='23)(2由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒=+-=-+--=++⇒=-'=--=9310235110)1(5)1(11)1(c b a c b a c b a c b a f f f因此，x x x x f 93)(23--=，)3)(1(3)(-+='x x x f当 ),3()1,(+∞--∞∈ x 时，'()0f x >，当)3,1(-∈x 时，'()0f x <， 所以函数单调增区间为)1,(--∞，),3(+∞，单调减区间为)3,1(-.()f x 在1x =-处取得极大值5，在3=x 处取得极小值–27 ．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知93)(23--=x x x f 在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减， 所以，)3,3(-∈x 时，5)1()(=-≤f x f ，27)3()(-=±>f x f所以，对任意12,x x )3,3(-∈恒有 32|)27(5||)()(|21=--<-x f x f ．（12分）18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三个队进入决赛分别为事件A 、B 、C则P (A )=0.8 P (B )=0.5 P (C )=0.4(2分)恰有一个队进入决赛阶段的概率为：P (C AB C B A BC A ++)=4.0)5.01()8.01()4.01(5.0)8.01()4.01()5.01(8.0⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯ ＝0.34(6分) （Ⅱ）至少有二个队进入决赛阶段的概率：P =0.44+0.16=0.6(12分)19．（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，平面11111C B A A ABB 平面⊥，又点D 是等腰直角三角形111C B A 斜边11B A 的中点，则111B A D C ⊥， 所以，BA B A D C 111平面⊥；(4分)（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥A C 1于E 点, 1111111,CC C B C A C B ⊥⊥ ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ．又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴平面AB 1C 1⊥平面A 1C 1CA ． 又∵A 1E ⊥AC 1, ∴A 1E ⊥平面AB 1C 1，∴A 1E 就是A 1到平面AB 1C 1的距离 由已知，A C 1=2，所以，A 1E =23． (8分)（Ⅲ）在平面BA B A 11内，过D 作1AB DF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，则11AB F C ⊥．FD C 1∠是二面角111C AB A --的平面角，在1DFC Rt ∆中，315arctan ,315103022tan 111=∠===∠ED C DF D C FD C ， 所以， 二面角111C AB A --的大小为315arctan. (12分)20．解：设,,BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b ²=ac ，（2分）由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=, 故有03B π<≤，（4分）又6,22a c b b +-==从而02b <≤（6分）（Ⅰ）所以22111sin sin 2sin 2223S ac B b B π==≤⋅⋅=max S = （8分） （Ⅱ）所以22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++182,20<⋅≤∴≤<b（12分）21．解：（Ⅰ）E ：1322=-y x（5分）（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ,),(),,(4433y x B y x A由题意可知，直线MN 的斜率存在且不为0，设MN ：y =k (x –2)，则AB ：kx y =，⎩⎨⎧-==-)2(3322x k y y x 消去y ，并整理得：0344)3(2222=++--k x k x k342221-=+k k x x ，3342221-+=k k x x|MN |=]4))[(1(||1212212212x x x x k x x k -++=-+=|3|)1(6)]334(4)34)[(1(22222222-+=-+--+k k k k k k k ⎩⎨⎧==-3322kx y y x 消去y ，并整理得：2233k x -= ，∵02>x ∴32<k |AB |=224323)1(32||1kk x x k -+=-+ ∴23)1(63)1(12||||22222=-+-+=k k k k MN AB 为定值 （12分）22．解：（Ⅰ）2222-++=n n S nn （1） 22)1()1(2211-++++=++n n S n n (2)（2)－(1)得：121++=+n a n n ，所以 n a n n +=-12（3分）（Ⅱ）12)13(--=n n n b 1102)13(2522-⋅-++⨯+⨯=n n n T （3） n n n n n T 2)13(2)43(25222121⋅-+⋅-++⨯+⨯=- （4） （3)－(4)得：n n n n T 2)13(2323232121⋅--⨯++⨯+⨯+=-- n n n 2)13(6232⋅---⨯+=所以 42)43(+⋅-=n n n T（8分）（Ⅲ）n c n =；21121141111222+--=-<=n n n n c n当2≤n 时，20334541111111222122221<=+=+≤+++c c c c c n当2>n 时，)211211()21412141()21312131(41111122221+--+++--++--++≤+++n n c c c n20331225245<+-+=n （14分）。
江西省抚州一中高三数学第四次模拟考试试卷(文)
抚州一中2009届高三第四次模拟考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|1|1,0A x x x B x x x =+=+=+<，则A B ⋂等于 （ ）.A [)1,0-.B(1,0)- .C (]1,0- .D []1,0-2．若曲线4y x =的一条切线l 的斜率为4，则切线l 的方程是 （ ）.A 430x y --= .B 450x y +-=.C 430x y -+= .D 430x y ++=3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题①//m n ，n α⊂⇒//m α； ②l α⊥，m β⊥，//l m ⇒//αβ； ③,,//,//m n m n ααββ⊂⊂⇒//αβ；④αβ⊥，m αβ⋂=，n β⊂，n m ⊥⇒n α⊥.其中正确的命题个数是 （ ）.A 1.B 2 .C 3 .D 44．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）.A 0 .B12 .C 35.D 5．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）.A 2,0M M ∉∈ .B 2,0M M ∉∉.C 2,0M M ∈∉ .D 2,0M M ∈∈6．已知22ππθ-<<，且sin cos a θθ+=，其中(0,1)a ∈，则tan θ的值有可能是（ ）.A 3- .B 3或13 .C 13-或12- .D 3-或13-7．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=-AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆ 的面积之比为（ ）.A 15.B 25.C 14.D 53 8．二项式101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）.A 10312+.B 10312-.C 102 .D 929．,,,,A B C D E 五人争夺某项比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A 获奖，B 不是第一名，则不同的发奖方式共有 （ ）.A 72种 .B 30种 .C 24种.D 14种10．数列{}n a 满足：11a =，221114n na a +-=，2222123,n n S a a a a =++++若2130n n m S S +-≤对于任意n N *∈都成立，则正整数m 的最小值为( ).A 10 .B 9 .C 8 .D 711．在直角坐标系xOy 中，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 作圆222ay x =+的一条切线（切点为T ）交双曲线右支于点P ，若M 为FP 的中点。
江西省抚州一中2009届高三第四次模拟考试(数学理)
抚州一中2009届高三第四次模拟考试数学试卷（理）命题人 ：高三数学组 考试时间 ：2009.5第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a 是实数，且112a ii +++是纯虚数，则a 的值是 （ ） .A 12.B 1- .C 32.D 22．若曲线4y x =的一条切线l 的斜率为4，则切线l 的方程是 （ ）.A 430x y --= .B 450x y +-= .C 430x y -+=.D 430x y ++=3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题 ①//m n ，n α⊂⇒//m α； ②l α⊥，m β⊥，//l m ⇒//αβ； ③,,//,//m n m n ααββ⊂⊂⇒//αβ；④αβ⊥，m αβ⋂=，n β⊂，n m ⊥⇒n α⊥.其中正确的命题个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 4．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）.A 0.B12 .C 35.D 5．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确定界.若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） .A 92.B 4.C 14 .D 92- 6．已知22ππθ-<<，且sin cos a θθ+=，其中(0,1)a ∈，则tan θ的值有可能是（ ）.A 3- .B 3或13 .C 13-或12- .D 3-或13-7．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=--AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆ 的面积比为（ ）.A 15.B 25.C 14.D 53 8．二项式101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）.A 10312+ .B 10312- .C 102 .D 929．,,,,A B C D E 五人争夺某项比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A 获奖，B 不是第一名，则不同的发奖方式共有 （ ）.A 72种 .B 30种 .C 24种.D 14种10．数列{}n a 满足：11a =，221114n na a +-=，2222123,n n S a a a a =++++若2130n n mS S +-≤对于任意n N *∈都成立，则正整数m 的最小值为( ).A 10 .B 9 .C 8 .D 711．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则221211e e +的值为 （ ） .A 21.B 1 .C 2 .D 4 12．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，11()()52f x f x =，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()75f 的值为 （ ） .A161.B 12 .C 14 .D 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．若(1)1lim 22n a n n →∞++=+，则2132limx ax x x a →-+=- ； 14．已知点A ，B ，C ，D 在同一球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，AC =8AD =，则B 、C 两点间的球面距离是 ；15．如果点(1,1)在不等式组024033m nx y mx ny nx y m -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域内，则22m n +的取值范围是 ；16．设函数()(0,1)1xxa f x a a a =>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数 11[()][()]22f x f x -+--的值域是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱SC 的中点E 在底面内的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，顶点A 在截面SBD 内的射影恰好是SBD ∆的重心G ． （1）求直线SO 与底面ABCD 所成角的正切值； （2）设AB a =，求此四棱锥过点,C D G ,的截面面积．ABC DSOGE某鲜花店的鲜花进价为每束6元，销售价为每束8元．若当天没有销完，则以每束5元的价格处理掉．假如某一天该鲜花店订购鲜花数量是40束、100束或120束，鲜花需求量ξ的分布列是：试问：（1）这一天鲜花需求量的期望值是多少？（2）该花店这一天应订购多少束鲜花盈利最大？19. （本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知060B =，且A B C <<=. （1）求角A 与C 的大小；（2）PQ 是以B 为半径的圆的直径，已知AC =求A P C Q ⋅的最大值.20．（本题满分12分）已知()ln()f x ax x =--， ln()()x g x x -=-，其中[),0x e ∈-. (1)当1a =-时，求证1()()2f xg x >+；(2)若()f x 的最小值为3，试求a 的值.已知直线:30l x y --=，抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，S 是抛物线C 上任意一点，T 是直线l 上任意一点，若ST 的最小值为0d >时,点S 的横坐标为2. （1）求抛物线方程以及d 的值；（2）过抛物线C 的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.设点P 分有向线段所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;（3）设R 为抛物线准线上任意一点，过R 作抛物线的两条切线，切点分别为,M N ,直线MN 是否恒过一定点？若恒过定点，请指出定点；若不恒过定点，请说明理由.22．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足递推关系11a =且2123()1n n n n a a ma n N a ++++=∈+.（1）在1m =时，求数列{}n a 的通项n a ；(2) 当n N +∈时，数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；(3) 在31m -≤<时，证明：12111111112n n a a a +++≥-+++.抚州一中2009届高三第四次模拟考试数学参考答案（理）一、选择题一、 填空题13.1-； 14.43π； 15.9,6110⎡⎤⎢⎥⎣⎦；16.11[()][()]22f x f x -+--= 1111[][]2112x x a a -+-++，即[][]m m +-，当m 为整数时，值为0，m 为小数时，值为-1，故所求值域为{-1,0}三、解答题１7．（1）O E ∴⇒⊥、分别是ＡＣ、ＳＣ的中点，ＳＡＥＯＳＡ面ＡＢＣＤS OA S O ⇒∠是与面ＡＢＣＤ所成的角 ,∴S A AB ,A D两两相互垂直, 连结DG 并延长交SB 于F ． S O S B D G SO ∆∴是的中线，点在上D F S BSB ⇒⊥⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⇒⊥⎭面FAD 面SDB AD 面SAB AD SB AG AG SB 同理可得,BGSD SO BD ⊥⊥G S B D ∴∆是的垂心 S B D ∴∆又是等边三角形S A A B A D ∴==， t a n S O A ∴∠ …… (6分) （2）G 是SBD ∆的重心 F 是SB 的中点 C DA B C D S A B C D GS A B⇒⇒面过的平面交面于C D S A D C D H F⊥∴面四边形是直角梯形梯形的高 2DH ==，22228CDHFaa S a a +∴==梯形.…… (12分)【注】可以用空间向量的方法.18．（1）90Eξ=.…………4分（2）若该天订购40束鲜花，则盈利为80元；若该天订购100束鲜花，盈利为1η，则其分布列为1200.22000.8164Eη=⨯+⨯=（元）.若该天订购120束鲜花，盈利为2η，则其分布列为100.21800.72400.1150Eη=⨯+⨯+⨯=（元）.综上可知，该花店这一天应订购100束鲜花盈利最大. …………12分19．（1cos cosA C=⇒=.又1cos cos()sin sin cos cos2B AC A C A C=-+=-=sin sinA C⇒=.cos()C A⇒-==0003075,45C A C A⇒-=⇒==.………6分（2）()()()22AP CQ AB BPCB BQAB CB AB BQBP CB BP BQAB CB BP CB BAAB CB BP CA⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++-=⋅+⋅-又1sin75ABAB===，2sin45ABBC==⇒=.从而cos 231AP CQ AB CB B BP CA BP CA ⋅=⋅+⋅-=⋅+-当//BP CA 且同向时，()max11AP CQ⋅==.………12分20．（1）当1a =-时，()ln()f x x x =---，1()1f x x'=--，令()01f x x '=⇒=-. 列表分析：故()f x 在[),0e -上满足()1f x ≥，从而min ()1f x =.设11ln()()()22x h x g x x -=+=-，2ln()1()x h x x--'=，令()0h x x e '=⇒=-，()h x 在[),0e -上为减函数，故max 11()()2h x h e e=-=+，由于 max min ()()f x h x >，从而1()()2f xg x >+.……6分（2）1()f x a x'=-.①若0a ≥，则()0f x '>，()f x ，min ()()1f x f e ae =-=--，令413ae a e --=⇒=-，矛盾.②若1a e <-，令[)1()0,0f x x e'=⇒=∈-.min 1()1ln()f x a =--，令21ln()3a e a--=⇒=-.③若10a e -≤<，则()0()f x f x '≥⇒，min ()()1f x f e ae ∴=-=--，令13ae --=，得41a e e=-<-（舍去）.综合①②③知2a e =-. ……12分21．（1）设抛物线方程为)0(22>=p py x ，由1y x p '=21p∴= ∴2=p ，∴抛物线方程为y x 42=；d =…………4分（2）依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设,A B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、2x 是方程①的两根.…………6分 所以 .421m x x -= 由点(0,)P m 分有向线段所成的比为λ，得.,012121x xx x -==++λλλ即又点Q 与点P 关于原点对称，故点Q 的坐标是(0,)m -，从而)2,0(m =.).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=- ……7分])1([2)(21m y y m λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x m x x x x m m x x x x x x m +⋅+=++⋅+=.0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 所以 ).(λ-⊥ …………8分（3）设M )4,(211x x ，N )4,(222x x ，)1,(0-x Q ，∵21x k MQ =，∴MQ 的方程为⇒-=-)(241121x x x x y 042121=+-y x x x ； ∵MQ 过Q ，∴0420121=--x x x ，同理0420222=--x x x ∴21,x x 为方程04202=--x x x 的两个根；∴421-=x x ；……11分又421x x k MN+=，∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=-∴1421++=x x x y ，显然直线MN 过点)1,0(……12分 22．（1）21nn a =-……4分(2)由1n n a a +≥，而11a =，0n a ∴>， 2231n n n n a a m a a ++∴≥+，22nn m a a ∴≥--， 2()1n m a ∴≥-++恒成立，1n a ≥，21n m ∴≥-+，即3m ≥-．……8分(3) 由(2)得当31m -≤<时知1n n a a +≥，0n a ∴>，设数列11n n c a =+，1111n n c a ++∴=+，12211232(1)111n n n n n n a c a a m a m a ++==++++-∴++. 1m <，10m ∴-<，故1211112(1)212n n n n n a c c a a ++>=⋅=++，111112c a ==+， 111(2)22n n n c c n -∴>>≥，1232311(1)11111221()12222212n n n n c c c c -∴++++>+++==--， 即12111111112n n a a a +++≥-+++ ………14分。
江西省抚州市2021届新高考数学四模试卷含解析
江西省抚州市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( )A ．29B ．30C ．31D ．32 【答案】B【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q ，则a 4=16q 3，a 7=16q 6，a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94， 解得q=12（负值舍去）， 则有S 5=()5111a q q --=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 2．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A．B．C ．4 D ．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ；∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩， 解得a ＝3，b ＝4，∴z ＝3+4i ，∴|z|5=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 3．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件【答案】B【解析】【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<，所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.4．已知向量(a =r ，b r 是单位向量，若a b -=r r ，则,a b =r r （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】【分析】设(,)b x y =r，根据题意求出,x y 的值，代入向量夹角公式，即可得答案；【详解】 设(,)b x y =r ，∴(1,3)a b x y -=--r r ， Q b r是单位向量，∴221x y +=, Q 3a b -=r r ，∴22(1)(3)3x y -+-=，联立方程解得：1,23,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,x y =⎧⎨=⎩当1,23,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，13122cos ,212a b -+<>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 当1,0,x y =⎧⎨=⎩时，11cos ,212a b <>==⨯r r ；∴,3a b π<>=r r 综上所述：,3a b π<>=r r . 故选：C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意b r的两种情况.5．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.6．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】 若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r 共线，且方向相同，充分性；当a r 与b r 共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r （ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．213313,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．213313,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】【分析】设(),a x y =r ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a r 的坐标.【详解】 设(),a x y =r ，且()4,6m =u r ，()5,1b =-r ，由//a m r u r 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=r r，②， 所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--r . 故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.8．水平放置的ABC V ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''V ，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．3πC ．(833)πD ．(16312)π【答案】B【解析】【分析】 根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =4AB AC BC ===，ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体， 它的表面积为22234163S rl πππ==⨯⨯=.故选:B【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.9．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12 B ．1- C ．±1 D ．12± 【答案】C【解析】【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x ax h x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±，所以1a =±.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.10．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π【答案】B【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度 【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=， 可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ．【点睛】 本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省数学高三上学期理数第四次段考试卷
江西省数学高三上学期理数第四次段考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·伊春月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数在复平面内对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 若正实数满足，则的最小值是（）A . 12B . 6C . 16D . 84. （2分） (2019高三上·江西月考) 现有如下命题：命题：“ ，”的否定为“ ，”；命题：“ ”的充要条件为：“ ”，则下列命题中的真命题是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·中山月考) 在等比数列中，若，则的最小值为（）A .B . 4C . 8D . 166. （2分）单位向量与的夹角为，则|-|=（）A .B . 1C .D . 27. （2分） (2019高一上·平遥月考) 下图表示某人的体重与年龄的关系，则（）A . 体重随年龄的增长而增加B . 25岁之后体重不变C . 体重增加最快的是15岁至25岁D . 体重增加最快的是15岁之前8. （2分） (2015高一下·正定开学考) 若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）已知偶函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），且当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，其图象与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1 ，P2…，则等于（）A . 2B . 4C . 8D . 1610. （2分） (2019高二下·桂林期中) 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·城关期中) 设，若2是与的等比中项，则的最小值为（）A . 16B . 8C . 4D . 212. （2分）一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·广东模拟) 已知实数满足，则的最大值是________．14. （1分） (2017高三上·甘肃开学考) 观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N* ， 12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=________．15. （1分）(2018·荆州模拟) 高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根，， .则：（1） ________；（2） ________.16. （1分）(2019·泉州模拟) 中，角的对边分别为 .若，为所在平面上一点，且，，，，则的面积为________.三、解答题 (共6题；共47分)17. （5分） (2019高二上·分宜月考) 已知等差数列中，，，求此数列的通项公式．18. （10分） (2019高三上·湖北月考) 如图，在中，是边的中点，，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.19. （10分）(2019·大连模拟) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ， PD=DC ，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F ．（Ⅰ）证明 PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD.20. （2分） (2016高二下·晋江期中) 某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和100名高三年级学生，对这些学生配戴眼镜的度数（简称：近视度数）进行统计，得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下：近视度数0﹣100100﹣200200﹣300300﹣400400以上学生频数304020100将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0﹣100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100﹣200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200﹣400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3．（1）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；（2）设a=0.0024，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；（3）把频率近似地看成概率，用随机变量X，Y分别表示高二、高三年级学生的近视程度，若EX=EY，求b．21. （10分） (2019高三上·内蒙古月考) 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，直线过定点且倾斜角为，交曲线于两点．（1）把曲线化成直角坐标方程，并求的值；（2）若，，成等比数列，求直线的倾斜角．22. （10分） (2016高一上·越秀期中) 已知二次函数满足，且．（1）求的解析式．（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．（3）若关于的方程有区间上有唯一实数根，求实数的取值范围（相等的实数根算一个）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共47分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
江西省抚州一中高三数学第四次模拟考试试题(理)
抚州一中2009届高三第四次模拟考试数学试卷（理）命题人 ：高三数学组 考试时间 ：2009.5第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a 是实数，且112a i i +++是纯虚数，则a 的值是 （ ） .A 12.B 1- .C 32.D 22．若曲线4y x =的一条切线l 的斜率为4，则切线l 的方程是 （ ）.A 430x y --= .B 450x y +-= .C 430x y -+=.D 430x y ++=3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题 ①//m n ，n α⊂⇒//m α； ②l α⊥，m β⊥，//l m ⇒//αβ； ③,,//,//m n m n ααββ⊂⊂⇒//αβ；④αβ⊥，m αβ⋂=，n β⊂，n m ⊥⇒n α⊥. 其中正确的命题个数是（ ）.A 1.B 2.C 3 .D 44．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）.A 0.B12 .C 35.D 5．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确定界.若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） .A 92.B 4.C 14 .D 92-6．已知22ππθ-<<，且sin cos a θθ+=，其中(0,1)a ∈，则tan θ的值有可能是（ ）.A 3- .B 3或13 .C 13-或12- .D 3-或13-7．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=-AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆ 的面积比为（ ）.A 15.B 25.C 14.D 53 8．二项式101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）.A 10312+.B 10312-.C 102 .D 929．,,,,A B C D E 五人争夺某项比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A 获奖，B 不是第一名，则不同的发奖方式共有 （ ）.A 72种 .B 30种 .C 24种.D 14种10．数列{}n a 满足：11a =，221114n na a +-=，2222123,n n S a a a a =++++若2130n n m S S +-≤对于任意n N *∈都成立，则正整数m 的最小值为( ).A 10 .B 9 .C 8 .D 711．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF ，则221211e e +的值为 （ ） .A 21.B 1 .C 2 .D 4 12．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，11()()52f x f x =，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()75f 的值为 （ ） .A161.B 12 .C 14 .D 18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．若(1)1lim22n a n n →∞++=+，则2132lim x ax x x a→-+=- ； 14．已知点A ，B ，C ，D 在同一球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，AC =8AD =，则B 、C 两点间的球面距离是 ；15．如果点(1,1)在不等式组024033m nx y mx ny nx y m -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域内，则22m n +的取值范围是 ；16．设函数()(0,1)1xxa f x a a a =>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数 11[()][()]22f x f x -+--的值域是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱SC 的中点E 在底面内的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，顶点A 在截面SBD 内的射影恰好是SBD ∆的重心G ． （1）求直线SO 与底面ABCD 所成角的正切值； （2）设AB a =，求此四棱锥过点,C D G ,的截面面积．ABC DSOGE18．（本题满分12分）某鲜花店的鲜花进价为每束6元，销售价为每束8元．若当天没有销完，则以每束5元的价格处理掉．假如某一天该鲜花店订购鲜花数量是40束、100束或120束，鲜花需求量ξ的分布列是：试问：（1）这一天鲜花需求量的期望值是多少？（2）该花店这一天应订购多少束鲜花盈利最大？19. （本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知060B =，且A B C <<=. （1）求角A 与C 的大小；（2）PQ 是以B AC =，求AP CQ ⋅的最大值. 20．（本题满分12分）已知()ln()f x ax x =--， ln()()x g x x -=-，其中[),0x e ∈-. (1)当1a =-时，求证1()()2f xg x >+；(2)若()f x 的最小值为3，试求a 的值.21．（本题满分12分）已知直线:30l x y --=，抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，S 是抛物线C 上任意一点，T 是直线l 上任意一点，若ST 的最小值为0d >时,点S 的横坐标为2.（1）求抛物线方程以及d 的值；（2）过抛物线C 的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.设点P 分有向线段所成的比为λ， 证明:()QP QA QB λ⊥-;（3）设R 为抛物线准线上任意一点，过R 作抛物线的两条切线，切点分别为,M N ,直线MN 是否恒过一定点？若恒过定点，请指出定点；若不恒过定点，请说明理由.22．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足递推关系11a =且2123()1n n n n a a ma n N a ++++=∈+.（1）在1m =时，求数列{}n a 的通项n a ；(2) 当n N +∈时，数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；(3) 在31m -≤<时，证明：12111111112n n a a a +++≥-+++.抚州一中2009届高三第四次模拟考试数学参考答案（理）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BABDDCAABACD一、 填空题13.1-； 14.43π； 15.9,6110⎡⎤⎢⎥⎣⎦；16.11[()][()]22f x f x -+--= 1111[][]2112x x a a -+-++，即[][]m m +-，当m 为整数时，值为0，m 为小数时，值为-1，故所求值域为{-1,0}三、解答题１7．（1）O E ∴⇒⊥、分别是ＡＣ、ＳＣ的中点，ＳＡＥＯＳＡ面ＡＢＣＤS O A S O ⇒∠是与面ＡＢＣＤ所成的角 ,∴S A A B ,A D两两相互垂直, 连结DG 并延长交SB 于F ． S O S B D G SO ∆∴是的中线，点在上D F S BSB ⇒⊥⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⇒⊥⎭面FAD 面SDB AD 面SAB AD SB AG AG SB 同理可得,BG SD SO BD ⊥⊥ G S B D ∴∆是的垂心 S B D∴∆又是等边三角形S A A B A D ∴==， t a n S O A ∴∠ …… (6分) （2）G 是SBD ∆的重心 F 是SB 的中点 C DA B C D S A B C D GS A B⇒⇒面过的平面交面于C D S A D C D H F⊥∴面四边形是直角梯形梯形的高2DH ==，22228CDHFaa S a a +∴=⨯=梯形.……(12分)【注】可以用空间向量的方法. 18．（1）90E ξ=.…………4分（2）若该天订购40束鲜花，则盈利为80元； 若该天订购100束鲜花，盈利为1η，则其分布列为1η20 200 p0.20.81200.22000.8164E η=⨯+⨯=（元）.若该天订购120束鲜花，盈利为2η，则其分布列为1η0 180 240 p0.20.70.1100.21800.72400.1150E η=⨯+⨯+⨯=（元）.综上可知，该花店这一天应订购100束鲜花盈利最大. …………12分 19．（1cos cos A C =⇒=. 又1cos cos()sin sin cos cos 2B A C A C A C =-+=-=sin sin A C ⇒=. 11cos()242C A ⇒-=+=0003075,45C A C A ⇒-=⇒==.………6分（2）()()()22AP CQ AB BP CB BQ AB CB AB BQ BP CB BP BQ AB CB BP CB BA AB CB BP CA ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++-=⋅+⋅-又01sin 75AB AB ===，002sin 45sin 60AB BC ==⇒=.从而 cos 231AP CQ AB CB B BP CA BP CA ⋅=⋅+⋅-=⋅+-当//BP CA 且同向时，()max11AP CQ⋅==.………12分20．（1）当1a =-时，()ln()f x x x =---，1()1f x x'=--，令()01f x x '=⇒=-. 列表分析：e -(,1)e --1-(1,0)-()f x '-+()f x1e -1故()f x 在[),0e -上满足()1f x ≥，从而min ()1f x =. 设11ln()()()22x h x g x x -=+=-，2ln()1()x h x x --'=，令()0h x x e '=⇒=-，()h x 在[),0e -上为减函数，故max 11()()2h x h e e =-=+，由于 max min ()()f x h x >，从而1()()2f xg x >+.……6分（2）1()f x a x'=-.①若0a ≥，则()0f x '>，()f x ，min ()()1f x f e ae =-=--，令413ae a e --=⇒=-，矛盾.②若1a e <-，令[)1()0,0f x x e a'=⇒=∈-.e -1(,)e a-1a 1(,0)a ()f x '-0 +()f x11ln()a--min 1()1ln()f x a =--，令211ln()3a e a--=⇒=-.③若10a e-≤<，则()0()f x f x '≥⇒，min ()()1f x f e ae ∴=-=--，令13ae --=，得41a e e=-<-（舍去）. 综合①②③知2a e =-. ……12分 21．（1）设抛物线方程为)0(22>=p py x ，由1y x p '=21p∴= ∴2=p ，∴抛物线方程为y x 42=；d ==4分（2）依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设,A B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、2x 是方程①的两根.…………6分 所以 .421m x x -= 由点(0,)P m 分有向线段AB 所成的比为λ，得.,012121x xx x -==++λλλ即又点Q 与点P 关于原点对称，故点Q 的坐标是(0,)m -，从而)2,0(m =.).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x λλλλλ-+--=+-+=- ……7分])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x m x x x x m m x x x x x x m +⋅+=++⋅+=.0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 所以 ).(λ-⊥ …………8分（3）设M )4,(211x x ，N )4,(222x x ，)1,(0-x Q ，∵21x k MQ =，∴MQ 的方程为⇒-=-)(241121x x x x y 042121=+-y x x x ； ∵MQ 过Q ，∴0420121=--x x x ，同理0420222=--x x x∴21,x x 为方程04202=--x x x 的两个根；∴421-=x x ；……11分又421x x k MN+=，∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=-∴1421++=x x x y ，显然直线MN 过点)1,0(……12分 22．（1）21n n a =-……4分(2)由1n n a a +≥，而11a =，0n a ∴>， 2231n n n n a a m a a ++∴≥+，22n n m a a ∴≥--，2()1n m a ∴≥-++恒成立，1n a ≥，21n m ∴≥-+，即3m ≥-．……8分(3) 由(2)得当31m -≤<时知1n n a a +≥，0n a ∴>，设数列11n n c a =+，1111n n c a ++∴=+， 12211232(1)111n n n n n n a c a a m a m a ++==++++-∴++. 1m <，10m ∴-<，故1211112(1)212n n n n n a c c a a ++>=⋅=++，111112c a ==+， 111(2)22n n n c c n -∴>>≥，1232311(1)11111221()12222212n n n n c c c c -∴++++>+++==--， 即12111111112n n a a a +++≥-+++ ………14分本资料来源于《七彩教育网》。
江西省抚州市数学高考理数4月联合调研考试试卷
江西省抚州市数学高考理数4月联合调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的 (共11题；共55分)1. （5分）已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合A∩B=（）A . {x|﹣2≤x＜4}B . {x|x≤3或x≥4}C . {x|﹣2≤x＜﹣1}D . {x|﹣1≤x≤3}2. （5分）设是虚数单位，则等于（）A . 1B . 4C . 2D .3. （5分）已知样本：12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10，那么频率为0.35的样本范围是（）A . [5.5,7.5)B . [7.5,9.5)C . [9.5,11.5)D . [11.5,13.5)4. （5分）已知双曲线的左顶点为A1 ，右焦点为F2 ， P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A . -4B .C . 1D . 05. （5分）若数列满足：存在正整数，对于任意正整数n都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是（）A . 若m=，则B . 若，则m可以取3个不同的值C . 若，则数列是周期为3的数列D . 且，数列是周期数列6. （5分）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A .B .C .D .7. （5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m ﹣2，则实数m的取值范围是（）A . [﹣1，2]B . [﹣2，1]C . [2，3]D . [﹣1，3]8. （5分）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A .B .C .D .9. （5分）已知直线l：Ax+By+c=0(A，B不全为0)，两点，若，且，则（）A . 直线l与直线P1P2不相交B . 直线l与线段P2P1的延长线相交C . 直线l与线段P1P2的延长线相交D . 直线l与线段P1P2相交10. （5分）圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，圆M的方程为（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则的最小值是（）A . 12B . 10C . 6D . 511. （5分）将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的直观图是（）A .B .C .D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 (共4题；共20分)12. （5分）(2016·大连模拟) 在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________（结果用数字作答）．13. （5分） (2018高三上·凌源期末) 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为________．14. （5分）(2018·陕西模拟) 在中，内角的对边分别为，已知,且 ,则的面积是________．15. （5分） (2018高二上·长安期末) 若函数在上存在递增区间，则的取值范围是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 (共7题；共80分)16. （12分） (2018高二下·泰州月考) 如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？17. （12分）某研究性学习小组，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2月11日至2月16日的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如表数据：日期2月11日2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日平均气温x（℃）1011131286饮料销量y（杯）222529261612该小组的研究方案：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两天的概率；（2）若选取的是11日和16日的两组数据，请根据12日至15日的数据，求出y关于x的线性回归方程 = x+ ，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差均不超过2杯，则认为该方程是理想的）18. （12分） (2015高一上·秦安期末) 如图，PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，BC∥AD，PD：DC：BC=1：1：．（1）若AD=DC，求异面直线PA，BC所成的角；（2）求PB与平面PDC所成角大小；（3）求二面角D﹣PB﹣C的正切值．19. （12分） (2016高二上·宝应期中) 已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；（1）求椭圆C的离心率；（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．20. （12分）(2017·东城模拟) 对于n维向量A=（a1 ， a2 ，…，an），若对任意i∈{1，2，…，n}均有ai=0或ai=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）= ．（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1 ， A2 ， A3 ，…，若A1=（1，1，1，1，1）且满足：d（Ai ， Ai+1）=2，i∈N* ．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1 ， A2 ， A3 ，…，若且满足：d（Ai ， Ai+1）=m，m∈N* ， i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，Aj为12维T向量序列中的项，求出所有的m．21. （10分）(2020·定远模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）为曲线上任一点，过点作曲线的切线（为切点），求的最小值.22. （10分） (2016高三上·厦门期中) 设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞3；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
江西省抚州市2021届新高考数学四模考试卷含解析
江西省抚州市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线22214x y a -= ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.2．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BCsin sin =︒︒，1222BC=，∴62BC =故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.4．ABC V 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，2a =r，1b =r ，则CD =u u u r （ ）A ．2133a b +r rB ．1233a b +r rC ．3455a b +r rD ．4355a b +r r【答案】B【解析】 【分析】由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【详解】CD Q 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=， 又CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，2a =r ，1b =r ，2,2BDBD DA DA∴=∴=. ()22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r .故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.5．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1 BC ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设直线l 的方程为1x my =+代入抛物线方程，利用韦达定理可得124y y m +=,124y y =-,由3AF BF =可知3AF FB =u u u r u u u r所以可得123y y =-代入化简求得参数,即可求得结果.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y （10y >，20y <）.易知直线l 的斜率存在且不为0，设为1m，则直线l 的方程为1x my =+.与抛物线方程联立得()241y my =+，所以124y y =-，124y y m +=.因为3AF BF =，所以3AF FB =u u u r u u u r，得123y y =-，所以2243y =，即23y =-，1y =1214m y y ==+. 故选:B. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题. 6．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ）A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}【答案】C 【解析】 【分析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}， B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．7． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．8．已知(2sin ,cos ),(3,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 9．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析选项，①根据函数3y x =的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间()1,1-；④利用导数求函数在给定区间的最值. 【详解】①3y x =为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-，正确．②由题意知2()3f x x a '=-．因为当–11x <<时，233x <，又3a ≥，所以()0f x '<在(1,1)-上恒成立，所以函数()f x 在(1,1)-上为单调递减函数，正确． ③由题意知2()3f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(–),∞+∞上为增函数，不合题意，故0a >．令()0f x '=，解得x =．因为()f x 在(1,1)-上不单调，所以()0f x '=在(1,1)-上有解，需01<<，解得0<<3a ，正确． ④令2()3120f x x '=-=，得2x =±．根据函数的单调性，()f x 在[–4,5]上的最大值只可能为(2)f -或(5)f ．因为(2)15f -=，(5)64f =，所以最大值为64，结论错误． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.10．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【详解】解：i j a a +Q ，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又Q 数列{}n a 是递增数列， 1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【详解】根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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抚州一中2010届高三第四次同步测试
数学试题（理科）
考试时间：120分钟满分：150分命题：郭宁审题：钱培民
一. 选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题所给的四个选项中，只有一
个正确）
1．条件：，条件：，那么是的：
（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若函数的图象经过点（0，—1），则函数的反函数图象必须经过点
（）
A．（—1，4）B．（— 4，—1）C．（—1，— 4）D．（1，— 4）
3．为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移,这个平移是（）
A．沿轴向左平移个B．沿轴向右平移个单位
C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向右平移个单位
4．设则的值是（）
A．B．C．D．
5．已知，如图所示，若，
且D为BC的中点，则的长度是（）
A．B．
C．7 D．8
6． 过点
作圆
的两条切线，切点分别为、，则过、
、的圆方程是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组，则
的最小值是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．0
8．椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、
F 、A 、H ，则的最大值是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1
9．满足A ＝300，BC ＝10的△ABC 恰好有不同两个，则边AB 的长的取值范围是
( )
A ．(10, 20)
B ．(5, 10)
C ．(20，＋∞)
D ．(5, 10)∪(20，＋∞) 10．已知函数f (x )＝
x －2m －2x ＋4
(m ≠0)满足条件：f (x ＋a )＋f (a －x )＝b (x ∈R ，x ≠2)，则a ＋b
的值
是 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．－2
11．设的最大可能值是（）
A．32 B．25 C．18 D．16
12．已知定义在上的函数满足，且对任意的都有
，则
( )
A．1005 B．1004 C．1003 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知= ．
14．若为曲线的切线的倾斜角，且所有组成的集合为，则实数的值为.
15．已知F1 、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点P，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是.
16．对于和它的每个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的所有数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如：
的交替和是，而的交替和是5.那么，当时，所有这些交替和的总和是.
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知函数
(1)当时，解不等式＞；
(2)讨论函数的奇偶性，并说明理由．
18．（本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．
求：(1)最多取两次就结束的概率；
(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率．
19．（本小题满分12分）在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，
．
(1)若，求内角A的大小；
(2)求的最大值．
20．（本小题满分12分）已知函数．
(1)设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n，其中a1=3．若点(n∈N*)
在
函数y=的图象上，则点（n+1,S n）在y=g(x)的图象上,求y=g(x)的解析式．
(2)求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值．
21．（本小题满分12分）椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上，焦点到相应的准线的
距离以及离心率均为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点
．且．
（1）求椭圆方程；
（2）若，求的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知,数列满足:,．
(1)求在上的最大值和最小值；
(2)求证: ；
(3)判断与的大小，并说明理由．
抚州一中2010届高三第四次同步
数学试题参考答案(理科)
1-12:ＢＣＡＢＢＡＡＣＡＤＢＡ
13．；14．4；15．16．448
17.解：（Ⅰ）当时，，，
由＞，
得＞，＜，＜＜
∴原不等式的解为＜＜；
（Ⅱ）的定义域为，
当时，，，所以是偶函数．
当时，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
18.解：（1）设取球次数为ξ，则
．
所以最多取两次的概率……………………6分（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两
次(取到2个白球的概率为 (12)
分
19.解：（1）（2）
20．解：(1)因为所以′(x)=x2+2x,
由点在函数y=f′(x)的图象上,
又所以
所以=
(2)解:, 由得．
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值．
21.（本小题满分12分）
解：（1）设设，由条件知
，，故的方程为：
………
(2)由得，
，
设与椭圆交点为
得
（*）
，
因即消得=0
整理得
时，上式不成立；时，，由（*）式得
因
或
22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由得
当时,，又在上连续
在上是增函数，
所以, ．．．．．．．．．．（4分）（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明如下
①当时,由已知成立；
②假设当时,不等式也成立，则要证成立,只需证
，又,只需证:，由(1)知
,又, 当
时,不等式也成立，
综上所述对任意的都成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）
（Ⅲ）由，令
则，令时,
，或时, ，而当时,
时, ，即在上是减函数
即
．（14分）。