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广东省深圳市南山区南山实验教育集团南海中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷
南山实验教育集团南海中学2023-2024学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝12．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）A．B．C．D．4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝75．根据下列表格的对应值：x1 1.1 1.2 1.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.84 2.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.36．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（ ）A．5B．4﹣4C．2D．4+7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S ＝24，则OH的长为（ ）菱形ABCDA．3B．4C．4.8D．58．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP 与△ABC相似．A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共5小题）11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．12．已知，则＝ ．13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 米．14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为 cm2．15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为 ．三．解答题（共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．17．（6分）△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．18．（6分）随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．20．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？（2）求内接正方形EFGH边长EF．21．（8分）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE ⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．问题发现（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝ ；（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝ ；类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；问题解决（4）如图3，连接EF，当CD＝ 时，△DEF与△ABC相似．南海中学九年级期中参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A错误；B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正确；C、y2+x＝1是二元二次方程，故C错误；D、+x2＝1是分式方程，故D错误；故选：B．2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；B．因为＝，所以4m＝5n，符合题意；C．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；D．因为＝，所以mn＝20，不符合题意．故选：B．3．一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种，∴随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：＝．故选：B．4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．5．根据下列表格的对应值：x1 1.1 1.2 1.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.84 2.29由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，故选：B．6．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（ ）A．5B．4﹣4C．2D．4+【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），∴，∵AB＝8，∴AD＝，故选：B．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S ＝24，则OH的长为（ ）菱形ABCDA．3B．4C．4.8D．5【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，∴×8•BD＝24，∴BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝3，故选：A．8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP 与△ABC相似．A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得：t＝2，当时，△BPQ∽△BCA，即，解得：t＝0.8，综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，故选：C．9．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴点C的坐标是（﹣2，4）；故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠F＝∠FAD，∴AD＝DF，∴BC＝DF，故①正确；∵∠BGE＝∠DGC，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵点G为EF的中点，∴CG＝EG，∠FCG＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD＝BG，∴AC＝BG，∴AC：BG＝：1，故③正确；过点G作GH⊥CD于H，∵3AD＝4AB，∴设AD＝4x＝DF，AB＝3x，∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，∴S△DGF＝DF•HG＝x2，S△DGB＝DG•GB＝x2，∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正确；故选：A．二．填空题（共5小题）11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，故答案为：k＜﹣1．12．已知，则＝ 5 ．【解答】解：设，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴．故答案为：5．13．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 8 米．【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗杆的高度为8米，故答案为：8．14．如图，在▱ABCD中，E为AD边上的点，AE＝2DE，连接BE交AC于点F，△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为 15 cm2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝2DE，∴AE＝AD，∴＝＝＝，∴＝，＝＝，∵S△AEF＝4（cm2），∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），故答案为：15．15．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为 2 ．【解答】解：过H点作HM⊥AB于M点，交BE于N，如图，设AE＝x，ED＝2x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，∵FH垂直平分BE，∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，∴△BGF∽△BAE，∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，解得BF＝x，∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，∴四边形BCHM为矩形，∴MH＝BC，HC＝BM，∴AB＝MH，∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，∴∠MBN＝∠NHG，在△MHF和△ABE中，，∴△MHF≌△ABE（ASA），∴FM＝AE＝x，∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，∴HC＝x，∴＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝4x，整理，得x2﹣4x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20＞0，∴x＝＝，∴，；（2）2x2﹣7x+3＝0，2x2﹣7x＝﹣3，，，，，x＝，∴x1＝3，；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；3x（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x+x+2）＝0，x﹣2＝0或4x+2＝0，∴x1＝2，；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．[2（x+2）]2﹣（3x﹣1）2＝0，[2（x+2）+（3x﹣1）][2（x+2）﹣（3x﹣1）]＝0，（5x+3）（﹣x+5）＝0，5x+3＝0或﹣x+5＝0，∴，x2＝5．17．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原点O为位似中心，在第三象限内，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，并写出A'，B'，C'的坐标．【解答】解：如图，△A'B'C'即为所作．由图可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．18．随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，在商场大厅设置了如图所示的两个可以自由转动的转盘，在端午节当天消费的顾客可以参与转盘活动．已知这两个转盘都被平均分成了3份，并在每份内均标有数字．规则如下：①分别转动转盘A 、B ；②两个转盘停止后，将两个指针所指区域内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），若数字之积为3的倍数则可以领取3枚粽子；若数字之积为5的倍数则可以领取5枚粽子．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；（2）在端午节当天，李老师参与了转盘活动，求李老师领取到5枚粽子的概率．【解答】解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：转盘B 的数字转盘A 的数字4561（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）（2）（1）中表格中共有9种等可能的结果，则李老师领取到5枚粽子的结果数有三种，其概率为＝．19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF ＝AE ，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形．（2）若AF 是∠DAB 的平分线．若CF ＝6，BF ＝8，求DC 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，CD ＝AB ，∵CF ＝AE ，∴DF ＝BE ，又∵DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DFA，∵AF是∠DAB的平分线，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝DA＝10，∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．20．如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形，（1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？（2）求内接正方形EFGH边长EF．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）设AD与HG的交点为M，∵△AHG∽△ABC，∴，，解得：，故内接正方形EFGH的边长为．21．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，依题意，得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+×20）套，依题意，得：（2﹣y）（30+×20）＝70，整理，得：4y2﹣5y+1＝0，解得：y1＝，y2＝1．答∵尽量减少库存，∴y＝1．答：每套A产品需降价1万元．22．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．问题发现（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，＝ 2 ；（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝ 2 ；类比探究（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；问题解决（4）如图3，连接EF，当CD＝ 或 时，△DEF与△ABC相似．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A＝90°，∴DE∥AC，DF∥AB，∵点D是BC的中点，∴DE，DF是△ABC的中位线，∴，，则，故答案为：2；（2）如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则∠DME＝∠DNF＝∠A＝90°，∴∠MDN＝90°，即∠MDE+∠EDN＝90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，即∠EDN+∠NDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，∴△DME∽△DNF，∴，由（1）知，，∴；（3）如图，过点P作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q，∴∠DPA＝∠DQA＝∠A＝90°，∴四边形APDQ是矩形，∴DP＝AQ，DQ＝AP，∵，∴，∵DP∥AC，DQ∥AB，∴△DQC∽△BAC，△DPB∽△CAB，∴，．∴，∴，故答案为：；（4）∵∠EDF＝∠A＝90°，∴△DEF与△ABC相似有如下两种情况：当△DEF∽△ACB时，则，即，整理，得：a＝b，∴；当△DEF∽△ABC时，则，即，整理，得：a＝4b，∴；综上，当或时，△DEF与△ABC相似，故答案为：或．。
2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校(集团)高级中学高一下学期期中考试数学试卷
2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一下学期期中考试数学试卷1.复数满足，则（）A．B．C．D．2.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）A．、、三点共线B．、、三点共线C．、、三点共线D．、、三点共线3.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．4.如图的平面图形由16个全部是边长为2且有一个内角为的菱形组成，那么图形中的向量的数量积（）A．34B．C．6D．155.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，则D ．若，，，则6.“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R 为球的半径，为球冠的高），设球冠底的半径为r ，周长为C ，球冠的面积为S ，则当，时，（）A ．B ．C ．D ．7.秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（）A ．B ．C ．D ．18.在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．9.已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（）A ．若为纯虚数，则或B ．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则C ．若，则的虚部为D ．若，则10.在中，已知，则下列说法正确的是（）A ．当时，此三角形有两解B ．面积最大值为C ．的外接圆半径为2D ．若，则此三角形一定是直角三角形11.如图，已知正方体的棱长为为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长度为D．若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为12.已知某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为，则该圆台的体积为______（）.13.已知向量，，，_______14.已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．15.已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）(1)求实数及；(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角B的值；(2)若，且的面积为，求的周长.17.如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：(1)若为的中点，求证：平面；(2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．18.如图，长方体中，，，点是棱的中点．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)当实数，证明：直线与平面垂直；(3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等．19.如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.(1)求出的值.(2)求的范围.(3)若，当最大时，求的值.。
四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）A. B. C. D.3.的定义域为（ ）A. B.C. D.4.设，，，则（ ）A. B. C. D.5.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.6.下列选项可以使得成立的一个充分不必要条件的是（ ）A. B. C. D.R U ={}2230M x x x =--≤{}21,Z N x x k k ==-∈1919361⨯=3613M ≈8010N ≈MNlg 30.48≈9310831073105310lg(tan 1)y x =-ππππ,Z 24xk x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈πππ,π,Z 42x x k x k k ⎭>+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈ππ,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈ππ,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈0.30.2a =0.20.3b =0.2log 2c =c b a>>c a b >>b a c >>a b c>>3()f x x x =()()332log 3log 0f x f x +-<1,2727⎛⎫⎪⎝⎭10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,27()27,+∞1144xy -≤≤221x y +=2241x y +=1x y +=1y x=7.函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（ ）A. B.或 C.或 D.8.存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：（1）；（2）其中表示三个实数，，中的最小值，则（ ）A.的最小值是 B.的最大值是 C.的最小值是 D.的最大值是二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知定义在R 上的奇函数，其周期为4，当时，，则（ ）A. B.的值域为C.在上单调递增D.在上有9个零点10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.关于对称B.的值域为R ，当且仅当或C.的最大值为1，当且仅当D.有极值，当且仅当11.关于函数，下列说法中正确的是（ ）A.图象关于直线对称 B.为偶函数C.为的周期D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12.已知顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为，则的值为________13.甲说：在上单调递减乙说：存在实数使得在成立若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________()f x ()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-()f x 1x =a 21e a ≤-21ea <-1a =21ea ≤-1a =1a =1a 2a 3a 1232a a a =-1230a a a ++=M 1a 2a 3a M 2-M 2-M M -()f x (0,2)x ∈()22xf x =-(2024)0f =()f x (2,2)-()f x (2,2)-()f x [4,4]-()214()log 21f x x ax =-+()f x x a =()f x 1a ≥1a ≤-()f x a =()f x 1a <()cos sin 2f x x x =π4x =()f x 2π()f x αx 11,23⎛⎫⎪⎝⎭sin(2)α()2ln 23y x ax =-+(,1]-∞x 2210x ax -+>1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦a14.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.16.（15分）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.17.（15分）已知，，，（1）求的值（2）求角的值.18.（17分）已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）若，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；（3）求证：，.112x aeax b -+-≥x ba3212()232a f x x x ax +=-+1a =()f x ()f x π()sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x π212()y g x =()g x x ()g x k =-π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦k ππ42α≤≤3ππ2β≤≤4sin 25α=cos()αβ+=225sin 8sincos11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭βα-3()ln2(1)2xf x x x x=++--()y f x =(21)()40f m f m -+-<()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x ()1f x ax -≤a 2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*N n ∈绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题参考答案题号1234567891011答案AAACBBABABDABCCD12.13. 14.8.【详解】由已知得，，，中必有2个正数，1个负数，设，，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B.10.【详解】A.令，有，由于，所以，所以关于对称，故A 正确；B.当函数的值域为R ，则能取到的所有值，所以解得：或，故B 正确；C.若函数的最大值为1，则，故C 正确；D.若有极值，则在定义域内不单调，所以，则，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，，故A 错误；对于B ，，故B 错误对于C ，，故是的周期，故C 正确；对于D ，，令故，，利用导数求得，故D 正确.故选：CD 12132a <22ln 2-1a 2a 3a 30a <10a >20a >3M a =1230a a a ++=312a a a -=+312a a a -=+≥23124a a a ≤331234a a a a ≥1232a a a =-3324a ≤-338a ≤-32a ≤-2()21g x x ax =-+()(2)g x g a x =-14()log ()f x g x =1144(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==()f x x a =2()21g x x ax =-+(0,)+∞2440a ∆=-≥1a ≥1a ≤-()f x min 11()()44g x g a a =⇒=⇒=()f x 2()21g x x ax =-+2440a ∆=-<11a -<<ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==2π()f x ()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-sin x t =()2()21f x t t =-[1,1]t ∈-()f x13.甲对，则有在上单调递减，且大于零，所以有且，则.若乙对，则，，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时或与求交集为，取其补集后的取值范围，所以14.可转化为图像恒在上方，所以必然有，现考虑刚好相切时的情况，设切点为，则，消元得到带得到，所以图像恒在上方，只需要，所以，令，所以15.【详解】（1），，所以或时，，时，，则在上递减，在递增，所以的极小值为，极大值为.（2），当时，，所以在上递增，当时，或时，；时，，所以在上递增，在上递减，当时，或时，；时，，所以在上递增；在上递减.16.【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，2210x ax -+>(,1]-∞1a ≥420a ->12a ≤<1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦max 115522224x a x a a a x x ⎛⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪⎝⎭{1a a <}2a ≥54a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭{}2a a ≥a {}2a a <{}2a a <11x ay e-=2y ax b =+0a >0110,x ax e-+⎛⎫ ⎪⎝⎭001111022x a x a e ae ax b-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩022a b x a -=0112x a e a -+=121212ln 22422ln 22a b a ab e a a b a a a a a--+=⇒=--⇒=--11x ay e -+=2y ax b =+422ln 2b a a a ≤--242ln 2b a a a ≤--222(1)42ln 2()()a a h a h a a a-'--=⇒=max ()(1)22ln 2h a h ==-321323()2x x x f x =-+(1)(2)()x x f x =--'1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞()f x 2(2)3f =5(1)6f =()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a <2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ()f x π2πππsin 2sin 2263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，所以.（2）因为，所以.，即在区间上有且只有两个实数解，于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，，，，所以.画出在区间上的图象如图所示，所以，所以，.所以实数的取值范围是.17.（1）由12πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π()sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π5π186x-≤≤4ππ4π2933x-≤-≤()g x k =-πsin 223x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭2y k =--π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦44πsin sin 99π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4πππ3πsin sin πsin sin 3339⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭3π4ππ0992<<<4π4πsin sin93⎛⎫-< ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21k ≤--<23k +≤-<32k -<≤k 3,2⎛--+ ⎝222225sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααααααα⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2254sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 22(4tan 3)cos cos cos αααααααααα++-+-+====-+---又因为，所以，可得，解得或，由于，所以.原式.（2）又由知，因则，由，又因，故.18.【详解】（1）函数，定义域为，所以曲线关于点对称.（2），因为，，所以，所以在定义域上单调递增；又关于点对称，，由（1）得恒成立，所以，所以所以，解得19.【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，4sin 25α=2sin cos 5αα=222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα==++tan 2α=1tan 2α=ππ42α≤≤tan 2α=∴11=-3ππ2β≤≤5π2π4αβ≤+≤cos()αβ+=sin()αβ+===sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+3455⎛⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝π5π24βα≤-≤3π4βα-=3()ln 2(1)2xf x x x x=++--(0,2)332()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-()y f x =(1,2)22112()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=+++-=++---(0,2)x ∈20(2)x x >-22()23(1)0(2)f x x x x '=++->-()f x (0,2)()f x (1,2)(21)()4f m f m -+<()(2)4f x f x +-=()(2)4f m f m +-=(21)()4()(2)f m f m f m f m -+<=+-212021202022m mm m m -<-⎧⎪<-<⎪⎨<<⎪⎪<-<⎩112m <<()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x则，则，故，；（2）令，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，.下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，即证.()()0002y f x g x ==--()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++()01x >-()2ln(1)cos f x x x =++(1)x >-()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--(1)x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞(0)0h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111xx x x ϕ'=-=-++(1,0)x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ(1,0)-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ(0,)+∞()(0)0x ϕϕ≤=ln(1)x x +≤(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ln(1)x x +≤(1,)-+∞ln 1x x ≤-(0,)+∞1x =(0,1)1n x n =∈+*N n ∈1ln 1111n n n n n -<-=+++11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑。
2023-2024学年广东省惠州市惠城区南山学校六年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省惠州市惠城区南山学校六年级（上）期中数学试卷一、认真分析，选一选。
1．（3分）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）中国数学家（ ）是世界上第一位将圆周率精确到小数点后第7位的人．A．祖冲之B．杨辉C．刘徽D．张衡3．（3分）画一个周长为18.84厘米的圆，则圆规两脚间的距离是（ ）厘米。
A．2B．3C．4D．64．（3分）如图显示的是张老师手机电池的用电量，右半部分是已用电量，左半部分是剩余电量，从图中看，剩余电量约是总电量的（ ）A．30%B．50%C．60%D．80%5．（3分）从（ ）面看到的形状是。
A．正B．左C．右D．上6．（3分）18米的与（ ）米的一样长．A．6B．30C．15D．207．（3分）如图，淘气沿外道跑步，笑笑沿内道跑步，两道相距1米，两人跑了半圈后，淘气比笑笑多跑了（ ）米。
A．3.14B．6.28C．1D．28．（3分）“双十一”商场促销，一件风衣打七五折后是750元，这件风衣原价是（ ）元。
A．562.5B．1000C．1875D．17509．（3分）奇思乘车看风景，在车上拍了3张照片（如图）。
拍摄这些照片的顺序是（ ）A．①②③B．②③①C．③②①D．③①②10．（3分）笑笑参加安全知识竞赛，已经答对了66题，答错了4题，如果她想使正确率尽快达到95%，那么她至少还要连续答对（ ）题。
A．10B．20C．25D．3011．（3分）把一个圆平均分成若干份，然后把它剪开，照如图的样子拼起来，拼成的图形和原来的圆比，下面说法正确的是（ ）A．周长和面积都不相等B．周长相等，面积不相等C．面积相等，周长减少D．面积相等，周长增加12．（3分）一个圆形花坛的直径是10米，围绕花坛修一条宽2米的小路。
这条小路的面积是（ ）平方米。
A．11πB．21πC．24πD．44π13．（3分）在长4厘米，宽是3厘米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）厘米．A．6.28B．4.71C．10.28D．7.7114．（3分）北街小学六年级有学生300人，女生人数是男生人数的，_____？要使列式为300÷（1+）则横线上应提出的问题是（ ）A．男生有多少人B．女生有多少人C．女生比男生少多少人D．一共有多少人15．（3分）一瓶牛奶，如果喝掉后，连瓶重800g；如果喝掉一半后，连瓶重700g。
2024年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学初三三模数学试题含答案解析
2024年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2024-的相反数是（）A．2024B．12024-C．2024-D．12024【答案】A【分析】此题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义进行解答即可.【详解】解：2024-的相反数是2024故选：A2．如图的展开图中，能围成三棱柱的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】一般三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形，进而得出答案．【详解】解：把选项中的平面展开图经过折叠后．A选项展开图能围成四棱锥．B选项展开图能围成圆柱体．C选项展开图能围成圆锥因此A、B、C都不能围成三棱柱．D选项展开图能围成三棱柱．【点睛】此题主要考查了几何图形初步，涉及到三棱柱表面展开图，需注意上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，其中具备一定的空间想象能力是解决本题的关键．3．下列运算正确的是（ ）A ．623a a a ÷=B ．()325a a =C ．235ab ab += D ．2322a a a ⋅=【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的除法及乘法、幂的乘方及合并同类项，根据同底数幂的除法及乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】解：A 、624a a a ÷=，则错误，故不符合题意；B 、()326a a =，则错误，故不符合题意；C 、2a 与3b 不能合并，则错误，故不符合题意；D 、2322a a a ⋅=，则正确，故符合题意，故选D ．4．学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】B【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分，与11个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，不变的特征数据是：中位数．故选：B ．【点睛】此题考查了数据分析初步，涉及到平均数、众数、中位数以及方差，熟知相关数据特征代表的意义是解决本题的关键．5．平面直角坐标系xOy 中，点()5,2A -关于x 轴对称的点B 的坐标是（ ）A ．()5,2--B ．()5,2-C ．()5,2-D ．()5,2【分析】关于x 轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可．【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，点()5,2A -关于x 轴对称的点B 的坐标是()5,2--．故选：A ．【点睛】本题考查的是关于x 轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于x 轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键．6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ）A ．75505x x =-B ．75505x x =-C ．75505x x =+D ．75505x x =+7．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若BD BC =，36A ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．72B ．68C ．75D ．80【答案】A 【分析】由作图法可得MN 是AB 的垂直平分线；利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A =∠DBA =36°，进而求得∠BDC ，最后由三角形内角和为180°便可解答．【详解】解：由作法得MN 垂直平分AB ，∴DA DB =，∴36DBA A ∠=∠=︒，∴363672BDC A DBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵BD BC =，∴72C BDC ∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，三角形的内角和定理；解题的关键是掌握等腰三角形的性质．8．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A 的仰角、俯角均为15︒，高度OA 为165cm ．人笔直站在离摄像头水平距离100cm 的点B 处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：sin150.26cos150.97tan150.27︒≈︒≈︒≈，，）A ．165cmB ．184cmC ．192cmD ．219cm【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点B 作BC AF ⊥，垂足为C ，延长BC 交AD 于点E ， 由题意得165cm OA BC ==，100cm AC OB ==，在Rt ACE 中，利用解直角三角形得27cm EC ≈，则利用EB EC CB =+进而可求解，根据题意构造直角三角是的关键．【详解】解：过点B 作BC AF ⊥，垂足为C ，延长BC 交AD 于点E ，如图：由题意得：165cm OA BC ==，100cm AC OB ==，在Rt ACE 中，15EAC ∠=︒，()tan151000.2727cm EC AC ∴=⋅︒≈⨯=，()27165192cm EB EC CB ∴=+=+=，∴若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过192cm ，故选C ．9．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB 为1.8米，水平木条BD 和铅锤木条CD 长都为0.3米，点C 恰好落在O 上，则此月亮门的半径为（ ）A ．1.8米B ．1.6米C ．1.5米D ．1.4米则10.92AN NB AB ===米， CD AB ⊥，∴90CDN ∠=︒，∴四边形CDNM 是矩形，10．如图，在ABCD Y 中，E 为AB 延长线上一点，F 为AD 上一点，DEF C ∠=∠．若4DE =，73AF =，则BC 的长是（ ）A ．163B ．92C ．6D ．214【答案】A【分析】先利用平行四边形的性质结合已知证得DFE DEA △△∽，利用相似三角形的性质得到2DE DF AD =⋅，进而求出AD 的长，最后求出BC 问题得解．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，A C ∠=∠．∵DEF C ∠=∠，∴DEF A ∠=∠．∵EDF ADE ∠=∠，二、填空题11．因式分解：322x x -＝．【答案】2(2)x x -【分析】提公因式2x ，即可解答．【详解】解：32222x x x x -=-（）故答案为：22x x -（）【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法．12．在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．13．如图，在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B 的值为 ．14．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，点A ，B 均落在坐标轴上且1OA =，点C 的坐标为33(,)22，将ABC 向上平移得到A B C ''' ，若点B '、C '恰好都在反比例函数(0)k y x x =>的图象上，则k 的值是 ．【答案】9【分析】作CN y ⊥轴于点N ，BM CN ⊥与M ，证明ANC CMB ≌△△，求出CM 的长度，进而求出点B 的坐标，设ABC 向上平移m 个单位，用m 表示出C '和B '，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出k 的值．【详解】解：作直线CN y ⊥轴于点N ，直线BM CN ⊥与M ，∴90N M ∠=∠=︒，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，∴BCM ACN CAN ACN ∠+∠=∠+∠∴BCM CAN ∠=∠，∵AC BC =，∴ANC CMB≌△△32CN BM ∴==，AN CM =，∵90N M NOB ∠=∠=∠=︒，掌握反比例函数的性质以及平移的知识．15．如图，在ABC 中，AB AC =，3tan 4B =，点D 为BC 上一动点，连接AD ，将ABD △沿AD 翻折得到ADE V ，DE 交AC 于点G ，GE DG <，且:3:1AG CG =，则AGEADG S S =三角形三角形 ．∵AM BD ⊥于点M ，【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题16．计算：02134532π--︒--+（）（．17．先化简，再求值：22(2111)1x x x x x -+-÷+-，其中3x =．18．疫情防控工作需要，深圳市某学校为积极响应市政府加强防疫宣传的号召，组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习．并进行了一次全校2000名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现这100份答卷中考试成绩（x 分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：分数段（分）频数（人）频率5161x ≤<a 0.16171x ≤<180.187181x ≤<b n 8191x ≤<350.3591101x ≤<120.12合计1001(1)填空：=a ______；b =______；n =______；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)在绘制的扇形统计图中，8191x ≤<这一分数段对应的扇形，其圆心角的度数为______°；(4)该校对成绩为91100x ≤≤的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1∶3∶6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．【答案】(1)10a =，25b =，0.25n =；(2)见解析；(3)126；(4)72人【分析】（1）根据频数分布表可直接进行求解；（2）由（1）可直接进行求解；（3）由题意可直接进行求解；（4）由题意可得获得二等奖所占百分比，然后问题可求解．【详解】（1）解：1000.110a =⨯=，1001018351225b =----=，251000.25n =÷=．19．如图，点I 是ABC 的内心，BI 的延长线与ABC 的外接圆O 交于点D ，与AC 交于点E ，延长CD 、BA 相交于点F ，ADF ∠的平分线交AF 于点G ．(1)求证：DG CA ∥；(2)若4DE =，5BE =，求BI 的长．【答案】(1)证明过程见解析(2)3【分析】（1）根据三角形内心的性质得24∠∠=，再利用圆内接四边形的性质得ADF ABC ∠=∠，则12∠=∠，从而得到13∠=∠，即可得出结论；（2）证明DAE DBA △∽△，利用相似比得到6AD =，则6DI =，再计算BD DI -即可．【详解】（1）证明：∵点I 是ABC 的内心，（2）解；∵37∠=∠，ADE BDA ∠=∠，∴DAE DBA △∽△，∴=AD DE DB DA ，即49AD AD=，∴6AD =，∵点I 是ABC 的内心，20．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输，已知2个A 部件和1个B 部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等．(1)求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？(2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？21．【项目式学习】项目主题：安全用电，防患未然．项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约80%的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在AOB 中，OA OB =，喷射角60AOB ∠=︒，地面有效保护直径AB 为O 距离地面的高度OC 为________米；任务二：模型构建由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形OABC ，创新小组以点O 为坐标原点，墙面OA 所在直线为y 轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M 安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即3OA =米，2AM =米，水喷射到墙面D 处，且1OD =米．①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为_______米；任务三：问题解决（3）已知充电车棚宽度OC为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．22．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，点A 为公共顶点，90BAC G ∠∠==︒，若ABC 固定不动，将AFG 绕点A 旋转，边AF ，AG 与边BC 分别交于点D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），则结论2BE CD AB ⋅=是否成立 （填“成立”或“不成立”）；【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD 中，EAF ∠为BAD ∠内的一个动角，两边分别与BD ，BC 交于点E ，F ，且满足EAF ADB ∠∠=，求证：ADE ACF ∽；【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD 的边长为12cm ，120BAD ∠=︒，EAF ∠的两边分别与BD ，BC 相交于点E ，F ，且满足EAF ADB ∠∠=，若9cm BF =，则线段DE 的长为 cm ．∴45B C FAG ∠=∠=∠=︒∵45DAC CAE ∠∠=+︒，∴DAC AEB ∠∠=，又∵B C ∠∠=，∴CAD ACB ∠∠∠==∵EAF ADB ∠∠=，∴45EAF CAD ∠∠==∴CAF CAE ∠∠∠+=又∵四边形ABCD 为菱形,且∴CAD ACB ADC ∠∠∠==∴1302MDA ADC ∠∠==︒，∴30MAD MDA ∠∠==︒，。
初中数学 2024年广东省深圳市南山中考数学模拟试卷(6月份)
2024年广东省深圳市南山外国语学校滨海中学中考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）A ．收入18元B ．收入6元C ．支出6元D ．支出12元1．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）转账——来自天青色+18.00微信红包——发给高原红-12.00A ．B ．C ．D ．2．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）A ．34×10-9B ．34×10-8C ．3.4×10-8D ．3.4×10-73．（3分）石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数000000034用科学记数法表示为（ ）A ．a 2+a 2=a 4B ．a 3•a 2=a 6C ．a 6÷a 2=a 3D ．（a 3）3=a 94．（3分）下列计算正确的是（ ）5．（3分）如图，南外大冲学校（X ）、文华学校（Y ）、科华学校（Z ）坐落于有深圳硅谷之称的南山科技园核心位置．其中，XY =500m ,XZ =400m ,YZ =300m ,若计划在XY 中点M 处建一个5G 基站助力南外集团发展，其覆盖半径为260m ,则这三个学校中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A ．只有YB ．只有Y ，ZC ．只有X ，ZD ．X ，Y ，ZA ．∠BEAB ．∠DEBC ．∠ECAD ．∠ADO6．（3分）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角∠O 的大小，需将∠O 转化为与它相等的角，则图中与∠O 相等的角是（ ）A ．24B ．12C ．8D ．367．（3分）如图，在矩形ABCD 中，分别以点A ，C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点E ，交AD 于点F ，若BE =3，AF =5，则矩形的周长为（ ）12A ．6cmB ．8cmC ．（30-36）cmD ．（30-48）cm8．（3分）千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD 是一种型号千斤顶的示意图．已知AB =30cm 时BD 的长为30cm ,如果使BD 的长达到36cm ,那么AC 的长需要缩短（ ）M 3M 3A ．=B ．=C ．=D ．=9．（3分）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，DEFG 是一座正方形小城，北门H 位于DG 的中点，南门K 位于EF 的中点，出北门20步到A 处有一树木，出南门14步到C ，向西行1775步到B 处正好看到A 处的树木（即点D 在直线AB 上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x 步，则可列方程为（ ）20x +14x 17752020+x +14x 12177520x +14x 1217752020+x +14x 1775二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）A．B ．C ．D ．10．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，AB =3，BC =4，AD =5，动点P 从点A 出发按A →B →C 的方向在AB ，BC 边上移动，记PA =x （x >0），点D 到直线PA 的距离为y ,则y 关于x 的函数图象大致是 （ ）11．（3分）若x =2y （y ≠0），则= ．x y 12．（3分）已知m 是方程x 2-x -2=0的一个根，则m 2-m +2022的值为 ．13．（3分）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A 驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F 口驶出的概率是 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），B （4，0），将△AOB 向右平移到△CDE 位置，点A ，O 分别与点C ，D 对应，函数y =（k ＞0）的图象经过点C 和CE 的中点F ，则k 的值为 ．k x 15．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BD =2AD ，∠CDA =3∠A ，则tanA 的值为 ．三、解答题（共7小题，第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题9分，共5分）16．（5分）计算：|-3|+2cos 30°-（-．13）-1√1217．（7分）先化简÷（1+），再从-3，0，3，-中选择一个适当的数作为a 的值代入求值．a-9a 23a -37218．（8分）“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x 表示）：A ：50≤x <60，B ：60≤x <70，C ：70≤x <80，D ：80≤x <90，E ：90≤x ≤100，并绘制出如图的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图1中A 组所在扇形的圆心角度数为°，并将条形统计图补充完整．（2）若“90≤x ≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是，中位数是 ．（3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A ）和2名男生（记为B ，C ），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．19．（8分）已知：如图，在⏥ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF和BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）如果AF 平分∠DAB ，BF =4，sinC =，求DC 的长．4520．（8分）六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表：根据以上信息解答下列问题：班级购买数量（件）购买总费用（元）钢笔笔记本九（1）班40201100九（2）班20601300（1）求钢笔和笔记本的单价；（2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（10分）根据以下情境信息，探索完成任务．公路涵洞改造方案的设计与解决情境1图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点O 的劣弧AED 和矩形ABCD 构成．测得公路宽BC =12m ,涵洞直壁高AB =2m ,涵洞顶端E 高出道路（BC ）6m （即EG =6m ）．情境2现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为a （m ）的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽BC =20m ,涵洞直壁高AB 和涵洞顶端E 到BC 的距离保持不变．改造方案方案一如图4，将涵洞上半部分劣弧AED 改造成顶点为E 的抛物线一部分的形式．方案二如图5，将涵洞上半部分劣弧AED 改造成仍为劣弧的形式问题解决任务1按方案一改造以点G 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2按方案二改造求涵洞上半部分劣弧AED 所在圆的半径．任务3隔离带最大宽度a 的确定要使高5.5m ,宽2.3m 的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下a 的最大值（≈1.41，≈7.55，结果精确到0.1m ）．√2M 5722．（9分）在Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为CB 延长线上任一点，连接AD ．（1）如图1，若AD =，BD =2，求线段BC 的长；（2）如图2，将线段AD 绕着点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接BE ，CE ．点F 为BE 的中点，连接AF ．求证：DC =2AF ；（3）在（2）的条件下，设点K 为直线CE 上的点，AE 交BC 于点P ．点D 在CB 延长线上运动的过程中，当AB ⊥BE 时，将△ABE 沿直线AE 翻折到△ABE 所在平面内得到△ANE ，同时将△PCK 沿直线PK 翻折到△PCK 所在平面内得到△PKM ．在MN 取得最大值时，请直接写出的值．M 34MN BN。
数学高中一年级第三节课优质课启发思维的数学游戏与谜题
数学高中一年级第三节课优质课启发思维的数学游戏与谜题数学作为一门科学，被广泛应用于生活中的各个领域。
然而，在学习数学过程中，很多学生往往对于这门学科产生厌倦情绪。
为了改变这种状况，教师们需要设计一些启发思维的数学游戏与谜题，以激发学生对数学的兴趣。
本文将介绍一些适用于高中一年级的数学游戏与谜题。
游戏一：数学运算接龙这个游戏能培养学生的运算能力，并增添趣味性。
游戏的规则很简单，每个学生依次报出前一个同学报出的数和运算符号，然后接着报出自己运算的结果。
例如，第一个学生报出数字1，第二个学生接着报出1+2=3，第三个学生接着报出3×4=12，以此类推。
这个游戏要求学生在一定时间内快速进行运算，能够锻炼他们的计算能力和反应速度。
游戏二：谜题解疑这个游戏能唤起学生的求解问题的兴趣，并提高他们的解题能力。
教师可以准备一些与高一数学知识相关的谜题，例如解方程、计算几何、概率等等。
学生们以小组形式进行讨论，共同解决这些谜题。
教师可以提供一些提示和引导，帮助学生找到解题的方法和技巧。
谜题解疑游戏能够增强学生之间的合作意识和团队精神，同时也培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
游戏三：数学拼图数学拼图可以培养学生的观察力和空间想象力。
教师可以准备一些数学相关的图形拼图，要求学生通过移动图形的位置或旋转角度，使得拼图符合特定的规则或条件。
例如，教师可以给出一个正方形拼图和一些小三角形，要求学生将这些小三角形移动的位置使得它们恰好填满正方形，且没有多余的部分。
这个游戏能让学生通过实践来感受几何图形的特性，提高他们对于几何形状的理解和认知能力。
总结启发思维的数学游戏与谜题对于高中一年级的学生来说，具有很大的教育意义。
它们不仅能够提升学生的数学能力，还能培养他们的逻辑思维、合作意识和解决问题的能力。
通过设计这样的游戏与谜题，教师们能够引导学生积极参与数学学习，并在学习的过程中找到乐趣。
因此，我们应该充分利用这些优质课，为学生们创造一个有趣而富有挑战性的数学学习环境。
广东省深圳市南山外国语学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题
广东省深圳市南山外国语学校2023-2024学年七年级上学期
期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．．．
a b+>B．a b->
A．0
5．在下列四个正方体中，只有一个是用左图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体
A．．
．．
6．图中属于柱体的个数是（）
3．45
．如图所示的长方形（长为7，宽为4）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（
A ．①
B ．①②
C ．①②③
D ．①②③④
10．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）
，它们两者之间可以互相换算，例如将2(101)，2(1011)换算成十进制数应为：
2102(101)1202124015=⨯+⨯+⨯=++=；
32102(1011)12021212802111=⨯+⨯+⨯+⨯=+++=．
按此方式，将二进制2(1001)换算成十进制数的结果为（）A ．17B ．9C ．10D ．18
二、填空题14．如图，长方形的长是52a b -，宽是3a ，则长方形的周长是15．如图，数轴上摆放着边长分别是若两个正方形重叠部分的面积是大正方形面积的
三、解答题
(1)若AP BP =，则x =；
(2)若8AP BP +=，求x 的值；
(3)若点P 从点C 出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点向左运动，点B 以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为试判断：4BP AP -的值是否会随着t 的变化而变化？请说明理由．。
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只能輸一場而且丙不能贏超過2場 ➢ 4+22-25+1=2 乙魔術數字也是2他所剩的比賽是4
場只能輸兩場而且丙不能贏超過2場
實驗2
國家 勝
韓國
4
加拿大 3
中華民 3 國
敗 贏球比 率
0
1
1 0.75
1 0.75
以現在來說韓國是第一，加拿大為第二，中華為第三，雖然勝率加拿大和中華勝 率一樣，但是雙方對戰由加拿大獲勝，所以站住第2名。 魔術數字＝(落後隊剩下的場數)＋(落後隊勝場數)－(領先隊勝場數)＋１ 3+3-4+1=3中華隊必需在剩下的比賽全勝，且南韓不能獲勝。 加拿大和中華相同。
魔术数字南山中学
壹、研究動機
➢ 在放暑假時，在ESPN體育電視台上看到MLB美 國職棒大聯盟，就想說有沒有公式可以先知道最 後誰會奪冠，上網查時，就發現了魔術數字。
➢ 在任何比賽當中都會有魔術數字，當魔術數字歸 零，就一定會封王，所以魔術數字對在某些比賽 中是一個不可或缺的東西，但是如何找出證明魔 術數字的存在，就必須找出好方法來證明。
實驗3
隊伍
總局 勝 敗 和 勝場
數
局 比率
統一(獅) 隊
.La-n(熊) 隊
50 30 16 1 0.64 50 30 17 0 0.64
Hale Waihona Puke 魔術數字 ＞（應賽場數－第一名和局數）÷（應賽場數－第二名和局數） ×（應賽場數－第二名敗場數－第二名和局數）－ 第一名勝場數 (50-1)除(50-0)乘(50-17-0)-30=2 因為剩下的3場比賽都是兩隊來比，所以假如雙方任何一贏魔術數字就會 加2或減2，所以熊隊假如贏一場就平手了，獅隊有很多種方法可以封王， 3場全勝、全部平手、2勝1敗等等…… 、2勝1敗、3場全部和局等……，但相反的熊隊就比較少3場全勝 、2勝1 敗2勝1和。
➢ 魔術數字出現在長期比賽(具有記錄勝率)，有些比賽不能用魔術數字， 像比賽是用淘汰制或幾戰幾勝制的比賽，魔術數字就無效，因為淘汰 制式只要一輸就直接淘汰，贏了則馬上晉級，而魔術數字是用戰績來 看，所以兩個不合。而幾戰幾勝制的比賽不行是因為它類似淘汰賽的 機制。
➢ 所以網路的兩個公式，分別是用來計算有平手結果跟沒有平手結果的 公式。公式一是用來計算類是籃球這種沒有平手的比賽，而公式二則 是用來計算像棒球這種會有平手情形的比賽。
➢ 魔術數字是在計算某些比賽有效，例如；棒球、籃球等，但魔術數字 也有失靈的情形，就是當剩下場數小於魔術數字時，魔術數字則會消 失。
柒、參考資料及其他
➢ 中華職棒官方網站 ➢ 麗台運動報 ➢ yam天空運動版
魔術數字也有特殊的情況
➢ 第一名的球隊輸球或是第二名的球隊 贏球後，發生若是一、二名間的勝 差 數已小於兩隊的剩餘對戰場數，則 「魔術數字」消失。
陸、討論
➢ 職棒比賽當中都會有魔術數字，當魔術數字歸零，就會封王，所以魔 術數字對在比賽中是一個不可或缺的東西。我們利用了職棒的歷年的 戰績，也包含了美國的職棒與台灣的職棒，我們加以實驗發現了魔術 數字的公式代入，皆可成立為了讓此公式可以多元化 我們也代入了其 他的公式 發現籃球竟可以代入此公式 並成立但因籃球並沒有所謂的 平手 所以平手的公式無法成立
貳、研究方向
➢ 我們打算研究出為什麼這個算數可以求出 來
➢ 為什麼有兩條公式可解魔術數字
參、研究設備及器材
物品 電腦 計算機
用途 打報告 查資料 計算勝場比率
肆、研究過程或方法
➢ 我們在網路上發現了2條公式分別為： ➢ 1.魔術數字 ＞（應賽場數－第一名和局數）÷（應賽場數
－第二名和局數）×（應賽場數－第二名敗場數－第二名 和局數）－ 第一名勝場數
➢
➢ 2.魔術數字＝(落後隊剩下的場數)＋(落後隊勝場數)－(領 先隊勝場數)＋１
➢ 先在網路上找比賽資料，找出比賽各隊的勝場數、敗場數 和和局數。利用網路的公式把各隊比賽成績帶入公式，驗 證公式的真實性
實驗1:
➢ 我們自己的猜拳比賽不算和局 ➢ 總共比賽50(在中途) ➢ 1.甲 23勝24敗 勝率0.48 ➢ 2.乙 22勝24敗 勝率 0.48 ➢ 3.丙 25勝21敗 勝率 0.54 ➢ 魔術數字＝(落後隊剩下的場數)＋(落後隊勝場數)
伍、研究結果
➢ 魔術數字2個公式其實是大部分是相同的， 只是一個有計算到和局數，另一個沒有。
➢ 魔術數字在大部份的情形下，若第一名的 球隊直接打敗第二名的球隊，魔術數字是 會減二的，不過並非每次皆會如此，有些 情況下，當第二名的球隊輸球後，排名會 掉落第三，此時由原本第三名的球隊升至 第二，那魔術數字就要因為第二名的球隊 更換而重新計算了。