三角函数与平面向量高考试题
高考中的三角函数、解三角形、平面向量解答题
高考中的三角函数、解三角形、平面向量解答题三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一．近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和、差角与倍角公式等．解答题主要考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置．平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一．近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、几何问题中的应用．一、课堂演练1.(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 解析： (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 2．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间．解析： (1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝cos x －sin x .∵f (x )＝2f (－x )， ∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，且cos x ≠0，∴tan x ＝13， ∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x ＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611. (2)由题知F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x =cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，F (x )max ＝2＋1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得 π8＋k π≥x ≥－3π8＋k π(k ∈Z )， 故所求函数F (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．3．(2013·武汉武昌区联合考试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，f (A )＝12－34，求△ABC 的面积S .解析： (1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x . ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，值域为⎣⎡⎦⎤12－32，12＋32. (2)∵2AC →·CB →＝2ab ，∴2ba cos(π－C )＝2ab ，∴cos C ＝－22.∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π4. 又f (A )＝12－34，∴12－32sin 2A ＝12－34，∴sin 2A ＝12. 而0＜A ＜π4，∴A ＝π12，B ＝π6. 由正弦定理，得a sin π12＝b sin π6＝c sin 3π4，即a 6－24＝b 12＝2222. ∴a ＝6－2，b ＝2. ∴S ＝12ab sin C ＝12×(6－2)×2×22＝3－1. 4．(2013·湖北八校联考)已知锐角三角形ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝⎛2cos 2B 2－1，cos 2B )，且m ⊥n . (1)求f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间；(2)如果b ＝4，求△ABC 面积的最大值．解析： ∵m ⊥n ，∴m·n ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝0， (1)易知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )得，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(2)由余弦定理知16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ， ∴S △ABC ＝12ac sin π3≤43(当且仅当a ＝c ＝4时取等号)． 即△ABC 面积的最大值为4 3. ∴2B ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴B ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3二、方法归纳总结1.高考中此类题目经常出现，解决此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．2.研究性质要结合函数图象，学会：（1）函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；（2）相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；（3）图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期；（4）熟记正余弦函数的单调区间。
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第2讲向量共线定理的应用
第2讲 向量共线定理的应用向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．例1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3AM－A B－AC|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )A.B.C.D.答案 C解析 ∵|3AM－AB－AC|＝0，∴3AM－AB－AC＝0，∴AB＋AC＝3AM.设BC的中点为G，则AB＋AC＝2AG，∴3AM＝2AG，即AM＝AG，∴点M在线段AG上，且＝.∴＝＝，易得＝＝，∴＝·＝×＝，即△ABM与△ABC的面积之比等于.(2)在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝m AB＋AC，则实数m的值为_____ ___．答案 解析 方法一 ∵B，P，N三点共线，∴BP∥PN，∴存在实数λ，使得BP＝λPN(λ>0)，∴AP－AB＝λ(AN－AP)，∵λ>0，∴AP＝AB＋AN.∵AN＝AC，AP＝m AB＋AC，∴AP＝m AB＋AN，∴解得方法二 ∵AN＝AC，AP＝m AB＋AC，∴AP＝m AB＋AN.∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.例2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC 上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则AO等于( )A.AB＋ACB.AB＋ACC.AB＋ACD.AB＋AC答案 A解析 如图，设AO＝λAE(λ>0)，又AE＝AB＋BC＝AB＋AC，∴AO＝λAB＋λAC＝λAB＋λAD.又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，∴λ＝，∴AO＝AB＋AC.(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM＝x AB，AN＝y AC(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．答案 解析 由D为BC的中点知，AD＝AB＋AC，又AM＝x AB，AN＝y AC(xy≠0)，E为AD的中点，故AE＝AD＝AM＋AN，∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．∴4x＋y的最小值为.(1)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设AB＝a，AC＝b，AF＝x a＋y b，则(x，y)等于( )A. B.C. D.答案 C解析 由题意得，AF＝x a＋y b＝x AB＋2y AE，∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，①同理，AF＝2x AD＋y AC，∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，②由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝.2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，AB·AD＝6，AC·AD＝，则AB·AC的值为________．答案 解析 ∵D为边BC上一点，可设BD＝λBC，∴A D＝AB＋BD＝(1－λ)AB＋λAC.∴①＋②得，9＋AB·AC＝，∴AB·AC＝.3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P 在边BC上，且满足AP＝m AB＋n AD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．答案 解析 设AB＝a，AD＝b，则BC＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋b＝－a＋b.设BP＝λBC，则AP＝AB＋BP＝a＋λb.因为AP＝m a＋n b，所以1－λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋n＝1，＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝4－2，n＝－4时等号成立．。
2018年高考数学(理)二轮复习 ：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量(精品)
D.18(a＋b)
押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基
底或坐标)是向量应用的基础.
1234
押题依据 解析 答案
2.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，B→F＝
2F→O，则F→D·F→E等于
A.－34
√B.－89
C.－14
D.－49
押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高
考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式.
1234
押题依据 解析 答案
3.在△ABC 中，A→B＝(cos 32°，cos 58°)，B→C＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，
则△ABC 的面积为
1 A.4
√B.38
3 C. 2
3 D. 4
押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三 角函数问题已成为近几年高考的热点.
思维升华 运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.
思维升华 解析 答案
跟踪演练 1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，A→N＝14N→C，P 是直
线 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋25A→C，则实数 m 的值为
A.－4
√B.－1
C二中期中)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，
例 1 (1)(2017 届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形 ABCD 的对角
线分别为 AC，BD，且A→E＝2E→C，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则
A.F→E＝－112A→B－152A→D
B.F→E＝112A→B－152A→D
【师说系列】高考数学三轮专题分项模拟 三角函数、平面向量质量检测试题 文(含解析)
专题质量检测(二) 三角函数、平面向量一、选择题1．若函数f(x)＝sin2ax －3sinaxcosax(a ＞0)的图象与直线y ＝m 相切，则m 的值为( ) A ．－12 B ．－32 C ．－12或32 D.52或32解析：f(x)＝sin2ax －3sinaxcosax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12，由题意得，m 为函数f(x)的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32.答案：C2．若向量a ＝(1,2)和向量b ＝(x ＋1，－1)垂直，则|a ＋b|＝( ) A. 5 B.52 C.10 D.102解析：由a ⊥b 可得1×(x ＋1)＋2×(－1)＝0，解得x ＝1.故b ＝(2，－1)，所以a ＋b ＝(3,1)，所以|a ＋b|＝32＋12＝10.答案：C3．要得到函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π4个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：由cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3知，将函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可得到函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．故选B. 答案：B4．在△ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠A ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.32C ．1 D. 3 解析：由题意得AB ＝2，BC ＝1，由正弦定理得2sinC ＝1sin30°，故sinC ＝1，即C ＝90°，于是AC ＝22－12＝3，则S △ABC ＝12×AC×BC ＝32.答案：B5．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →.又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形． 答案：B6．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，则只要将函数f(x)的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：显然A ＝1，又ω×π3＋φ＝π，ω×7π12＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝π3，故函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，又g(x)＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，设需平移的单位长度为φ1，则由2(x ＋φ1)＋π3＝2x ＋π2得φ1＝π12.故要把函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度．故选D.答案：D7．已知向量a ＝(1，m)，b ＝(2，n)，c ＝(3，t)，且a ∥b ，b ⊥c ，则|a|2＋|c|2的最小值为( ) A ．4 B ．10 C ．16 D ．20解析：由a ∥b ，b ⊥c ，得a ⊥c ，则1×3＋mt ＝0，即mt ＝－3，故|a|2＋|c|2＝1＋m2＋9＋t2＝10＋m2＋t2≥10＋2|mt|＝16，当且仅当|m|＝|t|＝3时等号成立． 答案：C 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a2－c2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，则b ＝( )A.2 B ．22 C ．4 D ．2 3解析：由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，所以sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC ，所以sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，即sinB ＝4cosAsinC.由正弦定理得sinB ＝bc sinC ，故b ＝4ccosA.②由①②解得b ＝4. 答案：C9．在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－1B ．1 C.12 D ．－12解析：依题意得，PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝－2|PA →|·|PD →|≥－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－|AD →|22＝－12，当且仅当|PA →|＝|PD →|＝12时取等号，因此PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－12，选D.答案：D10．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫π6，13π12B.⎝⎛⎭⎫5π12，13π11C.⎣⎡⎭⎫4π13，12π11D.⎣⎡⎭⎫7π8，14π11 解析：设t ＝ωx ＋π3，则t ∈⎝⎛⎦⎤π3，2ω＋π3.因为f(t)＝sint 在t ∈⎝⎛⎦⎤π3，2ω＋π3上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以⎩⎨⎧2ω＋π3≥2π3，2ω＋π3＜5π2，解得⎩⎨⎧ω≥π6，ω＜13π12，即π6≤ω＜13π12. 答案：A 11．在斜三角形ABC 中，sinA ＝－2cosB·cosC ，且tanB·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4解析：由题意知，sinA ＝－2cosB·cosC ＝sin(B ＋C)＝sinB·cosC ＋cosB·sinC ，在等式－2cosB·cosC ＝sinB·cosC ＋cosB·sinC 两边同除以cosB·cosC 得tanB ＋tanC ＝－2，tan(B ＋C)＝tanB ＋tanC 1－tanBtanC ＝－1＝－tanA ，即tanA ＝1，所以A ＝π4.答案：A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sin2B ＋sin2C －sin2A ＋sinBsinC ＝0，则tanA 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：依题意及正弦定理可得，b2＋c2－a2＝－bc ，则由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又0＜A ＜π，所以A ＝2π3，tanA ＝tan 2π3＝－3，选D.答案：D 二、填空题13．若点P(cosα，sinα)在直线y ＝－2x 上，则1＋cos2αcos2α＋sin2α的值为________．解析：由已知得tanα＝－2，则1＋cos2αcos2α＋sin2α＝2cos2αcos2α＋2sinαcosα＝2cos2αcos2αcos2αcos2α＋2sinαcosαcos2α＝21＋2tanα＝－23.答案：－2314．已知向量a ＝⎝⎛⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为__________．解析：由题意得，|a|＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，故OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，则(a －b)·(a ＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|，又|OA →|＝|OB →|，故|a －b|＝|a ＋b|，得a·b ＝0，所以|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △ABO ＝12×2×2＝1.答案：115．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，b ＝1，△ABC 的面积为32，则b ＋c sinB ＋sinC的值为__________． 解析：在△ABC 中，∵0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6，又∵sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， ∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3.∵S △ABC ＝12bcsinA ＝12×1×c×32＝32，∴c ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴a ＝ 3.由正弦定理，得b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝332＝2，∴b ＋csinB ＋sinC＝2.答案：216．某城市为加强对建筑文物的保护，计划对该市的所有建筑文物进行测量，如图是一座非常著名的古老建筑，其中A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上，AB 与水平基线HG 垂直，在相距为60 m 的G 、H 两点用测角仪测得A 的仰角∠ACE 、∠ADE 分别为75°、30°，已知测角仪器的高BE ＝1.5 m ，则AB ＝__________m ．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解析：∵∠ACE ＝75°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝45°，在△ACD 中，CD ＝60，由正弦定理得CD sin45°＝ACsin30°，则AC ＝30 2.在Rt △AEC 中，AE ＝ACsin75°，而sin75°＝sin(30°＋45°)＝2＋64，∴AE ＝15(1＋3)≈40.5(m)，故AB ＝AE ＋EB ＝40.5＋1.5＝42(m)． 答案：42 三、解答题17．已知函数f(x)＝sin2x －23sin2x ＋3＋1. (1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6时，求f(x)的值域． 解析：f(x)＝sin2x ＋3(1－2sin2x)＋1＝sin2x ＋3cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x ＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k ∈Z)时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3为单调增函数， ∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－5π12，kπ＋π12(k ∈Z)． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤0，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[0,1]， ∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1∈[1,3]． ∴f(x)的值域为[1,3]．18．已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋23cos2x －3，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，若f(A)＝1，AB →·AC →＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)∵f(x)＝2sinxcosx ＋3(2cos2x －1)＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(3)在锐角△ABC 中，有f(A)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝1， ∵0＜A ＜π2，π3＜2A ＋π3＜4π3，∴2A ＋π3＝5π6，∴A ＝π4.又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cosA ＝2， ∴|AB →|·|AC →|＝2.∴△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sinA ＝12×2×22＝22.19．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cosα－sin(x －α)sinα，求函数y ＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f2(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， ∴sinα＝12，c osα＝－32，tanα＝－33，∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cosα－sin(x －α)sinα＝cosx ，x ∈R ，∴y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， ∴函数y ＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f2(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[－2,1]． 20．已知函数f(x)＝32sin2x －cos2x －12，x ∈R. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f(C)＝0，若sinB ＝2sinA ，求a ，b 的值． 解析：(1)∵f(x)＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∴f(x)的最大值为0， 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f(C)＝sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0＜C ＜π，∴0＜2C ＜2π， ∴－π6＜2C －π6＜116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵sinB ＝2sinA ，∴由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos π3，即a2＋b2－ab ＝9，② 由①②解得a ＝3，b ＝2 3.21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA －3cosC cosB ＝3c －ab .(1)求sinCsinA的值；(2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围． 解析：(1)由正弦定理，设a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝k ，则3c －a b ＝3ksinC －ksinA ksinB ＝3sinC －sinAsinB， 所以cosA －3cosC cosB ＝3sinC －sinA sinB，即(cosA －3cosC)sinB ＝(3sinC －sinA)cosB ，化简可得sin(A ＋B)＝3sin(B ＋C)．又A ＋B ＋C ＝π，所以sinC ＝3sinA ，因此sinCsinA ＝3.(2)由sinC sinA＝3，得c ＝3a.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＞b ，a2＋c2＜b2，又b ＝10，所以52＜a ＜10.22．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，设平面向量m ＝(cosB ，－sinC)，n ＝(cosC ，sinB)，m·n ＝23.(1)求cosA 的值；(2)设a ＝3，△ABC 的面积S ＝5，求b ＋c 的值．解析：(1)∵m ＝(cosB ，－sinC)，n ＝(cosC ，sinB)，且m·n ＝23，∴cosB·cosC －sinB·sinC ＝23，即cos(B ＋C)＝23.∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴B ＋C ＝π－A. ∴cos(π－A)＝23，即cosA ＝－23.∴cosA ＝－23.(2)∵A 是△ABC 的一个内角，cosA ＝－23，∴sinA ＝53. ∵S △ABC ＝12bc·sinA ＝56bc ＝5，∴bc ＝6.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝b2＋c2＋8.∴b2＋c2＋12＝b2＋c2＋2bc ＝(b ＋c)2＝a2＋4＝13. ∴b ＋c ＝13.。
三角函数 与 平面向量 综合解答题
月考复习1. 已知2||=a ，3||=b ，a 与b 的夹角为︒120。
求（1）(2)(3)a b a b -⋅+. （2）||b a-2.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y轴上的截距为1，相邻两最值点()0,2x ，()003,202x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．求()f x 的解析式；3. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．4.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.5.已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(x g ＝22sin 2x . (1)若σ是第一象限角，且)(σf＝5，求)(σg 的值；(2)求不等式)()(x g x f ≥．6. 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：（I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．7.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．8.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．9.已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．10.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域11.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a()1,2=.(1)若52||=c ，且c //a ，求c 的坐标；(2) 若|b |=,25且a +2b 与b a -2垂直，求a 与b的夹角.12（2011广东卷理）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．13.（2011湖南卷理）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
江苏高考分类汇编02三角函数、解三角形、平面向量学生版
专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数高考考试说明：三角函数的概念（B 级）；同角三角函数的基本关系式（B 级）；正弦函数、余弦函数的诱导公式（B 级）；函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像与性质（A 级）；正弦、余弦、正切的图像与性质（B 级），两角和（差）的正弦、余弦及正切（C 级）；二倍角的正弦、余弦及正切（B 级）. 一、填空题：1.（2008.江苏.1）若函数y ＝cos （ωx －π6）（ω＞0）最小正周期为π5，则ω＝ .2.（2009.江苏.4）函数y ＝ y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ .3.（2010.江苏.10）定义在区间（0，π2）上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 .4.（2011.江苏.7）已知tan （x ＋π4）＝2，则tan xtan 2x 的值为 .5.（2011.江苏.9）函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）的值为 .6.（2012.江苏.11）设α为锐角，若cos （α＋π6）＝45，则sin （2α＋π12）的值为 .7.（2013.江苏.1）函数y ＝3sin （2x ＋π4）的最小正周期为 .8.（2014江苏5）已知函数y ＝cos x 与y ＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是 .9.（2015.江苏.8）已知tan α＝－2，tan （α＋β）＝17，则tan β的值为_______.10.（2015.江苏.14）设向量a k ＝（cos k π6，sin k π6＋cos k π6）（k ＝0，1，2，...，12），则11k =∑（a k →˙a k ＋１→）的值为 .11.（2016.江苏.9）定义在区间 [0，3π] 上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是______.12.（2017.江苏.5）若tan （α－π4）＝16，则 tan α＝ .13.（2018.江苏.7）已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π2＜φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是 .二、解答题：1.（2008.江苏.15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点.已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255. （1）求tan （α＋β）的值； （2）求α＋2β的值.2.（2010.江苏.17）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.（1）该小组已经测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大.3.（2014.江苏.15）已知α∈（π2，π），sin α＝55.（1）求sin （π4＋α）的值；（2）求cos （5π6－2α）的值.4.（2017.江苏.16）已知向量a ＝（cos x ，sin x ），b ＝（3，－3），x ∈[0，π] . （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记f （x ）＝a ∙b ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值.5.（2018.江苏.16）已知α，β为锐角，tan α＝43，cos （α＋β）＝－55.（1）求cos2α的值； （2）求tan （α－β）的值.6.（2018.江苏.17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ 内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.第2讲 解三角形高考考试说明：正弦定理、余弦定理及其应用（B 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.13）满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 .2.（2010.江苏.13）在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cos C ，则 tan C tan A ＋tan Ctan B ＝ .3.（2014.江苏.14）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 .4.（2016.江苏.14）在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.5.（江苏.2018.13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为 .二、解答题：1.（2011.江苏.15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin （A ＋π6）＝2cos A ，求A 的值；（2）若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值.2.（2012.江苏.15）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ； （2）若cos C ＝55，求A 的值.3.（2013.江苏.18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再以匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？4.（2015.江苏.15）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值.5.（2016.江苏.15）在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.（1）求AB 的长；（2）cos （A －π6）的值.第3讲 平面向量高考考试说明：平面向量的概念（B 级），平面向量的加法、减法及数乘运算（B 级），平面向量的坐标表示（B 级），平面向量的概平行与垂直（B 级），平面向量的数量积（C 级），平面向量的应用（A 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.5）已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则 |5a －b |＝ .2.（2009.江苏.2）已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝ .3.（2011.江苏.10）已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为 .4.（2012.江苏.9）如图，在矩形ABCD 中，AB，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则 AE →·BF → 的值是 .第4题5.（2013.江苏.10）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为 .6.（2014.江苏.12）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 .7.（2015.江苏.6）已知向量a ＝（2，1），b ＝（1，－2），若m a ＋n b ＝（9，－8）（m ，n R ），m －n 的的值为______.P（第6题）8.（2015.江苏.14.）（见第1讲第10题）设向量a k ＝（cos k π6，sin k π6＋cos k π6）（k ＝0，1，2，...，12），则11k =∑（a k →˙a k ＋１→）的值为 .9.（2016.江苏.13）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.第9题 第10题10.（2017.江苏. 12）如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →（m ，n ∈R ），则m ＋n ＝ .11.（2017.江苏.13）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 .12.（江苏.2018.12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B （5，0），以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为 . 二、解答题：1.（2009.江苏.15）设向量a ＝（4cos α，sin α），b ＝（sin β，4cos β），c ＝（cos β，4sin β-）. （1）若a 与b －2c 垂直，求tan()αβ+的值； （2）求 |b ＋c | 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .2.（2010.江苏.15）在平面直角坐标系xOy 中，点A （－1，－2），B （2，3），C （－2，－1）.（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足（AB →－t OC →）·OC →＝0，求t 的值.3.（2012.江苏.15）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.（1）求证：tan B ＝3tan A ；（2）若cos C ＝55，求A 的值.A4.（2013.江苏.15）已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），0＜β＜α＜π.（1）若| a－b | ＝2，求证：a⊥b；（2）设c＝（0，1），若a＋b＝c，求α，β的值.5.（2017.江苏.16）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（3，－3），x∈[0，π].（1）若a∥b，求x的值；（2）记f（x）＝a∙b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
历年高考三角函数真题解析精选
三角函数和平面向量（2011广东文）16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值． （2011北京文）15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （2011四川文）18．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．（2011福建文）21．（本小题满分12分）设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤。
（1）若点P 的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若0.2πθ≤≤，求函数()f θ的最小值和最大值。
（2010上海文数19）.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.（2010浙江文数18） (本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．（2010北京文数15）（本小题共13分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. （2010重庆文数18） (本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a bc .(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.（2010浙江文数18）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222()4S a b c =+-。
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三角函数与平面向量高考试题
一、选择题
1、（2012江西文4）若sincos1sincos2，则tan2α=
A. -34 B. 34 C. -43 D. 43
2、（2012重庆理5）设tan,tan是议程2320xx的两个根，则tan()的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
3、（2012浙江理科4）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后
向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）
4、（2012浙江理科5）设ba,是两个非零向量（ ）
A．若||||||baba，则ba
B．若ba，则||||||baba
C．若||||||baba，则存在实数λ，使得ba
D．若存在实数λ，使得ba，则||||||baba
5、（2012山东7)若42，， 37sin2=8，则sin=
（A）35（B）45（C）74（D）34
6、（2012全国新课标9）已知0，函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减。则的取值范围是
（ ）()A15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2 ()D(0,2]
7、（2012重庆文科5)17cos30cos17sin47sin
A. 32 B、12 C. 12 D. 32
8、（2012重庆文科6)设x∈R,向量21,1,bxa，且ba,则||ba
A. 5 B. 10 C. 25 D.10
9、（2012全国卷大纲6）ABC中，AB边的高为CD，若CBa，CAb，0ab，||1a，||2b，
则AD（ ） （A）1133ab （B）2233ab （C）3355ab （D）4455ab
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A
B
C
E
F
D
10、（2012全国卷大纲7）已知为第二象限角，3sincos3，则cos2
（A）53 （B）59 （C）59 （D）53
11、（2011全国新课标理5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，
则cos2=（ ）（A） 45 （B）35 （C） 35 （D）45
12、（2012广东理科3）若向量(2,3)BA，(4,7)CA，则BC
A．(2,4) B．(3,4) C．(6,10) D．(6,10)
13、（2009全国卷Ⅰ理）如果函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称，那么||的最小值
为（ ）（A）6 （B）4 （C）3 (D) 2
14、（2012安徽理科8）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)OP，将向量OP按逆时针旋转34后，得向量
OQ
则点Q的坐标是（ ）
()A(72,2) ()B (72,2) ()C (46,2) ()D
(46,2)
二、填空题
15、（2012江苏9）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，
点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是 ．
16、（2012全国新课标13）已知向量,ab夹角为45 ，且1,210aab；则
_____b
17、（2012安徽理科14）若平面向量,ab满足：23ab；则ab的最小值是_____
18、（2012全国大纲14）当函数sin3cos(02)yxxx取得最大值时，x___________
19、（2011辽宁理16）已知函数)(xf=Atan（x+）（2||,0），y=
)(xf
的部分图像如下图，则)24(f ．
20、（2012江苏11）设为锐角，若4cos65，则sin212的值
为 ．
三、计算题
21、（2012山东卷）已知向量1,sinxm，
02cos2,cos3AxAxAn
，函数nmxf的最大值为6.（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数xfy的图象像左平移12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐
标不变，得到函数xgy的图象。求xgg（x）在245,0上的值域。
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22、（2012天津15）已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos133fxxxx，xR.
(Ⅰ)求函数()fx的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]44上的最大值和最小值.
23、（2012重庆理科）设xxxxf2cossin6cos4，其中.0
（Ⅰ）求函数xfy 的值域
（Ⅱ）若xf在区间2,23上为增函数，求 的最大值。
24、（2012四川文18）、已知函数21()cossincos2222xxxfx。
（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若32()10f，求sin2的值。
25、（2012湖北理科17）已知向量)sinsin(cosxxxa，，)cos32sincos(xxxb，，
设函数Rxbaxf的图像关于直线x对称，其中，为常数，且）（1,21
（1） 求函数()fx的最小正周期；
（2） 若()fx的图像经过点）（0,4求函数()fx在区间530，上的取值范围。
26、（2012湖南文18）已知函数
20,0,sinRxxAxf
的部分图像如图5所示。
（Ⅰ）求函数xf的解析式；
（Ⅱ）求函数1212xfxfxg的单调递增区间。
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27、（2012陕西理科16）函数()sin()16fxAx（0,0A）的最大值为3， 其图像相邻两条
对称轴之间的距离为2，
（Ⅰ）求函数()fx的解析式；
（Ⅱ）设(0,)2，则()22f，求的值。
28、（2012福建理科）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）00020217cos13sin17cos13sin；
（2）00020215cos15sin15cos15sin；
（3）00020212cos18sin12cos18sin；
（4）00020248cos)18sin(48cos)13(sin；
（5）00020255cos)25sin(55cos)25(sin。
（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
29、设函数1cossincos2xxxxf，将函数xf的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
(1)求函数xf的最小正周期；
(2)若20 ，且xg是偶函数，求的值．
30、（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(OCtAB)·OC=0，求t的值。
31、（2010湖北文数）已经函数22cossin11(),()sin2.224xxfxgxx
(Ⅰ)函数()fx的图象可由函数()gx的图象经过怎样变化得出？
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（Ⅱ）求函数()()()hxfxgx的最小值，并求使用()hx取得最小值的x的集合。