集合

例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}， 求AUB． 解：A B { x | 1 x 2} { x | 1 x 3} x | 1 x 3
可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：
类比引入
思考：
求集合的并集是集合间的一种运算，那么， 集合间还有其他运算吗？
例 用描述法表示下列集合： （1）方程x2－2=0的所有实数根组成的 集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的 集合； （1）A = {x∈R|x2－2=0} （2）B = {x∈Z|10<x<20} 要指出的是，如果从上下文的关系来看， x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z 可以省略，只写出其元素x。例如，集合 D = {x∈R|x<10}也可以表示为D = {x|x<10}
课堂小结
1.集合的定义 2.集合与元素的关系 3.集合元素的性质 4.集合的表示方法 5.集合的分类 6.空集： 7.点集元素的特征
1.1.2
集合间的基本关系
考察以下各组集合：
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；
（2）A={x︱x是等边三角形}， B={x︱x是等腰三角形}.
区别:子集中，元素的个数少于或者等于原 集合中元素的个数，而真子集中元素的个 数只能少于原集合中元素的个数。
{1}， {2}， {1,2}， 如：A={1,2}，那么其子集有 ， 其真子集只有 ， ，少了自身这个集合。 {1}， {2}
三、集合相等
A={x|x2－1=0}；B={－1，1}.
集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，同时，集 合B中任何一个元素都是集合A中的元素.这样集合A与 集合B的元素是一样的.
一.子集 1.定义：对于两个集合A,B,如果A中的 任意一个元素都是集合B中的元素，那 么就称集合A是集合B的子集。
2、表示方法： A
B(或B A),
读作“A含于B”（或“B包含”）．
3、集合的图形语言：
在数学中经常用图形表示集合，通常使用维恩 （Venn）图，用一条封闭曲线的内部来表示集合，这 种图就叫做维恩图，例如上述两个集合A和B的关系可 以用下面作图表示．
例1：用列举法表示下面集合：
（1）15以内质数的集合
（2）一次函数y=x和y=2x-1的交点组成的集合
解：（1）.因为15以内的质数有2,3,5,7,11,13,所 以15以内质数的集合就是{2,3,5,7,11,13} （2）.联立方程y=x和方程y=2x-1，解得： x=1,y=1,所以一次函数y=x和y=2x-1的交点组成的 集合是{（1,1）}
∈ 2__N ∈Q 3__ ∈ a__{a} ∈N 0__
N+_
∈ R 1.5 7 __ _Z
d__{a,b,c}
7.集合的表示方法:
（1）列举法:把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号{ }内,元素与元素之间用逗号 “,”隔开。比如：{1,2,3},{a,b,c,d}等。 说明:(1)元素不能重复出现 （2）元素较多时一般不用列举法 （3）a与{a}不同 (4)有些集合亦可如下表示：从51到 100的所有整数组成的集合： {51，52，53，…，100}
2 （a+1） 1
点评：在这个例子中，有些同学解完
方程以后就完了，没有再去把a的值
代入到集合中验证，这样就出错了，
所以一定要再验证一下。
例4.已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0}只有一个元素， 求a的值与这个元素. 分析：集合A只有一个元素，代表着方程 ax2 4 x 4 0
只有一个解。
考察下列各个集合，你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗？
（1） A=｛1，3，5｝， B=｛2，4，6｝，
C=｛1，2，3，4，5，6｝． （2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝，
C=｛x|x是实数｝．
集合C是由所有属于集合A或属于B的元素 组成的．
并集概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合，称为集合A与B的并集. 记作：A∪B（读作：“A并B”） 即： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B}
2 2
综上，a的值为-1和0
例2.写出满足1,2 A 1,2,3, 4的所有集合A.
分析：集合A中最少含1,2两个元素，最多含有 1,2,3,4，四个元素。 解：当A中只含2个元素时，A={1,2}
当A中只含3个元素时，A={1,2，3}或A={1, 2，4} 当A中含4个元素时，A={1,2，3,4}
思考：如果一个集合{1,2,3...n}含有n个元素， 那么它的子集有多少个呢？
【课堂小结】
(1).任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2).对于集合 A、B、C，如果 A B且B C那么A C.
(3).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (4).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (5).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C. (6).对于集合A、B、C，如果 A B且B C那么A C .
3.元素与集合间的关系

属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记做： a∈A,比如：1在集合A={1,2,3}中，所以1∈A,同理 2∈A，3∈A
不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,
记做：a A,比如：4 {1，2, 3}
思考：下列指定的对象，能构成一个集合 的是 ？能构成集合的条件是什么？
例2.用描述法表示下列集合：
（1）小于10的整数的集合 （2）不等式2x-7>3的解集 （3）直线y=2x-3上的点组成的集合 解：（1）.设小于10的整数为x,它满足 x Z ，且 x 10
因此，用描述法表示为：{ x Z | x 10 }。 （2）.因为等式2x-7>3的解集为：x 5 ，是由大于5的 实数组成的集合，因此，用描述法表示{ x R | x 5 }。
5.常用数集字母表示方法:
自然数集：全体非负整数组成的集合，记做：
N
正整数集：全体正整数组成的集合，记做：N+
或N*
整数集：全体整数组成的集合，记做：Z 有理数集：全体有理数组成的集合，记做：Q 实数集：全体实数组成的集合，记做：R
2
6.练一练 练习：用符号“∈”或“”填空：
文字语言 集合A与集合B的元素完全一样。 且 数学语言 图形语言 B（A） （Ｖeen图）
例 1.设集合A 2, a , B 1, 2, a , 若A B, 求a值
2
2 2 a a 解:因为A B ，所以只需 =1，或者 =a就
能满足题目要求。 （1).当 a =1时，a=1或者-1，而a=1时，集合B不 满足互异性，舍去。 （2）当 a =a时，a=0或1，同理1应该舍去
解：
说明：
在上述例子（2）中，最终结果容易很多同学容 易写成{1,2}，这样写是不对的，因为集合{1,2}表 示的是两个元素，实际上这两条直线只有一个交 点，也就是说最终结果应该是一个元素（一个点 组成的元素）
（2）描述法:用集合所含元素的共同特征
表示集合的方法
具体方法是：在花括号内先写上表示这 个集合元素的一般符号及取值（或变化） 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这 个集合中元素所具有的共同特征。 形式：{ x ∈ A | p(x) }
问：你能举出空集的例子吗？
练习1：请使用恰当的符号填空 0 __ ,0 __ 0 , 0 __ .
练习2.写出集合{a,b}的所有子集。 解:其子集有 ，{a},{b},{a,b}共4个。
练习3.写出集合{a,b,c}的所有子集。
解:其子集有 ，{a},{b},{c},{a,b}， {a,c},{b,c},{a,b,c}共8个。
（3）.因为点是由坐标组成的，因此，用描述法表示为： { （x,y) | y=2x-3 }。
解：
8.集合的分类: 思考：集合{ x |x2＋1＝0} 它有什么特征？在 实数范围内有这样的元素x吗？ 显然，方程 x 2 1 0 在实数范围内是无解 的，所以这个集合就没有元素.我们把这样的 集合叫做空集，记作：。至此，我们可以 将集合分为以下三类： 1.有限集：集合中的元素个数是可以数清楚 的 2.无限集：集合中的元素有无限多个，数不 清 3.空 集：不含任何元素的集合
1.1.1集合的含义与 表示方法
请同学们看下面几句话：
1. 正整数：1, 2, 3, ; 2. 中国古典四大名著; 3. 到线段两端距离相等的点.
1.集合的概念:
一般的，我们把研究对象统称为元素. 把一些元素组成的总体叫做集合，简 称“集”.


2.集合，元素的表示:
集合常用大写拉丁字母A,B,C......表示， 元素常用小写拉丁字母a,b,c......表示.,如集合 A,集合B等等，元素b，c, d等。
解：①.当a=0时，方程 ax2 4 x 4 0 变为 4 x 4 0 此时，x=-1，满足要求。 ②.当a 0时，方程ax2 4 x 4 0 必须满足：
=4 -4 4a 16 16a 0 ，此时a=1,x=-2。
2
综上，a的值为0时，x=-1; a的值为1时，x=-2。
A
B
A,
B
问：你能举出具有包含关系的两个集合吗？
二、真子集
在 A B 且A≠B的情形下，即：如果A是集合B的 子集，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是 集合B的真子集（prope subset），记作
A
B
举例：A={1,2}，B={1,2,3}，那么 A B