第一章集合与简易逻辑(教案)
第05课时：第一章集合与简易逻辑——简易逻辑
一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“p且q”的否定为“p⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都⌝或q是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“”解：(1)这个命题是“p且q”形式，菱形的对角线相互垂直；菱形的对角线相互平分，∵p为真命题，q也是真命题∴p且q为真命题．（2）这个命题是“p或q”形式，:p；:q，∵p为真命题，q是假命题∴p或q为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解：否命题为：若，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y += 逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则”．∵20x x m +-=无实根 ∴即，故原命题的逆否命题是真命题．例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程有两个不相等的实负根，命题q ：方程无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到： ∴ 由命题q 可以得到：∴∵p 或q 为真，p 且q 为假 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，当p 为假，q 为真时， 所以，m 的取值范围为或．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根．解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根，不妨假设，由方程的定义可知：即由已知12x x <时，有这与式①矛盾因此假设不能成立 故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ） A.若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确 2．“若，则没有实根”，其否命题是 （ ） A 若，则20ax bx c ++=没有实根B 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根C 若，则20++=有实根ax bx cD 若240++=没有实根ax bx c-≥，则20b ac五．课后作业：《高考计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．内容总结（1）一．课题： TC "§简易逻辑" 简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成（2）2．由真值表判断复合命题的真假。
第一章 集合与简易逻辑总体设计教材分析 人教版 教案
第一章集合与简易逻辑总体设计教材一、学习目标1．会用具体例子说明集合、子集、交集、补集的概念；能说出空集和全集的含义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的述语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．2．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件．二、内容安排1．本章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义，四种命题及其相互关系和充分条件的有关知识．集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．课本还简介了集合论的创始者是德国数学家康托．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具．在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．2．本章共分两大节．第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的字义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．第二大节是“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题（包括原命题与逆命题）知识，掌握了简单的推理方法（包括对反证法的了解）．由此，这一大节首先给出逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．此外，本章在第一大节之后，还附了一篇关于集合元素个数的阅读材料．3．本章第一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好的理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集体合的基本概念．本章第二大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是必要的．本章第一大节的难点是有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难．本章第二大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．4．本章是高中数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题．本章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中数学的内容为基础的．从引出有关知识的实例，到具体应用的问题，都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响．本章的内容是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作准备，随着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了．因此，在本章的教学中，一定要从学生的实际和教科书的具体内容出发，提出恰如其分的教学要求，避免一步到位．三、课时分配本章教学时间约需20课时，具体分配如下（仅供参考）：1．1 集合约1课时1．2 子集、全集、补集约2课时1．3 交集、并集约2课时1．4 含绝对值不等式的解法约2课时1．5 一元二次不等式的解法约2课时1．6 逻辑联结词约2课时1．7 四种命题约3课时1．8 充分条件与必要条件约2课时小结与复习约2课时。
集合与简易逻辑教案jiaoan
集合与简易逻辑教案一、教学目标1. 了解集合的概念，能够正确表示集合，并掌握集合的基本运算。
2. 学习简易逻辑的基本概念，能够运用简易逻辑解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 集合的概念和表示方法集合的定义集合的表示方法（列举法、描述法）集合的基本运算（并集、交集、补集）2. 简易逻辑的概念和应用简易逻辑的定义简易逻辑的规则（矛盾律、排中律、同一律）简易逻辑在解决问题中的应用三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握集合和简易逻辑的概念。
2. 使用案例分析和练习题，让学生通过实际应用来加深对集合和简易逻辑的理解。
3. 鼓励学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力和交流表达能力。
四、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况，评估学生对集合和简易逻辑的理解程度。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评估学生对集合和简易逻辑的掌握程度。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对集合和简易逻辑的理解和应用能力。
五、教学资源1. 教学PPT：提供集合和简易逻辑的概念、例题和练习题，方便学生理解和巩固知识点。
2. 练习题：提供相关的练习题，帮助学生巩固集合和简易逻辑的知识点。
3. 案例分析：提供相关的案例分析，让学生能够将集合和简易逻辑应用到实际问题中。
六、教学步骤1. 引入集合概念：通过现实生活中的实例，如班级学生、家庭成员等，引导学生理解集合的概念。
2. 表示集合：讲解列举法和描述法的区别和运用，让学生通过具体例子学会表示集合。
3. 集合运算：介绍并集、交集、补集的定义和运算方法，通过例题展示运算过程，让学生分组练习。
七、教学步骤（续）4. 简易逻辑概念：引入简易逻辑的概念，解释矛盾律、排中律、同一律的含义。
5. 逻辑推理：通过逻辑推理题目，让学生运用简易逻辑规则解决问题，增强逻辑思维能力。
集合与简易逻辑教案
集合与简易逻辑教案教学目标：1. 了解集合的基本概念和性质；2. 掌握集合的表示方法；3. 理解集合之间的关系；4. 学习简易逻辑的基本原理；5. 能够运用集合和简易逻辑解决实际问题。
教学内容：一、集合的基本概念和性质1. 集合的定义2. 集合的元素3. 集合的性质4. 集合的表示方法二、集合之间的关系1. 子集的概念2. 真子集和假子集3. 集合的包含关系4. 集合的相等关系三、逻辑的基本概念1. 逻辑命题2. 逻辑联结词3. 逻辑等价式4. 逻辑推理四、简易逻辑的原理1. 逆否命题的原理2. 蕴含命题的原理3. 等价命题的原理4. 逻辑推理的方法五、集合与简易逻辑的应用1. 集合的应用举例2. 简易逻辑的应用举例3. 集合与简易逻辑的综合应用4. 解决实际问题的方法教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解集合和简易逻辑的基本概念和原理；2. 利用例题和练习题，让学生通过实践巩固所学知识；3. 鼓励学生进行思考和讨论，培养学生的逻辑思维能力；4. 结合现实生活实例，让学生体验集合和简易逻辑在实际问题中的应用。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习题的正确率和解题思路；3. 学生思考和讨论的积极性和深度；4. 学生解决实际问题的能力和创新思维。
六、集合的运算1. 集合的并集2. 集合的交集3. 集合的差集4. 集合的对称差集七、简易逻辑的推理1. 直接推理2. 间接推理3. 归纳推理4. 类比推理八、复合命题的逻辑运算1. 复合命题的定义2. 逻辑与运算（AND）3. 逻辑或运算（OR）4. 逻辑非运算（NOT）九、逻辑推理的应用1. 演绎推理2. 归纳推理3. 类比推理4. 逻辑推理在日常生活中的应用十、总结与拓展1. 集合与简易逻辑的重要性和应用领域2. 学生学习过程中的疑问和困难3. 针对学习难点提供的拓展资源和建议4. 鼓励学生继续探索集合与简易逻辑的更多应用教学方法（续）：1. 通过具体案例和实际问题，引导学生理解和掌握集合的运算方法；2. 通过逻辑推理的例题，展示简易逻辑的推理过程和应用；3. 利用图表和模型，直观展示集合和逻辑关系，增强学生的空间想象力；4. 组织小组讨论和课堂分享，促进学生之间的交流和合作。
第一章 集合与简易逻辑教学设计
第一章集合与简易逻辑教学设计Chapter one set and simple logic teaching desi gn第一章集合与简易逻辑教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
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第一章集合与简易逻辑第一教时教材：集合的概念目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。
过程：一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”如：2x-1>3 2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……如：高一（5）全体同学组成的集合。
结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示：{…} 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R集合的三要素： 1。
元素的确定性； 2。
元素的互异性； 3。
元素的无序性（例子略）三、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作aÎA ，相反，a不属于集A 记作aÏA （或aÎA）例：见P4—5中例四、练习 P5 略五、集合的表示方法：列举法与描述法列举法：把集合中的元素一一列举出来。
集合和简易逻辑教学教案
第一章 集合和简易逻辑一、知识结构二、重点难点重点：有关集合的基本概念、术语和符号；||x a <与||x a >(0a >)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件；难点：有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系；对绝对值意义的理解；弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用。
三、知识点解析1、集合（1）定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集。
（2）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
（3）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作()A B B A ⊆⊇或。
这时我们也说集合A 是集合B 的子集。
当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A B Ø。
我们规定：空集是任何集合的子集。
也就是说，对任何一个集合A ，有A ∅⊆。
（4）等集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。
（5）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。
（6) 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集(即A S ⊆)，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集(或余集)，记作S A ð，即{|,}S A x x S x A =∈∉且ð。
（7) 交集，并集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂(读作“A 交B”)，即{|,}A B x x A x B ⋂=∈∈且。
第一章集合与简易逻辑(教案)
高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想； 4．数形结合思想．【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； (2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。
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1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。
集合与简易逻辑教案jiaoan
集合与简易逻辑教案第一章：集合的概念与性质教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。
2. 掌握集合的性质，包括确定性、互异性和无序性。
3. 能够运用集合的基本运算进行计算和解决问题。
教学内容：1. 集合的概念：集合是由确定的元素组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
3. 集合的性质：确定性、互异性和无序性。
4. 集合的基本运算：并集、交集、补集和相对补集。
教学活动：1. 引入集合的概念，通过实例讲解集合的表示方法。
2. 讲解集合的性质，进行相关性质的证明和举例。
3. 练习集合的基本运算，解决实际问题。
作业与评估：1. 完成课后练习题，巩固集合的概念和性质。
2. 运用集合的基本运算解决实际问题，提高解决问题的能力。
第二章：逻辑运算与命题教学目标：1. 理解逻辑运算的概念，掌握逻辑运算的规则。
2. 理解命题的概念，掌握命题的逻辑结构。
3. 能够运用逻辑运算和命题进行推理和判断。
教学内容：1. 逻辑运算的概念：包括且、或、非等运算。
2. 逻辑运算的规则：包括分配律、结合律和德摩根定律。
3. 命题的概念：命题是能够判断真假的陈述句。
4. 命题的逻辑结构：包括简单命题和复合命题。
教学活动：1. 讲解逻辑运算的概念和规则，通过实例进行演示和解释。
2. 引入命题的概念，讲解命题的逻辑结构。
3. 练习逻辑运算和命题推理，解决实际问题。
作业与评估：1. 完成课后练习题，巩固逻辑运算和命题的概念和规则。
2. 运用逻辑运算和命题进行推理和判断，提高推理能力。
第三章：全称命题与存在命题教学目标：1. 理解全称命题的概念，掌握全称命题的逻辑结构。
2. 理解存在命题的概念，掌握存在命题的逻辑结构。
3. 能够区分全称命题和存在命题，并进行推理和判断。
教学内容：1. 全称命题的概念：全称命题是涉及到所有元素的一般性命题。
2. 全称命题的逻辑结构：包括全称量词和命题陈述。
3. 存在命题的概念：存在命题是涉及到至少一个元素的存在性命题。
高三数学第一章 集合与简易逻辑教案
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集． 定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3．因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ．6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件．令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾， 所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数． （ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43 所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________．10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则 =B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由． 12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围．四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx xA ，且AB ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________．4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足：（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。
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1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。
大西洋，印度洋，北冰洋)．为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合．例如，A＝｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如，“地球上的四大洋”这一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．集合的元素常用小写的拉丁字母表示。
2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：集合中的元素必须是确定的。
这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。
例如，给出集合(地球上的四大洋)，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素．其他对象都不是它的元素．又如。
“我国的小河流”就不能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。
集合中的元素是互异的。
这就是说，集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素．集合中的元素是无序的。
这就是说，集合中的元素排列与顺序无关。
3、常用的数集及其记法：全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N *或N+；全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；全体实数的集合通常简称实数集，记作R．★（教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意以下两点：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0；(2)非负整数集内排除0的集，表示成N *或N+。
新的国家标准定义自然数集N含元素O．这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，以便与之早日相衔接；另一方面，o还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算a—a仍属于N，其中a∈N．）4、集合的表示方法，常用的有列举法和描述法：列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例如，由方程2x—1＝0的所有的解组成的集合，可以表示为｛-1，1｝；又如，由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合，可以表示为｛1，3，5，7，9｝。
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例如，不等式x-3＞2的解集可以表示为｛x ∈R｜x-3＞2｝;★（列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，4不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．）5、集合的分类：一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集．一般地，含有无限个元素的集合叫做无限集．不含任何一个元素的集合叫做空集．记作φ。
6、素与集合之间的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A，记作a∉A(或a∈A)．例如，设B＝｛1，2，3，4，5｝，那么5∈B，8∉B．7、练习：①P5与P6练习。
②P7习题1.1第1题、第2题的⑴、⑵。
8、小结：（略）。
9、作业：①P7习题1.1第2题的⑶、⑷。
②练习册：§1.1集合的内容。
§1．2子集、全集、补集〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)了解集合的包含、相等关系的意义；(2)理解子集、真子集的概念；(3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
〖教学过程〗☆本小节分为两部分：第一部分讲子集，第二部分讲全集与补集．第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出于集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质．第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念．1、子集的定义：先看集合与集合之间的“包含”关系设A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A。
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A 包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)．这时我们也说集合A是集合B的子集．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A⊆B(或B⊇A)．规定：空集是任何集台的子集。
也就是说，对于任何一个集合A，有φ⊆A。
2、集合与集合的相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B。
记作A＝B。
3、真子集的定义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，5记作A ⊆B(或B ⊇A)。
★（关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意；在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错．）4、性质：①A ⊆A （任何一个集台是它本身的子集）；②空集是任何非空集合的真子集；③对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ．同样可知，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ．④对于集合A ，B ，如果A ⊆B ，同时B ⊇A ，那么A ＝B ．5、一些容易混淆的符号的区分：① ∈与⊆的区别：∈是表示元素与集合之间关系的，因此，有1∈N ， —1∈N 等；⊆是表示集合与集合之间关系的，因此，有N ⊆R ，φ⊆R 等．②a 与｛a ｝的区别：一般地，a 表示一个元素，而｛a ｝表示只有一个元素的一个集合．因此，有1∈｛1,2,3｝,0∈｛0｝,｛1｝⊆｛1,2,3｝等，不能写成0=｛0｝,｛1｝∈｛1,2,3｝．③｛0｝与φ的区别：｛0｝是含有一个元素的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ⊆｛0｝，不能写成φ＝｛0｝、φ∈｛0｝．④｛φ｝与φ的区别：｛φ｝是含有一个元素φ的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ⊆｛φ｝、φ⊆｛φ｝、φ∈｛φ｝，不能写成φ＝｛φ｝．6、补集和全集的定义：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集(即A ⊆S )，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集(或余集)。
记作A C S ，即A C S ＝{x ｜x ∈S ，且x ∉A}．如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示．例如．在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R 看作全集。
有理数集Q 的补集U C Q 是全体无理数的集合。
★ （关于补集，新的国家标准规定。
与补集相关的概念是集合的差，教科书中没有这个概念．集合A 与集合B 之差或集合A 减集合B 记作A ＼B ，即A ＼B ＝{x ｜x ∈A ，且x ∉A}． 要注意，上式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同．在B C A 中，要求B 是A 的子集； A ＼B 中，B 可以不是A 的子集．当B 是A 的子集的时候，也可以写成B C A ＝A ＼B ．）7、 补集性质：6C U U=φ，C Uφ=U，C U（C U A）=A。
8、例题：例⑴写出集合｛a、b｝、｛a、b、c｝的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．并总结出集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。
解：（略）。
例⑵解不等式x-3＞2，并把结果用集合表示．解：x＞5，原不等式的解集是｛x｜x＞5｝．9、练习：①P9与P10练习。
②P10习题1.2第1题、第2题。
10、小结：（略）。
11、作业：①P10习题1.2第3题、第4题、第5题。
②练习册：§1.2集合的内容。
§1．3 交集、并集〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)理解交集与并集的概念；(2)掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．〖教学重点与难点〗本小节的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．习本小节，关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标．〖教学过程〗★本小节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．1、交集、并集的概念：一般地，由所有属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{xx∈|}B∈．由所有属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{xx∈|}Bx∈．“x∈∈B”—→⎪⎩⎪⎨⎧∈∈∉∈∉∈BxAxAxBxBxAx,,,2、交集、并集的性质：①A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A；7③ A ∩B ⊆A ⊆A ∪B 、A ∩B ⊆A ⊆A ∪B ；④ A ⊆ B ⇔ A ∩B =A ⇔A ∪B=B ；⑤ C U A ∩A=φ，C U A ∪A=U ；⑥ C U （A ∩B ）=（ C U A ）∪（ C U B ），C U （A ∪B ）=（ C U A ）∩（ C U B ）；⑦ A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ）；A ∪（B ∩C ）=（A ∪B ）∩（A ∪C ）；3、 例题：例1、设A ＝｛x | x > -2｝，B ＝｛x | x < 3｝，求A ∩B ．解：A ∩B ＝｛x | x > -2｝ ∩｛x | x < 3｝ ＝｛x | -2 < x < 3｝．★（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。