人教版2020高中数学 专题强化训练2 随机变量及其分布 新人教A版选修2-3

专题强化训练(二) 随机变量及其分布
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量ξ～N (2,2)，则D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12ξ＝( ) A ．1 B ．2 C.1
2 D ．4
C [∵ξ～N (2,2)，∴
D (ξ)＝2. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝1
2
2D (ξ)＝14×2＝12.]
2．正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝18π
e －
x 2
8，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和
标准差分别是( )
A ．0和8
B ．0和4
C ．0和2
D ．0和 2 C [由条件可知μ＝0，σ＝2.]
3．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量，
则ξ的方差D (ξ)等于( )
【导学号：95032216】
A ．m
B ．2m (1－m )
C ．m (m －1)
D ．m (1－m )
D [随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1
P
1－m
m
∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2
×m ＝m (1－m )．]
4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A ．0.80
B ．0.75
C ．0.60
D ．0.48
B [设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.80·P (B )＝0.60，故P (B )＝0.75，故选B.]
5．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)
＝( )
A.158
B.154
C.52
D ．5
A [两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 因此D (ξ)＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝15
8.]
二、填空题
6．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.
【导学号：95032217】
1335 [P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 4
4＋C 34C 1
3C 47＝13
35
.] 7．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．
12
[由题意可知，n (B )＝C 1322＝12，n (AB )＝A 3
3＝6. 所以P (B |A )＝
n AB n A ＝612＝1
2
.]
8．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝5
9
，则P (Y ≥1)＝________.
【导学号：95032218】
1927 [因为X ～B (2，p )，所以P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2
＝59，解得p ＝13. 又Y ～B (3，p )，所以P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3
＝1927.]
三、解答题
9．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．
[解] ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P (ξ＝0)＝2A 33＝13
；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P (ξ＝1)＝C 1
3A 33＝1
2
；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P (ξ＝3)＝1A 33＝1
6.
所以，ξ的分布列为
ξ 0 1 3 P
13
12
16
E (ξ)＝0×13
＋1×12
＋3×16
＝1；
D (ξ)＝1
3×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16
×(3－1)2＝1.
10．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
【导学号：95032219】
[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果．
所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝1
6，所以P (B |A )＝1
612＝13
.
所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1
3
.
(2)设“先摸出1个白球后放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝1
4
，
所以P (B 1|A 1)＝
P A 1B 1P A 1
＝1412
＝12. 所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为1
2
.
[能力提升练]
一、选择题
1．若随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，已知P (ξ<－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( )
A ．0.025
B ．0.050
C ．0.950
D ．0.975
C [由随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，得P (ξ<1.96)＝1－P (ξ≤－1.96)，所以
P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－
2×0.025＝0.950.]
2．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为1
3
，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为( )
【导学号：95032220】
A ．4
9 B ．59 C ．1
D ．29
A [由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁
在x ＝1处的概率为C 2
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232
×⎝ ⎛⎭⎪⎫131
＝49
.]
二、填空题
3．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为1
2.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率
是________．
1
2
[设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立．
所以P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1
2.]
4．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p .若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.
【导学号：95032221】
2
3
[因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝2
3
.]
三、解答题
5．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．
[解] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 2
3C 26＝1－15＝4
5
.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215
，P (ξ＝4)
＝1C 26＝1
15
. 从而知ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×13＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3
.。