2017届高考数学(文)二轮复习专题能力提升练练三Word版含解析
2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练(五) Word版含解析
专题能力提升练(五) 解析几何 一、选择题(每小题5分)1．过点(5,2)且在y 轴上截距是x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．5x －10y ＋12＝0C ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0D ．x －2y －9＝0或2x －5y ＝0解析：设直线在x 轴上截距为a ，则在y 轴上截距为2a ，若a ＝0，得直线方程是2x －5y ＝0；若a ≠0，则方程为x a ＋y2a＝1，又直线过点(5,2)，得a ＝6，得直线方程是2x ＋y －12＝0.答案：C2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12 B.12 C ．－34 D.34解析：在△OAB 中，由|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos120°＝－12.答案：A3．已知命题p ：4<r <7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离等于5，所以当圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.所以p 是q 的必要不充分条件．答案：B4．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意知直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，则a －b －3＝0，当点M (a ，b )到圆心的距离最小时，切线长最短，|MC |＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝2a 2－8a ＋26，当a ＝2时最小，此时b ＝－1，切线长等于4.答案：C5．已知点A (－t,0)，B (t,0)，若圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则正数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[5,6]C ．[4,5]D ．[3,6] 解析：圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤t ≤32＋42＋1，即4≤t ≤6.答案：A6．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>02－m >02－m >|m |－1，解得m <－1或1<m <32.答案：D7．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为13，设椭圆与抛物线y 2＝4x 的交点P 到点F (1,0)的距离为52，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 29＋y 28＝1 解析：设P (x 0，y 0)，根据题意知x 0－(－1)＝52，所以x 0＝32，代入y 2＝4x ，得y 0＝±6，所以P ⎝⎛⎭⎫32，±6.由椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧94a 2＋6b 2＝1c a ＝13a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝22c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：D8．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率e ＝( )A.10B.102C.103D.52解析：由题意知，直线l 的方程为y ＝－(x －c )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －c )y ＝b a x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bca ＋b ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －c )y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bca －b ，因为A 为线段BF 的中点，所以2ac a ＋b ＝ac a －b＋c ，即b ＝3a ，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋9＝10，所以e ＝10.答案：A9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为P ，且PF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为( )A.3－ 2B.2－1C.12D.22解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，结合题意得a 2－b 2＝1 ①，又由题意知P点的坐标为P (1,2)，则1a 2＋4b 2＝1 ②.由①②得a 2＝3＋22，a ＝1＋2，e ＝c a ＝11＋2＝2－1，选B.答案：B10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ≥4)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，设抛物线的准线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线为x ＝－2， 所以c ＝2，a 2－b 2＝4.把x ＝－2代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2， 取A ⎝⎛⎭⎫－2，b 1－4a 2，B ⎝⎛⎭⎫－2，－b 1－4a 2.因为△ABF 的面积为S ＝12×4×2b 1－4a2＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2 ＝4(a 2－4)a ＝4a －16a ，S ′＝4＋16a2>0，所以S 为增函数，因为a ≥4，所以S ≥12. 答案：D二、填空题(每小题5分)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝__________.解析：圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又圆O 的半径为5，所以圆上有4个点符合条件． 答案：412．直线x －ky ＋1＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，则动弦AB 中点M 的轨迹方程是______________．解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，易知直线恒过定点P (－1,0)，由垂径定理可得OM →⊥PM →，故OM →·PM →＝x (x ＋1)＋y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1413．两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3，2)，且圆心C 在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：由2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线l 的方程为x －y ＋3＝0.设圆C的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线l 和直线y ＝12x 的交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0y ＝12x，解得圆心C 的坐标为(－6，－3)，从而解得r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.答案：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34 14．过抛物线x 2＝4y 上一点M (x 0，y 0)(x 0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N (x 1，y 1)，则x 0－x 1的最小值为__________．解析：由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x ，抛物线的准线方程为y ＝－1.因为点M (x 0，y 0)是抛物线x 2＝4y 上一点，所以y 0＝14x 20，且过点M 的抛物线的切线的斜率k ＝12x 0，切线方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y －14x 20＝12x 0(x －x 0)，令y ＝－1，得x 1＝12x 0－2x 0，所以x 0－x 1＝12x 0＋2x 0≥2，所以x 0－x 1的最小值为2. 答案：215．在平面直角坐标系中，点P 为椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为__________．解析：通解：设直线x －y ＋a ＝0与椭圆相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x 23＋y 2＝1有唯一解，消去x ，得4y 2－2ay ＋a 2－3＝0，Δ＝4a 2－16(a 2－3)＝0，解得a ＝±2，所以直线x －y ±2＝0与椭圆相切，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为直线x －y －2＝0与直线x －y ＋6＝0间的距离，最大距离为82＝4 2.优解：设P (x ，y )，则x 23＋y 2＝1，且P (x ，y )到直线x －y ＋6＝0的距离为d ＝|x －y ＋6|2.设⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α， 则d ＝|3cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋62＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62≤82＝42，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为4 2. 答案：4 2三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．过平面内M 点的光线经x 轴反射后与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切于A ，B 两点． (1)若M 点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB |＝3144，求动点M 的轨迹方程．解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则此直线方程可以设为y ＋1＝k (x －5)，即kx －y －5k －1＝0(*)．又反射光线与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切，所以|－2－5k －1|k 2＋1＝2， 解得k ＝－1或－723，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x ＋y －4＝0或7x ＋23y －12＝0.(2)设动点M 的坐标为(x ，y )(y ≥0)，则反射光线所在直线必过点M 关于x 轴的对称点Q (x ，－y )，设动弦AB 的中点为P ，则|AP |＝3148，故|CP |＝2－⎝⎛⎭⎫31482＝28.由射影定理|CP |·|CQ |＝|AC |2，得|CQ |＝228＝82，即x 2＋(－y －2)2＝82， 即x 2＋(y ＋2)2＝128(y ≥0)．17．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －2m －2＝0.(1)证明：m 取任意实数时，l 1和l 2的交点总在一个定圆C 上； (2)直线AB 与(1)中的圆C 相交于A ，B 两点，①若弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分，求直线AB 的方程．②若直线AB 经过定点(2,3)，求使△ABC 的面积取得最大值时的直线AB 的方程．解：(1)设l 1和l 2的交点坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＝0x ＋my －2m －2＝0，消去m 得，x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以l 1和l 2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为2的圆上．(2)①当弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分时，CP ⊥AB ，因为k CP ＝1－121－12＝1，所以k AB ＝－1，由点斜式方程，得直线AB 的方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y －1＝0. ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝2，可求得|AB |＝2，S △ABC ＝12×2×1＝1；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，则圆心C 到直线AB 的距离d ＝|k －1＋3－2k |1＋k 2＝|2－k |1＋k 2，又S △ABC ＝12d ×22－d 2＝2d 2－d 4＝－(d 2－1)2＋1，当d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－k |1＋k 22＝1，即k ＝34时，△ABC 面积取得最大值1，此时，直线AB 的方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所求直线AB 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.18．已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P (4,0)，交抛物线D 于A ，B 两点．是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线D 的方程为y 2＝2px (p >0)．由4－3＝1，得抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，假设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心M ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G .则|EG |2＝|MG |2－|ME |2， 即|EG |2＝|MA |2－|ME |2 ＝(x 1－4)2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋(x 1－4)2－(x 1＋4)24＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|EG |2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意． 19．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得直线l 和双曲线G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P在线段AB 上，|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的方程；(2)椭圆S 的中心在原点，焦点在y 轴上，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，则由已知可得|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14(x ＋4)x 2－4y 2＝m，得3x 2－8x －16－4m ＝0，则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)因为|P A |·|PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， 所以(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2， 整理得：4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0， 将(*)代入上式，解得：m ＝28.所以双曲线G 的方程为x 228－y 27＝1.(2)由题可设椭圆S 的方程为：x 228＋y 2a2＝1(a >27)，弦的两个端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2128＋y 21a 2＝1x 2228＋y 22a 2＝1，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)a 2＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 028－4y 0a 2＝0，所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线x 28－4ya2＝0截在椭圆S 内的部分．又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，所以a 2＝56，椭圆S 的方程为x 228＋y256＝1.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴交于点M ，在第一象限内是否存在A 点，使得AM 与椭圆相切？若存在，求出A 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由e ＝32，得a ＝2b ，把点⎝⎛⎭⎫－3，12代入椭圆方程可得： (－3)24b 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1⇒b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在A (x 1，y 1)，(x 1>0，y 1>0)，则B (－x 1，－y 1)，直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1，设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， D (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1， 可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2，由题意知，x 1≠x 2，所以k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1，所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k AM ＝－y 12x 1. 设过点A 的直线l ：y ＝tx ＋p 与椭圆相切，则把y ＝tx ＋p 代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4t 2)x 2＋8ptx ＋4p 2－4＝0有两个相等实根， 所以Δ＝(8pt )2－4×4(p 2－1)(1＋4t 2)＝0， 所以4t 2＝p 2－1.又方程的解为x 1，即x 1＝－4t p ，y 1＝1p ，所以t ＝－x 14y 1.若AM 是椭圆的切线，则－y 12x 1＝－x 14y 1，即x 21＝2y 21， 又因为x 214＋y 21＝1，所以x 21＝43，y 21＝23， 所以x 1＝233，y 1＝63，所以在第一象限内存在点A ⎝⎛⎭⎫233，63，使得AM 与椭圆相切． 21．(2016·浙江杭州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝223，且过点⎝⎛⎭⎫22，13. (1)求椭圆方程；(2)Rt △ABC 以A (0，b )为直角顶点，边AB ，BC 与椭圆交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由e ＝223，即c a ＝223，又a 2－b 2＝c 2，得a ＝3b ，把点⎝⎛⎭⎫22，13代入椭圆方程可得(22)29b 2＋⎝⎛⎭⎫132b2＝1⇒b ＝1. 所以椭圆方程为x29＋y 2＝1.(2)由题意知AB ，BC 所在直线的斜率均存在，不妨设AB 的方程为y ＝kx ＋1，则AC 的方程为y ＝－1kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 2＝1， 得(1＋9k 2)x 2＋18kx ＝0⇒x B ＝－18k1＋9k 2， 将k 用－1k 代替，可得x C ＝18k9＋k 2，从而有|AB |＝1＋k 2·18k1＋9k 2，|AC |＝1＋1k 2·18k9＋k2.于是S △ABC ＝12|AB ||AC |＝162×k (1＋k 2)(1＋9k 2)(9＋k 2)＝162×k ＋1k9⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋82.令t ＝k ＋1k ≥2，有S △ABC ＝162t 9t 2＋64＝1629t ＋64t≤278， 当且仅当t ＝83>2时取等号，(S △ABC )max ＝278.。
2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练练二 含解析
二、函数与导数小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎫sin π3>f (cos π3)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32>f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0<cos1<sin1<1，∴选C.答案：C2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象大致是( )解析：要使函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 有意义，需满足x －1x>0，解得－1<x <0或x >1，所以排除A ，D ，当x >2时，x －1x一定大于1，所以ln ⎝⎛⎭⎫x －1x >0，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3的最小正周期是( ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．2π解析：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，解得a ＝13，由f (x )＝f (－x )得，b ＝0，∴y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫13x －π3， ∴最小正周期T ＝2πω＝6π.答案：A4．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图1所示，得到函数h (x )的图象如图2所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C5．对于偶函数F (x )，当x ∈[0,2)时，F (x )＝e x ＋x ，当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (－1)＋F (e ＋1)＝( )A ．eB ．2eC ．e ＋ln(e ＋1)D ．e ＋2解析：∵F (x )为偶函数，∴F (－1)＝F (1)＝e ＋1，∵e ＋1>2且当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于y ＝x 对称，∴e ＋1＝e x ＋1，∴x ＝1，∴F (e ＋1)＝1，∴F (－1)＋F (e ＋1)＝e ＋2.答案：D 6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B7．设a ＝e 636，b ＝e 749，c ＝e 864，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：设f (x )＝e xx 2，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，因为f ′(x )＝(x －2)e x x 3，所以当x >2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )＝e xx2在(2，＋∞)上单调递增，所以c >b >a .答案：C8．已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( )解析：∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )是奇函数，故选项B ，D 不正确，当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12<0，故选A.答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln2，＋∞B.⎣⎡⎭⎫0，12ln2 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2 解析：设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)， 则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)， 所以－2≤x <－1时y ′>0， －1<x <0时y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 以(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2. 答案：D10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定解析：通解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，∴当x >32时，f ′(x )<0， 当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (x 1)＝f (3－x 1)， 又x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴x 2>3－x 1.若x 1>32，则f (x 1)>f (x 2)，若x 1<32，则x 2>3－x 1>32，又f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)，所以f (x 1)>f (x 2)．优解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0， ∴当x >32时，f ′(x )<0，当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝32对称，不妨取f (x )＝－x 2＋3x ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(3－x 1－x 2)， ∵x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝__________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x ，∵h (x )为偶函数，∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ，∴h (x )＝m (4x ＋4－x )＋m ，∵4x ＋4－x ≥2，∴h (x )min ＝3m＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：2312．函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x(x ∈[－2,4])的所有零点之和为______．解析：函数y ＝2sin(πx )和函数y ＝1x －1的图象均关于点(1,0)对称，作出两个函数的图象如图所示，得函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x在[－2,4]上共有四个不同的零点，由对称性得所有零点之和为4.答案：4 13.已知f ′(x )为定义在R 上的函数f (x )的导函数，而y ＝3f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是__________．解析：由y ＝3f ′(x )≥1，得f ′(x )≥0，由y ＝3f ′(x )的图象得y ＝3f ′(x )≥1的解集为(－∞，3]，即f ′(x )≥0的解集为(－∞，3]，所以y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，3]．答案：(－∞，3]14．曲线f (x )＝x －3x上任一点P 处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为__________．解析：通解：设点P (m ，n )，∵f ′(x )＝1＋3x2，∴曲线f (x )＝x －3x在点P 处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2x －6m ， 切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ， ∴切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12×6|m |×2|m |＝6.优解：取点P (3,2)，因为f ′(x )＝1＋3x2，所以曲线f (x )＝x －3x 在点P 处的切线方程为y ＝43x －2，切线与直线y ＝x 的交点为(6,6)，与直线x ＝0的交点为(0，－2)，所以切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝6.答案：615．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有一个解或者两个不相同的解．当有一解时，f ′⎝⎛⎭⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103时不成立，所以52≤a <103. 当有两解时，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12<a 2<3f ′⎝⎛⎭⎫12>0f ′(3)>0f ′⎝⎛⎭⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫2，103. 答案：⎝⎛⎭⎫2，103。
2017届高考数学(文)二轮复习 大题专项强化练三 Word版含解析
三、概率与统计(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！姓名：________班级：________ 1．(2016·河南平顶山二模)某市为了了解本市高中生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将考试成绩进行分组，分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值，从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；(2)设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；(3)试估计样本的中位数落在哪个分组区间内(只需写出结论)．(注：将频率视为相应的频率)解：(1)a＝0.1－0.03－0.025－0.02－0.01＝0.015，∴估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为1－0.015×10＝0.85.(2)从这5名学生中任选两人的所有选法共10种，分别为AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN，学生M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN.记“学生M，N至少有一人被选中”为事件D，则P(D)＝710，∴学生M，N至少有一人被选中的概率为710.(3)样本的中位数落在区间[70,80)内．2．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行)84421753315724550688770474476721763350258392120676(第7行)63016378591695566719981050717512867358074439523879(第8行)33211234297864560782524207443815510013429966027954(第9行)(2)抽取的100成绩分为优秀、人数，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人．①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)从第8行第7列的数开始向右读，依次检查的编号分别为785,916(舍)，955(舍)，667,199，….故最先检查的3个人的编号为785,667,199.(2)①7＋9＋a 100＝30%， ∴a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17. ②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31.∵a ≥10，b ≥8，∴a ，b 的搭配为(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14种．记a ≥10，b ≥8，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A .则事件A 包括(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6个基本事件．∴P (A )＝614＝37， ∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为37.。
2017版高考数学(文 全国乙卷)大二轮总复习与增分策略三轮增分练 高考压轴大题突破练(三) 含解析
（三）函数与导数（1)1．已知函数f(x)＝x2＋错误!（x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x）的奇偶性,并说明理由;(2)若f（x）在区间［2，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．解(1）当a＝0时，f(x）＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪（0,＋∞)，f(－x)＝（－x)2＝x2＝f(x）,∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f（x）＝x2＋错误!（a≠0,x≠0)，令x＝－1，得f（－1)＝1－a。
令x＝1，得f（1)＝1＋a。
∴f（－1)＋f(1）＝2≠0,f(－1）－f（1)＝－2a≠0，∴f(－1）≠－f（1），f(－1）≠f（1)．∴函数f(x）既不是奇函数，也不是偶函数．综上，当a＝0时，f（x)为偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．(2)若函数f（x）在[2，＋∞)上为增函数，则f′（x）≥0在［2,＋∞)上恒成立，即2x－错误!≥0在［2，＋∞）上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，只需a≤（2x3）min，x∈［2，＋∞），∴a≤16，∴a的取值范围是(－∞，16]．2．(2016·课标全国乙）已知函数f（x）＝(x－2)e x＋a(x－1)2.（1）讨论f（x)的单调性;(2）若f（x)有两个零点,求a的取值范围．解(1）f′(x）＝（x－1）e x＋2a(x－1）＝(x－1）(e x＋2a）．（ⅰ）设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0;当x∈（1，＋∞）时，f′（x）〉0.所以f（x)在（－∞,1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．（ⅱ)设a<0,由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a）．①若a＝－错误!，则f′(x)＝(x－1）（e x－e）,所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．②若a>－错误!，则ln（－2a）<1，故当x∈（－∞，ln（－2a))∪(1,＋∞）时，f′(x)〉0；当x∈（ln(－2a）,1）时，f′（x)<0。
2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练(六) Word版含解析
专题能力提升练(六) 概率与统计一、选择题(每小题5分)1．已知样本M 的数据如下：80,82,82,84,84,84,86,86,86,86，若将样本M 的数据分别加上4后得到样本N 的数据，那么样本M ，N 的数字特征对应相同的是( )A ．平均数B ．众数C ．标准差D ．中位数解析：依题意，M 的平均数为84，众数为86，标准差为2，中位数为84.样本N 的平均数为88，众数为90，标准差为2，中位数为88，所以样本M ，N 的数字特征对应相同的是标准差，选C.答案：C2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，现有500名学生参加测试，参加测试的学生成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．则根据频率分布直方图，估算这500名学生的平均分为( )A ．78.48B ．78.4C ．78D ．79解析：平均分x ＝(40×0.006 5＋60×0.014 0＋80×0.017 0＋100×0.005 0＋120×0.004 3＋140×0.003 2)×20＝(0.26＋0.84＋1.36＋0.5＋0.516＋0.448)×20＝78.48. 答案：A3．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.8 B ．84,1.6 C ．85,4 D ．85,1.6解析：去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数为x ＝80＋15(4×3＋6＋7)＝85，方差为s 2＝15[(85－84)2×3＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6答案：D 4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右解析：由回归直线方程知，y 与x 具有负的线性相关关系，A 错；若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则|r |≤1，B 错；当销售价格为10元时，y ^＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C 错，选D.答案：D5．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为(A ．12 B ．12.2 C ．12.4 D ．12.5解析：依题意得，x ＝15×(197＋198＋201＋204＋205)＝201，y ＝15(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5.因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m 5＝0.8×201－155，解得m ＝12，选A. 答案：A6．如图所示，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在图中阴影部分所示的正三角形上的概率是( )A.34 B.32 C.34π D.334π 解析：∵S 圆＝πR 2，S 正三角形＝34(3R )2， ∴所求的概率P ＝33R 24πR 2＝334π.故选D. 答案：D7．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1135.则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是( )A.17B.1935C.1735D ．1 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1135＝1635.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1635，故从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是1－1635＝1935，选B.答案：B8．在区间[0,2π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ≥12”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：由sin x ≥12，x ∈[0,2π]，得π6≤x ≤5π6，∴所求概率P ＝5π6－π62π－0＝13.故选B. 答案：B9．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字1与2，另一张的正反面分别写着数字3与4，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数的数字和为4或5的概率是( )A.38B.12C.34D.58解析：能组成的两位数有13,14,23,24,31,32,41,42，共8个．其中，所组成的两位数的数字和为4或5的有13,14,23,31,32,41，共6个，因此所组成的两位数的数字和为4或5的概率是68＝34，故选C.答案：C10．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6，共4种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6，共2种情况，共计有6种情况，又a ，b 总的情况有36种，故所求概率为P ＝636＝16.答案：C二、填空题(每小题5分)11．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：__________．解析：由题知，x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s2甲，故甲更稳定，故填甲． 答案：甲12100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市该月空气质量达到良或优的概率为__________．解析：由题意可知该城市该月空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋12＝35.答案：3513．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不小于a 的概率为__________．解析：满足条件的概率为P ＝1－18×43πa 3a 3＝1－π6. 答案：1－π614现从这6)．设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M 发生的概率为__________．解析：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.答案：2515．身处深圳的弟弟和身处哈尔滨的姐姐在春节前约定分别乘A 、B 两列火车在某火车站会面，并约定先到者等待时间不超过15分钟．当天A 、B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±20分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在该火车站会面的概率为________．解析：设姐姐到的时间为x ，263≤x ≤283，弟弟到的时间为y ，263≤y ≤283，建立坐标系如图所示，由题意可知，当|x －y |≤14时，姐弟俩会面．又正方形ABCD 的面积为49，阴影部分的面积为49－2×12×512×512＝1348，所求概率P ＝134849＝3964.答案：3964三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分) 16．某市的一位同学进行社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月13日至1月17日的白天平均气温x (℃)与该奶茶店的这种饮料销量y (杯)，得到如下数据：(1)请根据所给数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ； (2)若1月18日平均气温为13 ℃，试预测1月18日该奶茶店的这种饮料销量(结果保留整数)．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1n (x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2，a ^＝y －b ^ x解：(1)x ＝9＋10＋12＋11＋85＝10，y ＝23＋25＋30＋26＋215＝25，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝(9－10)(23－25)＋(10－10)(25－25)＋(12－10)(30－25)＋(11－10)(26－25)＋(8－10)(21－25)(9－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(11－10)2＋(8－10)2＝2.1， a ^＝y －b ^x ＝4.故y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝2.1x ＋4.(2)当x ＝13时，y ^＝2.1×13＋4＝31.3≈31，所以预测1月18日该奶茶店的这种饮料销量为31杯．17．某高级中学实行“分层教学”，为了了解A ，B 两种层次班级学生数学学习情况，对A 层甲、B 层乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩是否优秀与班级有关系”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d解：(1)2×2(2)K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩是否优秀与班级有关系”． 18．由经验知，y 与1x 之间具有线性相关关系，令u i ＝1x i，经计算得∑i ＝15u i y i ＝974，∑i ＝15u i ＝43，∑i ＝15yi ＝90，∑i ＝15u 2i ＝461.(1)试求y 与x 之间的回归方程；(b ^，a ^的值保留两位小数) (2)当x ＝2.19时，预报y 的值．附：b ^＝∑i ＝1nu i y i －n u y ∑i ＝1nu 2i －n u2，a ^＝y －b ^u解：(1)∵∑i ＝15u i y i ＝974，∑i ＝15u i ＝43，∑i ＝15y i ＝90，∑i ＝15u 2i ＝461，u ＝8.6，y ＝18，∴b ^＝∑i ＝15u i y i －5u y∑i ＝15u 2i －5u2≈2.19，a ^＝18－2.19×8.6≈－0.83.∴y ^＝－0.83＋2.19u .所求回归方程为y ^＝－0.83＋2.19x .(2)当x ＝2.19时，y ^＝－0.83＋2.192.19＝0.17.19．某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？请列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，由(1)可知事件A 包含(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个基本事件．记“所抽取的记者都是男记者”为事件B ，则事件B 包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个基本事件．故所求概率P ＝P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.20．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解：(1)点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种，故点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率为49.(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为2.21．已知某单位有50名职工，将全体职工随机按1～50编号，并且按编号顺序平均分成10组进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计抽出的10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的平均数；(3)在(2)的条件下，从体重不轻于73公斤的职工中随机抽取2名职工，求被抽到的2名职工的体重之和大于等于154公斤的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，故抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)该样本的平均数x ＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71.(3)从这10名职工中随机抽取2名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法，分别为(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P ＝710.。
2017年高考文科数学(2卷)答案详解(word版+详细解析)
2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学II 卷 答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【解析】}4,3,2,1{=B A Y . 【答案】A 2．(1)(2)i i ++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【解析】2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+.【答案】B3．函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4πB ．2πC ．πD ．π2【解析】2π2ππ2T ω===. 【答案】C4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．⊥a bB ．=a bC ．a b PD ．>a b【解析】∵||||a b a b +=-r r r r ，∴22||||a b a b +=-r r r r ，解得0a b ⋅=r r ，即a b ⊥rr .【答案】A5．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(2,2)C ．(1,2)D ．(1,2)【解析】双曲线的离心率为22111c a e a a a+===+，∵1a >，∴(1,2)e ∈.【答案】C6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【解析】由三视图可得，直观图为一个高为10的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，其体积为221103π63π=63π2V =⨯-⨯⨯.图A6【答案】B7．设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【解析】可行域如图所示，目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，其在y轴上的截距最小，即z 取最小值，所以z max =－15. [A 的坐标联立方程求出：A(－6,－3) ]图A7【答案】A8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【解析】令2()28(24)t g x x x x x ==--<->或，∵()22g x x '=-，∴()g x 在(,2)-∞-单调递减，在(4,)+∞单调递增.∵()ln f t t =在(0,)+∞单调递增，可得函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是(4,)+∞.【答案】D9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【解析】已知四人中有2 位优秀、2位良好，而甲知道乙、丙的成绩后仍无法得知自己的成绩，故乙和丙只能一个是优秀、一个是良好，同时甲和丁也只能一个是优秀、一个是良好. 所以当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但无法知道甲和丁的成绩；同理，丁知道甲的成绩后，也能够知道自己的成绩，但无法知道乙和丙的成绩. 综上所述，乙、丁可以知道自己的成绩.【答案】D10．执行下面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由框图可知，0(1)2(3)4(5)6S =+-++-++-++L ，当K =7时跳出循环体输出结果，此时0(1)2(3)4(5)63S =+-++-++-+=.【答案】B11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A ．110B ．15C ．310D ．25【解析】从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n =5×5 = 25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2, 1)、(3, 1)、(3, 2)、(4, 1)、(4, 2)、(4, 3)、(5, 1)、(5, 2)、(5, 3)、(5, 4)，共有m = 10个基本事件，所以所求的概率为102=255. 【答案】D12．过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为 A ．5B ．22C ．23D ．33【解析】抛物线2:4C y x =的焦点F (1,0)，∴过抛物线焦点F 且斜率为3的直线方程为3(1)y x =-.联立23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴(3,23)M ，可得(1,23)N -.∴直线NF 的方程为33=0x y +-，∴M 到直线NF 的距离为|33233|=232⨯+-.【答案】C二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【解析】∵255()2cos sin 5(cos sin )5cos()55f x x x x x x ϕ=+=+=-，其中1tan 2ϕ=， ∴函数()f x 的最大值为5.【答案】514．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = . 【解析】∵函数()f x 是奇函数，∴32(2)(2)[2(2)(2)]12f f =--=-⨯-+-=. 【答案】1215．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 . 【解析】由题意可知，长方体的体对角线就是球O 的直径，所以球O 的半径22211412322r =++=， 球O 的表面积2144π4π14π4V r ==⨯=. 【答案】14π16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【解析】由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即2sin cos sin()B B A C =+.∵π()B A C =-+，∴2sin cos sin()sin B B A C B =+=. ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，1cos 2B =，∴π3B =. 【答案】π3三、解答题：共70分。
2017版高考数学(文 全国乙卷)大二轮总复习与增分策略三轮增分练 高考小题限时练2 含解析
高考小题限时练21．(2016·山东)若复数z满足2z＋错误!＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i答案B解析设z＝a＋b i(a,b∈R），则错误!＝a－b i,∴2(a＋b i)＋(a－b i)＝3－2i,整理得3a＋b i＝3－2i，∴错误!解得错误!∴z＝1－2i,故选B。
2．已知集合M＝｛x｜x2－2x〈0｝,N＝｛x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A．［2，＋∞) B．（2,＋∞)C．（－∞,0) D．（－∞,0]答案A解析M＝｛x｜x2－2x<0}＝（0,2),因为M⊆N，所以a≥2，故选A.3．（2016·天津)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( ）A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析由约束条件作出可行域如图阴影部分（含边界)所示,目标函数可化为y＝－错误!x＋错误!z，在图中画出直线y＝－错误!x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0），∴z min＝2×3＋5×0＝6。
故选B.4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n,则( ) A．若m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n答案D解析对于D，由两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D是正确的，而A，B,C均可以举出反例说明不成立．5．已知数列{a n｝满足1＋log3a n＝log3a n＋1(n∈N＊)，且a2＋a4＋a6＝9，则log错误!（a5＋a7＋a9）的值是（)A.错误!B．－错误!C．5 D．－5答案D解析由1＋log3a n＝log3a n＋1得错误!＝3,{a n｝为等比数列，公比为3.∴a5＋a7＋a9＝27(a2＋a4＋a6)＝27×9＝35,∴log错误!（a5＋a7＋a9)＝log错误!35＝－5。
2017年高考全国新课标数学文大二轮复习检测应试技能专
三、压轴题专练(一)1．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知F (－c,0)， ∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )， ∵k BF ＝3c0－(－c )＝3，又∵BC ⊥BF ，∴k BC ＝－33，∴C (3c,0)，圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ， 由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)2＝2c ，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1x 1－x 0＝－y 2x 2－x 0，∴k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)x 2－x 0⇒(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2x 1＋x 2＋2.又⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋8k 2－243＋4k 22－8k 23＋4k 2＝－4， ∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)． 2．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数． 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx ，当m ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m >0时，f ′(x )＝(x ＋m )(x －m )x ， 当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上：当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x >0，有唯一零点； 当m ≠0时，F ′(x )＝－(x －1)(x －m )x， 当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln (2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．当0<m <1时，0<x <m 或x >1时，F ′(x )<0；m <x <1时，F ′(x )>0， 所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m <0，所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )>0，而F (2m ＋2)＝－m ln (2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.①直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； ②设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． (2)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .①若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值． ②在①的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围．解 (1)①直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. ②∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋3≥1>0， ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. (2)①∵|2x －a |＋2a ≤6，∴|2x －a |≤6－2a ， ∴2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴32a －3≤x ≤3－a2，∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a －3＝－6，3－a 2＝4，解得a ＝－2.②由①得f (x )＝|2x ＋2|－4. ∴|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5， 化简整理得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1，y ＝g (x )的图象如图所示，要使不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，需k 2－1>2或k 2－1≤－1，∴k 的取值范围是{k |k >3或k <－3或k ＝0}．(二)1．[2016·西安质检] 如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则P A ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ， 直线P A 的方程为：y －3＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k 2.同理可得：x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36.2．[2016·河南六市一联]已知函数f (x )＝a ln x －x ，g (x )＝x 2－(1－a )x －(2－a )ln x ，其中a ∈R .(1)若g (x )在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象交x 轴于A ，B 两点，AB 中点的横坐标为x 0，问：函数F (x )的图象在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？解 (1)g ′(x )＝2x －(1－a )－2－a x ＝2x 2－(1－a )x －(2－a )x， ∵g (x )的定义域为{x |x >0}，且g (x )在其定义域内为增函数， ∴g ′(x )≥0在x >0时恒成立，则2x 2－(1－a )x －(2－a )≥0在x >0时恒成立，∴a ≥5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋1)＋1x ＋1在x >0时恒成立．而当x >0时，2(x ＋1)＋1x ＋1>3，∴a ∈[2，＋∞)．(2)设F (x )的图象在(x 0，F (x 0))处的切线平行于x 轴，F (x )＝2ln x －x 2－ax ，F ′(x )＝2x －2x －a ，不妨设A (m,0)，B (n,0)，0<m <n ，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－am ＝0， ①2ln n －n 2－an ＝0， ②m ＋n ＝2x 0， ③2x－2x 0－a ＝0， ④①－②得2ln mn －(m ＋n )(m －n )＝a (m －n )， ∴a ＝2ln m n m －n －2x 0，由④得a ＝2x 0－2x 0，∴ln m n ＝2(m －n )m ＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m n －1m n ＋1，⑤设t ＝mn ∈(0,1)，⑤式可变为ln t －2(t －1)t ＋1＝0(t ∈(0,1))．设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，h ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t ＋1)2－4tt (t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0(t ∈(0,1))， ∴函数h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在(0,1)上单调递增，因此h (t )<h (1)＝0，也就是ln m n <2⎝ ⎛⎭⎪⎫m n －1m n ＋1，此式与⑤矛盾．∴F (x )的图象在点(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数)．①若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； ②若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长． (2)选修4－5：不等式选讲已知定义在R 上的连续函数f (x )满足f (0)＝f (1)． ①若f (x )＝ax 2＋x ，解不等式|f (x )|<ax ＋34；②若任意x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.解 (1)①直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程： 4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x ，可得y 2＋3y －m ＝0， 因为直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， 所以Δ＝9＋4m ＝0，所以m ＝－94.②当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x ，可得4x 2－17x ＋4＝0， 设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为 |AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254.(2)①f (0)＝f (1)，即a ＋1＝0，即a ＝－1， 所以不等式化为|－x 2＋x |<－x ＋34.a ．当x <0时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，所以－32<x <0；b ．当0≤x ≤1时，不等式化为－x 2＋x <－x ＋34，所以0≤x <12； c ．当x >1时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，所以x ∈∅.综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <12. ②证明：由已知任意x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2，则不妨设x 2>x 1， 则当x 2－x 1≤12时，|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|≤12， 当x 2－x 1>12时，则x 1<12，且1－x 2<12，那么|f (x 1)－f (x 2)|＝|f (x 1)－f (0)＋f (1)－f (x 2)|≤|f (x 1)－f (0)|＋|f (1)－f (x 2)|<x 1－0＋1－x 2＝1－(x 2－x 1)<12.(三)1．[2016·郑州质检]已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点，C ，D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为－1时，求线段AB 的长．解 (1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意可得，(x ＋1)2＋y 2＝ 3(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3.(2)由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解之得t ＝0或t ＝3，又C ，D 两点均在x 轴下方，所以直线CD ：y ＝－x .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝－x ，解得⎩⎨⎧x ＝1－22，y ＝22－1或⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝－22－1.不失一般性，可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22－1，AC ：y ＝u (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝u (x －1)， 消y 得：(u 2＋1)x 2－2(u 2＋2)x ＋u 2＋1＝0，①方程①的两根之积为1，所以点A 的横坐标x A ＝2＋2，又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1在直线l 1：x －my －1＝0上，解得m ＝2＋1，直线l 1：y ＝(2－1)(x －1)，所以A (2＋2，1)，同理可得B (2－2，1)，所以线段AB 的长为2 2. 2．[2016·唐山统考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －ax ＋1(x ≥a )，e x －1＋(a －2)x (x <a )(a >0)．(1)若a ＝1，证明：y ＝f (x )在R 上单调递减； (2)当a >1时，讨论f (x )零点的个数．解 (1)证明：当x ≥1时，f ′(x )＝1x －1≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0；当x <1时，f ′(x )＝e x －1－1<0，f (x )在(－∞，1)上单调递减，且此时f (x )>0.所以y ＝f (x )在R 上单调递减．(2)若x ≥a ，则f ′(x )＝1x －a ≤1a －a <0(a >1)， 所以此时f (x )单调递减，令g (a )＝f (a )＝ln a －a 2＋1， 则g ′(a )＝1a －2a <0，所以f (a )＝g (a )<g (1)＝0，(另解：f (a )＝ln a －a 2＋1<ln a －a ＋1<0，事实上，令h (a )＝ln a －a ＋1，h ′(a )＝1a －1<0，h (a )<h (1)＝0)即f (x )≤f (a )<0，故f (x )在[a ，＋∞)上无零点． 当x <a 时，f ′(x )＝e x －1＋a －2， ①当a >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，又f (0)＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a <0，所以此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a，0上有一个零点．②当a ＝2时，f (x )＝e x －1，此时f (x )在(－∞，2)上没有零点． ③当1<a <2时，令f ′(x 0)＝0，解得x 0＝ln (2－a )＋1<1<a ，所以f (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，a )上单调递增．f (x 0)＝e x 0－1＋(a －2)x 0＝e x 0－1(1－x 0)>0， 所以此时f (x )没有零点．综上，当1<a ≤2时，f (x )没有零点；当a >2时，f (x )有一个零点． 3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y轴交于点P .①求曲线C 的直角坐标方程； ②求1|P A |＋1|PB |的值． (2)选修4－5：不等式选讲已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R .①求m ，n 的值；②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程 ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t代入曲线C 的普通方程 (x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝－1，t 1＋t 2＝1， ∴1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝12－4×(－1)＝ 5.(2)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧|9＋3m ＋n |≤0，|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝0，1－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3， 经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．(四)1．[2016·石家庄模拟]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点M (m,2)，其焦点为F ，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：(x －1)2＋y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点．解 (1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p 2， ∴|MF |＝m ＋p2＝2，又4＝2pm ，即4＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2， ∴p 2－4p ＋4＝0，∴p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设点E (0，t )(t ≠0)，由已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y 2＝4x ，消去y ，可得k 2x 2＋(2kt －4)x ＋t 2＝0，①∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝(2kt －4)2－4k 2t 2＝0，即kt ＝1，代入 ①可得1t 2x 2－2x ＋t 2＝0，∴x ＝t 2，即A (t 2,2t )．设切点B (x 0，y 0)，则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝－tx ＋t 对称，则⎩⎨⎧y 0x 0×t －00－1＝－1，y2＝－t ·x02＋t ，解得⎩⎨⎧x 0＝2t 2t 2＋1，y 0＝2tt 2＋1，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2t 2＋1，2t t 2＋1.解法一：直线AB 的斜率为k AB ＝2tt 2－1(t ≠±1)，直线AB 的方程为y ＝2tt 2－1(x －t 2)＋2t ，整理得y ＝2tt 2－1(x －1)，∴直线AB 恒过定点F (1,0)，当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时直线AB 为x ＝1，过点F (1,0)．综上，直线AB 恒过定点F (1,0)．解法二：直线AF 的斜率为k AF ＝2tt 2－1(t ≠±1)，直线BF 的斜率为k BF ＝2tt 2＋1－02t 2t 2＋1－1＝2tt 2－1(t ≠±1)，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．当t ＝±1时，A (1，±2)，B (1，±1)，此时A ，B ，F 三点共线． ∴直线AB 过定点F (1,0)．2．[2016·贵州测试]设n ∈N *，函数f (x )＝ln x x n ，函数g (x )＝exx n (x >0)．(1)当n ＝1时，求函数y ＝f (x )的零点个数；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象分别位于直线y ＝1的两侧，求n 的取值集合A ；(3)对于∀n ∈A ，∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，求|f (x 1)－g (x 2)|的最小值．解 (1)当n ＝1时，f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)． 由f ′(x )>0得0<x <e ；由f ′(x )<0得x >e.所以函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因为f (e)＝1e >0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e<0，所以函数f (x )在(0，e)上存在一个零点；当x ∈(e ，＋∞)时，f (x )＝ln xx >0恒成立， 所以函数f (x )在(e ，＋∞)上不存在零点．综上得函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一一个零点． (2)对函数f (x )＝ln xx n 求导，得f ′(x )＝1－n ln x xn ＋1(x >0)，由f ′(x )>0，得0<x <e1n；由f ′(x )<0，得x >e1n .所以函数f (x )在(0，e1n )上单调递增，在(e1n ，＋∞)上单调递减，则当x ＝e1n时，函数f (x )有最大值f (x )max ＝f (e1n )＝1n e .对函数g (x )＝e xx n (x >0)求导，得g ′(x )＝(x －n )e xx n ＋1(x >0)，由g ′(x )>0，得x >n ；由g ′(x )<0，得0<x <n .所以函数g (x )在(0，n )上单调递减，在(n ，＋∞)上单调递增，则当x ＝n 时，函数g (x )有最小值g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n .因为∀n ∈N *，函数f (x )的最大值f (e1n )＝1n e<1，即函数f (x )＝ln xx n 在直线y ＝1的下方， 故函数g (x )＝e xx n (x >0)在直线y ＝1的上方，所以g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n>1，解得n <e.所以n 的取值集合A ＝{1,2}．(3)对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－g (x 2)|的最小值等价于g (x )min －f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n －1n e .当n ＝1时，g (x )min －f (x )max ＝e －1e ； 当n ＝2时，g (x )min －f (x )max ＝e 24－12e ； 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24－12e ＝e 2(4－e )－24e >0， 所以|f (x 1)－g (x 2)|的最小值为e 24－12e ＝e 3－24e .3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，y ＝sin2α＋1(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.①求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； ②求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值． (2)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －2a |.①当a ＝1时，求不等式f (x )>2的解集；②若对任意x ∈R ，不等式f (x )≥a 2－3a －3恒成立，求a 的取值范围．解 (1)①x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝(sin α＋cos α)2＝sin2α＋1＝y ， 所以C 1的普通方程为y ＝x 2.将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入C 2的方程得x 2＋y 2＝4y －3，所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋3＝0.②将x 2＋y 2－4y ＋3＝0变形为x 2＋(y －2)2＝1，它的圆心为C (0,2)．设P (x 0，y 0)为C 1上任意一点，则y 0＝x 20，从而|PC |2＝(x 0－0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 20－2)2＝x 40－3x 20＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x 20－322＋74， 所以当x 20＝32时，|PC |min ＝72，故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值为72－1. (2)①当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.当x ≤1时，f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，此时由f (x )>2得x <12； 当1<x ≤2时，f (x )＝x －1＋2－x ＝1，此时f (x )>2无解； 当x >2时，f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3，此时由f (x )>2得x >52. 综上可得不等式f (x )>2的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.②因为f (x )＝|x －a |＋|x －2a |≥|(x －a )－(x －2a )|＝|a |，故f (x )取得最小值|a |，因此原不等式等价于|a |≥a 2－3a －3.当a ≥0时，有a ≥a 2－3a －3，即a 2－4a －3≤0， 解得2－7≤a ≤2＋7，此时有0≤a ≤2＋7. 当a <0时，有－a ≥a 2－3a －3，即a 2－2a －3≤0， 解得－1≤a ≤3，此时有－1≤a <0. 综上可知a 的取值范围是[－1,2＋7]．。
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2－ 3b，所
答案： B
4．在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b，c.若 c2＝ (a－ b)2＋ 6，C＝ π3，则
△ABC 的面积是 ( )
93 A ． 3 B. 2
33 C. 2 D ． 3 3
解析： 由 c2＝ (a－ b) 2＋ 6 可得 a2＋ b2－ c2＝ 2ab－ 6 ① .由余弦定理及 C＝ π可得 a2＋b2 3
π，且该函数图 2
π
象关于点 (x0,0)成中心对称， x0∈ 0， 2 ，则 x0＝ (
)
5π A. 12
B.π 4
C.π 3
D.π 6
解析：由题意得
T2＝ π2，T＝π，ω＝ 2.又 2x0＋ π6＝ kπk（∈ Z)，x0＝ k2π－ 1π2(k∈ Z)，而 x0∈
0，
π 2
，
所以
x0＝
5π 12.
锐角三角形，所以角 B 的大小为 π，选 B. 6
答案： B
10．函数
f (x)＝ Asin(ωｘ＋ φ)
A＞
0，
ω＞
0，
0＜
π φ＜2
的部分图象如图所示，则其函数解
析式是 ( )
π
π
A ． f(x)＝ sin x＋ 3 B． f(x) ＝sin x－3
π
π
C．f (x)＝ sin 2x＋ 6 D． f(x)＝sin 2x－ 6
2sinβ2cosβ2＝
4， 5
cosβ＝
1－
2sin2β＝ 2
3，∵ 5
cos(α＋ β)＝ 5 ， sin(α＋ β)＝ 12，∴
13
13
sinα
＝sin[(
α＋
β)－
β]＝
sin(α＋
β)cosβ－cos(α＋
β)sin
β＝
16 65.
答案：
16 65
12．函数 f(x)＝ sin2x＋ 2 3sin2x 的最大值为 ________．
解析： 由题设得，
BD2＝ BC2＋CD2－ 2BC·CD ·cosC＝ 13－12cosC，① BD2＝ AB2＋ DA 2－2AB ·DA ·cosA＝5＋ 4cosC，②
由①②得： cosC＝ 1，故 C＝ 60°， BD＝ 7. 2
故四边形
ABCD 的面积
S＝
1 2AB·DA
·sin
A＋
1 2BC
cos∠ BAD ＝ 2 3 2可知
sin∠BAD
＝13，所以
sin∠
ADB ＝
ABsin∠BAD BD
＝
36，因为∠
ADB ＝∠ DAC ＋∠ C＝π2＋∠
C，
所以
cos∠ C ＝
6 3.
答案： 6 3
14．四边形 ABCD 的内角 A 与内角 C 互补， AB ＝ 1， BC＝ 3，CD＝ AD＝ 2，则四边形 ABCD 的面积为 ________．
3π 4
解析： 在△ ABC 中，由余弦定理得
b2 ＋ c2－ a2 cosA＝ 2bc ，即
3 2
＝
b2＋ c2－ 2bc
a2 ，所以
b2＋ c2
－a2＝ 3bc，又 b2 ＝a2＋ bc，所以 c2＋ bc＝
以
b2＋a2－c2 cosC＝ 2bc ＝
22，所以
C＝
π 4.
3bc，所以 c＝(
3－ 1) b＜b， a＝
3cosx＝ 2
1 2s ，因为－
π2≤ x≤ π，所以－ π6≤ x
＋π3≤ 43π，－
23≤sin
π x＋3
≤
1，故－
3≤ f(x)≤ 2，选 B.
答案： B
7．已知 ω＞ 0，在函数 y＝ sinωｘ与 y＝ cosωｘ的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标 之差的绝对值为 1，则 ω＝ ( )
11．已知
sinβ2＝
5， cos(α＋ β)＝ 5 ，α∈
5
13
π 0， 2 ，β∈ (0， π，）则
sinα＝ ________.
π 解析： ∵ α∈ 0， 2 ， β∈ (0， π，）
∴ α＋ β∈
0，
3π 2
，
β∈ 2
0， π2 ，
∵ sinβ2＝ 55，∴ cosβ2＝2 5 5，
∴
sinβ＝
－ c2＝ ab
② .所以由①②得
2ab－6＝ ab，即
ab＝ 6.所以
S△
ABC＝
1 2absin
π3＝
1 2
×
6×
23＝
3
2
3 .
答案： C
α
5．已知 α为第四象限角，则 tan2(
)
A ．一定是正数 B．一定是负数
C．正数、负数都有可能 D．有可能是零 解析： 已知 α为第四象限角，则有 2kπ＋ 32π＜ α＜ 2kπ＋ 2π（k∈ Z )， kπ＋ 34π＜ α2＜ kπ＋π（k
三、三角函数及解三角形
小题强化练， 练就速度和技能， 掌握高考得分点！
姓名：________ 班级：________
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 )
π 1．若函数 f(x)＝ sin ωｘ＋ 6 (ω>0) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
cos
x0
－
π 6
＝
(
)
1
3
1
3
A. 2 B. 2 C．－ 2 D ．－ 2
解析： 因为 ? a∈ (－ ∞ ，0)，? x0∈ R，使 acosx0≤a 成立，所以 cosx0≥ 1，又 cosx0≤ 1，
故 cosx0＝1， sinx0＝ 0，
cos
x0－
π 6
＝
cosx0cosπ6＋
sin
x0sinπ6＝
·CD
·sinC
＝
12× 1× 2＋ 12× 3× 2
·sin60 °
＝2 3.
答案： 2 3
15．在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ＝________.
a＋ 2 3cosA a，b，c.C＝ 60°，c＝ 3，则 sinB
解析：根据正弦定理可得
3 sin60
＝°sinaA，即
a＋ 2 3cosA 2sinA＋ 2 3cosA
＝4， 5
cos2θ＝
1－
2sin2θ＝－
3，故 5
sin
π 2θ＋ 4 ＝
2 2 (sin2θ＋ cos2θ) ＝
2× 2
1＝ 5
2 10 .
答案： A
3．在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为
a， b，c，且
b
2＝
a
2＋
bc，
A＝
π ，则角
6
C＝
()
ππ
A. B.
6
4
3π C. 4
D.
π4或
D
在
BC
边上，且
→ AD
·A→C＝
0，
sin
∠BAC
＝
2
3
2，
AB＝
3 2， BD＝ 3，则 cos∠ C 的值为 ________．
解析：因为
AD ⊥ AC，所以 sin∠ BAC＝ sin
π2＋∠ BAD
＝cos∠BAD ，所以
cos∠BAD
＝
2 3
2 .
在△ ABD 中，由正弦定理可知，
BD ＝ AB ，又由 sin ∠BAD sin∠ ADB
∈ Z )，故 α2一定是第二或第四象限角，则
tanα2＜ 0，选 B
答案： B
6．当－ π2≤ x≤ π时，函数 f(x)＝ sin x＋ 3cosx 的(
)
A ．最大值是 1，最小值是－ 3
B．最大值是 2，最小值是－ 3 C．最大值是 1，最小值是－ 1
D．最大值是 2，最小值是－ 1
解析：f(x)＝ sinx＋
a＝ 2sinA，所以 sinB ＝
sinB
1
3
4 ＝
2sinA＋
2
cosA
＝ 4 sin AcosC＋ cosAsin C ＝ 4sin
A＋ C ＝4sinB＝ 4.
sinB
sinB
sinB
sinB
答案： 4
解 析 ： f(x) ＝ sin2x ＋ 2 3 sin 2x ＝ sin2x ＋ 3 (1 － cos2x) ＝ sin2x － 3 cos2x ＋ 3 ＝
1
3
2 2sin2x－ 2 cos2x ＋
3＝ 2sin
2x－
π 3
＋
3，故函数
f(x)的最大值为
2＋
3.
答案： 2＋ 3
13．如图，在△ ABC 中，已知点
解析： 依题意可得
A＝ 1，T＝ 4×
π6＋
π 3＝
2π，故
2π ω＝
2π，得
ω＝ 1.由 f (x)＝ sin(x＋ φ)经
过点
π， 1 6
，得
sin
π＋ 6
φ
＝1，又
0＜ φ＜ π，故 φ＝ π，
2
3
故 f(x) ＝sin
π x＋3
，选
A.
答案： A
二、填空题 (本大题共 5 小题，每小 5 分，共 25 分．请把正确答案填在题中横线上 )
3 2 cosx0
＋
1 sin 2
x0＝
3，选 2