高考第一轮复习系列圆锥曲线
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文
所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， 代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二 定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角 形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方 程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1， 消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，
高考一轮复习圆锥曲线
师一、学习目标：1.理解椭圆、双曲线、抛物线的定义及其定义的应用2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程形式及标准方程的求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质及其简单的应用.二、重点、难点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义的应用.2. 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的求法.3. 椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质的应用三、考点分析：在新课标高考中，圆锥曲线知识点是极其重要的考点，根据考试说明的要求，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质要熟练的掌握.考试的题型有选择题、填空题、综合题，对圆锥曲线的基础知识的考查形式主要是选择题、填空题.综合知识的考查以大题形式出现.b5E2RGbCAP一、椭圆的有关知识1.定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数<大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆.是椭圆焦点，|，点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|}注：<1）当即a=c ，时点的集合是线段.<2）当，点的集合是空集.2.椭圆的标准方程：<焦点在x轴上），.<焦点在y轴上），.注：点与椭圆的位置关系.点.点.点.椭圆的参数方程：椭圆上任意一点P<x ，y），则.3.椭圆的几何性质：x=y=讨，分焦点在x 轴上、y 轴上两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：.p1EanqFDPw <2）与椭圆共焦点的椭圆可设为：=1，<a>0，b>0）<3）椭圆上任意一点P 到焦点F 的距离的最大值是|PF|=a+c ，最小值是|PF|=a-c.<4）椭圆上任意一点P 到两焦点距离之积的最大值是a2，此时P 点与椭圆短轴的两端点重合. 二、抛物线的有关知识1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l<l 不过F 点）距离相等的点的集合叫抛物线.定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线.DXDiTa9E3d2. 抛物线的标准方程形式：<p>0） <p>0）<p>0）<p>0）P:称为焦准距<焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率<以为例）4. 抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交，两交点之间的距离是抛物线的通径，长度是2p.RTCrpUDGiT5. 有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A<.则有下列结论<1）|AB|=，|AB|=，<显然当时，|AB|最小，最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径.）<2），<3）<4）<5）以|AB|为直径的圆与准线相切．三、双曲线的有关知识1.双曲线的定义：定义：平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数<小于）的点的集合叫做双曲线.定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离是焦距.5PCzVD7HxAM=.注意：<1）在定义中：若2a=，则点的集合是以为端点的射线，若2a>，则点的集合是空集.<2）在定义中：当，则点的集合是双曲线的右支<如图1），当，则点的集合是双曲线的左支<如图2）.2. 双曲线的标准方程轴上），<1），焦点在x轴上<实轴在x轴上），3. 双曲线的几何性质或或<e ：确定双曲线的开口程度），，确定的值.<2）不能确定双曲线的焦点位置时，可设方程为：<3）与双曲线共焦点的双曲线方程设为：4. 几种特殊的双曲线 <1）等轴双曲线：，<等轴双曲线的离心率是）<2）共轭双曲线：互为共轭双曲线.性质：①互为共轭双曲线的四个焦点共圆，②离心率倒数平方之和等于1，③有相同的渐近线5. 双曲线中的基本三角形：<1）如图：<2）焦点三角形的面积：，<）知识点一：椭圆、抛物线、双曲线的标准方程例1.把下列正确命题的序号填在题后的横线上.<1）平面内到定点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.<2）平面内有两点，动点P满足：，则P点的轨迹是双曲线.<3）P是椭圆上任意一点，则的最大值是.<4）双曲线与椭圆有相同的焦点和焦距.<5）以抛物线过焦点F的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是相切.<6）是方程“表示焦点在y轴上的椭圆”的充分必要条件.正确的命题是_____________.【思路分析】<1）<2）根据椭圆和双曲线的定义判断.<3）<4）<5）通过计算判断.<6）利用充要条件定义判断.【解题过程】<1）根据椭圆的定义知：点的轨迹是以为端点的线段.命题<1）错.<2）由双曲线的定义知：点的轨迹是双曲线的一支<右支），故命题<2）错.<3）由椭圆的定义知：，等号成立的条件是：.故命题正确.<4）由椭圆方程和双曲线的方程知：它们的焦点都在x轴上，且相等，是，焦距显然相等.故命题正确.<5）如图：M是过焦点F的弦AB的中点，则，由抛物线的定义知：，故以|AB|为直径的圆的圆心M到准线的距离等于圆的半径，命题正确.jLBHrnAILg<6）若m>n>0则，方程化为：，故焦点在y轴上.反之，方程表示焦点在y轴上的椭圆，则必有，即m>n>0成立.是充要条件.故命题正确.xHAQX74J0X 【解题后的思考】上述命题主要考查圆锥曲线的定义，圆锥曲线的标准方程等基础知识.掌握圆锥曲线的定义很关键，它给解决圆锥曲线的有关问题带来很大的方便.LDAYtRyKfE 例2. 根据下列条件求圆锥曲线的标准方程.<1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆的标准方程. <2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点M<-2，）的双曲线的方程. <3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M<m，-3）到焦点的距离是5，求抛物线的方程.Zzz6ZB2Ltk 【思路分析】<1）对于本题求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b 的值.若不能确定焦点的位置，要讨论焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形.或设方程为可避免讨论，简化运算.dvzfvkwMI1<2）设所求的双曲线方程为，确定的值.<3）因顶点在原点，对称轴是y轴，点M<m，-3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是.【解题过程】<1）解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为由已知得：即所求的椭圆方程是②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为，由已知得：解得b2=9，a2=3，与a>b矛盾.此种情形不存在.综合上述知：所求的椭圆方程是解法二：由已知设椭圆的标准方程是，故即所求的椭圆标准方程是.<2）设所求的双曲线的方程是，把M<-2，）代入求得，即所求的双曲线的方程是<3）解法一：设所求的抛物线的方程为，则焦点为F在抛物线上，且|MF|=5，，故抛物线的方程为解法二：设抛物线的方程为：<p>0）焦点F<0，-，准线L:y=，作MN，垂足是N，则|MN|=|MF|=5而|MN|=3+，故3+=5，即p=4，故抛物线的方程是.rqyn14ZNXI【解题后的思考】求圆锥曲线的标准方程是新课标高考常见的题型之一，掌握圆锥曲线的标准方程的形式是解题的突破口，求标准方程要选择标准方程的形式，可由已知条件确定.选择恰当的圆锥曲线方程的形式，可简化运算.如：椭圆经过两点A，B求标准方程：可设方程为与椭圆共焦点的椭圆标准方程可设为：EmxvxOtOco已知渐近线方程为，可设双曲线方程是，确定的值即可.已知双曲线过两点，设方程为：，与双曲线共焦点的双曲线方程设为：等.SixE2yXPq5例3.<1）已知圆和圆.动圆M同时和圆C1，C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程.<2）有一张长为8宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方法进行折叠使每次折叠后的点B都落在AD上，此时将B记为，<注：EF为折痕，点F也可落在边CD上，过作交EF于T点，求点T的轨迹方程.6ewMyirQFL【思路分析】<1）根据动圆与两定圆相外切的条件可得|MC2|-|MC1|=定值，再根据双曲线的定义写出M点的轨迹方程.kavU42VRUs <2）在折叠的过程中：，由知：，故T点到直线AD的距离等于它到定点B的距离.根据抛物线的定义知：T点的轨迹是以B点为焦点，AD为准线的抛物线的一部分.y6v3ALoS89【解题过程】<1）定圆C1<-3，0），半径r1=1，定圆C2<3，0），半径r2=3，设动圆的圆心M<x，y），半径是r，由题意知：|MC1|=r+1，|MC2|=r+3，故|MC2|<，由双曲线的定义知：动点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即，故M点的轨迹方程是.M2ub6vSTnP <2）以AB的中点O为原点，AB所在的直线为y轴，建立坐标系.<如图），设T<x，y）.由|AB|=4知：定点B到直线AD的距离是4，根据建立的坐标系设抛物线的方程是，则p=4，抛物线的方程为，因为在折叠的过程中：线段的长度在[0，4]范围内变化.故所求T点的轨迹方程是：0YujCfmUCw【解题后的思考】本题是圆锥曲线定义的应用.利用圆锥曲线的定义求动点的轨迹是求轨迹常用的方法，因此掌握圆锥曲线的定义使解决有关的轨迹问题很方便，同时，建立适当的坐标系，要根据图形中的条件抓住题中隐含的“等量关系”，灵活运用定义解答.但要注意不要漏掉x的范围的限制条件.eUts8ZQVRd例4.已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，椭圆上一点P到两焦点的距离满足：<1）求椭圆方程；<2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为，又点A和点B在椭圆上.且有，求线段AB所在直线的方程.【思路分析】<1）由椭圆的焦点在y轴上及已知条件可求a，c的值.<2）先判断直线AB的斜率是否存在.在确定斜率存在的情况下，设直线方程为：y=kx+2，据的关系及向量的坐标运算求k的值.sQsAEJkW5T【解题过程】<1）设椭圆方程为，由2c=4得c=2，又，故a=3∴所求的椭圆方程为.<2）若直线AB的斜率k 不存在，则，故k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2又设A由得，…①…②∵点F2坐标为F2<0，2）∴由得：∴把代入①、②得…③…④由③、④ 得∴，∴线段AB所在直线的方程为：.【解题后的思考】向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅.通过向量的坐标运算解决这类问题开辟了新的解题途径.GMsIasNXkA知识点二：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及其应用例5. 解答下列各小题<1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_____________. <2）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.TIrRGchYzg <3）点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_______________.7EqZcWLZNX 【思路分析】<1）考查抛物线的定义，求P点到抛物线的准线的距离就是求P点到抛物线的焦点的距离. <2）不妨设双曲线的焦点在轴上，根据直线与该双曲线的一条渐近线垂直，其斜率之积为-1，建立关于a，c的等量关系.lzq7IGf02E <3）设点，由向量的坐标运算：，再根据P点在椭圆上得关于的二次函数，利用二次函数求最大值.【解题过程】<1）P点到抛物线的准线的距离是，故点P到该抛物线焦点的距离是6.<2）不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为，一条渐近线的斜率为：，直线的斜率为：，，，解得.<3）由题意知，F<-1，0），设点P，则有，解得，，所以=+=，因为，所以当时，取得最大值.【解题后的思考】新课标高考中的选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容是高考的热点内容之一，常考查圆锥曲线方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识掌握的熟练程度以及对知识的综合应用能力和运算能力.zvpgeqJ1hk例6.已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量.NrpoJac3v1<1）求椭圆的离心率e；<2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围.【思路分析】<1）由与共线得：，得出a，b，c的关系.<2）利用余弦定理和基本不等式求cos∠的范围.【解题过程】<1）∵，∴.∵是共线向量，∴，∴b=c，故.<2）设当且仅当时，cosθ=0，∴θ.【解题后的思考】由于共线向量与解读几何中的平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解读几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解读几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解读几何问题.1nowfTG4KI圆锥曲线的知识是新课标高考考查的重点内容之一，考查的题型有选择、填空、综合题等，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质的基础知识的考查以选择、填空题为主，在第一轮复习中，掌握这些基础知识是很重要的，不可盲目的做难题.掌握这些基础知识是解决综合性试卷的前提，在解决综合性问题时，要充分理解数学思想和数学方法的应用.由于圆锥曲线试卷中的计算量较大，所以要掌握处理圆锥曲线的基本方法和运算中的技巧，尽量减少繁琐的运算量.fjnFLDa5Zo<答题时间：45分钟）一、选择题1.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是< ）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D．两条射线2. 方程表示双曲线，则的取值范围是< ）A. B. C.D．或3.双曲线的焦距是< ）A. 4B.C. 8 D．与有关4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么< ）A. B.8 C. D. 165. 已知抛物线y2＝2px<p>0）的准线与圆<x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为<）A. B.1 C. 2 D. 46. 椭圆C：<a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k<k>0）的直线与C相交于A、B两点，若，则k = <）tfnNhnE6e5A. 1B.C.D. 2二、填空题7. 若椭圆的两个焦点坐标为F1<－1，0），F2<1，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为.8. 椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当时，离心率的取值范围是_____.三、计算题9. 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线的方程.10. P为椭圆上一点，、为左右焦点，若<1）求△的面积； <2）求P点的坐标．11. 点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.<1）求点P的坐标；<2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.一、选择题1. D解读：双曲线的定义2. D解读：由已知得：.3. C解读：由双曲线的方程得：焦距2c=8.4. B解读：抛物线的焦点为F<2，0），直线AF的方程为，所以点、，|PF|等于P点到准线的距离，故|PF|=6+2=8.HbmVN777sL5. C解读：抛物线y2＝2px<p>0）的准线方程是.圆<x－3）2＋y2＝16的圆心为M<3，0），半径是4，故，即p=2.V7l4jRB8Hs6. B解读：，∵ ，∴ ，∵，设，∴ 椭圆方程是：.直线AB的斜率为，则.代入椭圆方程消去x得，，，，.二、填空题7.8.解读：由椭圆的方程知：三、计算题9.解:由于椭圆焦点为F<0，4），离心率为e=，所以双曲线的焦点为F<0，4），离心率为2，从而c=4，a=2，b=2.所求双曲线的方程为：83lcPA59W910. 解：∵a＝5，b＝3c＝4.<1）设，，则①②，由①2－②得，.<2）设P点坐标为，由得4，将，代入椭圆方程解得，或或或.11. 解：<1）由已知可得点A<－6，0），F<4，0），设点P坐标为<，），则=<+6，），=<－4，），由已知可得则2+9－18=0，=或=－6.由于>0，只能=，于是=，∴点P的坐标是<，）<2）直线AP的方程是－+6=0.设点M坐标为<，0），则M到直线AP的距离是，于是=，又－6≤≤6，解得=2.，椭圆上的点<，）到点M的距离有，，由于－6≤≤6，∴当=时，d取得最小值.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
圆锥曲线中的最值范围问题 高三数学一轮复习
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．
巩固训练1
x2
[2024·江西上饶模拟]已知椭圆C： 2
a
y2
1
＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，
b2
2
+
点F1，F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(－c，0)的最短弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
高考大题研究课九 圆锥曲线中的
最值、范围问题
会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问
题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 最值问题
x2
例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线 2
a
y2
＝1(a>0，b>0)实轴的
b2
−
一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线
m + = 5，
2
m=4
m = 1，
解得
或
p=2
p = 8，
故抛物线方程为x2＝4y或x2＝16y.
(2)过焦点F直线l与抛物线交于M，N两点，若MN最小值为4，且
∠MAN是钝角，求直线斜率范围．
1
AB
1
的中点且斜率为－ 的直线与x轴交于点E，记μ＝
，若k∈[ ，2]，
k
求μ的取值范围．
DE
2
题后师说
解圆锥曲线中范围问题的策略
巩固训练2
[2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2 ＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)
在抛物线上，|AF|＝5.
(1)求抛物线方程；
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
高考数学(圆锥曲线)第一轮复习
高考数学（圆锥曲线）第一轮复习资料知识小结一.椭圆第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.3.椭圆的标准方程:(1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -.(2))0(12222>>=+b a ay b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -.4.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).5.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例:①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=a c,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.二.双曲线1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(2)双曲线的第二定义:若点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上:)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0),22b a c +=.(2)焦点在y 轴上: )0,0(12222>>=-b a bx a y ,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c).22b a c +=.3.双曲线简单几何性质:以标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x 为例.(1)范围:|x|≥a;即x ≥a,x ≤-a.(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A 1A 2叫双曲线的实轴,B 1B 2叫双曲线的虚轴,其中B 1(0,b),B 2(0,b).|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b.(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=ab±x;(5)准线:x=ca 2±;(6)离心率:e=ac,e>1. 4.等轴双曲线:x 2-y 2=±a 2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2三.抛物线1.抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p 值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p 值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2. 不同点:四.直线与圆锥曲线的位置关系1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式∆来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式:|AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++.5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.7．弦长公式1212||||AB x x y y =-=- 8．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）五.轨迹问题1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法. 4．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．5．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．六.圆锥曲线的应用 1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程．2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．试题选讲1．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1F 2，连接点F1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰1-2．已知N （3，1），点A 、B 分别在直线y=x 和y =0上，则△ABN 的周长的最小值是3．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点______(2,0)________4．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)M m 到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为 216x =5．椭圆22221(0)x y a b ab +=>>那么双曲线22221x y ab -=的离心率为6．已知椭圆的焦点是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是 圆7．椭圆221123x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF = 7:18．过点(0,1)M 且与抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程是 0,1x y ==及1y x =+9．函数()()1x 1x x 21x f 2≤≤---=的图象为C,则C 与x 轴围成的封闭图形的面积为______2－2π______.10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，抛物线bx y 42=的焦点为M ，若||2||21M F M F =，则此椭圆的离心率为10103101011．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值范围是 ),3(+∞ 。
一轮复习圆锥曲线
高考一轮复习圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2025新高考数学一轮复习圆锥曲线中的二级结论
所以直线FB的倾斜角为π－θ，
由题意可知，tan θ＝21，则|AF|＝1－cpos θ＝1－c2os θ， |BF|＝1－cos（p π－θ）＝1＋c2os θ.
又 ∠AFB ＝ π － 2θ ， 所 以
S△ABF
＝
1 2
|AF|·|BF|·sin(π
－
2θ)
训练4
(2023·长沙调研)已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B
两点，则 2|AF|＋|BF|最小值为
A.2
B.2 6＋3
C.4
√D.3＋2 2
因为 p＝2，所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1， 所以 2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·|A1F|＋|B1F|＝3＋2|B|AFF||＋||ABFF|| ≥3＋2 2|B|AFF||·||BAFF||＝3＋2 2，
C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为
√A.16
B.14
C.12
D.10
如图，设直线 l1 的倾斜角为 则直线 l2 的倾斜角为π2＋θ，
θ，θ∈0，π2，
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝si2np2θ＝sin42θ，
|DE|＝sin22π2p＋θ＝co4s2θ，
A.－116 C.614
√B.－312
D.1
1 024
由椭圆的性质可得 kAP1·kBP1＝kAP2·kBP2＝－ba22＝－21. 由椭圆的对称性可得 kBP1＝kAP10，kBP10＝kAP1，kAP1·kAP10＝－12.
同理可得 kAP2·kAP9＝kAP3·kAP8＝kAP4·kAP7＝kAP5·kAP6＝－21. ∴直线 AP1，AP2，…，AP10 这 10 条直线的斜率乘积为－125＝－312.
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义
一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得20ax bx c++=（1）当0a=时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。
（2）当0a≠时，0∆>，直线l与曲线C有两个不同的交点；0∆=，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l与曲线C相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212ABABAB x y y⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>时，以P00（x,y）为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=-≠xy，即22opbk ka=-g；若椭圆方程为22221(0)y xa ba b+=>>时，相应结论为22(0)ak yb=-≠xy，即22opak kb=-g；（2）P00（x,y）是双曲线22221x ya b-=部一点，以P为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=≠xy，即22opbk ka=g；若双曲线方程为22221y xa b-=时，相应结论为22(0)ak yb=≠xy，即22opak kb=g；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
Ⅱ 题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。
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§高考第一轮复习系列——圆锥曲线（Ⅰ）——定义及其应用1．C ； 2、A ； 3、122x +92y =1或92x +122y =1; 4、13422=+y x ；5、C ； 6、C ；7、B ；8、13+；9、N(x 0+4, 0)；10、2pa -； 11、已知点P 的坐标是(-1,-3)，F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点,点Q 在椭圆上移动，当QF PQ +取最小值时，求点Q 的坐标，并求出其最小值。
12、解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k+=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：2k <或2k >-又000090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<2k <<13、解：设),(),2211y x C y x A 、（，由题设知，直线AC 的斜率存在，设为k ．因直线AC 过焦点)0,1(F ，所以，直线AC 的方程为)1(-=x k y ．联立方程组⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2，消y 得0)2(22222=++-k x k x k 由根与系数的关系知：222142kk x x +=+，121=x x ……5分 于是 221221))||y y x x AC -+-=（（2122124)1x x x x k -++=（ 44212222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=k k k 22)1(4k k += ……10分 又因为BD AC ⊥，所以直线BD 的斜率为k1-，从而直线BD 的方程为：)1(1--=x ky ，同理可得 )1(4||2k BD +=．……15分故)21(8)1(8||||2122222++=+=⋅=kk k k CD AB S ABCD32)22(8=+⨯≥ 当1±=k 时等号成立．所以，四边形ABCD 的最小面积为32． ……20分 14、 解：（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F ．另解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ，∴焦点为1(0,)8F （1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b即直线l ：y =kx +b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（II ）(理)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ；A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m 即.321->m 设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则.16121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+= 由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）． 法二:y 1=2x 12, y 2=2x 22, 相减得12120122()4,y y x x x x x -=+=- 0001114,,284x x y b -==-=-+即, 中点在抛物线内必2009232y x b >>得15、（I ）证法一：∵OA OB OA OB +=-，∴22()()OA OB OA OB +=-，即222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+-⋅+＝，整理得0OA OB ⋅=． ∴12120.x x y y +=○1 设点(,)M x y 是以线段AB 为直径得圆上得任意一点，则0.MA MB ⋅=22220,2.x y y px p --=⎧⎨=-⎩即1212()()()()0.x x x x y y y y y --+--=展开上式并将○1带入得221212()()0.x y x x x y y +-+--= 故线段AB 是圆C 的直径．证法二：同法一得：12120.x x y y += ○1以 AB 为直径的圆的方程是222121212121()()()()224x x y y x y x x y y ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦＋＋， 展开，并将①代入得221212-()()0.x y x x x y y y ++-+= 所以线段 AB 是圆 C 的直径（II ）解法一：设圆C 的圆心为(,)C x y 则1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∵2211222,2(0),y px y px p ==> ∴22121224y y x x p= 又∵1212x x y y +＝0 ∴1212x x y y =- ∴22121224y y y y p -=∵120x x ≠，∴120y y ≠, ∴2124.y y p =-∴2212121(+)24x x x y y p +==222212121211(2)(2)42y y y y y y y p p p p=++-=+， 所以圆心的轨迹方程为：222.y px p =-C 到直线20x y -=的距离为d ，则d ===当y p =时，d=2.p = 解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为：222.y px p =-设直线20x y m -+=与20x y -=的距离为52m =± 当20x y m -+=与222y px p =-仅有一个公共点时，该点到20x y -=， 由 ② ③消x 得222220y py p p -+-=，由2244(22)0.p p p ∆=--= 得 2.p =（∵0p >）解法三：设圆C 的圆心为(,)C x y ，则1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩若圆心C 到直线20x y -=的距离为d，那d =∵2211222,2(0)y px y px p ==> ∴22121224y y x x p =又∵12120x x y y +=， 1212x x y y =-，∵120x x ≠，∴2124.y y p =-∴d ==22=当122y y p +=时，d=，∴ 2.p = §高考第一轮复习系列——圆锥曲线（Ⅱ）——直线与圆锥曲线1、C ；2、A ；3、32；4、C ；5、2222b a b a +；6、B ；7．解：设CD 所在直线的方程为y =x +t ，=x +t ， y 2=x ，x 2+2t －1）x +t 2=0，∴｜CD ｜＝]4)21[(222t t --＝)41(2t -． 又直线AB 与CD 间距离为｜AD ｜＝2|4|-t ，∵｜AD ｜＝｜CD ｜，∴t =－2或－6．从而边长为32或52．面积S 1＝（32）2＝18，S 2=（52）2=50． 8、（I ）解法一：直线323:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=，② 解①②得.23=x∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.∵ 消去y 得.2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ 解法二：直线333:-=x y l .设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=.1332232p q p q 解得p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32=∴ca ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ （II ）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x ,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMONMON OM ,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k k k 整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S . 故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x9、解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0．要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜－26或k ＞26． 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ，y = 1242+-k k +2＝1222+k ． x =1242+-k k ，y =1222+k消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26，0＜y ＜21．当直线垂直OX 轴时，y=0，综上所求轨迹方程为：x 2＋2（y －1）2＝2（y ＜21） 10、解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k (l >0)则直线MF 的斜率为－k ，).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得2200)1(,1kky x k ky y F F -=∴-=解得 ).(2142)1()1(1102022022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF-=-=+---+--=--=∴所以直线EF 的斜率为定值。