2018版高考数学全国理科专题复习：专题2 函数概念与基本初等函数I 第13练含解析精品

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高中数学一轮复习：第二章函数的概念与基本初等函数(必修1)课后跟踪训练12

课后跟踪训练(十二)基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定[解析] 若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f (－2)·f (2)<0，否则， f (－2)·f (2)>0，故选D.[答案] D2．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0,1)内连续不断，所以f (x )在区间(0,1)内有一个零点．故选B.[答案] B3．(2018·吉林省实验中学段考)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103[解析] 解法一：当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)<0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2(10－3a )<0，解得52<a <103；当⎩⎪⎨⎪⎧12<a2<3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52；当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意；当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D.解法二：令f (x )＝0，则a ＝x 2＋1x .令g (x )＝x 2＋1x ，而g ′(x )＝1－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(x )<0；当x ∈(1,3)时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D. [答案] D[解析] g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点等价于f (x )＝m 有三个不同的根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的公共点．在同一直角坐标系中画出函数y ＝f (x )，y ＝m 的图象(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14<m <0时，两个函数图象有三个不同的公共点．故选C.[答案] C5.(2018·安徽安庆二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故F (x )有2个零点．故选B.[答案] B 二、填空题6．函数f (x )＝ln(2x )－1的零点为________． [解析] 由ln(2x )－1＝0，得2x ＝e ，所以x ＝e2. 故f (x )＝ln(2x )－1的零点为e2. [答案] e27．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎨⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故填(0,3)．[答案] (0,3)8．(2019·山东济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为________．[解析] 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4.[答案] 4 三、解答题9．(2019·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ， (1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.10．(2019·贵州调研)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． [解] (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．能力提升练11．(2019·云南昆明一模)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若函数f (x )，g (x )的零点分别为a ，b ，则有( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 易知函数f (x )，g (x )在定义域上都是单调递增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2＋1>0，所以a ，b 存在且唯一，且a ∈(0,1)，b ∈(1,2)，从而f (1)<f (b )<f (2)，g (0)<g (a )<g (1)，于是f (b )>0，g (a )<0，即g (a )<0<f (b )．[答案] A12．(2019·昆明市高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x <1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5][解析] 解法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e ，由方程f (x )＝2有两个解知，当x <1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x <1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)<0，得a <5，故选C.解法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x <1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，由图象知，要使f (x )＝2有两个解．则a －3<2，得a <5，故选C.[答案] C13．(2019·河南名校联考)已知函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一的零点，则实数m 的值为________．[解析] 由题意，函数f (x )为偶函数，在x ＝0处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为0，则02－m cos0＋m 2＋3m －8＝0，解得m ＝－4或m ＝2.将m ＝－4代入解析式，得f (x )＝x 2＋4cos x －4，分离得两个函数y ＝－x 2＋4，y ＝4cos x ，如图知f (x )存在3个零点，不符合题意，仅m ＝2时f (x )存在唯一零点．[答案] 214．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．[解] (1)作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(1)．图(1)可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(2)．图(2)∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．拓展延伸练15．(2019·山西质量检测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2(x －1)|，1<x ≤3，12x 2－92x ＋10，x >3，若方程f (x )＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)的取值范围为________．[解析] 方程f (x )＝m 有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4可转化为函数f (x )的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4，作出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象得0<m <1，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)．由f (x 1)＝f (x 2)可得，|log 2(x 1－1)|＝|log 2(x 2－1)|，又1<x 1<2<x 2，所以log 2(x 1－1)＋log 2(x 2－1)＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＝1，整理得x 1x 2＝x 1＋x 2，所以1x 1＋1x 2＝1. 由f (x 3)＝f (x 4)及二次函数图象的对称性，得x 3＋x 4＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2(x 3＋x 4)＝9m ∈(0,9)．[答案](0,9)。

高中高考理科数学专项复习函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用函数的奇偶性与周期性

2 3 1 1 1 解：f2＝f2－2＝f－2＝－4×－2 ＋2＝1.故填 1.
若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则实数 a＝____________.
解：∵函数 f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，即 xln(x＋ a＋x2)＝－xln(－x＋ a＋x2)， 1 2 ∴x＋ a＋x ＝ 2，得 a＝1.故填 1. －x＋ a＋x
第二章
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
§2.3
函数的奇偶性与周期性
1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有，那么函数 f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称．
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数 f(x)为奇函数．
2 4 － x ≥0， (3)∵ ∴－2≤x≤2 且 x≠0， x≠0，
3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个域内的值时，都有 T，使得当 x 取定义，那么函数 f(x)就叫，即“定义域关条件．
做周期函数．T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．的

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性．答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a a a ，故a b <a a g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确．押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．答案－1解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案－9解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________．答案－lg 2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．答案 3解析因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （3）反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二函数概念与基本初等函数
一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理第二章函数与基本初等函数I 2.1 函数及其表示理1．函数与映射函数映射两集合A、B 设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A ．[32，＋∞) B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 C解析由题意知⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )答案 B解析A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B. 3．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝1 x答案 D解析函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 22－x，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 答案 C解析因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，()22log 12-1log 12121log 122221262f ⨯⨯－＝＝＝＝，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ∈－∞，a ，x 2，x ∈[a ，＋∞.若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2].题型一函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧1x ≥0－1x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．答案 ②③解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1x ≥0，－1x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列所给图象是函数图象的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝x2x和g(x)＝xr(x2)答案(1)B (2)D解析(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．故选D. 题型二函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域例 2 (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1的定义域是________．答案 (1)A (2)[0,1)解析 (1)由题意得⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.所以函数f (x )的定义域为(－3,0]． (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域为________________．答案 [12，1)∪(1，32]解析由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]，得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3]，令⎩⎨⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32]．命题点2 已知函数的定义域求参数范围例3 (1)若函数()f x =R ，则a的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以22210x ax a＋－－≥对x ∈R 恒成立，即22022x ax a ＋－≥，恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.(2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．(1)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数12log (2)y x =-的定义域为( )A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)答案 (1)B (2)D 解析 (1)要使函数y =需满足12326,log (2)0x x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤＞⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m2－4×m ×3<0，即⎩⎨⎧m >0，m 4m －3<0或⎩⎨⎧m <0，Δ<0，即⎩⎨⎧m <0，m 4m －3<0.解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34，故选D.题型三求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x＋1(t >1)，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )·x －1中，用1x代替x ，得f (1x)＝2f (x ) ·1x－1，将f (1x)＝2fx x－1代入f (x )＝2f (1x )·x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，求f (x )；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ，∴⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1， ∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________________． (2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析(1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32，不合题意．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－34，符合题意．(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a<1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，故选C.答案(1)－34(2)C1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案 C解析A项中两函数的定义域不同；B项，D项中两函数的对应关系不同，故选C.2．函数f(x)＝10＋9x－x2lg x－1的定义域为( )A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10] C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]答案 D解析要使函数f (x )有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，x >1，x ≠2，解得1<x <2或2<x ≤10，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，故选B.4．(2017·武汉调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为( ) A ．1或－22B ．－22C ．1D ．1或22答案 A解析 ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.5．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2答案 B解析当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2，故选B.*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎨⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)答案 C解析要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎨⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是[－1，12)．7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________________．答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 8．设函数113e ,1(),1x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜，≥，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________________．答案 (－∞，8] 解析当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由132x ≤得x ≤8， ∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8. 9．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.*10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋1，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32，当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a＝－5(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝ 5.。

高考数学(理)大一轮复习习题：第二章函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示突破点(一) 函数的定义域基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

【理科专题二】函数概念与基本初等函数(带答案)

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲函数的概念和性质一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x 的图像大致为2．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为3．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．4．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．505．（2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 6．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．（2017北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数9．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= A ．−2 B ．−1C ．0D ．2 10．(2016全国I) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．11．(2016全国II) 已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，…，()m m x y ，，则()1m i i i x y =+=∑ A ．0 B ．m C ．2m D ．4m12．(2015福建)下列函数为奇函数的是A．y B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-13．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 14．(2015湖南)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数15．(2015湖北)已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()g x f x =-()f ax (1)a >，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-16．(2015安徽)函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c ，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <17．(2014新课标1)设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x |()g x |是奇函数C ．|()f x |()g x 是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数18．(2014山东)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(，B ．)2(∞+，C ．),2()210(+∞ ，D ．)2[]210(∞+，， 19．(2014山东)对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有 ()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A．()f x = B ．2()f x x = C ．()tan f x x = D ．()cos(1)f x x =+20．(2014浙江)已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-≤≤，则A ．3≤cB ．63≤<cC ．96≤<cD ．9>c21．(2015北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =22．(2014湖南)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x -=321x x ++，(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．323．(2014江西)已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=aA ．1B ．2C ．3D ．-124．(2014重庆)下列函数为偶函数的是A ．()1f x x =-B ．3()f x x x =+C ．()22x x f x -=-D ．()22x x f x -=+ 25．(2014福建)已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是A ．()x f 是偶函数B ．()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞-,126．(2014辽宁)已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为 A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334-- 27．(2013辽宁)已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．1-B ．0C ．1D ．2 28．(2013新课标Ⅰ)已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[－2,1]D ．[－2,0]29．(2013广东)定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．130．(2013广东)函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞31．(2013山东)已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+ ，则()1f -= A ．－2 B ．0 C ．1 D ．232．(2013福建)函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是A ．B ．C ．D ．33．(2013北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 34．(2013湖南)已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于A ．4B ．3C ．2D ．1 35．(2013重庆)已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =A ．5-B ．1-C ．3D ．436．(2013湖北)x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数37．(2013四川)函数133-=x x y 的图像大致是A B C D38．(2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 39．(2012福建)设1,0,()0,0,1,0,xf x x x >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则(())f g π的值为A ．1B ．0C ．1-D ．π40．(2012山东)函数1()ln(1)f x x =++ A ．[2,0)(0,2]- B ．(1,0)(0,2]- C ．[2,2]- D ．(1,2]-41．(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A 1y x =+B 3y x =-C 1y x =D ||y x x = 42．(2011江西)若()f x =，则)(x f 的定义域为 A ．(21-,0) B ．(21-,0] C ．(21-,∞+) D ．(0,∞+) 43．(2011新课标)下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2x y -=44．(2011辽宁)函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．(1-，1)B ．(1-，+∞)C ．(∞-，1-)D ．(∞-，+∞)45．(2011福建)已知函数2,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩．若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于 A ．－3 B ．－1C ．1D ．346．(2011辽宁)若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则a = (A)21 (B)32 (C)43 (D)1 47．(2011安徽)设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A ．－3B ．－1C ．1D ．348．(2011陕西)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是49．(2010山东)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A ．()0,+∞ B ．)0,+∞⎡⎣ C ．()1,+∞ D ．)1,+∞⎡⎣ 50．(2010年陕西)已知函数()f x =221,1,1x x x ax x ⎧+<⎨+≥⎩，若((0))f f =4a ，则实数a = A ．12 B ．45C ．2D ．9 51．(2010广东)若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数52．(2010安徽)若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=A ．－1B ．1C ．－2D ．2二、填空题53．(2018江苏)函数()f x =的定义域为．54．(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤则((15))f f 的值为． 55．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____56．(2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．57．（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___．58．（2017江苏）已知函数31()2x xf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是．59．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828 ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是①()2x f x -= ②()3xf x -= ③3()=f x x ④2()2=+f x x 60．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．61．(2016天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.62．(2016江苏)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上，(),10,2,01,5x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩≤≤其中a ∈R ，若59()()22f f -=，则()5f a 的值是． 63．(2015新课标Ⅰ)若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =64．(2015浙江)已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则((3))f f -=_______，()f x 的最小值是______．65．(2015山东)已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．66．(2015福建)若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是．67．(2014新课标Ⅱ)偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=___．67．(2014湖南)若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____________．68．(2014四川)设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = ． 70．(2014浙江)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是___. 71．(2014湖北)设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(b a c b a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． (Ⅰ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；(Ⅱ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab +2； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 72．(2013安徽)函数1ln(1)y x =++的定义域为_____________． 73．(2013北京)函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为．74．(2012安徽)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________． 75．(2012浙江)设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =_______________．76．(2011陕西)设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ． 77．(2011江苏)已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________78．(2011福建)设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量11(,)x y a =∈V ，22(,)x y b =∈V ，以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)(),f f f λλλλ+-=+-a b a b则称映射f 具有性质P ．现给出如下映射：①12:,(),,(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈ ②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号)79．(2010福建)已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)=2()f x f x 成立；当(1,2]x ∈时，()=2f x x -．给出如下结论：①对任意Z m ∈，有(2)=0mf ；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使得(2+1)=9n f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)kk a b +⊆”．其中所有正确结论的序号是．80．(2010江苏)设函数()()xxf x x e ae -=+(x ∈R)是偶函数，则实数a =______．专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲函数的概念和性质答案部分1．B 【解析】当0<x 时，因为0--<xxe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e，故排除C ，选B ． 2．D 【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或2x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．3．D 【解析】设||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，又||()2sin(2)()x f x x f x --=⋅-=-，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ；令()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2k x π=(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ．4．C 【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x ∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ，故选C ．解法二由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ，所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ． 5．D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ． 6．B 【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--；③当012a <-<，此时2()24a a m fb =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．7．C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-= 又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．8．A 【解析】11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．9．D 【解析】当11x-剟时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．10．D 【解析】当0x ?时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D ．11．B 【解析】由()()2f x f x -=-得()()2f x f x -+=，可知()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+， ∴()111022m m miiiii i i mx y x ym ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ． 12．D【解析】∵函数y 的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数y =为非奇非偶函数，排除A ；因为|sin |y x =为偶函数，所以排除B ；因为cos y x =为偶函数，所以排除C ；因为()xxy f x e e -==-，()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，所以()x x y f x e e -==-为奇函数．13．D 【解析】选项A 、C 为偶函数，选项B 中的函数是奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数．14．A 【解析】由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,1)-，且12()lnln(1)11x f x x x+==---，易知211y x=--在(0,1)上为增函数，故()f x 在(0,1)上为增函数，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，故()f x 为奇函数．15．B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.16．C 【解析】∵2()()ax bf x x c +=+的图象与,x y 轴分别交于,N M ，且点M 的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴0b x a =->，20by c=>，故0,0a b <>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <．17．B 【解析】()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()f x ()g x 为奇函数，()f x |()g x |为奇函数，|()f x |()g x 为偶函数，|()f x ()g x |为偶函数，故选B ．18．C 【解析】2222(log )10log 1log 1x x x ->⇒><-或，解得1202x x ><<或． 19．D 【解析】由()(2)f x f a x =-可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；故选D ． 20．C 【解析】由已知得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，又0(1)63f c <-=-≤，所以69c <≤． 21．B 【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．22．C 【解析】用x -换x ，得32()()()()1f x g x x x ---=-+-+，化简得32()()1f x g x x x +=-++，令1x =，得(1)(1)1f g +=，故选C ．23．A 【解析】因为[(1)]1f g =，且||()5x f x =，所以(1)0g =，即2110a ⋅-=，解得1a =．24．D 【解析】函数()1f x x =-和2()f x x x =+既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B ；选项C 中()22x x f x -=-，则()22(22)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x =22xx--为奇函数，排除选项C ；选项D 中()22x x f x -=+，则()22()x x f x f x --=+=，所以()22x x f x -=+为偶函数，选D ．25．D 【解析】2()1,()1f f πππ=+-=-，所以函数()x f 不是偶函数，排除A ；因为函数()x f 在(2,)ππ--上单调递减，排除B ；函数()x f 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 不是周期函数，选D ．26．A 【解析】当102x ≤≤时，令1()cos 2f x x π=≤，解得1132x ≤≤，当12x >时，令1()212f x x =-≤，解得1324x <≤，故1334x ≤≤．∵()f x 为偶函数，∴1()2f x ≤的解集为3113[,][,]4334--⋃，故1(1)2f x -≤的解集为1247[,][,]4334⋃．27．D 【解析】11lg 2lg lg(2)lg1022+=⨯==，()()3)13()]1f x f x x x +-=-++--+3)3)2x x =++ln 33)2x x ⎡⎤=+⎣⎦2ln (3)2x ⎡⎤=-+⎣⎦ln122=+=．28．D 【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩ 且0ln(1)x x ax>⎧⎨+≥⎩，由202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除A ，B ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D ． 29．C 【解析】是奇函数的为3y x =与2sin y x =，故选C ．30．C 【解析】1010x x +>⎧⎨-≠⎩，∴11x x >-⎧⎨≠⎩．31．A 【解析】()()112f f ---=-．32．A 【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B ，D ． 33．C 【解析】1y x=是奇函数，x y e -=是非奇非偶函数，而D 在(0,)+∞单调递增．选C ． 34．B 【解析】由已知两式相加得，()13g =． 35．C 【解析】因为21(lg(log 10))(lg())(lg(lg 2))5lg 2f f f ==-=，又因为 ()()8f x f x +-=，所以(lg(lg 2))(lg(lg 2))5(lg(lg 2))8f f f -+=+=，所以(lg(lg 2))f =3，故选C ．36．D 【解析】由题意f (1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f (－1.1)＝－1.－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D ．37．C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x －1远远大于x 3的值且都为正，故331x x -→0且大于0，故排除D ，选C ．38．B 【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．39．B 【解析】∵π是无理数 ∴g （π）=0 则(())f g π=f （0）=0 ，故选B ．40．B 【解析】210,11,100 2.40,x x x x x +>⎧⎪+≠∴-<<<≤⎨⎪-≥⎩或故选B ．41．D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D ．42．A 【解析】12log (21)0x +>，所以0211x <+<，故102x -<<． 43．B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，2xy -=在(0,)+∞上为减函数．44．B 【解析】令函数()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，所以()g x 在R 上为增函数，又(1)(1)240g f -=-+-=，所以不等式可转化为()(1)g x g >-，由()g x 的单调性可得1x >-．45．A 【解析】当0a >时，由()(1)0f a f +=得220a+=，无解；当0a <时，由()(1)0f a f +=得120a ++=，解得3a =-，故选A ．46．A 【解析】∵))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，∴(1)(1)0f f -+=，得12a =．47．A 【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()2f x x x =-，∴2(1)(1)2(1)(1)3f f =--=-⨯-+-=-，选A ．48．B 【解】由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．49．A 【解析】因为311x+>，所以()()22log 31log 10x f x =+>=，故选A ．50．C 【解析】∵()21200=+=f ，∴()()()a a f f f 2422202+=+==．于是，由()()a f f 40=得2424=⇒=+a a a ．故选C ． 51．B 【解析】()33(),()33()xx x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．52．A 【解析】∵()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴(3)(4)(2)(1)(2)(1)211f f f f f f -=---=-+=-+=-．53．[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数()f x 的定义域是[2,)+∞．54．【解析】因为函数()f x 满足(4)()f x f x +=(x ∈R )，所以函数()f x 的最小正周期是4．因为在区间(2,2]- 上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤，所以1((15))((1))()cos24f f f f f π=-===． 55．1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-．56．sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．57．1(,)4-+∞【解析】当12x >时，不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤，不等式12112xx +-+>恒成立；当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即104x -<≤；综上，x 的取值范围为1(,)4-+∞．58．1[1,]2-【解析】因为31()2e ()e xx f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 59．①④【解析】①()2()2xxxx ee f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3xxx x ee f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3()xxe f x e x =⋅，令3()xg x e x =⋅，则322()3(2)xxxg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2()(2)x x e f x e x =+，令()()22xg x ex=+，则22()(2)2[(1)1]0xxxg x e x e x e x '=++⋅=++>，∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．60．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤，所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．61．13(,)22【解析】由()f x 是偶函数可知，()0-∞，单调递增；()0+∞，单调递减又()(12a f f ->，(f f =可得，12a -112a -<∴1322a <<． 62．25-【解析】由题意得511()()222f f a -=-=-+，91211()()225210f f ==-=，由59()()22f f -=可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 63．1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，=x ，解得1a =．64．0、3【解析】∵(3)1f -=，(1)0f =，即((3))0f f -=．又()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以min ()min{(0),3f x f f ==．65．32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2b =-，12a =，则13222a b +=-=-．66．(1,2]【解析】因为6,2()3log ,2a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤，所以当2x ≤时，()4f x ≥；又函数()f x 的值域为[4,)+∞，所以13log 24a a >⎧⎨+⎩≥，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围为(1,2]．67．3【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==． 68．32-【解析】函数3()ln(1)xf x e ax =++为偶函数，故()()f x f x -=，即33ln(1)ln(1)xxeax e ax -+-=++，化简得32361ln 2ln xax x x e ax e e e+==+，即32361x ax x xe e e e+=+，整理得32331(1)x ax x xe e e ++=+，所以230ax x +=，即32a =-． 69．1【解析】2311()()4()21222f f =-=-⨯-+=．70．(-∞结合图形（图略），由()()2f f a ≤，可得()2f a -≥，可得a ． 71．【答案】（Ⅱ）x（或填（Ⅰ）k （Ⅱ）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【解析】过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线的方程为()()()()f a f b y f a x a a b+-=--，令0y =得()()()()af b bf a c f a f b +=+．()()()()af b bf a f a f b +=+()()()()a b bf a af b =+，可取()0)f x x =>．（Ⅱ）令调和平均数2()()()()ab af b bf a a b f a f b +=++，得()()()()ab ba af b bf a a b f a f b ++=++，可取()(0)f x x x =>．72．(]0,1【解析】2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1. 73．(),2-∞【解析】由分段函数1x ≥，1122log log 10x ≤=；1x <，10222x<<=．74．6-【解析】由22()22a x a x f x ax a x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩…可知()f x 的单调递增区间为[,)2a -+∞，故362aa -=⇔=-． 75．32【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=．76．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．77．34-【解析】30,2212,2a a a a a a >-+=---=-， 30,1222,4a a a a a a <-+-=++=- ．78．①③【解析】∵11(,)x y a =，22(,)x y b =，R λ∈，所以1212(1)((1),(1))x x y y λλλλλλ+-=+-+-a b对于①1111212(),((1))((1),(1))f m x y f a b f x x y y λλλλλλ=-+-=+-+-12121122(1)(1)()(1)()x x y y x y x y λλλλλλ=+----=-+--()(1)()f a f b λλ=+-,具有性质P 的映射,同理可验证③符合,②不符合,答案应填．79．①②④【解析】①0)2(2)2(2)22()2(111====⋅=---f f f f m m m m ，正确； ②取]2,2(1+∈m m x ，则]2,1(2∈m x ；mm x x f 22)2(-=，从而 x xf x f x f m m m -====+12)2(2)2(2)( ，其中， ,2,1,0=m ，从而),0[)(+∞∈x f ，正确；③122)12(1--=++n m n f ，假设存在n 使9)12(=+n f ，∵121[2,2)n n n ++∈，∴1(21)22121n n n n f ++=--=-，∴219,210n n +==，这与n Z ∈矛盾，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④.80．－1【解析】设(),()x x g x x h x e ae -==+，∵()g x 为奇函数，由题意()h x 也为奇函数．所以(0)0h =，解得1a =-．专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞2．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235xyz==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 5．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（2017北京）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 7．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310 8．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c < 9．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 10．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．1211．（2015北京）如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤12．（2015天津）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 14．（2015山东）设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞15．（2014山东）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<<16．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<17．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是18．（2014天津）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间是A ．(0,)+¥B ．(,0)-?C ．(2,)+¥D ．(),2-? 19．（2013新课标）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >> 20．（2013陕西）设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A ．·log log log a c c b a b = B ．·log lo log g a a a b a b = C ．()log og g l lo a a a b c bc =D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+ 21．（2013浙江）已知y x ,为正实数，则A ．y x yx lg lg lg lg 222+=+ B ．lg()lg lg 222x y x y += C ．y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D ．lg()lg lg 222xy x y =22．（2013天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]23．（2012安徽）23(log 9)(log 4)⋅=A ．14 B ．12C ． 2D ． 4 24．（2012新课标）当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是A．(0,2 B．(2C． D． 25．（2012天津）已知122a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 26．（2011北京）如果,0log log 2121<<y x 那么A ．1y x <⎩≤，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞） 29．（2010山东）函数22x y x =-的图像大致是30．（2010天津）设5log 4a =，5(log 3)b =2，4log 5c =，则A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a 0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数34．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc 的取值范围是A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)35．（2010天津）若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞- 二、填空题36．(2018江苏)函数()f x =的定义域为． 37．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____．38．(2018上海)已知常数0a >，函数2()(2)xx f x ax =+的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若236p qpq +=，则a =__________．39．(2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a = ，b = ． 40．（2015江苏）不等式224x x-<的解集为_______．41．（2015浙江）若4log 3a =，则22aa-+=_______．42．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__．43．（2014天津）函数2()lg f x x =的单调递减区间是________． 44．（2014重庆）函数2()log )f x x =的最小值为_________．45．（2013四川）____________．46．（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．47．（2012山东）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿．48．（2011天津）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________． 49．（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________．专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．B 【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<．又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．3．D 【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，12221log log 3log 13c e ==>>．所以c a b >>，故选D ．4．D 【解析】设235x y zk ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ． 5．C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-= 又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ． 6．A 【解析】11()3()(3())()33xx x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．7．D 【解析】设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．8．C 【解析】选项A ，考虑幂函数c y x =，因为0c >，所以cy x =为增函数，又1a b >>，所以c c a b >，A 错．对于选项B ，c cab ba <()cb b aa ⇔<，又()xb y a=是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．9．A 【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13y x =在R 上单调递增，指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ． 10．C 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=，22log 121log 62(log 12)226f -===，所以2(2)(log 12)f f -+=9．11．C 【解析】如图，函数2log (1)y x =+的图象可知，2()log (1)f x x +≥的解集是{|11}x x -<≤．。

高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第13练函数与方程练习

第13练函数与方程[基础保分练]1．(2019·甘肃省酒泉市敦煌中学模拟)方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(5,6) D ．(6,7)2．函数f (x )＝sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]4．设f (x )是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根5．若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x －，x >2，10|x －1|，x ≤2，若f (x )－b ＝0有三个不等实根，则b 的取值范围是( )A ．(0,10] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤110，10C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10D ．(1,10] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x <0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是( ) A ．－12＋ 3B.12＋ 3 C ．－1＋32D ．1＋328．(2019·甘肃省酒泉市敦煌中学模拟)在函数f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝2x，f 4(x )＝12log x 四个函数中，当x 2>x 1>1时，使12[f (x 1)＋f (x 2)]<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立的函数是( )A ．f 1(x )＝12x B ．f 2(x )＝x 2C ．f 3(x )＝2xD ．f 4(x )＝12log x9．(2019·安徽省肥东县高级中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ax 2＋x ，x <0，其中a >0，若函数y ＝f (x )的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________． [能力提升练]1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{－2－7，1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{1,3}D ．{2－7，1,3}2．(2018·长春质检)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin(πx )，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4B ．8C ．12D ．163．(2019·云南省曲靖市第一中学模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，－2<x ≤0，f x －，x >0，则方程f (x )－13x ＝0的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－94且斜率为k 的直线与f (x )在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1312B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1312C ．[2,3]D ．(2,3) 5．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[2.7]＝2，[－1.3]＝－2，则函数f (x )＝ln(x ＋1)－[x ]的所有零点之和为________． 6．已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若满足不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．答案精析基础保分练1．C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.A 9.(0,1)10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 解析 ∵f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a 在(－∞，0)上单调递减，y ＝log a (x ＋1)＋1在(0，＋∞)上单调递减，且f (x )在(－∞，0)上的最小值大于或等于f (0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解得13≤a ≤34.作出y ＝|f (x )|和y ＝2－x3的函数草图如图所示．由图象可知|f (x )|＝2－x3在[0，＋∞)上有且只有一解，∵|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，∴x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x3在(－∞，0)上只有1解，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4a －83x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上只有1解，∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －832－a －＝0，－4a －832<0或⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫4a －832－a －，3a －2<0，解得a ＝5136或a <23，又13≤a ≤34，∴13≤a <23. 能力提升练1．A [∵f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋3x ＝－f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0，∵g (x )＝f (x )－x ＋3，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，令g (x )＝0，当x ≥0时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3；当x <0时，－x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7或x ＝－2＋7(舍去)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}，故选A.]2．D [F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，画出函数g (x )，f (x )的图象，函数g (x )，f (x )的图象关于(2,1)点对称，则F (x )共有8个零点，其和为16，故选D.]3．B [由题意知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≤0，f x －，x >0，作出函数f (x )的图象，如图所示，又由方程f (x )－13x ＝0的根的个数转化为y ＝f (x )和y ＝13x 的图象的交点个数，结合图象可知，函数y ＝f (x )和y ＝13x 的图象有三个交点，即方程f (x )－13x ＝0有三个实数解，故选B.]4．A [∵f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )， ∴f (－x )＝f (2－x )，即f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为T ＝2. 由x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，故f (－x )＝f (x )＝x 2，因此当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.结合函数f (x )的周期性，画出函数f (x )(x ∈[0,4])的图象如图所示．又过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－94且斜率为k 的直线方程为y ＝kx －94. 结合图象可得，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2与y ＝kx －94联立消去y 整理得x 2－kx ＋94＝0，由Δ＝k 2－9＝0，得k ＝3或k ＝－3(舍去)，此时x 切＝k 2＝32∉[0,1]，故不可能有三个交点；当x ∈[2,3]时，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－94与点(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y ＝f (x )有两个交点，又f (x )＝(x －2)2，若与y ＝kx －94相切，将两式联立消去y 整理得x 2－(k ＋4)x ＋254＝0，由Δ＝(k ＋4)2－25＝0，得k ＝1或k ＝－9(舍去)，此时x 切＝k ＋42＝52∈[2,3]，所以当1<k <1312时有三个交点．综上可得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1312.]5．e ＋1e－2解析由题意可知x －1<[x ]≤x ，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，令g (x )＝ln(x ＋1)－(x －1)(x ≥3)，有g ′(x )＝1x ＋1－1<0，所以g (x )在[3，＋∞)上单调递减，有g (x )≤g (3)＝ln4－2<0，所以f (x )＝ln(x ＋1)－[x ]在[3，＋∞)上无零点，只需考虑⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <0，x ＋＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <1，x ＋＝0，⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x ＋＝1，⎩⎪⎨⎪⎧2≤x <3，x ＋＝2，可得三个零点分别为1e －1，e －1,0，故答案为e ＋1e－2.6.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >－14或a ≤－2解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，f (x )≥g (x )，由f (x )≥g (x )，得2x －1＋a ≥b (2－x＋a )，即22x －1＋a ·2x≥b (1＋a ·2x)，令t ＝2x(t >0)，则12t 2＋a (1－b )t －b ≥0，由题意知t 1＝4是方程12t 2＋a (1－b )t －b ＝0的解，∴8＋4a (1－b )－b ＝0，得b ＝4a ＋84a ＋1，又t 1·t 2＝－2b ，∴t 2＝－b2≤0，即b ＝4a ＋84a ＋1≥0，解得a >－14或a ≤－2，1 4或a≤－2.故实数a的取值范围是a>－。

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一、选择题1．(2017·长沙调研)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．63．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－38，18 B.⎝⎛⎭⎫－38，18 C.⎣⎡⎭⎫－38，18 D.⎝⎛⎦⎤－18，38 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤12，16．已知函数f (x )＝x ＋sin x ＋2x －12x ＋1，且方程f (|f (x )|－a )＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是( ) A ．0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．－1,2)D ．(－1,2)7．(2016·太原期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)8．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．(2015·湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________． 10．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.11．定义在1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.则函数g (x )＝f (x )－2在区间1,28]上的零点个数为________．12．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程fg (x )]＝0有且仅有6个根；②方程gf (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程ff (x )]＝0有且仅有7个根；④方程gg (x )]＝0有且仅有4个根．其中正确命题的序号为________.答案精析1．C ∵函数f (x )＝|x －2|－ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f (1)＝1>0，f (2)＝－ln 2<0，f (3)＝1－ln 3<0， f (4)＝2－ln 4>0，f (5)＝3－ln 5>0， ∴f (1)·f (2)<0，f (3)·f (4)<0.∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.]2．C 方程f (x )＝log 3|x |的零点个数，即函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |图象的交点个数，作函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]3．C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点，当x >0时，f (x )＝2x ＋x －3＝0，则2x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝2x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )有一个零点，又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C.]4．D 当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或 ②⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝0，0<14m <2. 解①得－18<m <0或0<m <38，解②得m ∈∅，解③得m ＝38.综上可知－18<m ≤38，故选D.]5．A 令f (x )－mx ＋2＝0，则f (x )＝mx －2，设g (x )＝mx －2，可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3与函数g (x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A (0，－2)，B (3,1)，C (4,0)，可知直线g (x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈⎝⎛⎭⎫12，1.故选A.]6．B 由于f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称．由于(x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x －12x ＋1＝1－22x ＋1为增函数．故f (x )为R 上的增函数，且f (0)＝0.所以|f (x )|－a ＝0，即|f (x )|＝a 有两个不同的实数根，|f (x )|的图象是由f (x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈(0，＋∞)．]7．D 由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，即为f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，则f (x )是周期为4的函数．当x ∈－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，可得x ∈(0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x－1.在同一坐标系内作出f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)在区间(－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则0<log a (6＋2)<1，即a >8，故选D.]8．B 令sgn(ln x )－ln 2x ＝0，得当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ；当ln x <0，即0<x <1时，－1－ln 2x ＝0，无解；当ln x ＝0，即x ＝1时，成立．故方程sgn(ln x )－ln 2x ＝0有两个根，即函数f (x )有2个零点．] 9．2解析函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．10．5解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 11．4解析 ∵定义在1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|， ∴函数f (x )在区间1,28]上的图象如图所示：函数g (x )＝f (x )－2在区间1,28]上的零点个数，即为函数f (x )在区间1,28]上的图象与直线y ＝2交点的个数，由图可得函数f (x )在区间1,28]上的图象与直线y ＝2有4个交点，故函数g (x )＝f (x )－2在区间1,28]上有4个零点． 12．①④解析 ①设t ＝g (x )，则由fg (x )]＝0，得f (t )＝0，则t 1＝0或－2<t 2<－1或1<t 3<2.当t 1＝0时，g (x )＝0有2个不同根；当－2<t 2<－1时，g (x )＝t 2有2个不同根；当1<t 3<2时，g (x )＝t 3有2个不同根，∴方程fg (x )]＝0有且仅有6个根，故①正确．②设t ＝f (x )，若gf (x )]＝0，则g (t )＝0，则－2<t 1<－1或0<t 2<1.当－2<t 1<－1时，f (x )＝t 1有1个根；当0<t 2<1时，f (x )＝t 2有3个不同根， ∴方程gf (x )]＝0有且仅有4个根，故②错误．③设t ＝f (x )，若ff (x )]＝0，则f (t )＝0，则t 1＝0或－2<t 2<－1或1<t 3<2.当t 1＝0时，f (x )＝t 1有3个不同根；当－2<t 2<－1时，f (x )＝t 2有1个根；当1<t 3<2时，f (x )＝t 3有1个根，∴方程ff(x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．④设t＝g(x)，若gg(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g(x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g(x)＝t2有2个不同根，∴方程gg(x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．综上，命题①④正确．。

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