第八章空间法知识分享
高考数学复习 第八章 立体几何与空间向量 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.5垂直关系市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；BB1 上是否存在点 N，使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C？如果存在， 求此时BBBN1的值；如果不存在，请说明理由. 解答
46/85
思想与方法系列17 立体几何证实问题中转化思想 典例 (12分)如图所表示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1棱 AB，CD，C1D1中点. 求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
√D.A1C1∥平面AB1E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57/85
4. 如 图 ， 以 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 BC 上 高 AD 为 折 痕 ， 把 △ABD 和
△ACD折成相互垂直两个平面后，某学生得出以下四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
l
β
⇒α⊥β
l⊥α
6/85
• 性质 定理
假如两个平面相互 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 直线交垂线直于另一个 平面
α⊥β
α∩β＝a
lβ
⇒_l_⊥__α_
l⊥a
7/85
知识拓展
主要结论： (1)若两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内任何一条直线 (证实线线垂直一个主要方法). (3)垂直于同一条直线两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中一个，则这一条直线与另一个平面也 垂直.
9/85
考点自测
1.(教材改编)以下命题中不正确是 答案 解析 A.假如平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B.假如平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
高中数学高考45第八章 立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平 面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相 交.故选D.
的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 直线 共面直线
相交直线 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 把a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围： 0，π2. .
√D.点C和点M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上.
123456
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的对数为_3_.
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.
解 ∵BE∥AF 且 BE＝12AF，G 为 FA 的中点， ∴BE∥FG且BE＝FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH. ∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
城市地理学—第八章城市空间分布体系
三、城市间、城市和区域间的相互作用
3．相互作用模式
各种相互作用模式的产生，旨在寻求空间组织中 相互作用的特点和规律。比较著名的有引力模式、 潜力模式。
(1)引力模式
引力模式是根据牛顿万有引力定律推导出来的。
该模式认为，两个城市间的相互作用与这两个城市的人口 规模成正比，与它们之间的距离成反比。其一般形式如下：
城市之间、城市和区域之间不断地通过交通、 通讯等联系通道发生着物质、能量、人员和信 息的交换，我们把这些交换称之为空间相互作
用(spatial interaction) 。
通过空间相互作用，使空间上彼此分离的城 市结合为具有一定结构和功能的有机整体，即 城市空间分布体系。
6
一、相互作用的分类
（一）相互作用的类型
典型的例子就是移民过程。
实际上，现象的空间扩散过程常常采取多种方式。
2、空间扩散的阻力和障碍
1）阻力 新事物接受者的接受情况 阻力因人而异，从而影响接受的时间长短、
所形成的空间格局和接受者比率的饱和程 度
2、空间扩散的阻力和障碍
（1）阻力
新事物接收者的数量和时间分布呈正态分布
2、空间扩散的阻力和障碍
Iij
Wi Pi Wj Pj D b ij
Iij为i、j两个城市间的相互作用量，Pi为第 i个城市的人口规模。 Dij两个城市间的距离，b为测量距离摩擦作用的指数。 WiWj为经验确定的权数。
25
(2)潜力模式
计算一个城市与城市空间分布体系内所有城市(包括它 自身)的相互作用量时，那么，只需要应用引力模式分 别求出这个城市与其它每一城市的相互作用量，然后再 求和，就可以得到。总结成公式形式如下：
新英格兰南部的节结地域
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第八章-8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2ꢀ空间点、直线、平面之间的位置关系标1.掌握空间中直线与直线的位置关系.2.理解异面直线的概念.3.理解直线与平面位置关系的定义.4.理解平面与平面位置关系的定义.重点：空间两条直线的位置关系；直线与平面，平面与平面的位置关系.难点：对异面直线的理解，直线与平面，平面与平面位置关系中文字语言、图形语言和符号语言的转化.知识梳理一、空间中点与直线、平面的位置关系空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外.如图，点A在直线AB上，在直线A′B′外.空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外.如图，点A在平面ABCD内，在平面A′B′C′D′外.二、空间中直线与直线的位置关系1.异面直线任何一个平面内的两条直线.(1)定义：不同在(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：平行异面相交②从是否共面的角度来分：平行相交异面三、直线与平面的位置关系四、两个平面的位置关系平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数0个α∥β______两平面平行无数个点(共线)_____________两平面相交_α__∩_β__＝__l _型一、两直线位置关系的判定例ꢀꢀ如图所示，在长方体ABCD-A B C D中，判断下列直线的位置关系：1111①直线A B与直线D C的位置关系是_______；11②直线A B与直线B C的位置关系是_______；11③直线D D与直线D C的位置关系是_______；11④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.【解析】两直线的位置关系主要依据定义判断.由题图知直线A B与直线D C在平面A BCD中，且没有交点，则两直线1111“平行”，所以①应该填“平行”；点A，B，B在平面A BB内，而1111点C不在平面A BB内，则直线A B与直线B Cꢀ“异面”，同理可得直线1111AB与直线B Cꢀ“异面”，所以②④都应该填“异面”；直线D D与直线11D C相交于点D，所以③应该填“相交”.11【答案】①平行ꢀ②异面ꢀ③相交ꢀ④异面◆判定异面直线的方法（1）定义法：由定义判断出两直线不同在任何一个平面内.（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.（如图所示）.训练题1.如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A B C D中棱AA，AB，BC，11111C1D1的中点，则（ꢀCꢀ）A.GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B.GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C.GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D.GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线A（2）在正方体ABCD-A B C D中，与棱AA异面的棱有（ꢀꢀ）11111A.8条B.6条C.4条D.2条二ꢀ直线与平面的位置关系的判定例ꢀꢀ下列说法中正确的个数是（ꢀꢀ）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确，说法①不正确，相交时也符合；说法②不正确，图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；说法③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；说法④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点.【答案】B◆判断直线与平面之间位置关系的依据1.要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义：（1）在直线和平面的三种位置关系中，一种位置关系的反面是另外两种位置关系；（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点，“有且只有”包含两层含义，即“有”表示存在，“只有”表示唯一.2.ꢀ要有画图的意识，运用空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题.训练题1.给出下列四个说法：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线bꢀꢀꢀꢀꢀα，则a∥α；④若a∥b，bꢀα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，其A中正确的个数为（ꢀꢀ）A.1B.2C.3D.4ꢀ2.在正方体ABCD-A B C D的12条棱中，与平面BC D平行的棱共有1111112ꢀꢀꢀꢀ条13.若P∈l，P∈α，Q∈l，Qα，则直线l与平面α有ꢀꢀꢀꢀ个公共点.◆判断直线与平面之间位置关系的方法（1）判断直线在平面内，需找到直线上两点在平面内，根据公理1知直线在平面内.（2）判断直线与平面相交，根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.（3）判断直线与平面平行，可根据定义判断直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判断直线与平面平行.三ꢀꢀ平面与平面位置关系的判定D 例ꢀꢀꢀꢀ已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有（ꢀꢀ）A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条ꢀꢀD.1条或2条或3条【解析】ꢀ分类讨论：当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线；当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，有3条交线.【答案】ꢀD◆面面位置关系的两种判定方法（1）定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系.（2）借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.训练题1.ꢀ如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两C个平面的位置关系一定是（ꢀꢀ）A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定C2.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（ꢀꢀ）A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个ꢀ四ꢀ平面划分空间问题例ꢀꢀ（1）一个平面可以把空间分成几部分？（2）两个平面可以把空间分成几部分？（3）三个平面可以把空间分成几部分？【解】ꢀ（1）一个平面可以把空间分成2部分，如图(1).（2）两个平面可以把空间分成3或4部分，如图(2)，(3).ꢀꢀꢀꢀ(1)(2)ꢀꢀ(3)（3）三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分.如图(4)~(8)ꢀꢀꢀ(4)ꢀ(5)ꢀ(6)ꢀ(7)(8)【名师点拨】线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.训练题B小结1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.。
【新人教版】数学必修二第八章 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
【新人教版】数学必修二第八单元8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1.了解空间两直线间的位置关系.2.理解空间直线与平面的位置关系.3.掌握空间平面与平面的位置关系.知识点一空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点知识点二直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点三平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示思考平面平行有传递性吗？答案有若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(×)2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×)4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(×)一、两直线位置关系的判定例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.反思感悟判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.跟踪训练1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c 可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.二、直线与平面的位置关系例2(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0B.1C.2D.3答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.反思感悟在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练2下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案 B解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，③正确.三、平面与平面的位置关系例3在以下三个命题中，正确的命题是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.A.①②B.②③C.③D.①③答案 C解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D 中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.反思感悟利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.跟踪训练3已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直，故③错误；④根据定义a与β无公共点，故④正确.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(请选择最贴切的)()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，a与α内的直线均不相交.2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两个平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个答案 C4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作()A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个答案 C解析平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交，可以作0个平行平面；②直线与平面平行，可以作1个平行平面.5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.1.知识清单：(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳：举反例、特例.3.常见误区：异面直线的判断.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案 D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定答案 A4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对B.3对C.6对D.12对答案 C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.5.(多选)以下四个命题中正确的有()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面答案AC解析对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b 相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.所以正确的是AC.6.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________. 答案相交解析∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.8.在下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案②④解析题图①中，GH∥MN；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，所以GH与MN异面；题图③中，连接GM，则GM∥HN，所以GH与MN共面；题图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内答案 A解析延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.12.若平面α与β的公共点多于两个，则()A.α，β可能只有三个公共点B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C.α，β一定有无数个公共点D.以上均不正确答案 C解析若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确.13.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱所在直线组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.14.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的序号是____________.答案③解析①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③正确，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行.15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中()A.AB∥CDB.AD∥EFC.CD∥GHD.AB∥GH答案 C解析把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得，AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面. 16.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线.设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.。
第八章 空间法
3、根据《中华人民共和国民用航空法》，下 列说法错误的是（ ）
A民用航空器不得具有双重国籍 B民用航空器未经批准不得飞出中国领空 C未注销外国国籍的民用航空器可以在中国申请国籍 登记 D外国民用航空器的经营人，不得经营中国境内两点 之间的航空运输
4、甲国发射的空间实体在外空撞击了乙国 的空间实体，碰撞后乙国的空间实体的碎片 落在丙国的地面上，对丙国造成了损害。对 于丙国的损失，根据《空间物体造成损害的 国际责任公约》，由谁来承担责任？ A 甲国单独承担责任 B 乙国单独承担责任 C 甲国和乙国都不承担责任 D 甲国和乙国共同承担责任
第二十一条 旅客死亡或者伤害的赔偿
一、对于根据第十七条第一款所产生的每名旅客 不超过100，000特别提款权的损害赔偿，承运人不得 免除或者限制其责任。
二、对于根据第十七条第一款所产生的损害赔偿每
名旅客超过100，000特别提款权的部分，承运人证明
有下列情形的，不应当承担责任：
(一)损失不是由于承运人或者其受雇人、代理人的
5、根据外空法的有关规定，对发射到外层 空间的实体行使管辖权的主体是（ ） A 国际宇航组织 B 联合国秘书长 C 航天器登记国 D 航天器所有人
二、多项选择题
1、甲国和乙国共同进行一项外空的探测活动， 且签订了条约，下列条约的内容违反国际法 的有哪些？（ ） A 条约规定某处外空归甲国和乙国共同所有 B 将该处外空用于实验某种新型的具有很小 杀伤力的武器 C 条约规定双方负有相互救助宇航员的义务 D 条约规定在探测活动中造成第三国损害时， 双方分担赔偿责任
2、下列有关国际民航安全制度的公约有（ ） A《国际民用航空公约》 B《东京公约》 C《海牙公约》 D《蒙特利尔公约》
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
若向量a = x1i y1 j z1k，b = x2i y2 j z2k，由数量积的运算性质得
a b = x1x2 y1 y2 z1z2.
设非零向量a = x1, y1, z1，b = x2, y2, z2，则
(1) | a | a a x12 y12 z12；
(2) cos a, b a b
2
向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 空间两点间的距离
向量的概念---大小,方向,相等,向径,坐标等.
二、向量代数 向量的运算---加减,数乘,点乘,叉乘,混合积.
❖ 向量位置关系的刻画 ---平行,垂直,夹角. ❖ 向量的方向角、方向余弦.
平面的方程
三、空间的平面 两平面的位置关系
五、 向量的坐标
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位 向量，以此记作i，j，k，把它们称为基本单位向量或基向量.任一向量都可以 唯一地表示为i，j，k 数乘之积.
设M (x, y, z)是空间任意一点，记OM r，则r xi yj zk，我们把上式称为 向量r 的坐标分解式，xi，yj 和zk 称为向量r 沿3 个坐标轴方向的分向量，i，j，
d (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
11
二、 空间两点间的距离 例 1 在z轴上求与点A(3,5, 2)和B(4,1,5)等距离的点M .
解 由于所求的点M 在z 轴上，因此M 点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于
MA MB ，
由空间两点间的距离公式，得
(3)结合律：(a) b = (a b) a (b)；
(4)a a = a 2 ； (5)a b = 0 a b； (6) | a b || a | | b | . 特别地，有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
□登记国管辖 普遍管辖
东京公约
登 记 国
为空航 有器空 权内器 行所登 使犯记 管的国 辖罪对 权行在
和该 行航
非 登 记 国
使不 任排 何斥 刑根 事据 管本 辖国 权法
行
罪行在该国领土上具有后果
罪行是由该国国民或在该国有永 久居所的人所犯或是针对该国民 或该人的
1988年《蒙特利尔议定书》 — 制止在用于国际民用航空的机场发生的非法
暴力行为以补充1971年9月23日订了蒙特利尔的制止危 害民用航空安全的非法行为的公约的议定书
1991年《蒙特利尔公约》
— 注标塑性炸药以便探测的公约
（二）危害国际航空罪的分类和定义
1.非法劫持航空器罪 2.危害航空器飞行安全罪 3.危害国际民用航空机场安全罪
四、外层空间法的主要制度
（一）营救制度 《营救协定》
□ 通知 □ 援助和营救宇航员 □ 归还宇航员和空间物体 □ 费用负担 □ 消除危害
（二）赔偿责任制度
《赔偿责任公约》 1.绝对责任
□ 在地球表面或给飞行中的飞机造成损害
2.过失责任
□ 在地球表面以外的地方，对另一发射国的 空间实体或其所载人员或财产造成的损害
而承租人的主要营业地，或如承租人没有这 种营业地，则其永久居所，是在该国。
航 当被指称的罪犯在缔约国领土内，而该国未
空 按第八条的规定将此人引渡给本条第一款所
器 指的任一国家时，该缔约国应同样采取必要
的 公 约
措施，对这种罪行实施管辖权 不排斥根据本国法行使任何刑事管辖权
蒙特利尔公约 罪行是在该国领土内发生的
精品 课程
国 第八章
际 法 学
空间法
中国人民大学法学院国际法教研室 ®
第一节 空气空间法
一、概述 二、空气空间的法律地位 三、国际航空的基本法律制度
四、国际航空的损害赔偿制度 五、维护国际民用航空安全的
法律制度
一、概述
国际民用航空基本法律体制
1944年《芝加哥国际民用航空公约》
国际民用航空损害赔偿法律体制 维护国际民用航空安全法律体制
根据以上案情，回答下列问题：
（1）本案中哪些国家对C1劫持为什么？
第二节 外层空间法
一、概述 二、外层空间的法律地位 三、外层空间法的主要原则 四、外层空间法的主要制度 五、外层空间活动的其他法律问题
一、概述
1963年《各国探索和利用外层空间的法律原则 宣言》
根据以上案情，分析A国主张的合法性。
五、维护国际民用航空安全的法律制度
（一）概述
2001年“9.11”恐怖袭击
1963年《东京公约》 — 关于在航空器上犯罪和其它行为的公约
1970年《海牙公约》 — 关于制止非法劫持航空器的公约
1971年《蒙特利尔公约》 — 关于制止危害民用航空安全的非法行为的公约
外层空间不属于任何国家所有，地面国 不得将其主权扩大到外层空间
空间论 外层空间与空气空间的界限
功能论 没有解决
三、外层空间法的主要原则
1. 为所有国家谋福利和利益原则 2. 自由探索利用和遵守国际法原则 3. 不得将外层空间据为已有原则 4. 和平利用外层空间原则 5. 国际合作原则 6. 国际责任原则 7.援救宇航员原则 8.对空间物体的所有权和管辖权原则
罪行危及该国的安全
罪行违反该国现行的有关航空器 飞行或操作的任何规定或条例
为确保该国根据某项多边国际协 定所承担的任何义务而有必要行 使管辖权
关 于
罪行是在该国登记的航空器内发生的；
制 在其内发生罪行的航空器在该国降落时被指
止 称的罪犯仍在航空器内；
非 罪行是在租来时不带机组的航空器内发生的，
法 劫 持
二、空气空间的法律地位
❒领空主权
三、国际航空的基本法律制度
领空不受侵犯 （一）领空主权 禁区
国内载运权 紧急降落权 航空法律和规章
（二）航空器及其国籍
民用航空器和国家航空器
登记国国籍 用于军事、海关和 警察部门的航空器
四、国际航空的损害赔偿制度
1929年华沙公约
❒ 1929年《统一国际航空运输 某些规则的公约》
1966年《关于各国探索和利用外层空间包括月 球和其它天体的活动的原则条约》
1968年《营救宇航员、送回宇航员和归还发射到 外层空间的物体的协定》
1972年《空间物体造成损害的赔偿责任公约》
1975年《关于登记射入外层空间物体的公约》
1979年《指导各国在月球和其他天体上活动的 协定》
二、外层空间的法律地位
3.要求赔偿的主体、程序、期限和数额 4.要求赔偿委员会
（三）登记制度
《登记公约》
（四）月球开发制度
《月球协定》
（1）月球及其自然资源均为全人类的共同财 产，任何国家不得通过利用或占领或以其他任何 方式据为已有，月球表面或其下层或其任何部分 或其中的自然资源均不应成为任何国家、国际组 织、实体或自然人的财产。一俟月球自然资源的 开发成为可行，即建立此种开发的国际制度。
3.引渡或起诉
或引渡或起诉原则 ❒在其境内发现被指称的罪犯的缔约国，
如不将此人引渡，则不论罪行是否在其境内发 生，应无例外地将此案件提交其主管当局以便 起诉。该当局应按照本国法律以对待任何严重 性质的普通罪行案件的同样方式作出决定
4.合作防止航空犯罪
5.司法合作
6.引渡合作
A、B、C和D国都是1970年《关于制止非 法劫持航空器的公约》的缔约国。一架在A 国登记的民航飞机飞经B国领空时，被C国 反政府游击队的一名成员C1劫持，要求C国 政府释放被关押的2名游击队领导人。被劫 持飞机降落D国后，C1申请政治避难，得到 D国允许。
❒ 1955年海牙议定书 ❒ 1978年《蒙特利尔议定书》
1952年罗马公约
《关于外国航空器对地（水）面 第三者造成损害公约》
AB两国是《联合国海洋法公约》的缔约国，各 自宣布了从其领海基线起200海里专属经济区。它 们还是《国际民用航空公约》的缔约国。A国一架 高性能军用侦察机在距离B国东南海岸135公里海 域上空抵近侦察飞行，被B国一架军用飞机跟踪监 视。当两架飞机靠近平行向西南方飞行时，A国军 用飞机突然转向，朝东北方飞行，其左机翼撞上B 国飞机，致使其失控坠海。受损的A国飞机进入B 国领空，并降落最近的一个军用机场。事件发生 后，A国指责B国侵犯了它在国际空域的飞行自由， 应对事件负责；其飞机进入和降落B国是出于紧急 情况，无需它的同意；降落飞机享有主权豁免，B 国无权扣押和检查。