2.1.1平面
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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
2.1.1 平面
解: 1) ( 不正确. 如果点在直线上, 这时有无数个平面; 如果点不在 直线上, 在已知直线上任取两个不同的点, 由公理 2知, 有且只有 一个平面.
( 正确. 2) 经过同一点的两条直线是相交直线, 能确定一个平面.
( 不正确. 3) 四边形中三点可确定一个平面, 而第四点不一定在此 平面内, 如图. 因此, 这四条线段不一定在同一平面内.
( 如何理解“有且只有一个”的含义? 2)
(公理 2中“有且只有一个”的含义: 这里的“有”是说图 形存在, “只有一个”是说图形惟一, 强调的是存在和惟一两 个方面, “有且只有一个” 因此 必须完整的使用, 不能仅用 “只 有一个” 来替代, 否则就没有表达出存在性. 确定一个平面中 的“确定”是“有且只有”的同义词)
平面α, β相交于 l
α∩β=l
三、平面的基本性质—公理 1
3: 直线 l 与平面α有一个公共点 P . 直线 l 是否在平面 α内?有两个公共点呢? (有一个公共点时不一定, 有两个公共点时直线在平面内)
2: 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直 线在此平面内
文字语言 图形语言 符号语言
【实例】平面是构成空间几何体的基本元素, 生活中有很 多的物体给人以平面形象, 今天我们从数学的角度来研究 什么是平面, 它如何表示, 以及平面的性质是什么.
一、平面
1: 生活中有哪些物体给人平面形象, 你能试举几例 吗?你能总结一下它们所给你的统一形象吗? (黑板面、课桌面、湖面等给人的统一形象, 平的)
A∈lB∈l且 A∈α, , , B∈α⇒ l α ⊂
如果直线 l上的所有点都在平面α内, 就说直线 l在平面α内, 或者说 平面α经过直线 l记作 l α; , ⊂ 否则, 就说直线 l在平面α外, 记作 l α. ⊄
2.1.1平面
公共点.
( ×) ( ×) (× )
(× )
练习2：符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的 位置关系。
c
A a
B b
A_∈_
B_∈_
b ∩ β ＝B
A∈__ B_∈_
∩ β ＝c
a___
B_∩_ =A
b ∩ ＝A
小结
平面的基本性质，及它们 的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言
作业
预习下节内容
条直线在此平面内
A. l .B
A∈l
符号表示为
B∈l A∈a
l
B∈a
作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A. C. .B
符号表示为：A、B、C三点不
共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α
作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
A a A a 点不在直线上
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab a I b A 直线 a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
aI
直线a与平面
无公共点
aI A
直线a与平面
交于点A
I l
平面 与
相交于直线 l
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
2.1.1 平面
1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
一、平面的表示
1、平面是无限延展的平的面，没有边界，没
( ×) ( ×) (× )
(× )
练习2：符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的 位置关系。
c
A a
B b
A_∈_
B_∈_
b ∩ β ＝B
A∈__ B_∈_
∩ β ＝c
a___
B_∩_ =A
b ∩ ＝A
小结
平面的基本性质，及它们 的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言
作业
预习下节内容
条直线在此平面内
A. l .B
A∈l
符号表示为
B∈l A∈a
l
B∈a
作用：判断直线是否在平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A. C. .B
符号表示为：A、B、C三点不
共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α
作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
A a A a 点不在直线上
A
A
A A
点在平面内 点不在平面内
A ab a I b A 直线 a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
aI
直线a与平面
无公共点
aI A
直线a与平面
交于点A
I l
平面 与
相交于直线 l
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
2.1.1 平面
1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
一、平面的表示
1、平面是无限延展的平的面，没有边界，没
第七课时2.1.1平面
公理1的作用 1.可以用来判定一条直线是否在平面内.即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点 在平面内即可。 2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。 3.表明平面是“平的”。
直线与平面的位置关系 直线l在平面α内：记为：l α 直线l不在平面α上：记为：l
A
∩
B
A' B' ________
∩ ∩
(5) A' B' ________ , BB' ________
例二 证明：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 A
α b
a
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线 的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过 直线a、b有平面α。 设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外， 点A和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的 推论1，过点A和直线b的平面只有一个.过直线a、 b的平面只有一个。
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． l B
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
A
A l , B l , A , B l
作用： 判定直线是否在平面内．
B
点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α 点B不在平面α上：记为：B α
B α A
思 考 若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。
2.1.1平面
§2.1.1 平面一、新课导学探究一：平面的概念与表示问题1：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题2：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？αβγ来表示，也可以用平行四新知2：通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题3：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A在平面α内，记作；点A在平面α外，记作.⑵点P在直线l上，记作，点P在直线外，记作.⑶直线l上所有点都在平面α内,则直线l在平面α内(平面α经过直线l),记作；否则直线就在平面外，记作.探究二：平面的性质问题4：直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 ：文字语言：图形语言：符号语言：问题5：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 ：文字语言：图形语言：符号语言：推论1 ：文字语言：图形语言：符号语言：推论2：文字语言：图形语言：符号语言：推论3：文字语言：图形语言：符号语言：问题6：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B?为什么?新知6：公理3：文字语言：图形语言：符号语言：二、典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.练习 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外；⑵直线a 经过平面α外的一点M ；⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.例2：已知,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉.求证：直线,,AD BD CD 共面.点拨：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂例3：在长方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱1BB 的中点，画出11,,A C P 三点所确定的平面与长方体表面的交线.例4：如图所示，已知ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边,,AB BC AC 延长后分别交平面α于点,,P Q R .求证：点,,P Q R 在同一条直线上.二、总结提升公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.。
2.1.1平面(1)
l
§2.1.1 平 面
α
思考回答：
• • • • • • .是一个点吗？●是一个点吗？ 笔直的铅笔是一条直线吗？ 光滑的黑板是一个平面吗？ 结论：点没有大小； 直线没有长短，没有粗细； 平面没有边界，没有厚度。即平面 的性质：无限延展性，无厚度性。
动脑筋想一想，动手做一做
• 点与直线的位置关系有几种？ • 点与平面的位置关系有几种？ • 直线与平面的位置关系有几种？
• 2种：点在直线上；点在直线外 • 2种：点在平面内；点在平面外 • 3种：直线在平面内；直线在平面外；直线 与平面交与一点
预习课文，了解平面
• 点构成线，线构成面。所以平面可以看成 无数个点的集合。 • 平面的几何表示法：平行四边形法 • 画法：一角为45度的锐角，横边是邻边长 的2倍。 • 文字叫法：1、单独的希腊字母表示 • 2、平行四边形的四个顶点所在 的大写字母表示 • 3、平行四边形对角线上的两个 大写字母表示
练习（交流互动）
•点、直并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内; ⑶平面α和β相交于直线 l； ⑷直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q ⑸直线 l 是平面α和β的交线，直线m在平面 α内,和l相交于点P.
§2.1.1 平 面
α
思考回答：
• • • • • • .是一个点吗？●是一个点吗？ 笔直的铅笔是一条直线吗？ 光滑的黑板是一个平面吗？ 结论：点没有大小； 直线没有长短，没有粗细； 平面没有边界，没有厚度。即平面 的性质：无限延展性，无厚度性。
动脑筋想一想，动手做一做
• 点与直线的位置关系有几种？ • 点与平面的位置关系有几种？ • 直线与平面的位置关系有几种？
• 2种：点在直线上；点在直线外 • 2种：点在平面内；点在平面外 • 3种：直线在平面内；直线在平面外；直线 与平面交与一点
预习课文，了解平面
• 点构成线，线构成面。所以平面可以看成 无数个点的集合。 • 平面的几何表示法：平行四边形法 • 画法：一角为45度的锐角，横边是邻边长 的2倍。 • 文字叫法：1、单独的希腊字母表示 • 2、平行四边形的四个顶点所在 的大写字母表示 • 3、平行四边形对角线上的两个 大写字母表示
练习（交流互动）
•点、直并画出图形： ⑴点A在平面α内，点B在平面α外； ⑵直线 l 在平面α内，直线m不在平面α内; ⑶平面α和β相交于直线 l； ⑷直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q ⑸直线 l 是平面α和β的交线，直线m在平面 α内,和l相交于点P.
课件4：2.1.1平 面
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面
一、平面
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、 海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出 类似平面形的物体吗？ 1.平面的概念 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一 些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限 延展的．
巩固练习
下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面 重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m； (4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析
序号 正误
理由
(1) × 因为平面是无限延展的，故(1)错
④圆是平面图形
A．1 个
B．2 个
C．3 个
解析 ①④正确.
答案：B
D．4 个
3. 下列命题中，正确的命题是 ( B ) A.有三个公共点的两个平面重合 B.梯形的四个顶点在同一个平面内 C.三条互相平行的直线必共面 D.四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
4.下列命题正确的是（ D ）
A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m 相交于 A l∩m＝A
l，α 相交于 A l∩α＝A
α，β 相交于 l α∩β＝l
应用举例 例1 将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A, B , Al, B l;
（2）a , b , =c, a c, b c P.
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面
一、平面
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、 海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出 类似平面形的物体吗？ 1.平面的概念 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一 些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限 延展的．
巩固练习
下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面 重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m； (4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象
的数学概念．其中正确命题的个数为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析
序号 正误
理由
(1) × 因为平面是无限延展的，故(1)错
④圆是平面图形
A．1 个
B．2 个
C．3 个
解析 ①④正确.
答案：B
D．4 个
3. 下列命题中，正确的命题是 ( B ) A.有三个公共点的两个平面重合 B.梯形的四个顶点在同一个平面内 C.三条互相平行的直线必共面 D.四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
4.下列命题正确的是（ D ）
A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m 相交于 A l∩m＝A
l，α 相交于 A l∩α＝A
α，β 相交于 l α∩β＝l
应用举例 例1 将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A, B , Al, B l;
（2）a , b , =c, a c, b c P.
2.1.1平面
有且只有一个平面
经过两条相交直线
经过两条平行直线
完成课本练习
P43
1、2、3、4
系统集成 P19 自学检测1~5 P21 基础巩固1~8
§2.1.1 平 面
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，几何里的 平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
如果一个平面被另一个平面挡住， β 则这遮挡的部分用虚线画出来.
A
.·l · .·
B
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面内表示为m
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打
，否则打
:
( )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
( (
)
) ) )
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是否在 l l 平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内. 图形语言
m
A
.·l · .·
B
错误
Байду номын сангаас
符号语言
Al B l l A B
α
3、平面的表示法
D C
A
α
B
经过两条相交直线
经过两条平行直线
完成课本练习
P43
1、2、3、4
系统集成 P19 自学检测1~5 P21 基础巩固1~8
§2.1.1 平 面
一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，几何里的 平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
如果一个平面被另一个平面挡住， β 则这遮挡的部分用虚线画出来.
A
.·l · .·
B
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面内表示为m
练习
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打
，否则打
:
( )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
( (
)
) ) )
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是否在 l l 平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内. 图形语言
m
A
.·l · .·
B
错误
Байду номын сангаас
符号语言
Al B l l A B
α
3、平面的表示法
D C
A
α
B
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A, B, C不共线， 存在唯一的平面，使得A, B, C ．
作用：确定一个平面的主要依据．
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公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
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2.1.1
平面
生活与数学
生活中有哪些给事物给我们以平面的形象？
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平整的纸张
教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面
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探究发现1 平面的概念及其表示
平静的海面
1.概念
平整的纸张
桌面、黑板面
平面的形象
几何特征
1.平的 2.无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄 （不是凹凸不平） （没有边界）
作用：判断直线是否在平面 内的依据．
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B
思 考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机 等物品。这样做有什么原因吗？
探究2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？ 不共线的三点呢？
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存在性 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面． 唯一性 B C A 图形语言： 符号语言：
解析:两个平面有平行、相交两种情形. 4.在下列命题中,所有正确命题的序号是 . ①平面 α 与平面 β 相交,它们只有有限个公共点; ②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ③经过两条相交直线,有且只有一个平面; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ⑤四边形确定一个平面. 答案:②③④
3，三条平面公理
王新敞
奎屯 新疆
A 公理1 AB B 公理2 A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3
P , P , l P l
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b c P, P b P , P c
方法：
一构：构造平面 二装：装入平面
由公理1知：c a, b, c共面于
问题二：共线、共点问题
例 2、如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为正方 形 ABCD 的中心， H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点． 求 证：D1、H、O 三点共线．
（无所谓面积）
（没有体积）
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2.平面的表示方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
A
C B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边 画成邻边长的2倍。
如果一个平面的一部分被另一个平面遮住， 为增强立体感，常把遮住部分画成虚线。
α
α
符号表示：通常用希腊字母α,β,γ等来表示， 如：平面α ,平面β ;也可用表示平行四边形的 四个顶点，或两个相对顶点的大写字母来表示， 如：平面ABCD,平面AC，平面BD。 D A C
直观感知
探究3：
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板 所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？
为什么？
B
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归纳结论
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共
点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线．
图形语言：
符号语言： P ，P l , 且P l 作用： ①判断两个平面相交的依据 ②判断点在直线上
探究发现2 平面的基本性质
探究1： 如果直线 l 与平面α有一个公点， 直线 l 是否在平面α内？有两个公共点呢？
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公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
图形语言： l
A
B
符 Al 号 B l 语 l 言： A
2.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( A.异面 C.相交 答案:D B.平行 D.以上都有可能
)
解析:如图,a∥b,c 与 d 相交,a 与 d 异面.
3.如果在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线互相平行,那么这两个 平面的位置关系一定是( A.平行 答案:C B.相交 ) C.平行或相交 D.垂直相交
5.正方体各面所在的平面将空间分成 答案:27
部分.
解析:如图,上下底面所在的平面把空间分成三部分;左右两个侧面所在的平 面将上面分成的每一部分再分成三个部分;前后两个侧面再将上面分成的 9 部分的每一部分分成三部分,共可分成 9×3=27 部分.
小结
1，平面的概念,画法及表示
2，点、直线、平面间的基本关系
在平面ACD1上 在它们的交线上 在平面DBB1D1上
方法（公理3）： 在第一平面上 在它们的交线上 在第二平面上
1.下列命题是真命题的是(
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 答案:D 解析:空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同点的 三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
l P
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问题一：共面问题
例1.求证：三条直线两两相交且交点各不相同，则 三条直线共面。
已知：a b E, a c F , b c P. 求证：a, b, c共面于 .
证明： a b E a, b确定平面 a c F , F a F , F c
B
3.点A，线l，面α的基本关系
1.点和直线的关系？
(1)点在直线上 A (1)点在平面内
(2)点在直线外
l
Al
A
l Al
2.点和平面的关系？
A
(2)点在平面外 A
A
A
(2)直线在平面外
3.直线和平面的关系？
(1)直线在平面内
l
l
A
l
l
l
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作用：确定一个平面的主要依据．
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公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
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2.1.1
平面
生活与数学
生活中有哪些给事物给我们以平面的形象？
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平整的纸张
教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面
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探究发现1 平面的概念及其表示
平静的海面
1.概念
平整的纸张
桌面、黑板面
平面的形象
几何特征
1.平的 2.无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄 （不是凹凸不平） （没有边界）
作用：判断直线是否在平面 内的依据．
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B
思 考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机 等物品。这样做有什么原因吗？
探究2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？ 不共线的三点呢？
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存在性 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面． 唯一性 B C A 图形语言： 符号语言：
解析:两个平面有平行、相交两种情形. 4.在下列命题中,所有正确命题的序号是 . ①平面 α 与平面 β 相交,它们只有有限个公共点; ②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ③经过两条相交直线,有且只有一个平面; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ⑤四边形确定一个平面. 答案:②③④
3，三条平面公理
王新敞
奎屯 新疆
A 公理1 AB B 公理2 A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3
P , P , l P l
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b c P, P b P , P c
方法：
一构：构造平面 二装：装入平面
由公理1知：c a, b, c共面于
问题二：共线、共点问题
例 2、如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为正方 形 ABCD 的中心， H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点． 求 证：D1、H、O 三点共线．
（无所谓面积）
（没有体积）
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2.平面的表示方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
A
C B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边 画成邻边长的2倍。
如果一个平面的一部分被另一个平面遮住， 为增强立体感，常把遮住部分画成虚线。
α
α
符号表示：通常用希腊字母α,β,γ等来表示， 如：平面α ,平面β ;也可用表示平行四边形的 四个顶点，或两个相对顶点的大写字母来表示， 如：平面ABCD,平面AC，平面BD。 D A C
直观感知
探究3：
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板 所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？
为什么？
B
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归纳结论
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共
点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线．
图形语言：
符号语言： P ，P l , 且P l 作用： ①判断两个平面相交的依据 ②判断点在直线上
探究发现2 平面的基本性质
探究1： 如果直线 l 与平面α有一个公点， 直线 l 是否在平面α内？有两个公共点呢？
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公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
图形语言： l
A
B
符 Al 号 B l 语 l 言： A
2.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( A.异面 C.相交 答案:D B.平行 D.以上都有可能
)
解析:如图,a∥b,c 与 d 相交,a 与 d 异面.
3.如果在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线互相平行,那么这两个 平面的位置关系一定是( A.平行 答案:C B.相交 ) C.平行或相交 D.垂直相交
5.正方体各面所在的平面将空间分成 答案:27
部分.
解析:如图,上下底面所在的平面把空间分成三部分;左右两个侧面所在的平 面将上面分成的每一部分再分成三个部分;前后两个侧面再将上面分成的 9 部分的每一部分分成三部分,共可分成 9×3=27 部分.
小结
1，平面的概念,画法及表示
2，点、直线、平面间的基本关系
在平面ACD1上 在它们的交线上 在平面DBB1D1上
方法（公理3）： 在第一平面上 在它们的交线上 在第二平面上
1.下列命题是真命题的是(
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 答案:D 解析:空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同点的 三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
l P
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问题一：共面问题
例1.求证：三条直线两两相交且交点各不相同，则 三条直线共面。
已知：a b E, a c F , b c P. 求证：a, b, c共面于 .
证明： a b E a, b确定平面 a c F , F a F , F c
B
3.点A，线l，面α的基本关系
1.点和直线的关系？
(1)点在直线上 A (1)点在平面内
(2)点在直线外
l
Al
A
l Al
2.点和平面的关系？
A
(2)点在平面外 A
A
A
(2)直线在平面外
3.直线和平面的关系？
(1)直线在平面内
l
l
A
l
l
l
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