不等式易错题分析

不等式易错题分析 Prepared on 24 November 2020
不等式易错题分析
一、解一元二次不等式的易错题
（一）、随意消项致误
例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥
错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥
解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥
所以31x x ≥≤或
原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或
剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立
正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或
解得31x x ≥≤或或x=2
所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2
（二）、函数不清致误
例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。

错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图
像与x 轴无交点。

故[]2224504(1)43(45)0
m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩ 解得119m <<
即所求m 的取值范围为119m <<
剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对245m m +-是否为0的讨论。

正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<，
若2450m m +-=时，则m=1或m=5
若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立；
若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。

所以m 的取值范围为119m ≤<
（三）、漏端点致误
例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________
错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤
若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。

剖析：上面的解法错误原因在于忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<，满足A B φ=；当31a +=-时，即4a =-时也满足A B φ=。

正解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a ≥+≤-或，解得24a a ≥≤-或，所以实数a 的取值范围是
24a a ≥≤-或。

(四)、条件非充要致误
例题4：若方程2(2)50x m m +-+-=的两根均大于2，求实数m 的取值范围。

错解：设两根为12,x x ，则有题意可得：1212044x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩2(2)(5)02454m m m m ⎧---≥⎪⇒->⎨⎪->⎩
解得4m ≤-
剖析：错在124x x +>且124x x >与1222x x >>且不等价，事实上，由后者可以推出前者，但是由前者却推不出后者。

正解：设两根为12,x x ，则有题意可得：
12120(2)(2)0(2)(2)0x x x x ∆≥⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩2(2)(5)02454m m m m ⎧---≥⎪⇒->⎨⎪+>⎩
解得54m -<≤-
二基本不等式的易错题
（一）、忽视条件——正数
例题5：已知,x y R ∈，且1x y +=，求证14
xy ≤
错解：由基本不等式得x y +≥
剖析：公式x y +≥的使用的前提条件时x,y 均为正数，错解忽视了这个前提条件
正解：2221()222x y x y xy xy xy =+=++≥+
当且仅当x y =时取“=”
（二）忽视条件二——定值
例题:6：若0,,02a b πθ⎛⎫∈>> ⎪⎝⎭，求2222()cos sin a b f θθθ=+的最小值。

错解：222222()cos sin sin sin cos a b ab f θθθθθθθ=+≥= 当且仅当2222cos sin a b θθ=，即tan b a
θ= 此时2222442()2tan sin cos sin 21tan ab ab ab a b θθθθ
θ
===++
即[]22min ()2()f a b θ=+
剖析：使用基本不等式求函数的最值时，需验证“一正二定三相等”的条件，上述解法违背了第二条“二定值”要求0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
内的任意一个值时不等式的右边均为定值。

正解：22
22()cos sin a b f θθθ
=+
当且仅当2
22
2tan tan b a θθ=，即当tan θ=时， 所以()f θ的最小值为2()a b +
（三）、忽视条件三——相等
1、忽视等号是否成立
例题7：求函数2
y =的最小值。

错解：函数22
2y ===≥
所以函数的最小值为2。

剖析：使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即
a b a b +≥=才能取等号。

上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的。

正解：22
y ===1y t t
=+在2t ≥时是单调递增的， 故函数的最小值是52
2、多次使用，忽视等号是否同时成立
例题8：已知两个正实数,x y ，满足4x y +=，求14x y
+的最小值
错解：由已知得44x y xy =+≥≤ 所以14x y
+最小值是2 剖析：上述解法中两次使用基本不等式，其中4xy ≤等号成立必须满足x y =，
而14x y +≥的等号成立时，必须有4x y =，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的。

正解：141444()()()59x y x y x y x y y x
+=++=++≥ 当且仅当14x y
=且4x y +=， 即48,33
x y ==时取等号， 即14x y +最小值为94。