1-1初等函数

x 例如 y cos , y 2
x u , u cos v , v . 2
由常数和基本初等函数经过有限次四则运 算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式 子表示的函数,称为初等函数.
3.对数函数
y log a x ( a 0, a 1)
y ln x
y log a x

(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
对数函数都过点(1,0) ，当底数大于1时单增，底数 小于1时单减.
4.三角函数 正弦函数 y sin x
正弦函数是以 2为周期的周期函数 ,
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ), 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o
偶函数
f ( x)
x x
注 偶函数的图形关于 轴是对称的 y .
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ),
称 f ( x )为奇函数;
y
y f ( x)
f ( x)
-x o x x
f ( x )
奇函数
注 奇函数的图形关于原点 是对称的.
4．函数的周期性
设函数f ( x )的定义域为D，如果存在一个不为零 的 数l , 使得对于任一x D, ( x l ) D, 且f ( x l ) f ( x ) 恒成立.则称f ( x )为周期函数，l 称为f ( x )的周期.( 通 常说周期函数的周期是 指其最小正周期).
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湖南石油化工职业技术学院 基础课部数理教研室
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
解
f [ g ( x )]=[ g ( x )] =( 2 ) = 4 , g [ f ( x )] = 2
2
x 2
x
f ( x)
= 2 .
x2
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 例如 y arcsin u, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 ). 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
集.如果对于每个数 x D，变量 y按照一定的法则总 有确定的数值和它对应 ，则称 y是 x的函数，记作 y f ( x ).数集 D叫做这个函数的定义域 x叫做自变 ， 量，y叫做因变量.
y f ( x)
因变量 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
D ( , ), W 1,1 .
余弦函数 y cos x
D ( , ), W 1,1 .
余弦函数是以 2为周期的周期函数 ,
正切函数 y tan x
y tan x
正切函数是以 为周期的周期函数 ,它是奇函数 .
D x : x R, x n 2 , n Z .
a
点a 叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
点a的去心的邻域, 记作U (a , ).
a
x
U (a , ) { x 0 x a }.
二、函数概念
引例 汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，那么行 驶里程与时间有什么关系？ 解析：
定义 设 x和 y是两个变量，D是一个给定的数
[a, ) { x a x }, ( , b ) { x x b}.
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域:
设a与是两个实数 , 且 0,
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
U (a , ) { x a x a }.
故 D [ 3, 1].
0 x 3 1, 1 x 3 2. 3 x 2, 2 x 1.
三、函数的特性
1．函数的有界性
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b)
o
a
b
x
{ x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b]
o
a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b). 称为半开区间, 记作 (a , b]. 有限区间 无限区间
反正切函数 y arctan x
y arctan x
D ( , ) , W ( 2 , 2 ) .
反余切函数 y arc cot x
y arc cot x
D ( , ) , W (0, ) .
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.（简称：幂、 指、对、三、反。）
函数的两要素: 定义域与对应法则.
x
D
f f ( x)
W
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x 2 , 1 例如， y , 2 1 x
D [1,1],
D (1,1).
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
四、反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y 反函数 y ( x )
Q ( b, a ) P (a , b)
直接函数y f ( x )
x
o
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
四 、 初等函数
1、基本初等函数
函数名称
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f (x)
2.复合函数
初等函数
定义 若函数y f ( u)的定义域为D1 ,函数u ( x ) 的定义域为D2 , 值域为W2 , 并且W2 D1 , 那么对于 每个数值 x D2 , 有确定的数值 u W2与之对应.由 于W2 D1 , 这个值 u 也属于 y f ( u)的定义域 D1 , 因此有确定的值 y与值 u对应.这样，对于每个数 值x D2 , 通过 u有确定的数值 y与之对应，从而 得到一个以 x为自变量、y为因变量的函数，这 个函数称为由函数 y f ( u)及u ( x )复合而成 的复合函数，记作 y f ( x ) , u称为中间变量 .
2
1
(0, )上单增. y x 1的图象过点(1,1)，在(0, ) 上单减.
2.指数函数 y a ( a 0, a 1)
x
ye
xyeBiblioteka x1 x y( ) a
y ax
(a 1)

(0,1)
y a x过点(0,1)，当a 1 时单增，当0 a 1 时单减 .
y x2 1
x 0, 的定义域和值域. x 0.
y 2x 1
解： D ( , ),
W 1, .
1 sin , x 0 例2 求函数y x 的定义域和值域. 0, x 0
解 显然该函数的定义域为R .
1 又因为 sin 1, x
y
M y=f(x) o -M 有界 M
y
x
X
x0
o -M 无界 X
x
2．函数的单调性
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
例2
分析下列复合函数的结构：
⑴ y=
x cot 2
;
⑵ ye
x v . 2
sin x 2 1
.
解 ⑴ y = u , u cot v ,
⑵ y= e ,
u
2
u sin v ,
x
v t ,
t x 1.
2
例 3 设 f ( x) x , g ( x) 2 , 求 f g (x), g f (x) .
反三角函数 y = arcsin x , y arccotx
y arccos x ,
y arctan x
基本初等函数
1.幂函数 y x ( 是常数)