所有基本初等函数
基本初等函数
基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
高中六大基本初等函数
高中六大基本初等函数函数在数学中具有重要的地位，它是研究数学问题的基本工具。
在高中数学中，有六大基本初等函数，它们分别是常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
下面我们将逐个介绍这六大函数的定义、特点和应用。
常数函数是最简单的函数之一，它的定义域是全体实数集，值域只有一个常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。
常数函数的特点是在定义域内的任何一个点上，函数值都相等。
常数函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学中，常数函数可以表示物体的匀速直线运动。
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个常数。
幂函数的定义域是正实数集，值域也是正实数集。
幂函数的图像形状随着指数n 的不同而变化，当n>1时，函数图像是上升的开口向上的曲线；当0<n<1时，函数图像是下降的开口向下的曲线。
幂函数在实际问题中有很多应用，例如在经济学中，幂函数可以描述价格与销量之间的关系。
指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且a≠1。
指数函数的定义域是全体实数集，值域是正实数集。
指数函数的图像是上升的开口向上的曲线。
指数函数在数学中有许多重要的性质和应用，例如在金融学中，指数函数可以描述复利的增长过程。
对数函数是指数函数的反函数，它的定义域是正实数集，值域是全体实数集。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它与指数函数的图像关于y=x对称。
对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如在工程学中，对数函数可以描述信号的衰减过程。
三角函数是以单位圆上的点坐标为函数值的函数，它们包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是全体实数集，值域是[-1,1]。
三角函数的图像是周期性的波动曲线。
三角函数在物理学、工程学等领域有许多应用，例如在力学中，正弦函数可以描述物体的周期性振动。
反三角函数是三角函数的反函数，它们包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反三角函数的定义域和值域与对应的三角函数相反。
微积分初等函数
2017/9/20
Edited by Lin Guojian
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非初等函数
最常见的非初等函数是分段函数,隐函数,变限积分,幂级数等.
例 : 狄立克莱(Dirichlet)函数(非初等函数)
y
=
D(x)
=
1 0
当x为有理数 当x为无理数
2017/9/20
Edited by Lin Guojian
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同一坐标系中幂函数的图象
y = xα (α是常数)
y
y = x2
1
y= x y= x
(1,1)
y= 1 x
o1
x
2017/9/20
Edited by Lin Guojian
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2.指数函数的图形
2017/9/20
Edited by Lin Guojian
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同一坐标系中指数函数的图象
y = ax (a > 0, a ≠ 1)
例 : 方程x2 + y2 = 1, x ∈[−1,1], y ∈[−1,1]在(x, y) = (−1,0)与(x, y) = (1,0)附近不能 确定一个隐函数y = f (x).
y
注 : 方程x2 + y2 = 1有参数形式表示.
o
x
x = ϕ(t) = sin t
即
y
=ψ
(t)
=
cos
t
由于[ f (x)]g(x) = eg(x)ln f (x) ,故幂指函数是初等函数.
例: x x = exln x (x > 0)
1
1 ln x
x x = e x (x > 0)
1
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 α1.2.幂函数的性质；21xy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为∈x，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点-∞(+∞,)处与x轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数；m时，n为偶数时函数的定义3）当α为正有理数n域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n图形于x轴相切，如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减；2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ； 1xa.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）； a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) nm n m a a a +=⋅ (2) n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n nb a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，f x xxx g ⎪⎫⎛=1)(⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a an m nm (2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 Nab=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作bN a=log,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N alog 叫做对数式。
基本初等函数
基本初等函数初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。
基本初等函数包括以下几类：(1)常数函数y=c（c为常数）（2）幂函数y=x^a（a为常数）(3)指数函数y=a^x（a>0,a≠1）(4)对数函数y=log(a)x（a>0,a≠1，真数x>0）(5)三角函数和反三角函数(如正弦函数:y=sinx反正弦函数：y=arcsinx等）幂函数定义：一般来说，形状如y=xα(α具有理数的函数，即以底数为自变量，幂为变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/xy=x0时x ≠0)等等都是幂函数。
一般形式如下：（α它是常数，可以是自然数、有理数，也可以是任复数。
指数函数定义：指数函数是数学中的一个重要函数。
应用于值e的函数写为exp(x)。
也可以等价写作ex，e是数学常数，是自然对数的底数，近似等于2.718281828，又称欧拉数。
一般形式如下：（a>0,a≠1）对数函数定义：一般来说，函数y=logax（a>0，且a≠1)称为对数函数，即以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量函数，称为对数函数。
x是自变量，函数定义域为(0、∞），即x>0.它实际上是指数函数的反函数，可以表示为x=ay。
因此，指数函数中对a的规定也适用于对数函数。
一般形式如下：（a>0,a≠1，x>0,特别当α=e时，记为y=lnx）常见的三角函数主要有以下六种：正弦函数：y=sinx余弦函数：y=cosx正切函数：y=tanx余切函数：y=cotx正割函数：y=secx余割函数：y=cscx此外，还有正矢、余矢等罕见的三角函数。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数1(yf (xx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n n b a ab=b.根式的性质；(1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，f xxxx g ⎪⎫⎛=1)(记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像及其性质
，
的函数图像关于y轴对称。
时，a值越大，
的图像越靠近y轴；
时，a值越大，
的图像越远离y轴。
4.指数的运算法那么〔公式〕；
；
(1)
(2)
(3)
(4)
b.根式的性质；
(1) ； (2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
c.分数指数幂；
(1)
(2)
四、对数函数 ( 是常数且 )，定义域 [无界]
六大根本初等函数图像及其性质
一、常值函数〔也称常数函数〕y =C〔其中C为常数〕；
常数函数〔 〕
y
y
O
O
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
二、 幂函数 ， 是自变量， 是常数；
：
2.幂函数的性质；
性质
函数
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇偶性
3〕当α为正有理数 时，n为偶数时函数的定义域为〔0, +∞〕，n为奇数时函数的定义域为〔-∞,+∞〕，函数的图形均经过原点和〔1 ,1〕；
4〕如果m>n图形于x轴相切，如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称；
5〕当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子 叫做对数式。
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所有基本初等函数
基本初等函数是数学中的重要概念，它包括了常见的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在数学中具有广泛的应用，在科学、工程、经济等领域中发挥着重要作用。
下面将逐个介绍这些基本初等函数。
1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在代数学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述两个变量之间的简单关系。
2. 幂函数：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
当a为正数时，幂函数的图像是一个递增的曲线；当a为负数时，幂函数的图像是一个递减的曲线。
幂函数在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，可以用来描述面积、体积、速度等随着变量的变化而变化的关系。
3. 指数函数：指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在金融学、生物学等领域中有广泛的应用，可以用来描述复利增长、生物种群的增长等现象。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x) = loga(x)，其中a是常数。
对数函数的图像是一条递增的曲线，具有
对数增长的特点。
对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。
5. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标为基础定义的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的图像是周期性的波形，具有周期性和振荡的特点。
三角函数在物理学、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来描述波动、振动等现象。
6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
反三角函数可以用来求解三角方程或描述角度关系。
反三角函数在几何学、三角测量等领域中有广泛的应用，可以用来计算角度、求解三角形等问题。
7. 指数对数函数：指数对数函数是指数函数和对数函数的复合函数，形如f(x) = a^loga(x)，其中a是常数。
指数对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。
8. 双曲函数：双曲函数是一类与三角函数类似的函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用，可以用来描述电磁场、弹性力学等问题。
9. 反双曲函数：反双曲函数是双曲函数的逆函数，包括反双曲正弦
函数、反双曲余弦函数、反双曲正切函数等。
反双曲函数在数学分析、微积分等领域中有广泛的应用，可以用来求解微分方程、计算积分等问题。
基本初等函数是数学中的重要概念，包括了线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在不同领域中发挥着重要作用，可以用来描述各种变化关系、求解问题、计算数值等。
熟练掌握基本初等函数的性质和用法，对于理解数学和应用数学都具有重要意义。