第1部分 第13讲中考数学函数

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知识点二 二次函数与几何的综合
1．最值问题 当二次函数的自变量 x 取全体实数时，我们可将二次函数的一般式 y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)化成顶点式 y＝a(x＋2ba)2＋4ac4－a b2，直接可得函数最值为4ac4－a b2，也就是抛物 线顶点的纵坐标． 2．存在性问题 注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解(求 出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求出的结果不符 合题目要求)，则假设不成立，即不存在．
(3)如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于
点G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC.
①求证：四边形ACBD是菱形；
②若已知抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，请求出m的值．
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图1
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图2
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(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 A1，A2，…，An 在直线 y＝－2x 上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n 为正 整数，且 n≤12)，分别过每个顶点作 x 轴的垂线，垂足记为 B1，B2，…， Bn，以线段 AnBn 为边向左作正方形 AnBnCnDn，如果这组抛物线中的 某一条经过点 Dn，求此时满足条件的正方形 AnBnCnDn 的边长．
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(3)①证明：抛物线 C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，则 A(－m，m2)， 抛物线 C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则 B(n，n2)． 当 x＝－m 时，y＝(x－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则 C(－m，m2＋2mn＋2n2)．
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知识点一 二次函数的应用
1．解题步骤 (1)根据题意得到二次函数的解析式； (2)根据已知条件确定自变量的取值范围； (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大(小)值． 【注意】 二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大(小)值，一定要结合 实际问题中的自变量的取值范围确定最大(小)值．
难点
例 1 我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，对于这样的 抛物线：
(1)当抛物线经过点(－2,0)和(－1,3)时，求抛物线的表达式； 【解题思路】由于y＝ax2＋bx中有两个待定系数a，b，代入两个点的坐标，便 能得到一个关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可．
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(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值； 【解题思路】先由顶点公式用含有a，b的式子表示出抛物线的顶点，再由顶点 在直线y＝－2x上，求出b的值．
【解答】y＝ax2＋bx＝a(x2＋bax＋4ba22)－4ba2 ＝a(x＋2ba)2－4ba2 ， ∴顶点坐标为(－2ba，－4ba2 )． ∵顶点在直线 y＝－2x 上， ∴－4ba2＝－2(－2ba)，解得 b1＝－4，b2＝0.
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(1)解：∵①y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋12，②y＝(x－3)2＋3＝(x－3)2＋( 3)2，③y＝
(x－ 2)2＋( 2)2，④y＝x2－x＋12＝(x－12)2＋(12)2， ∴①与③互为派对抛物线，①与④互为派对抛物线． (2)证明：当 m＝1，n＝2 时，抛物线 C1：y＝－(x＋1)2＋1，抛物线 C2：y＝(x－2)2
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【解答】这组抛物线的顶点 A1，A2，…，An 在直线 y＝－2x 上， 由(2)可知，b＝－4 或 b＝0. ①当 b＝0 时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去； ②当 b＝－4 时，抛物线的表达式为 y＝ax2－4x. 由题意可知，第 n 条抛物线的顶点为 An(－n,2n)，则 Dn(－3n,2n)， ∵以 An 为顶点的抛物线不可能经过点 Dn，设第 n＋k(k 为正整数)条抛物线经过点 Dn，此时第 n＋k 条抛物线的顶点坐标是 An＋k(－n－k,2n＋2k)， ∴－2ba＝－n－k，∴a＝2nb＋k＝－n＋2 k，
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2．常考题型 抛物线型的二次函数的实际应用，此类问题一般分为四种： (1)求高度，此时一般是求二次函数图象的顶点的纵坐标，或根据自变量的取值 范围，利用函数增减性求二次函数的最值； (2)求水平距离，此时一般是令函数值y＝0，解出所得一元二次方程的两个根， 求两根之差的绝对值； (3)用二次函数求图形面积的最值问题； (4)用二次函数求利润最大问题．
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重难点 二次函数与几何图形结合
＋4， 故 A(－1,1)，B(2,4)． ∵AC∥BD∥y 轴， ∴点 C 的横坐标为－1，点 D 的横坐标为 2. 当 x＝－1 时，y＝(x－2)2＋4＝13，则 C(－1,13)， 当 x＝2 时，y＝－(x＋1)2＋1＝－8，则 D(2，－8)， ∴AC＝13－1＝12，BD＝4－(－8)＝12，∴AC＝BD.
＋12，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是_①__与__③__，__①__与__④___(请在横线上填写抛物 线的数字序号)；
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(2)如图1，当m＝1，n＝2时，求证：AC＝BD；
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(2019·南昌十校联考)已知抛物线 C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线 C2：y＝(x －n)2＋n2(n＞0)，称抛物线 C1，C2 互为派对抛物线．
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2．已知二次函数 y＝x2 的图象与一次函数 y＝2x＋1 的图象相交于 A，B 两点，点 C 是线段 AB 上一动点，点 D 是抛物线上一动点，且 CD 平行于 y 轴，在移动过程中 CD 最大值为__2__.
∴AB⊥CD，
∴四边形 ACBD 是菱形．
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②解：∵抛物线 C2：y＝(x－2)2＋4，则 B(2,4)， ∴n＝2，∴AC ＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8. ∵A(－m，m2)，∴C(－m，m2＋4m＋8)， ∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4. ∵四边形 ACBD 是菱形，∴BC＝BD， ∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2. 即(m＋2)4＝15(m＋2)2. ∵m＞0，∴(m＋2)2＝15，
【解题思路】第一步：根据(2)的结论可知 b 的值，求出抛物线的表达式； 第二步：由题意可知，第 n 条抛物线的顶点 An 和 Dn 的坐标； 第三步：设第 n＋k(k 为正整数)条抛物线经过点 Dn，此时第 n＋k 条抛物线的顶点 坐标 An＋k 可求出，从而得到第 n＋k 条抛物线的表达式； 第四步：根据 Dn 在第 n＋k 条抛物线上，列方程解得 k＝45n，进而求解即可．
例如：抛物线 C1：y＝－(x＋1)2＋1 与抛物线 C2：y＝(x－ 2)2＋2 是派对抛物线．已 知派对抛物线 C1，C2 的顶点分别为 A，B，抛物线 C1 的对称轴交抛物线 C2 于点 C，抛 物线 C2 的对称轴交抛物线 C1 于点 D.
(1)已知抛物线：①y＝－x2－2x，②y＝(x－3)2＋3，③y＝(x－ 2)2＋2，④y＝x2－x
当 x＝n 时，y＝－(x＋m)2＋m2＝－2mn－n2，
则 D(n，－2mn－n2)，
∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，
BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2，
∴AC＝BD，∴四边形 ACBD 为平行四边形．