巧用直线与圆的位置关系解题
直线与圆题型及做题技巧
直线与圆题型及做题技巧
一、直线与圆题型
1、求圆与直线的位置关系，即直线是否与圆相交，相交的情况有几种；
2、求直线与圆的交点；
3、求圆与直线的切线；
4、求直线与圆的关系，即圆是否在直线内部，圆是否完全包含在直线外面；
5、求直线上一点到圆的距离；
6、求圆上一点到直线的距离；
7、求圆心到直线的距离；
8、求圆的切点；
9、求圆的外切线；
10、求圆的内切线；
二、做题技巧
1、首先应该判断出圆与直线的位置关系，其次才能确定
解题思路；
2、要分析圆的参数方程和直线的参数方程，并将它们进
行比较；
3、从圆的数学定义出发，可以把问题转化为求解二元一
次方程组；
4、可以利用圆心到直线的距离公式求解；
5、可以利用圆上一点到直线的距离公式求解；
6、可以利用圆的切点求解，如果圆与直线不相交，可以
求出两个切点；
7、可以利用圆的外切线求解，此时可以求出一条外切线；
8、可以利用圆的内切线求解，此时可以求出一条内切线；
9、可以利用圆的半径求解，如果圆与直线不相交，可以
求出直线与圆的距离；
10、可以利用三角法求解，如果圆与直线不相交，可以求出直线与圆的距离。
总之，在做直线与圆的题目时，首先要分析出圆与直线的位置关系，然后根据圆和直线的数学定义，把问题转化为求解
二元一次方程组的形式，再利用相关公式解出相应的解，最后根据题目要求，得出结果。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°∴在中，∠C=45°∴ CD=AD∵ BC=6cm ∴∴∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．AD由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．练习：1.如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于B 点，弦AC 的延长线与BD 交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC 长为________．D2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，过点P 的任一直线交⊙O 于B 、C ，•连结AB 、AC ，连PO 交⊙O 于D 、E ．（1）求证：∠PAB=∠C ．（2）如果PA 2=PD ·PE ，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O 的半径．_A_P答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为32．。
巧用直线与圆的位置关系解题
巧用直线与圆的位置关系解题
吕二动
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2012(000)021
【摘要】直线与圆的位置关系有：相离、相切、相交3种．若设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有：①当d〉r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d〈r时，直线与圆相交．在解题中，如果能巧妙的利用直线与圆的位置关系，可以简捷、巧妙的解决许多问题．
【总页数】1页(P21)
【作者】吕二动
【作者单位】陕西省西安市高新区高新第三中学
【正文语种】中文
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直线和圆位置关系的判定
判定直线与圆的位置关系常见的方式(1)几何法：利用弦心距d 与半径r 的关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程，再利用Δ判定．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．上述方式中最经常使用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．例一、已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； 方式一：证明：由⎩⎨⎧=++-+=12)1()1(122y x kx y ，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为∆＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． 方式二：证明：圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23， R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，因此R 2－d 2>0，即d <R ，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方式三：证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝R ，因此点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总通过圆C 内部的定点P .因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．点评：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一路综合考虑，不要单纯依托代数计算，如此既简单又不容易犯错．针对性练习：1．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分没必要要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜12.已知点P(a,b)(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax+by=r 2,那么( )(A)m ∥l ,且l 与圆相交 (B)m ⊥l ，且l 与圆相切 (C)m ∥l ,且l 与圆相离 (D)m ⊥l ,且l 与圆相离解析：选C.直线m 的方程为()a y b x a ,b -=-- 即ax+by-a 2-b 2=0,∵P 在圆内，∴a 2+b 2<r 2,∴m ∥l , ∵圆心到直线l 的距离222r d r,a b=>+ ∴直线l 与圆相离. 3．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①假设点P 在圆O上，那么直线l 与圆O 相切；②假设点P 在圆O 外，那么直线l 与圆O 相离；③假设点P 在圆O 内，那么直线l 与圆O 相交；④不管点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依照点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，假设点P 在圆O 上，那么x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；假设点P 在圆O 外，那么x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；假设点P 在圆O 内，那么x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．选A4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.假设点P 到直线l 的距离为2，那么符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，那么知足题意的点P 有2个．答案：25．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_______。
专题07 直线与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题07直线与圆的位置关系【知识梳理】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．（2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断：当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离．3、圆的切线方程的求法（1）点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．（2）点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12||l x x =-．【专题过关】【考点目录】考点1：直线与圆的位置关系考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用考点3：切线问题考点4：切点弦问题考点5：弦长问题考点6：面积问题考点7：直线与圆中的定点定值问题【典型例题】考点1：直线与圆的位置关系1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点(,)P a b 在圆221x y +=上，则直线10ax by +-=与圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【答案】B【解析】由题意得221a b +=，又1d r ===，即直线与圆相切故选：B3．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）直线:(1)(1)20()l a x a y a a R ++-+=∈与圆222270C x y x y +-+-=：的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】B【解析】圆222270x y x y +-+-=，即22(1)(1)9x y -++=，表示以(1,1)-为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d =再根据2222248474799221a a a a d a a ++-+-=-=++，而27470a a -+=的判别式∆161961800=-=-<，故有29d >，即3d <，故直线和圆相交，故选：B ．4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y 为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =．当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B5．（2021·浙江台州·高二期中）直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．22m -≤≤B ．22m -<<C ．2m <-或2m >D ．2m ≤-或2m ≥【答案】B【解析】因为直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点所以圆心到直线的距离小于圆的半径圆心为()0,0，半径1r =1<，整理得：2m <解得：22m -<<故选：B ．6．（多选题）（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A ．直线l 与圆C 相离B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d ==，所以可知选项B ，D 正确，选项A ，C 错误．故选：BD7．（2021·四川眉山·高二期中）圆222440x y x y +-+-=与直线2140()tx y t t R ---=∈的位置关系为__________．【答案】相交【解析】由2140()tx y t t R ---=∈得(24)10()x t y t R ---=∈，令240,10,2, 1.x y x y -=--=∴==-所以直线过定点(2,1)P -．把(2,1)P -的坐标代入圆的方程的左边得到414440+---<，所以点(2,1)P -在圆内，所以直线和圆相交．故答案为：相交8．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，则实数b 的取值范围是___________．【答案】(-【解析】根据题意得圆C 的圆心为()0,0，半径为2r =，因为圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，1r <+3<，解得b -<<所以实数b 的取值范围是(-故答案为：(-9．（2022·全国·高二课时练习）已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______．【答案】()13,13-【解析】由圆的方程知其圆心为()0,0，半径2r =，设圆心到直线1250x y c -+=的距离为d ，则13c d =；圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则1cd =<，解得：1313c -<<，所以实数c 的取值范围是()13,13-．故答案为：()13,13-．考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用10．（2021·安徽·马鞍山二中高二期中）已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点(6,0)Q 所连线段的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）设(,)M x y ，因M 是线段PQ 的中点，而点(6,0)Q ，则有点(26,2)P x y -，因P 在圆：22(2)36x y ++=上，于是得：22(26)(22)36x y -++=，化简得：22(3)(1)9x y -++=，所以点M 的轨迹方程是：22(3)(1)9x y -++=．（2）假定存在符合条件的直线l ，当l 斜率不存在时，直线:0l x =与圆M 相切，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：3y kx =-，由223(3)(1)9y kx x y =-⎧⎨-++=⎩消去y 并整理得：22(1(64))40k x k x +-++=，则()22(64)1610k k ∆=+-+>，解得512k >-，122641kx x k ++=+，12241x x k =+，由2121212212()4x x x x x x x x +=⇔+=，得2226416()11k k k +=++，解得512k =-，与512k >-矛盾，所以不存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=．11．（2021·云南大理·高二期中）已知圆C 的圆心C 在直线40x y +-=上，且圆C 经过()2,0M ，()0,2N 两点．（1）求圆C 的方程；（2）已知点()0,P m ，过原点的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⊥．若13m <<，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】（1）设(),C a b ，则222240(2)(2)a b a b a b +-=⎧⎨-+=+-⎩，解得2a =，2b =．从而圆C 的半径2r ==，故圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=（或224440x y x y +--+=）．（2）设直线l ：y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ．联立224440y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩，整理得()2214(1)40k x k x +-++=，则1224(1)1k x x k ++=+，12241x x k =+．因为A ，B 两点在直线l 上，所以11y kx =，22y kx =，所以212241ky y k =+，1224(1)1k k y y k ++=+．因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以12121y m y mx x --⋅=-，即()21212120x x y y m y y m +-++=，则22222444(1)0111k mk k m k k k ++-+=+++，即24(1)41k k m k m+=++．因为()1,3m ∈，所以[)44,5m m+∈，所以24(1)451k k k +≤<+，解得1k ³．12．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点()1,3M -，()6,4N 且圆心G 在x 轴．（1）求圆G 的标准方程；（2）圆G 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于B ，C 两点，且5AB AC k k ⋅=-，求证：直线BC 恒过定点．【解析】（1）由题意设圆心为(,0)G a=3a =，5r ==，所以圆G 方程为22(3)25x y -+=；（2）在圆方程中令0y =得2x =-或8x =，所以(2,0)A -，BC 斜率存在时，设BC 方程为y kx m =+，设1122(,),(,)B x y C x y ，由()22x 325y kx m y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得222(1)2(3)160k x km x m ++-+-=，2224(3)4(1)(16)0km k m ∆=--+->，即22166250k m lm --+>（*），1222(3)1km x x k -+=-+，2122161m x x k -=+，12121212()()22(2)(2)AB ACy y kx m kx m k k x x x x ++=⨯=++++2212121212()52()4k x x km x x m x x x x +++==-+++，22222222(16)2(3)5(16)20(3)201111k m km km m km m k k k k ------+=+-++++，化简得223720m km k -+=，(2)(3)0m k m k --=，所以2m k =或3k m =，都满足（*）式．2m k =时，方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，舍去，3k m =时，方程为3y mx m =+，过定点1(,0)3-，BC 斜率不存在时，1111(,),(,)B x y C x y -，21152AB ACy k k x ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，22115(2)y x =+，又2211(3)25x y -+=，12x ≠-，解得113x =-，因此BC 也过点1(,0)3-．综上，直线过定点1(,0)3-．13．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．【解析】（1）圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)，半径1r =设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=因为直线l 与圆C 1<，解得403k <<．所以k 的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立()()222231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得()()2212440k x k x +-++=，所以122241k x x k ++=+，12241x x k =+，所以()()()21212121224212481k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=++uuu r uuu r ．由题设得()2428121k k k ++=+，解得12k =，所以直线l 的方程为122y x =+，所以圆心(2,3)C 在直线l 上，所以2MN =．14．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆C 经过两点A （2，2），B （3，3），且圆心C 在直线x －y +1=0上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值．【解析】（1）设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+，0∆>，所以21212121224(1)64(1)()1851k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以||MN 考点3：切线问题15．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上（1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程．【解析】（1）因圆心C 在直线:20l x y --=上，则设(,2)C a a -，由||||CA CB =得：，解得0a =，因此，圆心(0,2)C -，半径||5r CA ==，所以圆C 的方程为：22(2)25x y ++=．（2）设过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为：(5)(8)0m x n y -+-=，220m n +≠，5=，整理得：2430mn n +=，解得0n =或34m n =-，当0n =时，切线方程为：50x -=，当34m n =-时，切线方程为：34170x y -+=，所以过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为50x -=或34170x y -+=．16．（多选题）（2021·湖北·高二期中）设有一组圆()()()22:4k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点()3,0C ．存在定直线与圆k C 都相切D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个【答案】AC【解析】根据题意，圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2；依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确；对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，364040=-=-<，方程无解，B 错误；对于C ，存在直线y x =±0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =，这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，将(2,2)代入圆的方程可得22(2)()42k k -+=-，解得2k =D 错误；故选：AC ．17．（2021·安徽滁州·高二期中）过圆22:4O x y +=上一点(P -作圆O 的切线l ，则直线l 的方程是（）A ．40x -=B ．20x +-=C ．20x +=D ．40x +=【答案】D【解析】由题意点(P -为切点，所以1OP l k k ⋅=-，又OP k =l k =因此直线l 的方程为40x +=．故选：D18．（2021·天津市咸水沽第二中学高二期中）过点(3,1)M 作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（）A ．40x y +-=B ．40x y +-=或3x =C ．20x y --=D ．20x y +-=或3x =【答案】C【解析】根据题意，设圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0的圆心为C ，圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0，即()()22138-+-=x y ，其圆心为（1，3），又由点M 的坐标为（3，1），有()()2231138-+-=，即点M 在圆上，则13131-==--MC k ，则切线的斜率k ＝1，则切线的方程为y ﹣1＝（x ﹣3），即x ﹣y ﹣2＝0；故选：C ．19．（2021·山东济宁·高二期中）过点()2,3P -的直线l 与圆222230x y x y ++--=相切，则直线l 的方程是（）A ．2x =-或280x y -+=B ．280x y -+=C ．2x =-或210x y ++=D ．210x y ++=【答案】B【解析】把圆222230x y x y ++--=化为标准方程得：()()22115x y ++-=．因为()2,3P -在圆上，所以过P 的切线有且只有一条．显然过点()2,3P -且斜率不存在的直线：2x =-与圆相交，所以过P 的切线的斜率为k ．因为切线与过切点的半径垂直，所以()13112k -=----，解得：12k =，所以切线方程为：()1322y x -=+，即280x y -+=．故选：B20．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（）AB C D ．【答案】C【解析】由圆()()22:124C x y -+-=，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C21．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（理））直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ ==，故选：B ．22．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆22:25C x y +=上一点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为__________．【答案】43250x y --=【解析】由题意，圆22:25C x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，因为()4,3A -，则303404CA k --==--，则过点()4,3A -且与圆相切的直线的斜率为43k =，根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为4(3)(4)3y x --=-，即43250x y --=，即点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为43250x y --=．故答案为：43250x y --=23．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P （4，2）的圆的切线方程是________．【答案】2100x y +-=【解析】由224220+=知P 在圆C 上，而(0,0)C ，2142PC k ==，所以所求切线斜率为2k =-，方程为22(4)y x -=--，即2100x y +-=．故答案为：2100x y +-=．24．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ===，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=．综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=25．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））过直线34140x y ++=上的动点P 作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为____________．【解析】根据题意，圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，其圆心(1,2)，半径2r =；设圆心为C ，即(1,2)C ；则有2222||||||||4PA PC AC PC =-=-，当||PC 取得最小值时，切线长||PA 最小，因为||PC 5=，则||PA=26．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知圆224470x y x y +-++=与直线20x ay --=相切，则=a ___________．【答案】33【解析】()()22224470221x y x y x y +-++=⇒-++=，圆的圆心为（2，－2），半径r ＝1，()()2222311a a a -⋅--=⇒=+-故答案为：33±．考点4：切点弦问题27．（2021·福建宁德·高二期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=．故答案为：210x y --=．28．（2021·广东·广州市第六十五中学高二期中）过点()5,3P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_________．【答案】5390x y +-=【解析】根据题意，过点(5,3)P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则2||||95PA PO =-，则以P 为圆心，PA 为半径为圆为22(5)(3)25x y -+-=，即圆2210690x y x y +--+=，AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有2222910690x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩，变形可得：5390x y +-=；即直线AB 的方程为5390x y +-=，故答案为：5390x y +-=29．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆22:4O x y +=，过动点(),4P a a +分别做直线PM 、PN 与圆O 相切，切点为M 、N ，设经过M 、N 两点的直线为l ，则动直线l 恒过的定点坐标为__________．【答案】()1,1-【解析】设点()00,Q x y 为圆O 上一点，当OQ 的斜率存在且不为零时，直线OQ 的斜率为0y x ，此时，圆O 在点()00,Q x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，即2200004x x y y x y +=+=，当OQ 与x 轴重合时，00y =，204x =，此时切线方程为0x x =，满足004x x y y +=，当OQ 与y 轴重合时，00x =，204y =，此时切线方程为0y y =，满足004x x y y +=．综上所述，圆O 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为004x x y y +=．设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线PM 的方程为114x x y y +=，直线PN 的方程为224x x y y +=，由题意可得()()11224444ax a y ax a y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，所以，点M 、N 的坐标满足方程()440ax a y ++-=，故直线MN 的方程为()440ax a y ++-=，即()()440a x y y ++-=，由0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过的定点坐标为()1,1-．故答案为：()1,1-．30．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线:10()l x ay a +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴．过点(4,)A a -作圆C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则直线BD 的方程为（）A ．350x y +-=B ．250x y +-=C ．350x y -+=D ．250x y +-=【答案】A【解析】根据题意，圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，即圆心为C （2，1），半径为2．∴点（2，1）在直线10x ay +-=上，即2101a a +-=∴=-∴点A 的坐标为（-4，-1）AC ∴==∴过点A 作圆C 的切线所得切线长为6=∴以点A 为圆心，6为半径的圆A 的方程为()()224136x y +++=圆A 与圆C 的方程作差得350x y +-=，即直线BD 的方程为350x y +-=故选：A ．31．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点()1,1P 作圆C ：224470x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．30x y +-=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．10x y +-=【答案】A【解析】224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，圆心为()2,2，半径1r =．当斜率不存在时，直线1x =与圆相切，切点为()1,2；当斜率为0时，直线1y =与圆相切，切点为()2,1．故直线方程为斜率21112k -==--，直线方程为()12y x =--+，即30x y +-=．故选：A ．32．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点 O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、 Q ，则线段PQ 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=，∴圆心(3,4)C ，半径r =，则有5OC =，故切线段长l ==若线段PQ 的长为x ，则2xOC l r ⋅=⋅，得4x =．故选：B ．考点5：弦长问题33．（2021·广东·化州市第三中学高二期中）过点M （2，2）的直线l 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为_____；此时直线l 的方程为_______．【答案】4260x y +-=【解析】∵圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心C （1，0），半径为3，点M （2，2）在圆内，20221MC k -==-，要使|AB |的值最小，则MC ⊥AB ，此时|MC |=|AB |＝4=；直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为y ﹣2＝12-（x ﹣2），即x +2y ﹣6＝0．故答案为：4；260x y +-=．34．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则t 的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______．【答案】403t <≤【解析】由于直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以220403t t t ⎧->⇒<≤≤；又弦长==23t =时，有最大值，其最大值为故答案为：403t <≤35．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二期中）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意得：24031002280D F DEF D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，消去F 得：362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩，解得：02D E =⎧⎨=-⎩，∴F =-4，∴圆C 的方程为：22240x y y +--=．（2）由（1）知：圆C 的标准方程为：22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C，半径r =；点(0,1)C 到直线l的距离2d r ==<，故直线l 与圆C 相交，故直线l 被圆C截得的弦长为=36．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解析】（1）由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．（2）由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m =tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l 10y +=的距离d ==，∴||AB ===．37．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求线段AB 的垂直平分线方程；（2）求圆C 的标准方程；（3）若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且MN =，求直线l 的方程．【解析】（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-．所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+．（2）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由（1）得直线CD 的方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．（3）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线l的距离||1d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=．38．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆M 过点(1,2),(1,4),(3,2)A B C -．（1）求圆M 的方程；（2）若直线:340l x y b +-=与圆M相交所得的弦长为b 的值．【解析】（1）设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆M 过(1,2),(1,4),(3,2)A B C -三点，则1420,11640,94320,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解得2,4,1D E F =-=-=，所以圆M 的方程为222410x y x y +--+=，即22(1)(2)4x y -+-=；（2）由题意，得圆心(1,2)到直线l的距离1d =，1=，即|11|5b -=，解得6b =或16．故所求b 的值为6或16．39．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线10x y +-=被圆()()229114x y -+-=所截得的弦长为__________【解析】圆()()229114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为32圆心()1,1到直线10x y +-=2=则直线10x y +-=被圆()()229112x y -+-=所截得的弦长为40．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知()3,0M 是圆228280x y x y +--+=内一点，则过点M 最短的弦长为（）A ．B C ．6D ．8【答案】A【解析】圆228280x y x y +--+=，即()()22419x y -+-=，则该圆的半径为3，圆心为()4,1，M∴过点M 最短的弦长为．故选：A41．（2022·全国·高二期中）若直线20x y --=与圆()224x a y -+=所截得的弦长为则实数a 为（）．A ．1-B ．1或3C ．3或6D ．0或4【答案】D【解析】圆()224x a y -+=的圆心坐标为(,0)a ，半径为2，圆心(,0)a 到直线20x y --=的距离为d =，又直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截的弦长为故，即2(2)4a -=，解得0a =或4a =．故选：D ．42．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（）A ．4-或0B ．4-或4C ．0或4D ．4-或2【答案】A【解析】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且AB ==则圆心C 到直线AB 的距离为12d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0．故选：A ．43．（2022·广东·仲元中学高二期中）已知直线l ：y kx =与圆22:20C x y y +--=相交于M ，N两点，若MN =k 的值为（）AB ．2CD ．3【答案】C【解析】圆22:20C x y y +--=，可化为(()2214x y -+-=，∴圆心C的坐标)，半径为21=，又圆心到直线的距离d =1=，解得0k =（舍去）或k 故选：C考点6：面积问题44．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线:2l y x =-上任意点P 作圆22:1C x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时PAB △的面积为_______．【答案】112【解析】依据题意，作出图形，如下图：因为直线l 过点P 且与圆221x y +=相切于点A ，所以PA OA ⊥，所以PA ==要使得PA 最小，则OP 要最小，由题可得：OP 的最小值就是点O 到直线:2l y x =-的距离d ==此时，min 1PA =，所以4OPA π∠=由切线的对称性可得：,12BPA PB π∠==所以PAB △的面积为111122PABS =⨯⨯=，故答案为：1；12．45．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知点()3,2A ，点()3,6B ，直线l 过定点()1,0．（1）求以线段AB 为直径的圆的标准方程；（2）记（1）中求得的圆的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于，PQ 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）依题可知线段AB 的中点为()3,4是圆心，半径122r AB ===．∴所求圆的标准方程为：()()22344x y -+-=；（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离2d =，解得：34k =，∴l ：3430x y --=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于P ，Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离d ==，∵()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦△（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=．46．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=相交于A ，B 两点，求：（1）交点A ，B 的坐标（2）AOB 的面积．【解析】（1）直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=的交点，由2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，可得55x y =-⎧⎨=-⎩，71x y =⎧⎨=⎩所以交点A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）设直线:250l x y --=与x 轴的交点为E ，则()5,0E 所以AOBAOEEOBSSS=+11||22A B y OE y OE =+‖()1||2A B y y OE =+1652=⨯⨯15=47．（2020·湖北·高二期中）直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是_________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l 的距离021222d -+=，∴22122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴111222ABC S AB d =⋅==△故答案为：1248．（2021·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（）A ．6B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则ME 过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即BD =此时AC BD ⊥，此时，四边形ABCD 的面积为11622S AC BD =⋅=⨯⨯=故选：C ．49．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线20ax y ++=与圆()22:24C x y +-=相交于A 、B 两点，且ABC 的面积为2，则=a （）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得212sin 22ABC S ACB =⨯⨯∠=△，可得sin 1ACB ∠=，0ACB π<∠<，故2ACB π∠=，则ABC 为等腰直角三角形，所以，圆心C 到直线20ax y ++=的距离为2sin4d π==由点到直线的距离公式可得d=，解得a=故选：D．50．（2021·江西南昌·高二期中（理））已知圆的方程为222440x y x y+---=，设该圆过点()1,3M的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）AB．C．8D．13【答案】B【解析】圆的方程为222440x y x y+---=，化为标准方程：()()22129x y-+-=，圆心为()1,2N，半径为3r=，当过点()1,3M的直线与NM垂直时，弦长最短，且AC==当过点()1,3M的直线且过圆心时，弦长最长，且26BD r==，此时，AC BD⊥，所以四边形ABCD面积为11622S AC BD=⋅=⨯=故选：B考点7：直线与圆中的定点定值问题51．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M的圆心与点()1,4N-关于直线10x y-+=对称，且圆M与y轴相切于原点O．（1）求圆M的方程；（2）过原点O的两条直线与圆M分别交于,A B两点，直线,OA OB的斜率之积为12-，,OD AB D⊥为垂足，是否存在定点P，使得DP为定值，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）（1）设M（a，b）．则411141022baa b-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩．解得3ab=⎧⎨=⎩．所以该圆的半径为3，．所以圆M的方程为()2239x y-+=；（2）设OA所在直线方程为()0y kx k=≠，联立()2239x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得226611A Ak x y k k =⋅=++，同理把k 换做－12k ，可得222412,1414B Bk kx y k k-==++所以AB 所在直线方程为222636(1121k k y x k k k -=-+-+）．当0y =时，可得4x =，故直线AB 过定点C （4，0）．由于OC 为定值，且△ODC 为直角三角形，OC 为斜边，所以OC 中点P 满足22OC DP ==为定值，由于O （0，0），C （4，0），故由中点坐标公式可得P （2，0），故存在点P （2，0），使得|DP |为定值．52．（2021·全国·高二期中）已知圆C经过点(0,，(及()3,0．经过坐标原点O 的斜率为k 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点()3,0P -，分别记直线PM ､直线PN 的斜率为1k ､2k ，求12k k +的值．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由圆C过(0,，(及()3,0．∴23030330F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩可得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴圆C 的方程为：22230x y x +--=，其标准方程为()2214x y -+=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，与圆C ：()2214x y -+=联立得：()221230k x x +--=，∴()22443112160k k ∆=+⨯⨯+=+>，则12221x x k +=+，12231x x k =-+，∴12121212123333y y kx kx k k x x x x +=+=+++++()()()1212122333k x x x x x x ++⎡⎤⎣⎦=++()()22126611033k k k x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==++．53．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ：2280x x y ++=，直线l ：20mx y m ++=．（1）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程．（2）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得12PM PN=？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由已知可得圆心()4,0C -，4r =．圆心C 到直线l的距离d =因此AB ===．22421m m =+，解得1m =±，直线l 的方程为2y x =+或2y x =--．（2）设(),P x y ，()1,0M x ，()2,0N x 由已知可得228x y x +=-12=，化简得211222821824x x x x x x x x -+-=-+-．即()()221221241240x x x x x -++-=恒成立所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为()6,0M -，()12,0N -或()2,0M -，()4,0N ．54．（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；【解析】∵圆221O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心00O (，)，半径1r =，()10，P ．（1）∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B ，∴圆心O 到直线l 的距离1d =<，即3k -43k >．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．∴12k k +是定值，定值为23-．55．（2021·吉林·长春外国语学校高二期中）已知圆1O过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++-=>关于直线20x y -+=对称．（1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为C ，D ，且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值λ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆1O 的圆心1(,)O a b ，因为圆1O 与圆2222:(2)(2)O x y r ++-=关于直线20x y -+=对称，可得2112222022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得0,0a b ==，设圆1O 的方程为222x y r +=，将点P ，代入可得2r =，所以圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22(2)(2)4x y ++-=．（2）由2QD QC ==设()00,Q x y ，则()()()2222000022444x y x y ++--=+-，化简得22002268339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点22,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使得Q 到M．56．（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．（3）直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值．【解析】（1）依题意，圆C 的半径22||345CA =+，所以圆C 的标准方程是：()22325x y -+=．（2）当直线n 的斜率不存在时，设(,),(,)M a b N a b -，由直线AM ，AN 的斜率之积为2，得442b b a a ---⋅=，即22162b a =-，又由点M ，N 在圆C 上得()22325a b -+=，消去b 得：260a a +=，而0a ≠，则6a =-，此时20b <，因此，无解，当直线n 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由22(3)25y kx t x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：222(1)2(3)160k x kt x t ++-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(3)1kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+，直线AM 斜率114AM y k x -=，直线AN 斜率224AN y k x -=，则()()221212121212444·4AM ANt kx t kx t x xk k k k t x x x x x x -+-+-+==+-⋅+2222222226(1)(4)(4)26(1)(4)(4)16164kt k t k t k t k k t k k t t t t -++-+-+++-=+-⋅+=--+6424k t t +-==+，整理得612t k =-，此时直线n ：(6)12y k x =+-过定点()6,12--，所以直线n 过一个定点，该定点坐标是()6,12--．（3）设直线AM 方程为：4y rx =+，由224(3)25y rx x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(43)0 r x r x++-=，则有点22268464(,)11r r rMr r--++++，而直线AN：4y rx=-+，同理22268464(,)11r r rNr r+--+++，于是得直线MN的斜率2222224644643116868411MNr r r rr rk r rr r-++--+-++==--+-++，所以直线m的斜率是定值，该定值为3 4-．。
《直线与圆的位置关系》 讲义
《直线与圆的位置关系》讲义在我们的数学世界中，直线和圆是两个非常重要的几何图形。
它们之间的位置关系不仅是数学中的基础知识，也在实际生活和各种科学领域中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探讨直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离。
想象一下，一个圆在地上安静地躺着，而一条直线远远地从旁边经过，两者之间没有任何接触，这就是相离的状态。
当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切。
此时，直线被称为圆的切线，这个公共点叫做切点。
就好像直线轻轻触碰了一下圆，然后就离开了，只留下这一个“亲密接触”的瞬间。
当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。
可以想象成直线像一把刀一样切入圆中，产生了两个交点。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断。
若 d ＞ r ，则直线与圆相离；若 d ＝ r ，则直线与圆相切；若 d ＜r ，则直线与圆相交。
那么如何求圆心到直线的距离呢？对于直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，圆心为（a, b) ，则圆心到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去 y （或 x ），得到一个关于 x （或 y ）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＜ 0 ，则直线与圆相离；若Δ ＝ 0 ，则直线与圆相切；若Δ ＞ 0 ，则直线与圆相交。
三、直线与圆相切的性质1、切线的性质切线垂直于经过切点的半径。
这是一个非常重要且常用的性质。
如果我们知道某条直线是圆的切线，并且知道切点，那么连接圆心和切点的半径就与切线垂直。
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
高一数学 直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)
专题二 直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：直线和圆的位置关系的应用 教学过程：第一部分 知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。