湖北省武汉市为明实验学校九年级数学《二次函数》总复习课件

解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿.
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 （-2、0）（5/3、0） 2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿. x
、若抛物线
y ax 2 bx c 与x轴两交点为
(2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来 表达);
(3)a取何值时,两点间的距离最小?
7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距 离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.
Ax1，，Bx2， 0 0
则x1 、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根 ;
AB x1 x2
x1 x2
2

x1 x2
2
b 2 4ac 4 x1 x2 a a
当 时，两个交点在原点两侧；当 时，两个交点都在原点右侧；当 时，两个 交点都在原点左侧。
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (x2,0),通常设解析式为_____________(a≠0) 求出表达式后化为一般形式.
O
b2-4ac=0
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
2a
x y
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
没有实数根 x
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax² ＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次 方程ax² ＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
y
o
x
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a > 0,b > 0,c = 0.
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限 y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想） x
5、抛物线的平移
练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
m2 m
- 2χ+1
2、二次函数的图像及性质
y y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
练一练
5、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是 ( B )
7 A、k≥ 4 7 C、k＞ 4
7 B、k≥ 且k 0 4 7 D、k＞ 且k 0 4
例 题
1、已知抛物线y=x2+ax+a-2. (1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-–) 2
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
练习：
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
5 2 1 y=x2-5x+6 ( x ) 2 4
y=x2
5 2 1 y (x ) 2 4
6二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系 • 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键 的作用.
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1，0） （x2，0）
y
O
x y
y
B
c
o
·
y
x
A
o
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0
C B、a<0,b>0,c<0, =0
△
y
D、a<0,b=0,c<0,△<0
o
x
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0.
二次函数复习课
二次函数知识点导航：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用 本章共分两课时：第一课时复习知识点1——5 第二课时复习知识点——8
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案:y=-x2+6x-5
例1、如图所示，某建筑工地准备利用一面旧 墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为30 米。 （1）如图，设长方形的一条边长为x米，则 另一条边长为多少米？ （2）设长方形的面积为y平方米，写出 y与x 之间的关系式。 （3）若要使长方形的面积为72平方米，x应 取多少米？