【中小学资料】2018版高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积学案 苏教版选修2-1
2018学年高中数学选修2-1课件：3.1.5 空间向量的数量积 精品
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( ) (2)在△ABC 中，〈A→B，B→C〉＝∠B.( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( ) (4)若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
[小组合作型]
求空间向量的数量积 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列向量的数量积． (1)B→C·E→D1； →→ (2)BF·AB1.
【精彩点拨】 法一(基向量法)： B→C与E→D1，B→F与A→B1的夹角不易求，可考虑用向量A→B，A→D，A→A1表示向量B→C， E→D1，B→F，A→B1，再求结论即可． 法二(坐标法)： 建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．
∴|AC→′|＝ 85.
(2)法一：设AC→′与A→C的夹角为 θ，
∵ABCD 是矩形，∴|A→C|＝ 32＋42＝5.
由余弦定理可得
cos
θ＝AC′22＋ACA′C2·－ACCC′2＝852＋·2855－·525＝
85 10 .
法二：设A→B＝a，A→D＝b，AA→′＝c，
依题意得AC→′·A→C＝(a＋b＋c)·(a＋b)
1．若 a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且 a⊥b，则 x＝______. 【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得 x＝2.
【答案】 2 2．与向量 a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________． 【解析】 |a|＝ 12＋22＋22＝3，故与 a 方向相同的单位向量是|aa|＝13(1,2,2)
3.1.5空间向量的数量积
设空间两个非零向量 a ( x1 , y1 , z1 )， ( x2 , y2 , z2 ) ， b b 它们的夹角为a， ，则有
cos a， b
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
2 1 2 1 2 2
x y z
2 1
x y z
我们知道,任意两个空间向量都是共面的, 因此,两个空间向量的夹角以及它们的数量积， b是空间两个非零向量，过空间任意一 点 O ， OA OB 作， a ， b，则AOB 叫做向量 a与b的
b b 夹角，记作 a， ，并且规定 0 a，
自学指导:
1.空间向量的夹角是怎样定义的？在书中的规定下，两 个向量的夹角是唯一确定的吗？在什么情况下两个向量 同向、反向、垂直？ 2.空间向量的数量积是怎样定义的？它有什么样的运算 律？与平面向量是一致的吗？ 3.空间向量的数量积的坐标形式是怎样的?与平面向量 是一致的吗？
自学检测:P82练习2
a b a b; a b c a b a c 分配律.
a b b a交换律;
你能证明这些运 算律吗? 证明分配 律时, 与证明平面 向量数量积的分 配律有什么不同 ?
三、空间向量数量积的坐标表示
设空间两个非零向量a
( x1 , y1 , z1 ) ， ( x2 , y2 , z2 ) b
例3：已知 A(3,1,3), B(1,5,0) ，求： （1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A，B 两点距离相等的点 P( x, y, z )的坐标 x, y, z 满足的条件
分层训练：
必做题：P82练习1、3、4 选做题： P82练习5
2018年秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则123123a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？[提示] 当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|[基础自测]1．思考辨析(1)若a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝(－2,4，－2)．( ) (2)若a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0,0,1)，b ＝(1,0,0)则a ⊥b .( )(4)在空间坐标系中，若A (1,2,3)，B (4,5,6)，则AB →＝(－3，－3，－3)．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．]3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( )【导学号：46342154】A ．1B ．15C ．35D ．75D [k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.]4．若点A (0,1,2)，B (1,0,1)，则AB →＝__________，|AB |→＝__________________. (1，－1，－1)3 [AB →＝(1，－1，－1)，|AB →|＝12＋(－1)2＋(－1)2＝ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]b )＝－2，则x ＝________.(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标；①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．[解析] (1)c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2.[答案] 2(2)AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2.②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0.1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)．求： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴(2a )·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路探究] (1)根据c ∥BC →，设c ＝λBC →，则向量c 的坐标可用λ表示，再利用|c |＝3求λ值；(2)把k a ＋b 与k a －2b 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． [解] (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， 解得k ＝2或k ＝－52.2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【导学号：46342155】[解] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2).[1．已知A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点P 的坐标是多少？ 提示：P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 222．设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，则cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉一定成立吗？ 提示：当cos 〈AB →，CD →〉≥0时，cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉 当cos 〈AB →，CD →〉<0时，cos θ＝－cos 〈AB →，CD →〉．如图3138所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．图3138(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN . [思路探究] 建系Cxyz →得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B (0,1,0)，N (1,0,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2， ∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .3．如图3139所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．图3139(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． [解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB ． 同理可证MN ⊥CD ．(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则|3a ＋b |为( ) A ．15 B ．4 C ．5D ．17D [3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.]2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA →与BO →的夹角是( ) A ．0 B ．π C ．32π D ．2πB [OA →＝(3,3,3)，BO →＝(－6，－6，－6)则OA →·BO ＝3×3×(－6)＝－54，|OA →|＝33，|BO →|＝6 3所以cos 〈OA →，BO →〉＝OA →·BO →|OA →||BO →|＝－5433×63＝－1，所以〈OA →，BO →〉＝π.]3．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________. 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa . ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4.]4．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________.【导学号：46342156】65 [a ·b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a |＝14，|b |＝14， ∴cos〈a ，b 〉＝－414×14＝－27.∴sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－272＝357.因此以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝14×14×357＝6 5.]5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．[解] 如图所示，以DA ，DC ，DD 1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0，1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0.∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． ∴EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1. 则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12. 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， ∴FH ＝|FH →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418.。
最新-2018高中数学 第3章313空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1 精品
例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD 的 交 点 ， G 为 CC1 的 中 点 ， 求 证 ： A1O ⊥ 平 面 GBD.
【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的 两相交直线垂直．
【证明】 设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c， 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O ＝A→1A＋12(A→B＋A→D)＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1
向量 a，b 的_夹__角___，记作〈__a_，__b_〉__．
2．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量
_|a_|_|b_|_c_o_s_〈__a__，__b_〉_叫做 a 与 b 的_数___量__积___(或内积)，
记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，它满足的运算律
有：(1)交换律：_a_·b__＝__b_·a__；(2)分配律：_a_·_(b__＋__c_) _ _＝__a_·_b_＋__a_·c__；(3)(λa)·b＝λ_(_a_·b_)__＝a_·_(_λ_b_)_．
解：因为B→C＝O→C－O→B， 所以O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B) ＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|A→O||O→C|cosπ3－|O→A||O→B|cosπ3 ＝1×1×12－1×1×12＝0， 所以O→A⊥B→C，即 OA 与 BC 所成的角为直角．
用数量积解决两点间的距离问题
例2 已知空间四边形OABC各边及对角线长都 相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直 线OE与BF所成角的余弦值． 【思路点拨】
寻求O→E、B→F与O→A、O→B、O→C的关系
[配套K12]2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学
![[配套K12]2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学](https://img.taocdn.com/s3/m/e6fdaa3ce87101f69e3195f6.png)
3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一 空间向量数量积的概念思考1 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA →与BC →的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.答案 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.思考2 等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是多少？ 答案 120°.梳理 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .(2)数量积的运算律(3)空间向量的夹角①定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉.②范围：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b .知识点二 空间向量的数量积的性质类型一 空间向量的数量积运算 命题角度1 空间向量的数量积基本运算例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. ①p 2·q 2＝(p ·q )2；②|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|；③若a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均不为0，则它们垂直. 解 ①此命题不正确. ∵p 2·q 2＝|p |2·|q |2，而(p ·q )2＝(|p |·|q |·cos〈p ，q 〉)2＝|p |2·|q |2·cos 2〈p ，q 〉，∴当且仅当p ∥q 时，p 2·q 2＝(p ·q )2. ②此命题不正确.∵|p 2－q 2|＝|(p ＋q )·(p －q )|＝|p ＋q |·|p －q |·|cos〈p ＋q ，p －q 〉|， ∴当且仅当(p ＋q )∥(p －q )时，|p 2－q 2|＝|p ＋q |·|p －q |. ③此命题正确.∵a ·[(a ·b )·c －(a ·c )·b ]＝a ·(a ·b )·c －a ·(a ·c )·b ＝(a ·b )(a ·c )－(a ·b )(a ·c )＝0，且a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均为非零向量， ∴a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 垂直.(2)设θ＝〈a ，b 〉＝120°，|a |＝3，|b |＝4，求： ①a ·b ；②(3a －2b )·(a ＋2b ). 解 ①∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6.②∵(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2， ∴(3a －2b )·(a ＋2b )＝3×9＋4×3×4×(－12)－4×16＝27－24－64＝－61.反思与感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算.跟踪训练1 已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D.4 答案 C解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×cos 60°＋9＝13，∴|a ＋3b |＝13.命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点.试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2 已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)(OA →＋OB → )·(CA →＋CB →)；(2)|OA →＋OB →＋OC →|.解 (1)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(2)|OA →＋OB →＋OC →|＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OB →·OC →＋OA →·OC →)＝12＋12＋12＋2(1×1×cos 60°×3)＝ 6. 类型二 利用数量积求夹角或模 命题角度1 利用数量积求夹角例3 已知BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角. 解 如图所示.∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →)＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0且BA →·AB →＝－a 2. ∴BA 1→·AC →＝－a 2.又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|cos 〈BA 1→，AC →〉，∴cos〈BA 1→，AC →〉＝－a22a ·2a ＝－12.又∵〈BA 1→，AC →〉∈[0°，180°]，∴〈BA 1→，AC →〉＝120°， 又∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3 已知：PO 、PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，l ⊂α，且l ⊥OA .求证：l ⊥PA .证明 如图，取直线l 的方向向量a ，同时取向量PO →，OA →.因为l ⊥OA ，所以a ·OA →＝0.因为PO ⊥α，且l ⊂α，所以l ⊥PO ， 因此a ·PO →＝0.又因为a ·PA →＝a ·(PO →＋OA →)＝a ·PO →＋a ·OA →＝0， 所以l ⊥PA .命题角度2 利用数量积求模(或距离)例4 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长.解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→). 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， 所以AC 1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC 1→2＝|AC 1→|2，所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→|＝23， 即AC 1＝23.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可.跟踪训练4 如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离.解 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD →＋2BC →·CD → ＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8， ∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2. 类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题例5 如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .证明 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， 所以△OAC ≌△OAB ， 所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →|·|OC →|cos∠AOC －|OA →|·|OB →|cos∠AOB ＝0， 所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练5 已知向量a ，b 满足：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________. 答案 45°解析 ∵a 与2b －a 垂直，∴a ·(2b －a )＝0， 即2a ·b －|a |2＝0.∴2|a ||b |·cos〈a ，b 〉－|a |2＝0， ∴42cos 〈a ，b 〉－4＝0，∴cos〈a ，b 〉＝22， 又〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴a 与b 的夹角为45°.1.已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A.14 B.14 C.4 D.2 答案 B解析 |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14. 2.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1→·B 1C → B.BD 1→·AC → C.AB →·AD 1→ D.BD 1→·BC → 答案 D解析 选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ， 所以AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，易得AC ⊥BD ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时BD 1→·AC →＝0；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1， 所以AB ⊥AD 1，所以AB →·AD 1→＝0.故选D. 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.0 答案 B解析 易知①②正确；AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确.故选B. 4.已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝____. 答案3π4解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4.5.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为______. 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算.(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.40分钟课时作业一、选择题1.设a 、b 为空间的非零向量，下列各式： ①a 2＝|a |2；②a·b a 2＝b a；③(a·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.2.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 答案 C解析 易知AE ⊥BC ，∴AE →·BC →＝0，AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD →＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|·cos 120°－|AB →|·|BC →|·cos 120°＋12|BC →|·|CD →|·cos 120°<0.∴AE →·BC →>AE →·CD →.3.已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |等于( ) A. 5 B.5 C.6 D. 6 答案 A解析 ∵|a －b ＋2c |2＝|a |2＋|b |2＋4|c |2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos 60°＋4·1·1·cos 60°－4·1·1·cos 60°＝5， ∴|a －b ＋2c |＝ 5.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A.2BA →·AC →B.2AD →·DB →C.2FG →·AC →D.2EF →·CB → 答案 C解析 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错，只有C正确.5.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析 AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1， 又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴a 与b 所成的角是60°.6.已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( ) A. 3 B.2 C. 5 D. 6 答案 D解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6. 二、填空题7.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.答案7解析 |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2×cos π3＋22＝7，∴|a ＋b |＝7.8.已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝______. 答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18. 9.已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________.答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32＋12＋422＝－13. 10.将AB ＝23，BC ＝2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，则B ，D 间的距离为________.答案 7 解析 作DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F .由已知可得，AC ＝4，DE ＝BF ＝3，∴AE ＝1，CF ＝1，∴EF ＝2.∵二面角的大小为60°，∴DE →与FB →的夹角为120°，∴|DB →|2＝(DE →＋EF →＋FB →)2＝7，∴|DB →|＝7，∴B ，D 间的距离为7.三、解答题11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，若AB ＝CD ，AC ＝BD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，试用向量方法证明EF ⊥AD 且EF ⊥BC .证明 连接AF ，∵点F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)， ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋AC →)－12AD →＝12(AB →＋AC →－AD →)， 又|AC →|＝|BD →|＝|AD →－AB →|，∴AC →2＝AD →2－2AD →·AB →＋AB →2，① 同理AB →2＝CD →2＝AD →2－2AC →·AD →＋AC →2，② 将①代入②可得AB →2＝AD →2－2AC →·AD →＋AD →2－2AB →·AD →＋AB →2，∴2AD →2－2AD →·(AC →＋AB →)＝0，∴AD →·(AC →＋AB →－AD →)＝0，∴AD →·12(AB →＋AC →－AD →)＝0， ∴AD →·EF →＝0，∴EF →⊥AD →.同理可得EF →⊥BC →.∴EF ⊥AD 且EF ⊥BC .12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角.解 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0.∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0，∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →)＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12， ∵〈PB →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈PB →，DC →〉＝π3， ∵异面直线所成的角为锐角或直角，∴PB 与CD 所成的角为π3. 13.如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长. (1)证明 AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB →，BC →〉＝π－〈BA →，BC →〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →)＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)解 结合(1)知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1.又|AB 1→|＝(AB →＋BB 1→)2＝2＋BB 1→2＝|BC 1→|，∴cos〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，∴|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.。
2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3
3.1.3 两个向量的数量积学习目标1。
掌握空间向量夹角概念及表示方法。
2。
掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律。
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一两个向量的数量积思考1如图所示,在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°,∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算,如何求向量错误!与错误!的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．思考2等边△ABC中,错误!与错误!的夹角是多少？梳理（1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a｜|b｜cos〈a,b〉叫做a,b的数量积(或内积），记作a·b.(2）数量积的运算律知识点二两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则________叫做向量a与b 的夹角，记作〈a，b〉．(2）范围：〈a，b>∈________。
特别地:当〈a，b>＝________时,a⊥b。
知识点三两个向量的数量积的性质或｜a｜＝错误!③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________④|a·b｜≤｜a｜·｜b｜类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量数量积的基本运算例1(1）下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．①p2·q2＝（p·q)2；②｜p＋q｜·|p－q｜＝|p2－q2|；③若a与（a·b）·c－(a·c)·b均不为0,则它们垂直．(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，｜a|＝3,｜b|＝4，求：①a·b;②（3a－2b)·（a＋2b)．反思与感悟（1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．（2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a ＝|a｜2及数量积公式进行计算．跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么｜a＋3b｜等于（)A。
高中数学空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
第3章3.1空间向量与立体几何
a＝λb(b≠0) ___________，使得____________成立． 惟一实数λ
知新益能 1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个 向量 ______，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系 λ的范围 λ>0 λ＝0 λ<0 方向关系 相同 方向______ λa＝0，其方向是任意的 相反 方向_____ 模的关系 λa的模是a 的模的 |λ|倍 ______
3.1.2
课前自主学案
空 间 向 量 的 数 乘 运 算
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 结合律 交换律 1．空间向量加法运算满足________和________． 2．以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算， 所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量a 向量 的乘积λa仍然是一个______，还学过平面中两向量 共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在
四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
互动探究
→ → → → 本例条件不变，化简(AB－CD)－(AC－BD)．
解：法一：(统一成加法) → → → → → → → → 原式＝AB－CD －AC＋BD ＝AB＋DC＋CA＋BD → → → → ＝AB＋BD ＋DC＋CA＝0. → → → 法二：(利用OA－OB＝BA) → → → → → → → → 原式＝AB－CD －AC＋BD ＝(AB－AC)－CD ＋BD → → → → → ＝CB－CD ＋BD ＝DB＋BD ＝0.
和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要
条件．
例1
给出下列命题：
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3．1.5 空间向量的数量积
[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质
和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简
单的问题．
知识点一 空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，
则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法 〈a，b〉
范围
〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝π2时，a_⊥_b
知识点二 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)
交换律 a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b
＋
a·c
(3)数量积的性质
两个
向量
数量
积的
性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|
④|a·b|≤|a|·|b|
题型一 空间向量的数量积运算
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点
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E，F分别是AB，AD
的中点，计算：
(1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→；(4)BF→·CE→.
解 (1)EF→·BA→＝12BD→·BA→
＝12|BD→|·|BA→|·cos〈BD→，BA→〉
＝12×1×1×cos 60°＝14，
所以EF→·BA→＝14.
(2)EF→·BD→＝12|BD→|·|BD→|·cos〈BD→，BD→〉＝12×1×1×cos 0°＝12，
所以EF→·BD→＝12.
(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→|·|DC→|·cos〈BD→，DC→〉＝12×1×1×cos 120°＝－14，
所以EF→·DC→＝－14.
(4)BF→·CE→＝12(BD→＋BA→)·12(CB→＋CA→)
＝14[BD→·(－BC→)＋BA→·(－BC→)＋BD→·CA→＋BA→·CA→]
＝14[－BD→·BC→－BA→·BC→＋(CD→－CB→)·CA→＋AB→·AC→]
＝14(－12－12＋12－12＋12)＝－18.
反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，
a
与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练1 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则
a·b
＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋422＝－13.
题型二 利用数量积求夹角
例2
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如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，
求OA与BC所成角的余弦值．
解 因为BC→＝AC→－AB→，
所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→
＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24.
所以cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225.
即OA与BC所成角的余弦值为3－225.
反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异
面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量
的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．
跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N
分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
证明 MN→·AB→＝(MB→＋BC→＋CN→)·AB→＝(MB→＋BC→＋12CD→)·AB→
＝(MB→＋BC→＋12AD→－12AC→)·AB→
＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0，
所以MN→⊥AB→，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
题型三 利用数量积求距离
例3 正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．
解 如图所示，设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为EF→＝EA→＋AA1→＋A1F→
＝－12AB→＋AA1→＋12AC→
＝－12a＋12b＋c，
所以EF2＝|EF→|2＝EF→2＝14a2＋14b2＋c2
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＋2－12a·12b＋12b·c－12a·c
＝14×22＋14×22＋22＋2×－14×2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝5.
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思
路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已
知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．
跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内
且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解 ∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈CA→，BD→〉＝120°.
∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，且CA→·AB→＝0，BD→·AB→＝0，
∴|CD→|2＝CD→·CD→＝(CA→＋AB→＋BD→)(CA→＋AB→＋BD→)
＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·BD→
＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2|CA→||BD→|cos〈CA→，BD→〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×(－12)＝68，
∴|CD→|＝217，故CD的长为217.
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的________条件．
答案 充分不必要
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向
时，不能成立．
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|＝________.
答案 7
解析 ∵|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2
＝1－6×cos 60°＋9＝7.∴|a－3b|＝7.
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是________．(填序号)
①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
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③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④若a·b＝a·c，则b＝c.
答案 ②
解析 对于①，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于③，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于④，a·b＝a·c可以移项整理得a·(b－c)＝0.
4．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________.
答案 1
解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左、右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
5．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝________.
答案 2
解析 由题意知 a＋ba＝0，a＋bb＝0，即 a2＋b·a＝0， ①2a·b＋b2＝0， ②
将①×2－②得，2a2－b2＝0，
∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，
故|b|＝2.
求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键
在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的
数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．