几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布律
的概率，其值为 ϕ4
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞4 ⎟⎠
=1 16
。
ϕ 3 (1 − ϕ ) 表示有三个显性基因和一个隐性基因组合出现的概率。其中
显形基因有三个，隐性基因一个，该项的系数表示这样的组合共有四种。
它们是RRYy，RRyY，RrYY和rRYY。这四种组合的概率均为
•
ϕ
3
(1
−
ϕ
)
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞3 ⎟⎠
上式正是二项式展开式的第x+1项，因此产生理论分布中“二项分布”这一名 称。故该式称为二项分布的概率函数。
• 二项展开式，
⎡⎣ϕ +(1−ϕ)⎤⎦n =Cn0ϕ0 (1−ϕ)n +Cn1ϕ1 (1−ϕ)n−1 +"+Cnxϕx (1−ϕ)n−x +"+Cnnϕn (1−ϕ)0 = p(0) + p(1) + p(2) +"+ p( x) +"+ p(n)
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞10 ⎟⎠
=
2−10
=
0.0009766
( ) p(1)
=
10! ⎛
1!(10 −1)!⎜⎝
1 2
⎞1 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞9 ⎟⎠
=
10
2−10
= 0.0097656
( ) p(2) =
10! ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞8
2!(10 − 2)!⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
= 45
2−10
(1) 二项分布图形的形状取决于P 和 n 的大小； (2) 当P = 0.5时，无论 n 的大小， 均为对称分布； (3) 当P ≠ 0.5，n 较小时为偏态分 布，n 较大时逼近正态分布。
常见随机变量的分布函数
常见随机变量的分布函数在概率论和统计学中，随机变量是一个可以取得不同值的变量，其值是按照一定的概率分布规律出现的。
随机变量的分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率。
下面是一些常见的随机变量及其分布函数：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散随机变量分布之一、它只有两个可能的取值，例如0和1，成功和失败，正面和反面等。
伯努利分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-p,x<0F(x) = 1-p+px, 0<= x < 1F(x)=1,x>=12. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述一系列独立重复实验中成功的次数。
成功和失败的概率分别为p和q=1-p。
二项分布的分布函数可以表示为：F(x)=Σ(从0到x)[C(n,i)*p^i*q^(n-i)],x为非负整数F(x)=Σ(从0到x)[(e^(-λ)*λ^i)/i!],x为非负整数4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是连续型随机变量的常用分布，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布函数不具有一个简单的数学表达式。
正态分布的参数是均值μ和标准差σ。
5. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在一个给定的区间上的取值概率是均等的。
F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b6. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述连续时间的等待事件，例如到达一些交叉口的时间间隔。
指数分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-e^(-λx),x>=07. 对数正态分布（Log-Normal Distribution）：对数正态分布是正态分布的指数函数，它使用对数尺度来处理正态分布不适用的情况，例如财富分布和人口增长。
生物统计学 几种常见的概率分布律
非此即彼
随机试验有两种互不相容不同结果。 重要条件： 1. 每次试验两个结果（互为对立事件），每一种结果在每次 试验中都有恒定的概率； 2. 试验之间应是独立的。
P(AB)=P(A)P(B)
2.14
二项分布的概率函数
服从二项分布的随机变量的特征数
方差 当以比率表示时
偏斜度
了解
峭度
做题时请先 写公式，代 数字，出结 果，描述结 果的意义。
正态分布表的单侧临界值
上侧临界值
下侧临界值
双侧临界值
§3.5 另外几种连续型概率分布
指数分布（exponential distribution）
了解
Γ分布（gamma distribution）
了解
了解
随着p的增加， Γ分布愈来愈 接近于正态分 布。
§3.6 中心极限定理 （Central Limit Theorem） 假设被研究的随机变量X可以表 示为许多相互独立的随机变量Xi 的和。如果Xi的数量很大，而且 每一个别的Xi对于X所起的作用 又很小，则X可以被认为服从或 近似地服从正态分布。
作业
P51
3.1, 3.2（算出各表现型概率即可）; 3.12, 3.18
正态分布的密度函数和分布函数 正态分布（normal distribution） 高斯分布（Gauss distribution） 正态曲线（normal curve） 连续型概率分布律 两头少，中间多，两侧对称
了解
标准正态分布
/fai/
标准正态分布的特性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正态分布表的使用方法
正态分布标准化
生物统计学
第三章 几种常见的概率 分布律
2010.9
4 第三章 几种常见的概率分布律
φ-事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）
1-φ- 事件 A 发生的概率 p(y)-y的概率函数=P(Y=y)
F(y)= P(Y≤y)=
p( yi )
yi y
5
例3.1 从雌雄各半的100只动物中，每次抽一只， 做放回式抽样，若抽样试验共进行10次，问其中 包括0，1，2，3只雄性动物的概率是多少？包括 3只及3只以下的概率是多少？
1
e dz y
(
y )2 2 2
2
24
F(y) 1
1 2
y
25
正态分布的特性
当y=μ时，f(y)有最大值，正态分布曲线是以平均数 为中心的分布。
当y不论向哪个方向远离μ时， f(y)的值都减小，但永 远不会等于0，正态分布以y轴为渐近线， y的取值区 间（-∞，+∞）。
36
标准正态分布的概率计算
如：设y服从标准正态分布，求概率 P(y>0.3) 。 解：标准正态分布关于y=0对称，所以
P(y>0.3)=P(y<-0.3)= (0.30) 0.3821
37
标准正态分布的概率计算
例：设y服从标准正态分布，求概率P(-1.83 <y <0.3) 。
解：即求标准正态分布曲线下在（-1.83，-0.30）范围 内的面积
k,
k
1,
k
2,
...
20
第四节 正态分布
第四节 正态分布
正态分布：两头少，中间多，两侧对称。 一、正态分布的密度函数和累积分布函数
正态分布密度函数
f (y)
1
e
(
y )2 2 2
概率论中几种常用重要分布
概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。
其在实际中的应用。
关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。
它是一种“定性”类型的概念。
为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。
称这种变数为随机变数。
本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。
定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。
它是一个普通的函数。
成这个函数为随机函数X 的分布函数。
有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。
更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。
称它的分布为离散型分布。
【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。
（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。
称这种随机变数的分布为退化分布。
一个退化分布可以用一个常数a 来确定。
（2）X 可能取的值只有两个。
确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。
如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。
因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。
特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。
数的概率分布
数的概率分布概率分布是概率论中重要的概念之一，用于描述一个随机变量取值的可能性。
在数学和统计学领域里，数的概率分布研究了在特定情况下数值出现的概率。
本文将介绍数的概率分布的基本含义、常见的概率分布类型以及其在实际应用中的重要性。
一、概率分布的基本定义概率分布是随机变量的可能取值及其对应概率的描述。
随机变量可以是离散型变量或连续型变量。
离散型变量的取值有限且可数，如掷骰子的点数；连续型变量的取值为无限个且不可数，如人的身高。
概率分布描述了随机变量每个取值的概率。
二、常见的概率分布类型1. 离散型概率分布离散型概率分布用于描述随机变量为离散型的情况。
以下是几种常见的离散型概率分布：（1）伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型分布，常用于描述试验只有两个可能结果的情况，如硬币的正反面。
（2）二项分布二项分布是描述n次成功失败试验的离散型分布，例如n次掷硬币中正面朝上的次数。
（3）泊松分布泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、交通事故发生次数等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布用于描述随机变量为连续型的情况。
以下是几种常见的连续型概率分布：（1）均匀分布均匀分布描述了在一个区间内随机取值时，每个取值的概率相等，如抛硬币的落点在一个平面上的坐标。
（2）正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也称为高斯分布。
它以钟形曲线为特征，广泛应用于自然和社会科学领域，如身高、体重等。
（3）指数分布指数分布用于描述事件发生的时间间隔或等待时间，如设备故障发生的时间间隔、用户等待的响应时间等。
三、概率分布在实际应用中的重要性概率分布在实际应用中具有重要的作用，主要体现在以下几个方面：1. 预测和决策通过分析和建模某个事件或现象的概率分布，可以对未来可能的结果进行预测。
例如，在金融领域中，通过对股票收益率的概率分析，可以帮助投资者做出决策。
2. 风险评估概率分布可以用于评估风险。
在保险行业中，通过对保险索赔次数或大小的概率分析，可以估算保险公司的风险，并确定合理的保费。
分布律的表示形式
分布律的表示形式分布律是描述一个随机变量取值的概率分布的函数，它定义了每个可能取值的概率。
常见的分布律有离散分布律和连续分布律两种形式。
一、离散分布律离散分布律描述了离散型随机变量的概率分布情况。
离散分布律可以用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来表示。
PMF给出了随机变量取不同值的概率。
以二项分布为例，二项分布是一种离散型的概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布情况。
二项分布的PMF可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X 为成功次数，k为取值，n为试验次数，p为成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的分布律描述了在n次独立的伯努利试验中成功次数为k 的概率。
二、连续分布律连续分布律描述了连续型随机变量的概率分布情况。
连续分布律可以用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来表示。
PDF给出了随机变量在某个取值处的概率密度。
以正态分布为例，正态分布是一种连续型的概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布的PDF可以表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中x为随机变量的取值，μ为均值，σ为标准差。
正态分布的分布律描述了随机变量取某个值的概率密度。
三、其他常见分布律除了二项分布和正态分布，还有很多其他常见的分布律。
例如泊松分布、指数分布、伽马分布等。
泊松分布是一种描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
它的分布律可以表示为：P(X=k) = (λ^k / k!) * exp(-λ)，其中X为事件发生的次数，k为取值，λ为单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
指数分布是一种描述随机事件发生时间间隔的概率分布。
它的分布律可以表示为：f(x) = λ * exp(-λx)，其中x为时间间隔，λ为事件发生的速率。
d 几种常见的概率分布律
三、服从二项分布的随机变量的特征数
平均数： μ=nφ
方差： σ2=nφ(1-φ)
随着样本含量的增加，偏斜度和峭度趋 向于0，二项分布逐渐接近于正态分布。
四、二项分布应用实例
例：3.2 例：3.3 例：3.4
【例3.4】
用 棕 色 正 常 毛 (bbRR) 的 家 兔 和 黑 色 短 毛 (BBrr)兔杂交，杂种F1为黑色正常毛长的 家兔，F1雌、雄兔近亲交配，问最少需要 多少只F2代的家兔，才能以99%的概率至 少得到一只棕色短毛兔？
二、二项分布概率函数表达式：
p( y) Cny y (1)ny , y 0,1,2,, n
n=试验次数（或样本含量） y=在n次试验中事件A出现的次数 φ=事件A发生的概率（每次试验都是恒定的） 1-φ=事件A的对立事件发生的概率 p(y)=Y的概率函数=P(Y=y)
例：3.1
从雌雄各半的100只动物中做一抽样试验。第一次从这100只动 物中随机抽取一只，记下性别后放回，再做第二次抽取。共 做了10次抽样，计算抽中3只和3只以下雄性动物的概率。
（5）曲线和X坐标轴所夹的面积等于1。 （6）正态分布表查出的φ(u)的值表示随机变量
U落入区间（-∞, u）的概率。 （7）累积分布函数图形的特点是围绕点
（0, 0.5）对称。 （8）正态分布的偏斜度γ1=0 ，峭度γ2=0。
5. 一些重要值
68.27%
68.27%
95.00%
95.00%
99.00%
解： n=10 y=3，2，1，0 φ=1/2 p( y) Cny y (1)ny
p(3) 10! ( 1 )3 ( 1 )7 120 (210 ) 0.1171876 3!(10 3)! 2 2
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点数(x)
率(f)
μx P (x)= e –μ . x!
N × P (x)
0
57
0
P(0)=e-3.87 ×3.870/0!=0.0209 54.5072
1
203
203 P(0)=e-3.87 ×3.871/1!=0.0807 210.4656
2
283
766 P(0)=e-3.87 ×3.872/2!=0.1562 407.3696
3
525
1575 P(0)=e-3.87 ×3.873/3!=0.2015 525.5120
4
532
2128 P(0)=e-3.87 ×3.874/4!=0.1949 508.2992
5
408
2040 P(0)=e-3.87 ×3.875/5!=0.1509 393.5472
6
273
1638 P(0)=e-3.87 ×3.876/6!=0.0973 253.7584
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
2. 普阿松分布:----小概率事件( p≦ 0.1)符合普阿松式分布.
nk
x------在n次抽样中某一种类型的个体数.
μ= N
n k (N-K)(N-n)
S2 = N2(N-1) ^ nk N= x
N------^群体大小的估计. K------加有标记的个体数.
n------第二次抽样抽中的个体数.
x------在含有为n的样本中加有标记的个体数.
例:某野外实习队用网捕捉到金丝燕100只,做好标记后仍放回大自然,一月后
连续型随机变量(continuous random variable)—取值为 某一区间内有限或无限的任何值.
离散型随机变量(discret random variable)—取值为有限, 或可数无穷个孤立的数值.
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
几种常见的概率分布率
同样:把样本看作一个整体, 则: ∑f (x) =1
故: 式中任一项出现的概率为:
μx
μ----平均数
P (x) = e-μ x!
x ----第x项为自然数 :1,2,3,…
e ----常数 =2.718281…
3.Poisson分布的特征:
1).小概率事件.P ≦ 0.1.
2).n
∞,越大越好,但事实上不可能,因此,所得的分布是个近似分布.
第三章:几种常见的概率分布率
一 随机变量(random variable) ----随机试验中被测定的量称为随机变量． 观察值（observation)----随机变量所取的值．
{离散型随机变量(discret random variable)
随机变量 连续型随机变量(continuous random variable)
9
P(9)=e-10.109/9! =0.1251
10 P(10)=e-10.1010/10! =0.1251
11 P(11)=e-10.1011/11! =0.1137
12 P(12)=e-10.1012/12! =0.0948
13 P(13)=e-10.1013/13! =0.0729 14 P(14)=e-10.1014/14! =0.0521
3
P(3)=e-10.103/3! =0.0076
4
P(4)=e-10.104/4! =0.0189
5
P(5)=e-10.105/5! =0.0378
6
P(6)=e-10.106/6! =0.0631
7
P(7)=e-10.107/7! =0.0901
杂草 概率 数(x)
8
P(8)=e-10.108/8! =0.1126
3).μ = n p 大小适中,恰好为e-μ.即:与自然数e的负指数为宜.
4).样本平均数就是总体平均数.X = μ.
5).平均数等于方差.X = δ2
6).偏斜度: γ1 = 1/√ n
7).峭度: γ2 = 1/μ
4.Poisson 分布的应用:
例:麦田内杂草的分布:调查已知每10平方米有一株杂草.
∑
N=2608 10086 几种常见的概率分1布.0率000
2608.0000
五、 超几何分布: P (x) =
C x n C n -x N-K
C nN
x------- 0, 1, 2, 3, …n
N------总体中的个体数.
K------两种类型中某一种类型的个体数.
n------非放回式抽样的次数.
问:100平方米有0株,1株,2株,3株…10株杂草的概率?
几种常见的概率分布率
解: 100 μ = 10 = 1 0株
杂草 概率 数(x)
0
P(0)=e-10.100/0! =0.000045
1
P(1)=e-10.101/1! =0.000450
2
P(2)=e-10.102/2! =0.0023
≥ 15 P(≥15)=e-10.1015/15! =0.0835
几种常见的概率分布率
例:卢瑟福(Rutherford)物理实验: 观察在7.5秒时间间隔内放射性物质放射的质粒数到达某指定区域的质点数:
X = ∑ f x/N =10086/2608 =3.8672 ≈ 3.87
7.5秒内质 观察频 f x
重新捕捉到500只金丝燕,其中有24只带有标记.问:该山区金丝燕的群体数目?
解: K = 100 n = 500 x = 24
^ n k 100×500
.
N = x = 24 = 2083
几种常见的概率分布率
5. 负二项分布:negative binomial distribution
P (x) =CK-1x-1 p k q x-k 六、 核心分布----以某一中心作放射状分布,中央概率 p大,外围概率p逐渐减小
7
139
973 P(0)=e-3.87 ×3.877/7!=0.0538 140.3104
8
45
360 P(0)=e-3.87 ×3.878/8!=0.0260 67.8080
9
27
243 P(0)=e-3.87 ×3.879/9!=0.0112 29.2096
≥10
16
160 P(0)=e-3.87×3.8710/10!=0.0066 17.2128